Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 17334 986183 968553 2026-09-02T17:42:48Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986183 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = astronomie | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Mesurer les objets de l'univers/]] | niveau = 11 }} == L'Univers == === L'infiniment grand === L'observation du ciel à l'œil nu nous fait découvrir des centaines d'objets lumineux. Avec un instrument d'optique (lunette/télescope), il y a encore plus d'étoiles visibles, situées de plus en plus loin, si bien que la question de savoir si l'Univers est fini ou infini n’est pas tranchée. La Terre fait partie du système solaire, ensemble des planètes gravitant autour de l'étoile Soleil, qui lui-même fait partie de la galaxie Voie Lactée. Spatialement, les galaxies sont souvent regroupées en petit nombre, typiquement moins d'une dizaine, en une structure appelée, en ce qui concerne notre galaxie, ''le'' Groupe Local ; ces groupes locaux se regroupent eux-mêmes le plus souvent en amas, puis en superamas. Il existerait 3000 superamas dans l'Univers. === L'infiniment petit === À l'échelle humaine, un cheveu est petit (son diamètre vaut environ 80 µm = {{Unité|0.08|{{Abréviation|mm|millimètre}}}}). Cependant les cellules biologiques sont encore plus petites (environ 20 µm). Elles sont constituées de molécules, assemblage d'atomes. L'atome, de dimension 10⁻¹⁰ m environ, contient des électrons qui se déplacent autour d'un noyau. Ce noyau est lui-même composé de nucléons (neutrons et protons) et dans les nucléons, on peut encore distinguer les quarks. == Décrire les grandeurs de l'univers == === La notation scientifique et l’ordre de grandeur === * En notation scientifique tout nombre s'écrit : a.10ⁿ avec 1 < a < 10 et n entier relatif. * '''Rappels :''' <math>10^0=1</math> <math>10^a \times 10^b=10^{a+b}</math> <math>\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}</math> * Donner un ordre de grandeur d'un résultat consiste à donner la puissance de 10 la plus proche. {{Exemple | contenu = * <math>657983</math> est de l’ordre de grandeur de <math>10^6</math> * <math>1,538.10^9</math> est de l’ordre de grandeur de <math>10^9</math> * <math>5,3 . 10^{-11}</math> est de l’ordre de grandeur de <math>10^{-10}</math> }} === Multiples et sous-multiples === === Chiffres significatifs === {{Exemple | contenu = * '''<math>2,102</math>''' → 4 chiffres significatifs * '''<math>2,10</math>''' → 3 chiffres significatifs * '''<math>2,102 \times 10^5</math>''' → 4 chiffres significatifs (les puissances de 10 ne comptent pas comme chiffres significatifs) }} * Le nombre de chiffres significatifs que l’on retient pour estimer un résultat donne une idée sur la précision de celui-ci. * Quand on exprime un résultat à partir de données fournis dans un énoncé, il faut qu’il ne comporte pas plus de chiffres significatifs que la donnée de l'énoncé la moins précise. {{Exemple | contenu = <math>2,58.10^{-5} \times 3,12.10^6 </math> on va donner 3 chiffres significatifs et non pas 5 comme la calculatrice. (résultat : <math>8,05.10^1</math> ) }} * Pour un nombre décimal comportant des 0 après la virgule, seuls les chiffres du nombre sont considérés comme significatifs, tous les 0 à gauche du nombre ne sont pas significatifs. {{Exemple | contenu = '''0,000230''' → 3 chiffres significatifs }} === Précision d'une mesure === * La précision de la mesure porte sur le dernier chiffre significatif. Elle dépend de l'instrument utilisé, de son calibre et de la méthode de mesure. {{Exemple | contenu = Mesurer l'épaisseur d'une feuille avec une règle ({{Unité|0|{{Abréviation|mm|millimètre}}}} < e <1 mm); puis un micromètre: ::<math> e=0,07 mm=7.10^{-5} </math> m à <math>1.10^{-5} </math> m. Changement de méthode : mesurer 184 feuilles avec une règle, puis avec un micromètre e = d / n = ::<math> 14,66/184 = 7,967.10^{-5} </math> m à <math> 0,001.10^{-5} </math> m près. Je donne 4 chiffres significatifs car la mesure a quatre chiffres significatifs. }} {{Bas de page | idfaculté = astronomie | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Mesurer les objets de l'univers/]] }} 58rl9czud3pshmmyh8i43c1q09rvwcc 1 18848 986184 977705 2026-09-02T17:42:58Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986184 wikitext text/x-wiki == La solution des Équations différentielles linéaires du second ordre sans second membre == "<math>f''(x)+a\,f'(x)+b\, f(x) =0</math> On ne démontrera pas le résultat suivant dans ce cours car il sera vu en cours de mathématiques : on admet que la solution de l'équation différentielle précédente s'écrit : <dl>{{cadre simple|contenu=<math>f(x)=C_1\exp(r_1x)+C_2\exp(r_2x)</math>}}</dl>" Ne serait-il pas plus méthodique d'introduire la notion d'équation caractéristique ? Pour une équation différentielle de la forme <math>a\,x''(t)+b\,x'(t)+c\, x(t) =0</math> la forme de la solution dépend du signe du discriminant de ''' l'équation caractéristique ''' : <math>a\,x^2 + b\,x + c\, = O </math> <br /> Si le Discriminant Δ *est positif la forme de la solution générale est <math>Aexp(s_1 t) + Bexp(s_2 t) </math> avec <math>s_1 et s_2</math> les solutions. *est nul la forme de la solution générale est <math>\exp(s)(\omega t + \phi) </math> avec s la solution. *est négatif une forme de la solution générale est <math>Aexp(u t) \cos(v t + B) </math> les solutions étant <math>u \pm iv</math> Le terme en exponentiel donnera lieu à l'enveloppe qui traduit l'amortissement. Voilà, il me semble que cette façon d'apprendre à résoudre les équations différentielles est plus méthodique et permet de différentier chaque régime (amortissement faible, fort, régime critique). Dîtes moi ce que vous en pensez. Cordialement. [[Utilisateur:Fabman|Fabman]] 6 août 2008 à 15:35 (UTC) :La méthode que tu décris est en effet la technique « standard » qu'utilise tout le monde pour résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre deux, comme celle que tu cites. Cependant, il me semble que je n'ai eu connaissance de ladite méthode qu'au cours de mes études supérieures. Le niveau de la leçon me semble inférieur — dans ce contexte, on a plutôt tendance à donner les solutions que les méthodes, voire les démonstrations (c'est un fait, ça ne veut pas dire que je soutiens). Le cours s'intitulant « résolution d'équations différentielles ''simples'' », je suppose qu’il ne s'agit pas de pousser trop avant les détails. Une discussion mathématique qui inclut la notion d'équation caractéristique (et la généralise) peut être trouvée dans [[Équation_différentielle_linéaire|ce vieux cours qui n'attend qu'un bon recyclage]] (le niveau est trop élevé, le style trop abstrait…àmha), et [[Équation différentielle linéaire/Équations différentielles linéaires d'ordre deux|plus précisément ici]] concernant ce que tu proposes. En résumé, mathématiquement, ce que tu dis est irréprochable — c’est pédagogiquement que, je suppose, l’introduction de cette idée a été mise de côté dans cette leçon. {{Smiley|sourire}} [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 7 août 2008 à 01:16 (UTC) ::En fait on apprend à résoudre ces équations différentielles selon cette méthode à Bac + 1, en licence ou prépa scientifique (niveau 13 comme celui de la leçon). C'est d'ailleurs la suite directe de ce cours : on apprend d’abord la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre (qu'on savait déjà résoudre mais sans savoir pourquoi cette solution était la bonne en Terminale S (niveau 12)). En suite on apprend que toute solution générale de l'équation de départ est la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation sans second membre et vient alors la notion d'équation caractéristique et les différents cas à distinguer. Tout ceci fait parti de l'unes des premières leçons qu'on suit en niveau 13. [[Utilisateur:Fabman|Fabman]] 7 août 2008 à 09:49 (UTC) 0371gd8lubxz5zy4wnibhox6skwnrft 3 18862 986185 947709 2026-09-02T17:43:08Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986185 wikitext text/x-wiki ==ok, je débute et je galère...== je souhaite juste participer à la fac de maths et ne sais comment m'y prendre. J’ai déjà exprimé des interrogations à la suite de la remarque "organisation" de la page de discussion du projet... Si vous voulez y répondre et/où me donner tout autre conseil, je prends... :'''Une première aide'''.<br /> :Commencer par ouvrir la page discussion de ta boîte utilisateur pour poser une question : je l'ai fait pour toi sans enlever la question de ta page de présentation "Présentation utilisateur" car cela pourrait être considéré comme vandalisme (à toi de le faire). Passer par l'onglet modifications mais peut-être le sais-tu.<br /> :En posant la question dans ta page Discussion seuls ceux qui, passant par les "modifications récentes", auront la curiosité d'aller voir ce que tu y racontes pourront lire la question.<br /> :Si tu veux faire un appel général, passe par la Salle café. Si tu recherches un appel plus ciblé, tu peux laisser un message dans les pages discussion des contributeurs de Maths ou pour des questions plus syntaxiques (ah la syntaxe Wiki) voir les noms des [[Spécial:Liste_des_utilisateurs/sysop|bibliothécaires]]. Les réponses dans la salle café apparaissent sous ton message, celle dans les pages utilisateurs discussion interviendront dans ta page discussion (donc ici).<br /> :Toute intervention de messagerie nécessite la signature (icône au dessus de la fenêtre de saisie) qui donne en fait le lien avec ta zone utilisateur au moins la page présentation dans laquelle il faudra mettre, un bouton vers la page discussion. :Quand j’ai commencé, j’ai utilisé des parties de travail fait par d'autres par copier coller de la partie intéressante dans la fenêtre de saisie de la page modification ( copier ne change rien au travail sur la page d'autrui mais si on quitte la page d'autrui en fermant la fenêtre de la page d'autrui, on introduit aucune modification de la page et il n'y a pas de trace du passage dans les modifications récentes). Ensuite j'adapte le collé sur ma page à mes propres besoins en modifiant les noms, les formules voire la description des images et en prévisualisant à chaque modification (au départ tout au moins). Quoique, beaucoup d'éléments de syntaxe sont décrits dans la partie "Aide" et qu’il est toujours possible d’utiliser les modèles.<br /> :Il est possible de copier mes boutons de ma zone utilisateur pour commencer à arranger ta zone utilisateur. :En espérant que ce message correspond bien à la volonté du titre de ma réponse. Et tu ne galères pas mais tu apprends. :--[[Utilisateur:H&#39;arnet|H&#39;arnet]] 7 août 2008 à 18:00 (UTC);[[Discussion Utilisateur:H'arnet|^Discussion]] {{Bienvenue}} == Une seconde réponse == Bonjour ! Bienvenue parmi nous (il faut le lire avec un ton très sectaire, sinon l'ambiance en pâtit), je te souhaite une productive activité ici ! En dehors de la « simple » rédaction, tu as fais mention de questions d'organisation : cette problématique a été abordée en mathématiques notamment, par {{u|Nicostella}} et [[User:Sharayanan|moi-même]], entres autres. Le découpage en école/collège/lycée, bien qu'''a priori'' intéressant, pêche par franco-centrisme, d'où l'organisation des leçons par « niveau ». Mon (notre ?) idée consiste à reconnecter l'aspect « ensemble scolaire » (sujets variés — algèbre, géométrie, numération… d'un niveau donné) à l'aspect « organisationnel » (il faut que tout soit bien rangé, comme dans une bibliothèque… tous les niveaux ensembles, mais groupés par thème). C'est le second qui a prévalu ici (et a soulevé les discussions d'ordre pédagogique…). Ma proposition a été de rédiger des programmes scolaires (une version ignoble et non représentative est lisible [[Utilisateur:Sharayanan/Maths|ici]] ou [[Utilisateur:Sharayanan/Chimie|là]]) et de dire : vous voulez suivre tel programme (mettons, terminale S en France…), voici les cours à lire & intégrer (qui peuvent être communs à, par exemple, la terminale S, ES, L et à 5 classes au Québec). La proposition de Nicostella est similaire, sauf que les cours sont adaptés aux filières (donc redondants, mais mieux ciblés — ce qui signifie également plus longs & durs à mettre en place). Pour l'instant, malheureusement, l'essentiel est abstrait (surtout concernant mon idée…). N'hésite pas, si tu as des idées (d'autres idées pourquoi pas), à en faire part (pages de discussion, salle café, IRC…). Dans un tout autre domaine, tu appelles à l'aide pour savoir comment t'y prendre : as-tu lu [[Aide:Premiers pas|cette page]] ? L'essentiel consiste à rédiger ''là où il faut'', c'est-à-dire se retrouver dans l'organisation du site. Si ce que tu cherches est plus précis (e.g. je veux participer, mais je n'ai aucune idée de ce qu’il serait utile de faire…) j’ai des idées à revendre {{Smiley|sourire}} Si tu as l'intention de créer une nouvelle leçon, tu peux le faire, par exemple [[Aide:Comment créer une leçon|en passant par ici]] mais, attention, [[Wikiversité:Conventions de nommage|le nom doit être bien choisi]]. J'espère que certaines de ces réponses/invitations/informations te seront utile et que tu t'y retrouveras ! {{Smiley|mdr}} [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 7 août 2008 à 19:51 (UTC) = si j’ai bien compris...= En procédant ainsi les personnes regardant les "modification récentes" pourront tombées sur ce petit mot, du coup j'en profite pour recopier ce que j’ai écrit ailleurs : "Bonjour, Je pense être utile à ce jolie projet et voudrais m'y investir. Par contre je ne comprends pas trop la logique des exposés : il s'agit bien de cours et non d’articles ? Il serai donc naturel de découper les départements d’abord en fonction des personnes visées : collégiens, lycéens, étudiants... Je n'ai pas de connaissances pédagogiques particulières par contre pour le dernier point, ayant passé deux ans en prépa puis eu l'agreg il me semble préférable de construire "l'édifice mathématique" en faisant tout avancer simultanément tant les domaines s'entrelacent, au moins jusqu'au niveau licence... Qu'après on retrouve les divisions traditionnelles (algèbre, géométrie, analyse, probas, stats...) d'accord. En tout cas cela mérite une discussion avant de se lancer dans des cours sporadiques, je suis aller faire un tour sur le salon #wikiversity-fr mais n'y ai pas vu beaucoup d'activité... Où peut-on en parler ? Autre chose : j’ai lu ailleurs qu’il manquait d'exercices : c’est flagrant !!!" [[Utilisateur:Alex|Alex]] 7 août 2008 à 19:52 (UTC) :Yep ! Je suis tout disposer à en discuter, ici même pourquoi pas. M'enfin je vais voir sur IRC, c’est peut-être mieux. À de suite sur l'IRC, ou ici même comme il te sied. [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 7 août 2008 à 20:23 (UTC) ::Salut ! Juste pour dire : le LaTeX s'utilise entre les balises <nowiki><math> et </math></nowiki>, comme ceci : <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\mathrm{ch}^2\,x}\,\mathrm dx = 1</math>. [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 8 août 2008 à 09:30 (UTC) ::: merci j'étais allé voir. je n'ai pas encore toute la finesse de LaTeX dans les doigts mais voilà ce que ca donne pour le moment. [[Utilisateur:Alex|Alex]] 8 août 2008 à 10:23 (UTC) :Salut Alex et bienvenue sur la wikiversité. Plusieurs débats ont déjà eu lieu à ce sujet. Le plus important est de respecter les "conventions de nommage" qui donnent sa structure au projet. Ces conventions ont été débattues au début et il est difficile de revenir dessus. Personnellement, j’avais défendu d'autres points de vue mais je n'ai pas eu gain de cause. J'essaie donc de respecter ces conventions tout en faisant passer ma conception du projet. Il faut donc que tu vois les [[Cours de mathématiques de lycée (France)]] et les [[Cours de mathématiques de collège (France)]] pour comprendre comment on peut respecter les conventions de nommage tout en faisant un cours utilisable par un élève. C'est du moins la solution que j’ai trouvé. Sinon, pour discuter plus efficacement, le mieux est l'irc [irc://irc.freenode.net/#wikiversity-fr]. Je ne me connecte quant à moi que si on m'y invite, n'étant pas un fanatique du chat. Donc si tu vois que je suis en train de travailler sur wv, tu me laisses un message et je me connecte. Bien à toi. [[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] ^{<small> &#91;[[Discussion Utilisateur:Nicostella|discut]]&#93;</small>}. ::Je viens de lire les réponses sur ta page et n'ai qu'une chose à ajouter : il faut se lancer !!![[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] ^{<small> &#91;[[Discussion Utilisateur:Nicostella|discut]]&#93;</small>} Salut Alex ! Je vois que tu travailles avec acharnement, ce dont on ne peut que te féliciter. J'observe que, parfois, tu as des soucis avec TeX (rien de bien grave évidemment, celui qui n'en a pas n’est pas humain). Sans pousser trop loin l'auto-pub, j’avais rédigé [[w:User:Sharayanan/TeX|un petit guide]] en mon jeune temps, qui pourrait t'aider sur certains détails. Il est vrai que l'implémentation de TeX dans MediaWiki n’est pas parfaite, et que sa syntaxe est spécifique (et à ma grande déception, on ne peut pas faire de macro…). Ça fait des années qu'on râle pour avoir un TeX plus complet, sur fond transparent et qui va mieux avec le texte… Je crois qu'on l'aura pas tant qu'on l'aura pas fait nous-même. Bref. Sinon, je me suis déjà permis quelques corrections TeXiques, et me tiens à ta disposition en cas de blocage apocalyptique. Bon courage ! {{Smiley|sourire}} [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 12 août 2008 à 16:17 (UTC) :Okay je suis rassuré de te savoir en vie. J'espère que tu profites, c’est un beau pays. Le qwerty c’est pas si dur : au bout de 3-4 jours tu verras, ça passera tout seul. Je jette un œil sur ce que tu as écrit (j'hésitais un peu à bidouiller, puisque tu m'avais dit que tu travaillerais hors-ligne). Bonne chance ! {{Smiley|sourire}} [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 5 septembre 2008 à 11:16 (UTC) == Note sur les groupes == Salut Alex ! Ravi de découvrir l'ampleur de tes travaux sur la Wikiversité. Je voudrais juste te signaler (au cas où tu ne l'aurais pas vu, on ne sait jamais) qu’il existe un cours sur [[Groupe (mathématiques)|les groupes]] déjà bien avancé, ça pourrait peut-être t'éviter en partie d’avoir à réentrer du contenu qui existe déjà. Tout dépend bien sûr de l’utilisation que tu fais de ta propre page {{Smiley|sourire}}. Sinon, [[Anneau (mathématiques)]] et [[Corps (mathématiques)]] existent aussi mais sont extrêmement lacunaires, donc ne posent pas le même problème. Voilà c’est tout {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 5 septembre 2008 à 12:35 (UTC) == Au revoir == Ca fait un moment que je ne fais plus rien ici, et je ne pense pas avoir le courage ni l'envie de m'y remettre. Je ne sais pas non plus comment on ferme un compte, mais on peut considérer que le mien l'est. Au revoir et bonne continuation [[Utilisateur:Alex|Alex]] :Salut ou aurevoir :On ne peut fermer un compte comme expliquer dans la page pour les nouveaux arrivants :salut :--[[Utilisateur:Darkflames0|Darkflames0]] 30 mai 2009 à 13:21 (UTC) == Votre compte va être renommé == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> Bonjour, L’équipe des développeurs de la Fondation Wikimédia va apporter quelques changements au fonctionnement des comptes, dans le cadre de nos efforts constants pour fournir des outils nouveaux et de meilleure qualité à nos utilisateurs, telles les notifications interwiki. Ces changements impliquent que vous aurez le même nom de compte partout. Cela nous permettra de vous offrir de nouvelles fonctionnalités qui vous aideront à mieux contribuer, amélioreront votre expérience concernant la manière de discuter, et permettront des autorisations plus souples pour les outils. Une des conséquences de ce changement est que les comptes utilisateurs devront désormais être uniques pour les 900 wikis de Wikimédia. Consultez [[m:Special:MyLanguage/Single User Login finalisation announcement/fr|l’annonce]] pour plus d’informations. Malheureusement, une autre personne utilise votre nom d'utilisateur Alex. Afin de vous permettre à tous les deux d’utiliser les wikis de Wikimédia dans le futur, nous avons réservé le nom Alex~frwikiversity pour votre usage. S'il vous plait, aucune actions n'est nécessaire de votre part. Si vous ne l'aimez pas, [[Special:GlobalRenameRequest|merci d’en demander un différent]]. Votre compte continue de fonctionner comme avant, et vous serez toujours crédité pour les modifications réalisées jusqu'à présent, mais vous aurez à vous servir du nouveau nom pour vous connecter. Veuillez nous excuser pour le dérangement occasionné. Cordialement,<br />[[m:User:Keegan (WMF)|Keegan Peterzell]]<br />Community Liaison, Wikimedia Foundation </div> 18 mars 2015 à 01:39 (UTC) <!-- SUL finalisation notification --> == Compte renommé == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> Ce compte a été renommé car faisant partie de la [[m:Special:MyLanguage/Single User Login finalisation announcement|complétion de la connexion mono utilisateur]]. Si vous êtes propriétaire de ce compte vous pouvez [[{{#special:userlogin}}|vous connecter avec votre ancien nom d'utilisateur et votre ancien mot de passe]] pour plus d'informations. Si vous n'aimez pas ce nouveau nom de compte, vous pouvez choisir le votre en utilisant ce formulaire après vous être connecté : [[{{#special:GlobalRenameRequest}}]]. -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) </div> 19 avril 2015 à 07:35 (UTC) <!-- SUL post-rename notification --> i0mi2ya6t5ak8x1lc5k3lvwzw08orad 0 18890 986186 985492 2026-09-02T17:43:18Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986186 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = langues | leçon = [[../|Vocabulaire du Grec ancien]] | numéro = 4 | niveau = 2 | titre = Nombres ordinaux et cardinaux | titre_leçon = Vocabulaire du Grec ancien | précédent = [[../Particules/]] | suivant = [[../Animaux/]] }} Les nombres cardinaux sont invariables, à l'exception des quatre premiers, des centaines et des milliers. ==Nombres cardinaux et ordinaux == {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" |- ! style="background-color:#437bd580;" | Nombre ! style="background-color:#437bd580;" | Symbole ! style="background-color:#437bd580;" | Nombre cardinal ! style="background-color:#437bd580;" | Nombre ordinal ! style="background-color:#437bd580;" | Adverbe ! style="background-color:#437bd580;" | Collectif |- | style="background-color:#7db3db80;" |1 | αʹ | εἶς | πρῶτος, -ώτη, -ῶτον | ἅπαξ | μονάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |2 | βʹ | δύο | δεύτερος, -α, -ον | δίς | δυάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 3 | γʹ | τρεῖς | τρίτος, -η, -ον | τρίς | τριάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |4 | δʹ | τέσσαρες | τέταρτος, -άρτη, -αρτον | τετράκις | τετράς |- | style="background-color:#7db3db80;" |5 | εʹ | πέντε | πέμπτος, -η, -ον | πεντάκις | πεντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |6 | ϛʹ | ἕξ | ἕκτος, -η, -ον | ἑξάκις | ἑξάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |7 | ζʹ | ἑπτά | ἕϐδομος, -όμη, -ομον | ἑπτάκις | ἑπτάς, ἑϐδομάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |8 | ηʹ | ὀκτώ | ὄγδοος, -όη, -οον | ὀκτάκις | ὀκτάς, ὀγδοάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |9 | θʹ | ἐννέα | ἔνατος, -άτη, -ατον | ἐνάκις | ἐννεάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |10 | ιʹ | δέκα | δέκατος, -άτη, -ατον | δεκάκις | δεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 11 | ιαʹ | ἕνδεκα | ἑνδέκατος, -άτη, -ατον | ἑνδεκάκις | ἑνδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |12 | ιβʹ | δώδεκα | δωδέκατος, -άτη, -ατον | δωδεκάκις | δωδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |13 | ιγʹ | τρεῖς καὶ δέκα | τρισκαιδέκατος, -άτη, -ατον | τρισκαιδεκάκις |τρισκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |14 | ιδʹ | τέτταρες καὶ δέκα | τετταρακαιδέκατος, -άτη, -ατον | τετταρακαιδεκάκις |τετταρακαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |15 | ιεʹ | πεντεκαίδεκα | πεντεκαιδέκατος, -άτη, -ατον | πεντεκαιδεκάκις |πεντεκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |16 | ιςʹ | ἑκκαίδεκα | ἑκκαιδέκατος, -άτη, -ατον | ἑκκαιδεκάκις |ἑκκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |17 | ιζʹ | ἑπτακαίδεκα | ἑπτακαιδέκατος, -άτη, -ατον | ἑπτακαιδεκάκις |ἑπτακαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |18 | ιηʹ | ὀκτωκαίδεκα | ὀκτωκαιδέκατος, -άτη, -ατον | ὀκτωκαιδεκάκις |ὀκτωκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 19 | ιθʹ | ἐννεακαίδεκα | ἐννεακαιδέκατος, -άτη, -ατον | ἐννεακαιδεκάκις |ἐννεακαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 20 | κʹ | εἴκοσι(ν) | εἰκοστός, -ή, -όν | ἐικοσάκις | εἰκοσάς | |- | style="background-color:#7db3db80;" | 30 | λʹ | τριάκοντα | τριακοστός, -ή, -όν | τριακοντάκις | τριακοντάς | |- | style="background-color:#7db3db80;" | 40 | μʹ | τετταράκοντα | τετταρακοστός, -ή, -όν | τετταρακοντάκις | τετταρακοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 50 | νʹ | πεντήκοντα | πεντηκοστός, -ή, -όν | πεντηκοντάκις |πεντηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 60 | ξʹ | ἑξήκοντα | ἑξηκοστός, -ή, -όν | ἑξηκοντάκις |ἑξηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 70 | οʹ | ἑϐδομήκοντα | ἑϐδομηκοστός, -ή, -όν | ἑϐδομηκοντάκις |ἑϐδομηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 80 | πʹ | ὀγδοήκοντα | ὀγδοηκοστός, -ή, -όν | ὀγδοηκοντάκις | ὀγδοηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 90 | ϟʹ | ἐνενήκοντα | ἐνενηκοστός, -ή, -όν | ἐνενηκοντάκις |ἐνενηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |100 | ρʹ | ἑκατόν | ἑκατοστός, -ή, -όν | ἑκατοντάκις |ἑκατοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 200 | σʹ | διακόσιοι | διακοσιοστός, -ή, -όν | διακοσιάκις |διακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 300 | τʹ | τριακόσιοι | τριακοσιοστός, -ή, -όν | τριακοσιάκις |τριακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 400 | υʹ | τετρακόσιοι | τετρακοσιοστός, -ή, -όν | τετρακοσιάκις |τετρακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 500 | φʹ | πεντακόσιοι | πεντακοσιοστός, -ή, -όν | πεντακοσιάκις |πεντακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 600 | χʹ | ἑξακόσιοι | ἑξακοσιοστός, -ή, -όν | ἑξακοσιάκις |ἑξακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 700 | ψʹ | ἑπτακόσιοι | ἑπτακοσιοστός, -ή, -όν | ἑπτακοσιάκις |ἑπτακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 800 | ωʹ | ὀκτακόσιοι | ὀκτακοσιοστός, -ή, -όν | ὀκτακοσιάκις |ὀκτακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 900 | ϡʹ | ἐνακόσιοι | ἐνακοσιοστός, -ή, -όν | ἐνακοσιάκις |ἐνακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 1000 | ͵α | χίλιοι | χιλιοστός, -ή, -όν | χιλιάκις |χιλιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 2000 | ͵β | δισχίλιοι | δισχιλιοστός, -ή, -όν | δισχιλιάκις |δισχιλιάκις |- | style="background-color:#7db3db80;" | 3000 | ͵γ | τρισχίλιοι | τρισχιλιοστός, -ή, -όν | θισχιλιάκις |θισχιλιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 10 000 | ͵ι | μύριοι | μυριοστός, -ή, -όν | μυριάκις | μυριάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 20 000 | ͵κ | δισμύριοι | δισμυριοστός, -ή, -όν | δισμυριάκις | δισμυριάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 100 000 | ͵ρ | δεκακισμύριοι | δεκακισμυριοστός, -ή, -όν | δεκακισμυριάκις | δεκακισμυριάς |} ==Déclinaison des quatre premiers cardinaux== '''Un :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | εἷς | μία | ἕν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Accusatif | ἕνα | μίαν | ἕν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | ἑνός | μιᾶς | ἑνός |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | ἑνί | μιᾷ | ἑνί |} '''Deux :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | δύο | δύο | δύο |- | style="background-color:#7db3db80;" | Accusatif | δύο | δύο | δύο |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | δυοῖν | δυοῖν | δυοῖν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | δυοῖν | δυοῖν | δυοῖν |} '''Trois :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | τρεῖς | τρεῖς | τρία |- | style="background-color:#7db3db80;" | Accusatif | τρεῖς | τρεῖς | τρία |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | τριῶν | τριῶν | τριῶν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | τρισί | τρισί | τρισί |} '''Quatre :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | τέσσαρες | τέσσαρες | τέσσαρα |- | style="background-color:#7db3db80;" |Accusatif | τέσσαρας | τέσσαρας | τέσσαρα |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | τεσσάρων | τεσσάρων | τεσσάρων |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | τέσσαρσι(ν) | τέσσαρσι(ν) | τέσσαρσι(ν) |} ==Formation des nombres== Il existe plusieurs façons différentes d'associer les dizaines et les unités : ''Vingt-cinq'' (κεʹ) peut se dire : * εἴκοσι πέντε * εἴκοσι καὶ πέντε * πέντε καὶ εἴκοσι ''Vingt-neuf'' (κθʹ) peut se dire d'une quatrième manière : * ἑνὸς δέοντες τριάκοντα : ''trente s'en fallant de un'' (ou ''trente moins un'') Pour dire ''vingt-et-unième'', on écrit ''εἷς καὶ εἰκοστός'' et non ''πρῶτος καὶ εἰκοστός'' [[Catégorie:Nombres|Grec ancien]] {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Vocabulaire du Grec ancien]] | précédent = [[../Particules/]] | suivant = [[../Animaux/]] }} tmns41rch1eeiok4rz9ej0g5wuylmjn 0 19015 986187 976861 2026-09-02T17:43:28Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986187 wikitext text/x-wiki {{Devoir | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | niveau = 10 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = }} {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Nombre d'or}} On appelle '''nombre d'or''' le nombre réel noté : <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math>.}} {{Clr}} <div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅰ —''' </span></div> == Quelques calculs avec le nombre <math>\varphi</math> == '''1°''' Donner avec la calculatrice une valeur approchée de <math>\varphi</math> à <math>10^{-3}</math> près. '''2°''' Donner avec la calculatrice une valeur approchée de <math>\varphi^2</math> à <math>10^{-3}</math> près. :Conjecturer une relation entre <math>\varphi</math> et son carré. '''3°''' Démontrer la relation : <math>\varphi^2-\varphi=1</math>. '''4°''' '''a)''' En utilisant la relation du 3°, démontrer que <math>\varphi^3=1+2\varphi</math>. :'''b)''' En déduire que <math>\varphi^4=2+3\varphi</math>. :'''c)''' En déduire de même une relation entre <math>\varphi^5</math> et <math>\varphi</math>. {{Solution|contenu= '''1°''' <math>\varphi\approx1{,}618</math>. '''2°''' <math>\varphi^2\approx2{,}618\approx1+\varphi</math>. '''3°''' <math>\varphi^2-\varphi=\frac{1+2\sqrt5+5}4-\frac{1+\sqrt5}2=\frac{3+\sqrt5}2-\frac{1+\sqrt5}2=\frac{3-1}2=1</math>. '''4°''' '''a)''' En remplaçant deux fois <math>\varphi^2</math> par <math>1+\varphi</math>, on obtient bien <math>\varphi^3=\varphi\left(1+\varphi\right)=\varphi+\left(1+\varphi\right)=1+2\varphi</math>. :'''b)''' De même, <math>\varphi^4=\varphi\left(1+2\varphi\right)=\varphi+2\left(1+\varphi\right)=2+3\varphi</math>. :'''c)''' De même, <math>\varphi^5=\varphi\left(2+3\varphi\right)=2\varphi+3\left(1+\varphi\right)=3+5\varphi</math>. Remarque : de même, si <math>\varphi^n=a+b\varphi</math> alors <math>\varphi^{n+1}=b+(a+b)\varphi</math>. On en déduit que <math>\varphi^n=F_{n-1}+F_n\varphi</math>, où <math>\left(F_n\right)</math> est la [[Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2#Suite de Fibonacci|suite de Fibonacci]]. }} <div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅱ —''' </span></div> == Rectangles d'or == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Rectangle d'or}} On appelle '''rectangle d'or''' un rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur vaut <math>\varphi</math>.}} Soit un rectangle d'or ''ABCD'' de largeur <math>AB=l</math>. '''1°''' Exprimer ''AD'' en fonction de <math>l</math> et <math>\varphi</math>. '''2°''' On enlève à l'intérieur du rectangle ''ABCD'' le carré ''ABEF''. :'''a)''' Démontrer que <math>\frac{EF}{FD}=\frac1{\varphi-1}</math>. :'''b)''' En utilisant la relation établie dans la première partie, démontrer que <math>\varphi\left(\varphi-1\right)=1</math>. :'''c)''' Que peut-on en déduire pour le rectangle ''ECDF'' ? {{Solution|contenu= '''1°''' <math>AD=l\varphi</math>. '''2°''' '''a)''' <math>\frac{EF}{FD}=\frac l{AD-l}=\frac l{l\varphi-l}=\frac1{\varphi-1}</math>. :'''b)''' <math>\varphi\left(\varphi-1\right)=\varphi^2-\varphi=1</math>. :'''c)''' <math>\frac{EF}{CD}=\varphi</math> donc le rectangle ''ECDF'' est d'or. }} <div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅲ —''' </span></div> == Construction d'un rectangle d'or == [[File:AOKare5.jpg|thumb|Le petit rectangle de droite ''BPQC'', et le grand rectangle ''APQD'' (formé en lui adjoignant le carré), sont d'or.]] Cette construction serait due à [[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Euclide]] (environ 300 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}). Soient un carré ''ABCD'' et ''I'' le milieu de [''AB'']. Le cercle de centre ''I'' passant par ''C'' coupe la demi-droite [''AB'') en ''P''. Démontrer que ''APQD'' et ''BPQC'' sont des rectangles d'or. {{Clr}} {{Solution|contenu= Soit <math>c</math> la longueur d'un côté du carré. D'après le théorème de Pythagore, <math>IP=IC=\sqrt{c^2+\frac{c^2}4}=c\frac\sqrt52</math> donc <math>AP=\frac c2+c\frac\sqrt52=c\varphi</math>, ce qui prouve que le rectangle ''APQD'' est d'or. D'après la partie Ⅱ, ''BPQC'' est donc aussi un rectangle d'or. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = }} 4iijw94cq1gvo7olog33btmu1ikn22t 3 19058 986188 912744 2026-09-02T17:43:54Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986188 wikitext text/x-wiki <div style="text-align: center;"><table border="10px"> <tr> {|style="background-color:#008F00"} <td width="100px"><div style="text-align: center;">[[Image:Gohomenew.png|70px]]</div></td> <td width="110px"><div style="text-align: center;">[[Image:Crystal Clear app kuser.png|70px]]</div></td> <td width="100px"><div style="text-align: center;"></div></td> <td width="110px"><div style="text-align: center;">[[Image:Nuvola_gaim.svg‎|70px]]</div></td> <td width="110px"><div style="text-align: center;">[[Image:Internet-mail.svg|70px]]</div></td> <td width="100px"><div style="text-align: center;"></div></td> <td width="110px"><div style="text-align: center;">[[Image:SMirC-what.svg|70px]]</div></td> <td width="110px"><div style="text-align: center;">[[Image:Custom-work-icon.gif|70px]]</div></td> <td width="100px"><div style="text-align: center;"></div></td> <td width="110px"><div style="text-align: center;">[[Image:Document-open.svg|70px]]</div></td> <td width="110px"><div style="text-align: center;">[[Image:Crystal_Clear_app_korganizer.png|70px]]</div></td> </tr> <tr> <td><div style="text-align: center;">[[Utilisateur:H'arnet|Page Utilisateur]]</div></td> <td><div style="text-align: center;">[[Utilisateur:H'arnet#+|Présentation]]</div></td> <td><div style="text-align: center;"></div></td> <td><div style="text-align: center;">[[Discussion Utilisateur:H'arnet|Discussion]]</div></td> <td><div style="text-align: center;">[[Spécial:Emailuser/H'arnet|Email]]</div></td> <td><div style="text-align: center;"></div></td> <td><div style="text-align: center;">[[Utilisateur:H'arnet/BàS|Bac à sable]]</div></td> <td><div style="text-align: center;">[[Discussion Utilisateur:H'arnet/BàS|Ici]]</div></td> <td><div style="text-align: center;"></div></td> <td><div style="text-align: center;">[[Utilisateur:H'arnet/En cours|En cours]]</div></td> <td><div style="text-align: center;">[[Utilisateur:H'arnet/A faire|Projets]] </div></td> </tr> </table> </div> </div> <span style="color:#FFFFFF;">Décalage forcé -Décalage forcé -Décalage forcé -Décalage forcé -Décalage forcé -</span> <div align="right"> <table border="10px"><td>[[Image:Dossier couleur prune.PNG|50px|center]]</td> </tr> <tr> <td><div style="text-align: center;">[[Discussion Utilisateur:H'arnet/Archives BàS|Archives<br /> Discussions BàS]]</div></td> </div></table></div> [[Image:smiley.svg|"center"|50px]] <span style="color:#FFFFFF;">DF</span> <span style="font-size:1.2em"><span style="font-size:1.2em"><Big><span style="color:#008F00;">'''Bienvenue !'''</span></span></span>''' <span style="color:#008F00;">'''Merci de votre participation.''' '''H'arnet''' == 3° idée == === Texte === ==== Composition et structure ==== [[Image:La molécule d'eau.PNG|200px|thumb|axe de symétrie de la molécule d'eau]] L'eau est une espèce chimique constituée de deux atomes d'Hydrogène liés à un atome d'oxygène : sa formule chimique est H<small>2</small>O.<br /> Les hydrogènes sont liés à l'oxygène par des liaisons de covalence : chaque hydrogène a en commun deux électrons avec l'atome d'oxygène, ce qui sature l'orbitale de l'hydrogène avec deux électrons et la deuxième orbitale à 8 électrons (6 initiaux et un apporté par chacun des 2 hydrogènes) de l’oxygène.<br /> L'angle entre les deux liaisons H-O est de 104°. La bissectrice de cet angle constitue un axe de symétrie bilatérale. ==== Bipolarité ==== [[Image:La molécule d'eau bipolaire.PNG|400px|thumb|bipolarité de la molécule d'eau]] L'électron apporté par chacun des hydrogènes se trouve sur une orbitale plus proche du noyau de l'oxygène et aussi plus éloigné du noyau d'hydrogène qu’il ne l'était dans l'hydrogène natif (atome d'hydrogène non lié). Ainsi, les charges électriques dans la molécule d'eau sont réparties de façon asymétrique : une légère surcharge négative apparaît du côté de l'oxygène, pôle négatif, alors qu'un déficit de charges négatives crée une légère surcharge positive du côté des hydrogènes, pôle positif.<br /> '''L'eau est une molécule bipolaire.'''<br /> Comme les zones positives et négatives s'attirent, les molécules d'eau peuvent se retrouver associées entre elles par des liaisons dites '''liaisons hydrogènes'''.<br /> Sur chaque pôle d'une molécule d'eau peuvent se lier plusieurs molécules d'eau et au niveau des pôles opposés de ceux liés à la première molécule d’autres molécules d’eau pourront se lier. Il peut se former ainsi des liaisons hydrogènes dans tout le volume d’eau.<br /> Cela donne à la surface de l’eau liquide une cohésion capable de supporter des charges : c’est la '''tension superficielle de l’eau'''.<br /> ''Une plaque de plomb de grande surface par rapport à son épaisseur, déposée bien à plat et doucement à la surface de l’eau ne coule pas. Des animaux de petite taille et de faible masse peuvent se déplacer à la surface de l’eau en utilisant la tension superficielle de l’eau.'' {{clr}} === Discussion === * La première image gagnerais en hauteur à être tourné de 90 ° * peut-être voir [[commons:Category:Water_molecule|ici]] d’autre idée d'image. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 26 août 2008 à 10:50 (UTC) === Discussion 2 === Ta proposition ressemble (sans le cadre illustration et à propos quel est le nom du modèle que tu as utilisé ?) à ce que je faisais dans mes premières contributions.<br /> Il y a un problème que tu as laissé sur ton exemple (ou mal placé) -ce n’est pas un reproche mais il t'aurais fallu plus de temps pour ne pas le laisser- c’est que le titre du paragraphe suivant ne devrait pas se retrouver en face de la première image mais en dessous (enfin c’est cela que je recherche). Je sais que pour cela il n'y a qu’à mettre les interlignes en nombre suffisant à la fin du premier paragraphe : mais c’est justement ce qui prend un temps fou puisqu’il faut le faire par essais successifs avant de trouver le bon nombre. :Non, pour cela il y a le modèle{{m|clr}}.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 26 août 2008 à 14:50 (UTC) ::Ok je vais essayer et répertorier dans ma base syntase wiki.--[[Utilisateur:H&#39;arnet|H&#39;arnet]] 26 août 2008 à 15:34 (UTC) C'est à cause de cela que je cherche à ne pas afficher les images automatiquement dans la page en taille réelle sans avoir à créer un tableau déroulant pleine page puisque le modèle ne permet que ce type d'occupation. Avec ce commentaire, ma démarche complète est maintenant mieux connue. En fait je suis parti d'un moyen de mettre dans des cadres titrés les compléments de certains paragraphes. Comme c’est uniquement mettre du texte dans un tableau à une seule colonne c’est plus conventionnel pour la syntaxe. Mais comme cela prend plus de place et donne encore plus d'importance au complément ce qui est paradoxal, j’ai pensé au menu déroulant dans un tableau à une colonne. Puis je suis passé à la possibilité de traiter mes illustrations ainsi : ce qui correspond à une complication supplémentaire et comme qui peut le plus peut le moins j’ai proposé l'image plutôt que le texte complémentaire.<br /> Il y a une autre solution qui est de mettre une mignonette et en regard (à côté ou en dessous) un truc comme pour le sommaire avec masquer/afficher mais ce modèle n’est pas disponible et il ne faudrait pas qu’il se constitue automatiquement, qu’il ne soit pas automatiquement en haut de page... juste masquer afficher là où le place. Maintenant si vous pouvez me donner le moyen de faire le masquer/Afficher je peux essayer de faire quelque chose. Pour l'image de la molécule d'eau j’ai créé celle-ci car j’ai besoin de cette représentation dans une autre image pour illustrer dans l'agitation moléculaire le déplacement du centre de gravité de la molécule lorsqu'elle vibre et qu’il vaut mieux des représentations suivies d'une même structure. Merci quand ême pour le temps passé à en rechercher d'autres puisque moi-même j’ai fini par préférer faire de nouvelle représentation que de passer un temps fou à trouver une existante sur le site Commons qui me convienne.<br /> Je me dois de te remercier du temps passé.<br /> Cordialement. --[[Utilisateur:H&#39;arnet|H&#39;arnet]] 26 août 2008 à 14:06 (UTC) == Cadre image affichable/cachable == {|style="border:1px #cccccc double; margin: .5em; margin-left:1em" align="right" |- | <div style="clear:both;" class="NavFrame" title="Afficher l'image/Cacher "> <div class="NavHead" style="text-align:center; height: auto; width: auto" ><br />[[Image:La molécule d'eau.PNG|La molécule d'eau|70px|center]]</div> <div class="NavContent" style="text-align:center;"> La molécule d'eau blablabla, blablabla, <br /> papoti & papota. Truc chose machin bidule. [[Image:La molécule d'eau.PNG|center]] </div> <div class="NavEnd"> </div> </div> |} Bonjour ! J’ai remarqué que tu cherchais à réaliser quelques expériences avec les cadres et les images dans ton BàS. Je me suis permis d'y consacrer quelques instants et tu peux voir, à droite, le résultat jusqu'ici. Ce n'est peut-être pas encore tout à fait ce que tu désires — c’est bien entendu améliorable — mais j’espère que c’est un petit pas en avant. Je suis prêt à toutes sortes de remarques si tu veux que je corrige/adapte/abandonne… Ça ne pose aucun problème d'adapter ce « prototype » à un modèle, qui sera ensuite simple d’utilisation (par exemple, <code><nowiki>{{Cadre image|image.png|blabla}}</nowiki></code>). Bonne continuation et fais-moi signe si l’idée t'a plu {{Smiley|sourire}} [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 30 août 2008 à 15:31 (UTC). :Avant tout merci de t'intéresser à ma recherche, même si je t'ai déjà repéré comme un fervent de la bidouille (''sic'') pour qui la syntaxe Wiki n'a pas de secret et si elle en avait ce ne serait pas pour longtemps !<br /> :Un bon point est le détourage du cadre avec écartement du texte. Je n'y suis pas arrivé sur ma version allégée.<br /> :Un défaut majeur la fonction "cacher" n'apparaît pas quand l'image est affichée.<br /> :Je trouve et notamment dans le cas de l'image "La molécule d'eau" que la mise d' "afficher" à côté de la mignonette plutôt qu'au-dessus c’est mieux : j'aimerais que le cadre en état "cacher" ne dépasse pas la hauteur de texte (ici court) correspondant à cette image qui elle devrait être un tant soit peu aggrandie.<br /> :Dans la même idée et pour arriver à tenir dans le texte, j'aimerais avoir le contrôle des dimensions du cadre, de la mignonette et de l'image à afficher. Cela, je pense posera problème pour faire un modèle adaptable à la situation.<br /> :La mise d'un texte au-dessus de l'image déployée n’est pas indispensable puisque je recherche un système d'affichage bien à côté du texte correspondant.<br /> :Ce qui est le plus génant est que l’affichage d'une image fasse descendre des cadres situés avant mais pas en mode de prévisualisation, mais toujours après avoir publié y compris avec ta méthode : c’est pourquoi je l'ai mise en place avec les deux images de ce BàS pour tester avec ta méthode. Le modèle du déroulant pleine page ne pose pas ce problème de déplacement des autres cadres à l'ouverture de l'un d'eux (???). Une piste serait de faire le modèle déroulant mais pas en pleine page plutôt que de le mettre dans un tableau pour limiter ses dimensions. Je pense que c’est ce problème qu’il faudrait résoudre en premier. Ensuite, on pourra entrevoir d'autres syntaxes voire en faire éventuellement un modèle.<br /> :Encore merci !<br /> :Cordialement. :--[[Utilisateur:H&#39;arnet|H&#39;arnet]] 30 août 2008 à 19:05 (UTC) ::De rien, si ça peut te rendre la vie plus facile ! Alors, je récapitule et je te propose une seconde version : ::* {{fait}} le détourage du cadre avec écartement du texte (il suffisait de modifier le paramètre <code>margin</code>) ; ::* « Cacher » n'apparaît pas ? (bizarre… sur Firefox et Internet Explorer il n'y a pas ce problème… je vais investiguer plus avant) ; ::* « Afficher » doit être à côté de la miniature : c’est malheureusement difficile, du fait du peu de contrôle la syntaxe wiki… En fait, comme on ne peut pas, sur une même ligne avoir du texte aligné à gauche (l'image) et aligné à droite (Afficher/Cacher) dans HTML (et dans les ¾ des logiciels de traitement de texte, d'ailleurs) ça rend les choses un peu corsées… Ce n’est pas impossible, toutefois, mais je ne sais pas comment rendre la chose ''facile'' à utiliser (on pourrait avoir à préciser les dimensions exactes de tout pour qu'une telle chose fonctionne…). Mais bon, j'essaierai. ::* {{fait}} Avoir le contrôle des dimensions du cadre, de la mignonette et de l'image à afficher. Cela est déjà le cas, bien que le prototype soit difficile d’utilisation, ça ne poserait aucun problème dans un modèle (tu pourrais avoir <code>largeur=…</code>) ; ::* Que le cadre en état "cacher" ne dépasse pas la hauteur de texte… euh désolé, je ne suis pas sûr de comprendre… tu voudrais que l'image miniature et le texte « Afficher » soient alignés et de même hauteur ? ::* L'affichage d'une image fait descendre des cadres situés avant ? (bizarre… sur Firefox et Internet Explorer il n'y a pas ce problème…) Les cadres situés ''après'' sont (comme le texte) déplacés, mais ceux situés ''avant'' ne sont pas affectés (en tout cas, ne devraient pas l'être) ; ::* {{fait}} Il reste également à adapter le prototype pour permettre l’utilisation à gauche (mon premier essai se plaçait à droite uniquement) ; ::Voici donc une seconde version, avec des images agrandies et un cadre aligné à gauche correct. Puisque tu remarques des problèmes avec les cadres, peux-tu m'indiquer quel navigateur Web tu utilises (Safari, Konqueror, SeaMonkey, Opera, vieilles versions de FF ou d'IE…) ? Il est possible que la source de ces erreurs d'affichage vienne de là. Je vais poursuivre mes tentatives, n'hésites pas à me donner ton avis/d'autres remarques si besoin est ! Bonne chance ! [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 31 août 2008 à 03:59 (UTC) {|style="border:1px #008000 double; margin: .5em; margin-left:1em" align="right" |- | <div style="clear:both;" class="NavFrame" title="Afficher/Cacher "> <div class="NavHead" style="text-align:center; height: auto; width: auto" >[[Image:La molécule d'eau.PNG|La molécule d'eau|90px|center]]</div> <div class="NavContent" style="text-align:center;"> La molécule d'eau blablabla, blablabla, <br /> papoti & papota. Truc chose machin bidule. [[Image:La molécule d'eau.PNG|299px|center]] </div> <div class="NavEnd"> </div> </div> |} {|style="border:1px #008000 double; margin: .5em; margin-right:1em" align="left" |- | <div style="clear:both;" class="NavFrame" title="Afficher/Cacher "> <div class="NavHead" style="text-align:center; height: auto; width: auto" >[[Image:La molécule d'eau bipolaire.PNG|La molécule d'eau bipolaire|120px|center]]</div> <div class="NavContent" style="text-align:center;"> La molécule d'eau blablabla, blablabla, <br /> papoti & papota. Truc chose machin bidule. [[Image:La molécule d'eau bipolaire.PNG|center]] </div> <div class="NavEnd"> </div> </div> |} :::La nouvelle présentation fait bien apparaître en mode afficher la commande cacher.<br /> :::La nouvelle présentation mise dans [[Utilisateur:H'arnet/BàS|mon BàS]] ne met pas afficher à côté de la mignonnette (pas important sauf que cela diminuerait la hauteur en mode cacher) quoique cette dernière ne s'affiche plus sauf si les dimensions sont inférieures ou égales à 20px(???).<br /> :::La hauteur de l'image Molécule d'eau en mode cacher déborde sur le chapître suivant dans ta première proposition et décale le modifier de la partie suivante sur la gauche : c’est cela que j’aimerai éviter en réglant la taille en mode cacher. Crochet.david proposait une modification de l'image (plus large), j'en ai fait une autre respectant l'angle de 104° entre les liaisons qui a l'effet escompté mais il faut que je remplace l'image initiale (si possible) dans Commons.<br /> :::Mon navigateur Web est Internet explorer version 6 (du moins c’est ce qu’il me semble car avec la commande propriétés la version ne s'affiche pas). Donc, effectivement, l'instabilité des autres cadres à l'ouverture de l'un pourrait venir de mon navigateur : mais cela serait aussi le cas pour un certain nombre de visiteurs.<br /> :::Je vais travailler ta proposition en essayant déjà de comprendre sa syntaxe au travers de l'aide (dur dur !). J’ai avancé dans l’utilisation des tableaux (voir ma version allégée) mais j’ai du mal avec l'aide comme avec tous les manuels d’utilisation avec lesquels je ne comprends ce qu’ils veulent dire que quand j’ai réussi par approches successives à l'estime.<br /> :::Je n'hésite aucunement à montrer mes ignorances ou incapacités car c'est, pour moi, le seul moyen de pouvoir progresser : alors si tu me proposes de continuer à te casser les pieds avec mes petites lubies, tu ne vas pas en finir !{{Smiley|sourire}}<br /> :::Encore merci pour ton attention à mon travail : cela le mérite et comme c’est vraiment ce que que je pense alors je l'écris. (Non mais alors ! {{Smiley|sourire}})<br /> :::Cordialement.<br /> :::--[[Utilisateur:H&#39;arnet|H&#39;arnet]] 31 août 2008 à 09:09 (UTC) :Pour vérifier la version de ton navigateur, tu peux aller dans le menu Aide > À propos… Mais si c’est effectivement IE6, je ne pourrais pas tester mes propositions dessus (j’ai la version 8… difficile de revenir en arrière). Je travaillerai probablement en aveugle, donc. Près d'un quart des internautes utilisent encore le même navigateur que toi, il est donc important de corriger ce genre de problèmes en attendant qu’ils se mettent à jour. Le « débordage » peut se régler avec un {{m|clr}} je pense. Concernant la structure de ma proposition, elle est fort simple, mais l'aide ne te sera que d'un maigre secours. Puisque tu t'y intéresse, voici une explication : :* J’ai repris le code de la {{m|boîte déroulante}}, modèle qui fait appel à un code JavaScript de MediaWiki (<small>que c’est moi qu'ai fait, soit dit en passant, avec la bénédiction de {{u|RM77}}</small>). C'est donc, à la base, la même chose que {{m|BDdébut}} & {{m|BDfin}} que tu utilises dans ta première version. :* Ce code construit une boîte (<code>div</code>, classe <code>NavFrame</code>), dans laquelle (poupées russes) se trouvent trois autres boîtes : :**une boîte de titre (<code>NavHead</code>, contenant afficher/cacher) ; :**une boîte de contenu (<code>NavContent</code>, masquée, contenant le texte & les images) ; :**et une boîte de « clôture » (<code>NavEnd</code>). :* J’ai placé une image miniature dans la boîte de titre, elle apparaît donc à côté (ou au dessus) de « Afficher/Cacher ». :* J’ai placé l'image taille réelle dans la boîte de contenu, elle apparaît quand tu cliques sur « Afficher » & disparaît lorsque l’on clique sur « Cacher ». :* J’ai corrigé les paramètres de style CSS (<code>width: auto; height: auto</code>) ce qui fait que la boîte prend automatiquement la largeur & la hauteur de l'image en miniature, de sorte qu'elle ne dépasse pas. :* Enfin, j’ai inclus le tout (poupées russes, encore) dans un tableau wiki, afin de mettre une bordure & d'éloigner un peu le texte (<code>margin</code>). :J’ai conscience que ces « explications » peuvent demeurer obscures, malheureusement, mais c’est un résumé du peu de « travail » que j’ai fourni. Il n'y a aucune honte à ne pas s'en sortir avec ce truc (j'avais essayé, il y a longtemps, de bidouiller les boîtes déroulantes… CSS+JavaScript+Wiki+… plus rien ne marchait, j’avais fini par ne laisser qu'une modif je crois, celle consistant à pouvoir modifier le message Afficher/Masquer), très honnêtement. Je n'ai pour ma part aucun problème à essayer de t'aider ou de t'expliquer, dans la mesure ou ce que tu cherches à faire a probablement une bonne raison d’être & servira je pense d'autres personnes motivées. En résumé, n'hésite pas à me râler dessus ou à me demander explications ou adaptations, c’est loin d’être casse-pieds ! {{Smiley|sourire}} [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 31 août 2008 à 09:36 (UTC) == Et encore == Salut ! J’ai continué mes recherches au sujet de ton idée, mais j'admets avoir quelques difficultés : en effet, si mes modifications sont correctement prises en compte par des navigateurs comme Firefox et Safari, elles donnent un résultat presque aléatoire sous Internet Explorer… Dans l'état actuel des choses, le code nettoyé donne le résultat [[User:Sharayanan/tmp|que voici]], impeccable sous Firefox (le texte n’est pas déplacé, les paragraphes demeurent lisibles, pas d'interactions entre les cadres…) — mais sous IE8, j’ai des gros pâtés qui s'étalent sur toute la largeur de l'écran… Je vais continuer à chercher, malgré tout (à vaincre sans péril…), j'aimerais juste savoir comment la page que je t'ai indiquée s'affiche chez toi et si tu y retrouves les problèmes évoqués plus haut, que je sache ce qui a été corrigé ou pas. D'avance, merci ! [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 31 août 2008 à 15:36 (UTC) :J’ai passé un petit moment dans mon BàS pour modifier la partie personnelle en version allégée. J’ai modifié quelques points de présentation (couleur du cadre, dimension des images). J’ai modifié l'image "la molécule d'eau" sur Commons et donc c’est la nouvelle qui apparaît dans le Bac à sable (plus carrée). J’ai rajouté une image sur l'agencement des molécules d'eau et j’ai inversé la postion droite gauche des deux autres. J’ai modifié en prenant exemple sur ta syntaxe le détourage en mettant une marge du côté texte et pas du côté du bord de la page : cela semble bien fonctionner. Par contre toujours la descente des images précédentes à l'ouverture de l'une : si on fait un rafraichissement de la page cela arrive que ce soit plus stable.<br /> :Ce que tu m'as proposé ici sans le texte je l'ai copié dans mon BàS et en ajoutant mon texte pour donner une situation plus réelle : les migonnettes ne s'affichaient pas. J’ai diminué la taille de la première mignonnette et elle est apparue (petite mais là). Comme le résultat n'était pas probant je n'ai fait aucune modification de la deuxième donc qui avec mon matériel ne s'affiche pas (bien entendu le cadre s'affiche ainsi que le bouton Afficher qui est fonctionnel : mais à l'ouverture les mignonnettes n'apparaissent plus (c'est pas plus mal sauf qu’il y a un grand blanc à la place) même dans la première après modification pour son affichage en mode cacher.<br /> :Je te sais gré de m'avoir détaillé ton bloc proposé, cela me sera utile car sans l'avoir j’avais beaucoup de mal à faire des modifs sur eux et c’est pourquoi j’ai fait plus de recherches sur ma version (enfin plus de modifs intéressantes conservées que pour tes cadres pour lesquels je n'ai eu que des échecs). Détrompe moi si je me trompe mais "NaviHead" cela cache quelques groupes de syntaxe ! Si oui c’est peut-être à ce niveau que je ne peux pas faire les modifs que je recherche. Idem pour les boîtes déroulantes, le modèle est pleine page ou plein tableau d'où l'obligation pour limiter sa largeur (c'est mon point de départ) de la mettre dans un tableau pour limiter et contrôler sa largeur : s'il était possible de créer un modèle de boîte déroulante à la fois flottante, occupant qu'une partie de la page et réglable en largeur, il ne serait plus utile de la mettre dans un tableau ce qui allégerait la syntaxe et donnerait plus de stabilité avec les vieux navigateurs. C'est une idée : à voir !<br /> :Pour ce qui est de l'échange et le travail en commun, j’ai choisi une icône pour ma page discussion de mon BàS sur ma page utilisateur qui, pour moi, montre bien la coopération et son importance pour que la machine Wiki marche. Alors outre le plaisir de partager et de communiquer, je suis un peu piqué au vif (comme toi) par les difficultés qui n'existent que tant qu’elles ne sont pas surmontées.<br /> :Demain c’est la rentrée des profs (beuh !), ne t'étonne pas alors si je reste silencieux la plus grande partie de la journée.<br /> :Cordialement. :--[[Utilisateur:H&#39;arnet|H&#39;arnet]] 31 août 2008 à 19:49 (UTC) ::Désolé pour la sécheresse de ma réponse, mais j’ai peu de temps, alors je vais vite {{Smiley|sourire}}. Oui, « <code>NavHead</code> » cache du code (en [[w:JavaScript|JavaScript]] et que seuls les admins peuvent modifier). « S'il était possible de créer un modèle de boîte déroulante à la fois flottante, occupant qu'une partie de la page et réglable en largeur »… c’est déjà le cas ! (paramètres <code>float</code> et <code>width</code>, respectivement…) Seulement, pour une mystérieuse raison, ça ne s'affiche pas correctement sur certains navigateurs (Internet Explorer… il me semble que c’est le seul). Bon courage pour la rentrée des profs ! {{Smiley|sourire}} [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 1 septembre 2008 à 05:50 (UTC) == Nouvelle proposition cadres compléments == Une proposition pour des cadres compléments avec boîte déroulante. [[Utilisateur:H'arnet/BàS#Une ébauche pour ouvrir une fenêtre déroulante de compléments|Voir]]<br /> L'instabilité des cadres précédents existe toujours comme avec ceux des cadres images.<br /> Toutefois, j’ai pu remarquer qu'après ouverture de la page, si on l'actualise par la fonction du navigateur alors l'instabilité précédente disparaît (avec Internet Explorer 6). Ce constat pourrait-il déboucher sur la compréhension et la rectification du "bug" ?<br /> En se mettant dans un contexte de zone d'affichage.<br /> Serait-il possible d’avoir deux façons d'afficher dans la zone : * l'une correspondant à la commande cacher (zone d'affichage restreinte), * l'autre correspondant à la commande afficher avec une zone d'affichage étendue ?<br /> Affichage restreint : {|style="border:2px #BA8033 double; margin-right:2em; margin-left:0em" align="left" |- |Width="50"|[[Image:Dossier couleur prune.PNG|50px]] | |Align="right"; valign="top"|Afficher |} {{clr}} Affichage étendu : {|style="border:2px #BA8033 double; margin-right:2em; margin-left:0em" align="left" |- |Width="50"; valign="top"|[[Image:Dossier couleur prune ouvert.PNG|50px|center]] |Width="300"|Complément du chapître de la leçon en développant complètement le domaine d'application du phénomène décrit dans le chapître pour servir d'illustration aux lecteurs comme il sied à une bonne leçon des niveaux inférieurs. (Cela s’appelle du remplissage pour le plaisir du remplissage.)<br /> Possibilité de mettre des paragraphes voire une image [[Image:Dossier couleur jaune.PNG|100px]][[Image:Dossier couleur jaune ouvert.PNG|100px]] Et l’on mettra le bouton "cacher" en bas car c’est quand on a fini de lire le complément qu’il devient nécessaire de cacher la zone d'affichage étendue ! |Align="right"; valign="bottom"|Cacher |} {{clr}} Cela permettrait de régler de façon indépendante les deux modalités, avec notamment la possibilité de n'afficher que le texte en mode afficher sans avoir encore l' "icone" (l'image) qui apparaît en mode cacher ou comme rappel qu'on est en complément mais alors pas sur une ligne au-dessus mais dans la même ligne à droite et en haut (méthode employée ci-dessus).<br /> Pour éventuellement créer un modèle il faudrait permettre le paramètrage de l’affichage pour chacune des modaliés et les éléments à y afficher.<br /> --[[Utilisateur:H&#39;arnet|H&#39;arnet]] 7 septembre 2008 à 13:37 (UTC) 3g7gipu2adjgq5mqqa7j599n33fshk6 0 19090 986189 752920 2026-09-02T17:44:04Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986189 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 9 | précédent = [[../Suite de points/]] | suivant = [[../Fonction complexe/]] | niveau = 13 }} __TOC__ {{Clr}} == Exercice 9-1 == Dans le plan orienté, soit <math>OAB</math> un triangle rectangle isocèle de sommet <math>O</math> et d'angle au sommet : :<math>(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\frac{\pi}2</math>. À partir de chaque point <math>M</math> du segment <math>[AB]</math>, on construit les points <math>P</math> et <math>Q</math>, projetés orthogonaux respectifs de <math>M</math> sur les droites <math>(OA)</math> et <math>(OB)</math> et les points <math>R</math> et <math>S</math>, sommets du carré <math>PRQS</math> de diagonale <math>[PQ]</math> avec : :<math>(\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS})=\frac{\pi}2</math>. Déterminer les lieux de <math>R</math> et <math>S</math> lorsque le point <math>M</math> décrit <math>[AB]</math>. {{Solution|contenu= En notant en minuscules les affixes, on peut supposer <math>a=1</math>, <math>o=0</math> et <math>b=\mathrm i</math>. Alors, :<math>p\in[0,1]</math>, <math>q=\mathrm i\left(1-p\right)</math>, <math>q-p=\left(1+\mathrm i\right)\left(r-p\right)=\left(1-\mathrm i\right)\left(s-p\right)</math>. :<math>r=\frac{q-p}{1+\mathrm i}+p=\frac{\mathrm i}{1+\mathrm i}=\frac{1+\mathrm i}2</math> donc <math>R</math> reste au milieu du segment <math>[A,B]</math>. :<math>s=\frac{q-p}{1-\mathrm i}+p=\frac{\mathrm i}{1-\mathrm i}\left(1-2p\right)=\frac{-1+\mathrm i}2\left(1-2p\right)=p+q-\frac{1+\mathrm i}2</math> donc <math>S</math> parcourt le segment de milieu <math>O</math> translaté de <math>[A,B]</math>. }} == Exercice 9-2 == Le plan est muni d'un repère orthonormal direct <math>(O;\vec u,\,\vec v)</math>. À tout point <math>M</math> d'affixe <math>Z</math> différente de <math>1</math>, on associe le point <math>M'</math> d'affixe : :<math>Z'=\frac{1+Z}{1-Z}</math>. '''1°''' Calculez les coordonnées <math>X'</math> et <math>Y'</math> de <math>M'</math> en fonction des coordonnées <math>X</math> et <math>Y</math> de <math>M</math>. '''2°''' Soit <math>D</math> la droite d'équation <math>x=0</math>. :Soit <math>\Gamma</math> le cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>1</math>. :Montrez que, lorsque <math>M</math> décrit la droite <math>D</math>, <math>M'</math> se déplace sur le cercle <math>\Gamma</math>. '''3°''' '''a)''' Montrer que, lorsque <math>M</math> décrit le cercle <math>\Gamma</math> privé du point <math>A</math> d'affixe <math>1</math>, <math>M'</math> se déplace sur une droite. ::Précisez cette droite. :'''b)''' Montrez que si le point <math>M</math> est un point de <math>\Gamma</math> différent de <math>A</math>, alors les points <math>A</math>, <math>M</math> et <math>M'</math> sont alignés. Déduisez-en, dans ce cas, une construction de <math>M'</math> connaissant <math>M</math>. {{Solution|contenu= '''1°''' <math>Z'=\frac{1+X+\mathrm iY}{1-X-\mathrm iY}=\frac{\left(1+X+\mathrm iY\right)\left(1-X+\mathrm iY\right)}{\left(1-X\right)^2+Y^2}=\frac{\left(1+\mathrm iY\right)^2-X^2}{\left(1-X\right)^2+Y^2}</math> donc :<math>X'=\frac{1-X^2-Y^2}{\left(1-X\right)^2+Y^2}</math> et <math>Y'=\frac{2Y}{\left(1-X\right)^2+Y^2}</math>. '''2°''' <math>\left|\frac{1+0+\mathrm iY}{1-0-\mathrm iY}\right|=1</math>. '''3°''' '''a)''' D'après la question 1, <math>X^2+Y^2=1\Rightarrow X'=0</math>. Donc quand <math>M\in\Gamma</math>, <math>M'\in D</math>. :'''b)''' D'après la question 1, <math>X^2+Y^2=1\Rightarrow Y=\left(1-X\right)Y'</math>. Donc quand <math>M\in\Gamma</math>, <math>M=XA+\left(1-X\right)M'</math>. Dans ce cas, <math>M'\in D\cap(AM)</math>. }} == Exercice 9-3 == Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'origine <math>O</math>. Soit <math>A</math> un point, d'affixe <math>a\ne0</math>, et soit <math>ABC</math> le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre <math>O</math>, de rayon <math>OA</math> et tel que <math>(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac\pi3</math>. '''1°''' Déterminez, en fonction de <math>a</math>, les affixes <math>b</math> et <math>c</math> des points <math>B</math> et <math>C</math>. '''2°''' Soit <math>M</math> le point d'affixe <math>z=a^3</math>. :Déterminez les points <math>A</math> tels que <math>M</math> est le milieu de <math>[BC]</math>. '''3°''' On suppose, dans cette question, que <math>A</math> décrit le cercle de centre le point <math>I</math> d'affixe <math>\mathrm i</math> et de rayon <math>2</math>. :Déterminez l’ensemble des points <math>N</math> tels que <math>ABNC</math> est un losange. {{Solution|contenu= '''1°''' <math>b=\mathrm ja</math> et <math>c=\mathrm j^2a</math>, avec <math>\mathrm j=\operatorname e^{\frac{2\mathrm i\pi}3}</math>. '''2°''' <math>1+\mathrm j+\mathrm j^2=0</math> donc <math>a^3=\frac{\mathrm ja+\mathrm j^2a}2\Leftrightarrow2a^3=-a\Leftrightarrow a=\pm\frac{\mathrm i}{\sqrt2}</math>. '''3°''' <math>n=a+(b-a)+(c-a)=b+c-a=-2a</math> donc quand <math>A</math> décrit le cercle de centre <math>I</math> et de rayon <math>2</math>, <math>N</math> décrit celui de centre le point d'affixe <math>-2\mathrm i</math> et de rayon <math>4</math>. }} == Exercice 9-4 == Le plan est muni d'un repère orthonormal direct. '''1°''' Quels sont le module et l'argument de <math>z_0:=\frac{-1+\mathrm i}{\sqrt2}</math> ? '''2°''' Représentez dans le plan, les points <math>A</math> d'affixe <math>1</math>, <math>M_0</math> d'affixe <math>z_0+1</math> et <math>M'_0</math> d'affixe <math>z_0^2+2</math>. :Montrez que ces trois points sont alignés. '''3°''' Déterminez l'ensemble des points <math>P</math> d'affixe <math>z</math> tels que les points <math>A</math> d'affixe <math>1</math>, <math>M</math> d'affixe <math>z+1</math> et <math>M'</math> d'affixe <math>z^2+2</math> sont alignés. {{Solution|contenu= '''1°''' <math>|z_0|=1</math> et <math>\arg z_0=\frac{3\pi}4</math>. '''2°''' <math>(z_0^2+2)-1=1-\mathrm i=\frac{-1}{\sqrt2}\left((z_0+1)-1\right)</math>.{{...}} '''3°''' Si <math>P=O</math> alors <math>M=A</math>. Sinon, l'alignement se traduit par <math>\frac{(z^2+2)-1}{(z+1)-1}\in\R</math>, c'est-à-dire <math>z+\frac1z\in\R</math>. En posant <math>z=r\operatorname e^{\mathrm i\theta}</math>, la condition se réécrit : :<math>r\operatorname e^{\mathrm i\theta}+\frac1r\operatorname e^{-\mathrm i\theta}=r\operatorname e^{-\mathrm i\theta}+\frac1r\operatorname e^{\mathrm i\theta}</math>, ou encore : <math>\left(r-\frac1r\right)\sin\theta=0</math>. :L'ensemble des solutions est donc l'union du cercle unité et de l'axe réel. }} == Exercice 9-5 == Soient <math>f,g:\Complex\to\Complex</math>, définies par : :<math>f(z)=\left(1+\mathrm i\right)\bar z-2</math> et <math>g(z)=\mathrm i\bar z+2+\mathrm i</math>. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine <math>O</math>. '''1°''' Pour tout point <math>M(z)</math> du plan, on note <math>M_1</math> le point d'affixe <math>f(z)</math> et <math>M_2</math> celui d'affixe <math>g(z)</math>. :Déterminez une équation cartésienne de l’ensemble <math>E</math> des points <math>M</math> tels que <math>O</math>, <math>M_1</math> et <math>M_2</math> sont alignés '''2°''' Soit <math>A</math> le point d'affixe <math>\frac32\left(1-\mathrm i\right)</math>. Déduisez de la question précédente que <math>E</math> est l’ensemble des points <math>M</math> tels que <math>2AM^2=13</math>. Représentez alors <math>E</math>. '''3°''' '''a)''' Calculez l'affixe du barycentre <math>G</math> des points <math>M</math>, <math>M_1</math> et <math>M_2</math> affectés respectivement des coefficients <math>1</math>, <math>1</math> et <math>-1</math>. :'''b)''' Montrer que <math>G</math> décrit une droite fixe lorsque <math>M</math> décrit le plan. {{Solution|contenu= '''1°''' <math>f(z)\overline{g(z)}=\left(\left(1+\mathrm i\right)\bar z-2\right)\left(-\mathrm iz+2-\mathrm i\right)\in\R\Leftrightarrow x^2+y^2-3x+3y-2=0</math>. '''2°''' <math>AM^2-\frac{13}2=\left(x-\frac32\right)^2+\left(y+\frac32\right)^2-\frac{13}2=x^2-3x+\frac94+y^2+3y+\frac94-\frac{13}2=x^2+y^2-3x+3y+\frac{9-13}2</math>. '''3°''' '''a)''' <math>\frac{z+f(z)-g(z)}{1+1-1}=z+(1+\mathrm i)\bar z-2-\mathrm i\bar z-2-\mathrm i=z+\bar z-4-\mathrm i</math>. :'''b)''' <math>G</math> décrit la droite d'équation <math>y=-1</math>. }} == Exercice 9-6 == Le plan <math>P</math> est muni d'un repère orthonormal d'origine <math>O</math>. Soit <math>f</math> l’application de <math>P</math> dans <math>P</math> qui au point d'affixe <math>z</math> associe le point d'affixe <math>z'=2z+\mathrm iz\bar z</math>. '''1°''' Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'ordonnée nulle. '''2°''' Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'abscisse nulle. '''3°''' Déterminez et construisez l'image du cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>1</math>. {{Solution|contenu= '''1°''' C'est l'ensemble des points d'affixe <math>2s+\mathrm is^2</math> avec <math>s\in\R</math>, c'est-à-dire la parabole d'équation <math>y=\left(\frac x2\right)^2</math>. '''2°''' C'est l'ensemble des points d'affixe <math>2\mathrm it+\mathrm it^2=\mathrm i\left((t+1)^2-1\right)</math> avec <math>t\in\R</math>, c'est-à-dire la demi-droite d'équation <math>x=0,y\ge-1</math>. '''3°''' C'est le cercle de rayon <math>2</math> centré au point d'affixe <math>\mathrm i</math>. {{...}} }} == Exercice 9-7 == Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct <math>(O;\vec u,\,\vec v)</math>, on note <math>A</math> le point d'affixe <math>\mathrm i</math>. À tout point <math>M</math> du plan, distinct de <math>A</math>, on associe le point <math>M'</math> d'affixe <math>z'=\frac{\mathrm iz}{z-\mathrm i}</math>. '''1°''' Déterminez les points <math>M</math> tels que <math>M'=M</math>. '''2°''' Déterminez l'ensemble <math>\Gamma</math> des points <math>M</math>, distincts de <math>A</math>, tels que <math>M'</math> soit sur la droite <math>(O;\vec u)</math>. '''3°''' Soit <math>z</math> un nombre complexe différent de <math>\mathrm i</math> : :'''a)''' montrez que <math>z'-\mathrm i=\frac{-1}{z-\mathrm i}</math> ; :'''b)''' déterminez le lieu géométrique du point <math>M'</math>, lorsque <math>M</math> décrit le cercle de centre <math>A</math> et de rayon <math>1</math>. {{Solution|contenu= '''1°''' <math>z=\frac{\mathrm iz}{z-\mathrm i}\Leftrightarrow z=0</math> ou <math>2\mathrm i</math>. '''2°''' <math>\frac{-y+\mathrm ix}{x+\mathrm i\left(y-1\right)}\in\R\Leftrightarrow x^2=-y\left(y-1\right)\Leftrightarrow x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14</math> donc <math>\Gamma</math> est le cercle de rayon <math>\frac12</math> centré au point de coordonnées <math>\left(0,\frac12\right)</math>. '''3° a)''' <math>\frac{\mathrm iz}{z-\mathrm i}-\mathrm i=\frac{\mathrm iz-\mathrm iz+\mathrm i^2}{z-\mathrm i}</math>. :'''b)''' D'après a), l'image de ce cercle est lui-même. }} == Exercice 9-8 == Le plan est muni d'un repère orthonormal direct. <math>P^*</math> désigne le plan privé de l'origine <math>O</math> ; <math>a</math> est un réel strictement positif. Soit <math>T:P^*\to P^*</math> l'application qui à tout point d'affixe <math>z</math> associe le point d'affixe <math>z'=\frac{\mathrm ia^2}z</math>. '''1°''' '''a)''' Prouvez que <math>T</math> est [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection#Application réciproque d’une application bijective|involutive]] (c'est-à-dire <math>T\circ T=\mathrm{Id}_{P^*}</math>). :'''b)''' Cherchez ses points invariants. '''2°''' Prouvez que <math>M'=T(M)</math> équivaut à : :<math>OM\times OM'=a^2</math> et <math>(\vec u,\overrightarrow{OM})+(\vec u,\overrightarrow{OM'})\equiv\frac\pi2\bmod{2\pi}</math>. '''3°''' Quelle est l'image par <math>T</math> : :'''a)''' d'un cercle de centre <math>O</math> ? :'''b)''' d'une droite passant par <math>O</math>, privée de <math>O</math> ? {{Solution|contenu= '''1°''' '''a)''' Si <math>z'=\frac{\mathrm ia^2}z</math> alors <math>\frac{\mathrm ia^2}{z'}=z</math>. :'''b)''' <math>z^2=\mathrm ia^2\Leftrightarrow z=\pm a\operatorname e^{\frac{\mathrm i\pi}4}</math>. '''2°''' <math>zz'=\mathrm ia^2\Leftrightarrow|z||z'|=a^2\text{ et }\arg z+\arg z'\equiv\frac\pi2\bmod{2\pi}</math>. '''3°''' D'après la question précédente : :'''a)''' l'image du cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>r</math> est le cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>\frac{a^2}r</math> ; :'''b)''' l'image d'une droite passant par <math>O</math> (privée de <math>O</math>) est sa symétrique par rapport à la droite d'équation <math>y=x</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Suite de points/]] | suivant = [[../Fonction complexe/]] }} lavtlv4b07fu54n4zxpjgyea6rm5rix 0 19442 986190 954526 2026-09-02T17:44:14Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986190 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Étude de l'anneau Z8/]] | niveau = 14 }} {{clr}} == Exercice 1== Soit A un anneau tel que <math>\forall x\in A, x^2=x</math>. # Montrer que <math>\forall x\in A, x+x=0</math>. # En déduire que A est commutatif. {{Solution | contenu = '''1.''' Soit <math>x\in A</math>. <math>\begin{align} 1+x&=(1+x)^2\\&=1+x+x+x^2\\&=(1+x)+x+x \end{align}</math> Donc <math>\forall x\in A,~x+x=0</math> '''2.''' Soit <math>(x,y)\in A^2</math> <math>\begin{align}x+y&=(x+y)^2\\&=x^2+xy+yx+y^2\\&=x+y+xy+yx\end{align}</math> Donc <math>xy=-yx</math>. Or, d’après la question 1, <math>\forall t\in A,t=-t</math> Donc <math>\forall(x,y)\in A^2,~xy=yx</math>, donc ''A'' est commutatif.}} == Exercice 2== Soient <math>A</math> un anneau et <math>x,y\in A</math> tels que <math>1-yx</math> soit inversible. Montrer que <math>1-xy</math> est inversible. {{Solution|contenu= L'inverse <math>z</math> de <math>1-yx</math> est caractérisé par : :<math>zxy=xyz=z-1</math>, ce qui, en multipliant à gauche par <math>y</math> et à droite par <math>x</math>, implique : :<math>(yzx)(yx)=(yx)(yzx)=yzx-yx</math> ou encore, en posant <math>t=yzx+1</math> : :<math>tyx=yxt=t-1</math>. Cela prouve que <math>1-xy</math> est inversible, d'inverse <math>t</math>. }} ==Exercice 3== Soient ''A'' un anneau intègre et ''a'' un élément non nul de ''A''. #Dans l'anneau de polynômes ''A''[''X''], montrer que le seul idéal principal contenant ''a'' et ''X'' est l'anneau ''A''[''X''] tout entier. #Montrer que si l'idéal (''X'', ''a'') est égal à ''A''[''X''] alors ''a'' est inversible. #En déduire que si ''a'' n'est pas inversible alors l'idéal (''X'', ''a'') n'est pas principal. #En déduire que si ''A'' n'est pas un corps alors l'anneau ''A''[''X''] n'est pas principal. {{Solution|contenu= #Soit (''P'') un idéal principal contenant ''a'' et ''X''. Le polynôme ''P'' est constant (car ''P'' divise ''a'') et de coefficient inversible (car ''P'' divise ''X'') donc ''P'' est un élément inversible de ''A'', si bien que (''P'') = (1) = ''A''[''X'']. #Si (''X'', ''a'') est égal à ''A''[''X''], il existe deux polynômes ''U'' et ''V'' tels que 1 = ''XU + aV'' donc 1 = ''aV''(0). #Si l'idéal (''X'', ''a'') est principal alors, d'après les deux questions précédentes, ''a'' est inversible. #Si ''A'' n'est pas un corps, il contient un élément ''a'' non nul et non inversible. }} ==Exercice 4== Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide <math>\left(a_i\right)_{i\in I}</math> d'éléments et pour tout élément non nul <math>k</math> : *<math>\operatorname{ppcm}\left({\left(ka_i\right)_{i\in I}}\right)</math> existe si et seulement si <math>\operatorname{ppcm}\left({\left(a_i\right)_{i\in I}}\right)</math> existe ; *dans ce cas, <math>\operatorname{ppcm}\left({\left(ka_i\right)_{i\in I}}\right)=k\operatorname{ppcm}\left({\left(a_i\right)_{i\in I}}\right)</math>. {{Solution|contenu=(Toutes les égalités sont à prendre ici au sens « à produit près par un inversible ».) *Supposons que <math>\operatorname{ppcm}\left({\left(a_i\right)_{i\in I}}\right)=m</math> et montrons que <math>km</math> est un ppcm des <math>ka_i</math>, c'est-à-dire qu'un élément est multiple de tous les <math>ka_i</math> si et seulement s'il est multiple de <math>km</math>.<br />S'il est multiple d'un <math>ka_i</math> ou de <math>km</math>, il est divisible par <math>k</math>, donc de la forme <math>ky</math> pour un certain <math>y</math>. On conclut grâce à la suite d'équivalences : *:<math>ky</math> est multiple de tous les <math>ka_i\Leftrightarrow</math> *:<math>y</math> est multiple de tous les <math>a_i\Leftrightarrow</math> *:<math>y</math> est multiple de <math>m\Leftrightarrow</math> *:<math>ky</math> est multiple de <math>km</math>. *Réciproquement, supposons que <math>\operatorname{ppcm}\left({\left(ka_i\right)_{i\in I}}\right)</math> existe.<br />Puisqu'il est multiple d'un <math>ka_i</math>, il est divisible par <math>k</math>, donc de la forme <math>km</math> pour un certain <math>m</math>. Alors, pour tout élément <math>y</math> de l'anneau, on a : *:<math>y</math> est multiple de tous les <math>a_i\Leftrightarrow</math> *:<math>ky</math> est multiple de tous les <math>ka_i\Leftrightarrow</math> *:<math>ky</math> est multiple de <math>km\Leftrightarrow</math> *:<math>y</math> est multiple de <math>m</math>, :ce qui prouve que <math>m</math> est un ppcm des <math>a_i</math>. }} ==Exercice 5== On se place dans un anneau (commutatif, intègre) [[w:Anneau à PGCD|à PGCD]], c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls <math>x</math> et <math>y</math> possèdent toujours un ppcm, noté <math>x\lor y</math>, [[Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-1|donc aussi un pgcd]], <math>x\land y:=\frac{xy}{x\lor y}</math>. On note <math>\sim</math> la relation d'[[w:éléments associés dans un anneau|association]] (deux éléments sont associés si l'un est produit de l'autre par un inversible). On rappelle que [[Arithmétique/PGCD#Propriétés du PGCD|le pgcd vérifie]] : <math>\left(x\land y\right)z\sim(xz)\land(yz)</math>. On va démontrer, pour tous éléments non nuls <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> : <div style="text-align: center;"><math>a\land\left(b\lor c\right)\sim\left(a\land b\right)\lor\left(a\land c\right)</math>.</div> '''1°''' Montrer que le membre de gauche est associé à <math>\frac{ab\land ac\land bc}{b\land c}</math> et celui de droite à <math>\frac{(a\land b)(a\land c)}{a\land b\land c}</math>. '''2°''' Vérifier que <math>\left(ab\land ac\land bc\right)\left(a\land b\land c\right)</math> et <math>(a\land b)(a\land c)(b\land c)</math> sont associés, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes. '''3°''' A-t-on également <div style="text-align: center;"><math>a\lor\left(b\land c\right)\sim\left(a\lor b\right)\land\left(a\lor c\right)</math> ?</div> {{Solution|contenu= '''1°''' <math>a\land\left(b\lor c\right)\sim\frac{ab\land ac}{b\land c}\land\frac{bc}{b\land c}\sim\frac{ab\land ac\land bc}{b\land c}</math> et <math>\left(a\land b\right)\lor\left(a\land c\right)\sim\frac{\left(a\land b\right)\left(a\land c\right)}{\left(a\land b\right)\land\left(a\land c\right)}\sim\frac{(a\land b)(a\land c)}{a\land b\land c}</math>. '''2°''' :<math>\begin{align}\left(ab\land ac\land bc\right)\left(a\land b\land c\right)&\sim\left(ab\left(a\land b\land c\right)\right)\land\left(ac\left(a\land b\land c\right)\right)\land\left(bc\left(a\land b\land c\right)\right)\\ &\sim a^2b\land ab^2\land abc\land a^2c\land abc\land ac^2\land abc\land b^2c\land bc^2\\ &\sim a^2b\land ab^2\land a^2c\land ac^2\land b^2c\land bc^2\land abc\end{align} </math> :et :<math>\begin{align}(a\land b)(a\land c)(b\land c)&\sim(a\land b)\left(a(b\land c)\right)\land\left(c(b\land c)\right)\\ &\sim(a\land b)\left(ab\land ac \land bc\land c^2\right)\\ &\sim\left(a\left(ab\land ac\land bc\land c^2\right)\right)\land\left(b\left(ab\land ac\land bc\land c^2\right)\right)\\ &\sim a^2b\land a^2c\land abc\land ac^2\land ab^2\land abc\land b^2c\land bc^2\\ &\sim a^2b\land ab^2\land a^2c\land ac^2\land b^2c\land bc^2\land abc.\end{align} </math> '''3°''' Oui, par la même méthode, ou simplement parce que dans un [[Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z|treillis]], si l'une des deux lois <math>\land</math> ou <math>\lor</math> est distributive par rapport à l'autre, la seconde est également distributive par rapport à la première. }} ==Exercice 6== Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie. {{Solution|contenu= Si <math>\left(X\right)=\left(d\right)</math>, il existe <math>Y</math> fini inclus dans <math>X</math> tel que <math>d\in\left(Y\right)</math> donc tel que <math>\left(X\right)\subset\left(Y\right)</math>, d'où l'égalité. }} ==Exercice 7== Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux éléments d'un anneau, tels que : *<math>ab+ba=1</math> ; *<math>a^2b+ba^2=a</math>. Montrer que : #<math>a^2b=ba^2</math> #<math>2aba=a</math> #<math>a</math> est inversible, d'inverse <math>2b</math>. {{Solution|contenu= #En utilisant deux fois la première hypothèse, <math>a^2b=a(1-ba)=a-aba=(1-ab)a=ba^2</math>. #La seconde devient, par le même calcul : <math>a=2(a-aba)</math> donc <math>a=2aba</math>. #<math>b</math> commute à lui-même et à <math>a^2</math>, donc à <math>2a^2b=a</math>, et <math>1=ab+ba=(2b)a</math>. }} ==Exercice 8== Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux éléments inversibles d'un anneau, tels que <math>a+b=1</math> et <math>a^{-1}+b^{-1}=1</math>. Montrer que : # <math>ab=ba=1</math> ; # <math>a^2=a-1</math> ; # <math>a^3=-1</math>. {{Solution|contenu= #<math>b=b\left(a^{-1}+b^{-1}\right)=ba^{-1}+1=\left(b+a\right)a^{-1}=a^{-1}</math>. #<math>a^2+1=a\left(a+a^{-1}\right)=a\left(a+b\right)=a</math>. #<math>a^3=a\left(a-1\right)=\left(a-1\right)-a=-1</math>. }} ==Exercice 9== Soit <math>(A,+,\cdot)</math> un anneau commutatif. On note <math>B=\{x\in A\mid x^2=x\}</math>. #Vérifier que <math>\forall x\in B\quad1-x\in B</math>. #On pose <math>x\circ y=x+y-2xy</math>. Montrer que <math>\circ</math> est une loi de composition interne sur <math>B</math> et que <math>(B,\circ,\cdot)</math> est un anneau commutatif unitaire. {{Solution|contenu= #Immédiat. #Si <math>x,y\in B</math> alors <math>x\circ y=(x-y)^2</math> donc <math>(x\circ y)^2=(x-y)^4=x-4xy+6xy-4xy+y=x\circ y</math>. Donc <math>B</math> est stable par <math>\circ</math>, et bien sûr aussi par <math>\cdot</math>. Ces deux lois sur <math>B</math> sont commutatives et admettent 1 pour neutre. Tout élément <math>x</math> de <math>B</math> a un symétrique dans <math>B</math> pour <math>\circ</math> : l'élément <math>1-x</math>.<br />Il reste à vérifier que <math>\circ</math> est associative et que <math>\cdot</math> est distributive par rapport à <math>\circ</math> : soient <math>x,y,z\in B</math> ; #*associativité : <math>\left(x\circ y\right)\circ z=(x+y-2xy)+z-2(x+y-2xy)z=x+y+z-2(xy+xz+yz)+4xyz=x+(y+z-2yz)-2x(y+z-2yz)=x\circ\left(y\circ z\right)</math>. #*distributivité : <math>xz\circ yz=xz+yz-2xzyz=xz+yz-2xyz=(x+y-2xy)z=\left(x\circ y\right)z</math>. }} ==Exercice 10== {{Wikipédia|Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques}} Soient un entier <math>f\le-2</math> et <math>\omega,\overline\omega</math> les deux solutions complexes de <math>z^2-z-f=0</math>. On désigne par <math>\Z[\omega]</math> l'ensemble des nombres complexes de la forme <math>p+q\omega</math> où <math>(p,q)\in\Z^2</math>. #Calculer <math>\omega+\overline\omega</math> et <math>\omega\overline\omega</math>. #Montrer que <math>\Z[\omega]</math> est un sous-anneau de <math>\Complex</math> stable par conjugaison. #Montrer que <math>\forall z\in\Z[\omega]\quad z\bar z\in\N</math>. #Montrer qu'un élément <math>p+q\omega</math> est inversible dans <math>\Z[\omega]</math> si et seulement si <math>p^2+pq-fq^2=1</math>. #En déduire que les seuls éléments inversibles de <math>\Z[\omega]</math> sont <math>1</math> et <math>-1</math>. {{Solution|contenu= #<math>\omega+\overline\omega=1</math> et <math>\omega\overline\omega=-f</math>. #<math>\Z[\omega]</math> est évidemment stable par somme et opposés et contient 0 et 1. Il est aussi stable par produit et conjugaison, car il contient <math>\omega^2=f+\omega</math> et <math>\overline\omega=1-\omega</math>. #L'entier <math>(p+q\omega)(p+q\overline\omega)=p^2+pq(\omega+\overline\omega)+q^2\omega\overline\omega=p^2+pq-fq^2</math> est positif car supérieur à <math>p^2+pq+q^2</math>. #Si <math>p^2+pq-fq^2=1</math> alors <math>p+q\omega</math> est inversible dans <math>\Z[\omega]</math>, d'inverse <math>p+q\overline\omega</math>. Réciproquement, si <math>z=p+q\omega</math> est inversible dans <math>\Z[\omega]</math>, d'inverse <math>z'=p'+q'\omega</math>, alors <math>(p^2+pq-fq^2)(p'^2+p'q'-fq'^2)=z\overline zz'\overline{z'}=zz'\overline{zz'}=1</math> donc l'entier positif <math>p^2+pq-fq^2</math>, divisant 1, est égal à 1. #Si <math>1=p^2+pq-fq^2=(p+q/2)^2-(f+1/4)q^2\ge-(f+1/4)q^2\ge7q^2/4</math> alors <math>q=0</math> donc <math>p=\pm1</math>. }} ==Exercice 11== Soit <math>K</math> un corps commutatif. Dans l'anneau <math>K[X,Y,Z]/\langle X(1-YZ)\rangle</math>, on note <math>x,y,z</math> les classes de <math>X,Y,Z</math>. Vérifier que <math>x</math> et <math>xy</math> sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau. Référence : {{w|Daniel Perrin}}, ''Cours d'algèbre'', remarque II.3.7<!--réf lue dans https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~molinier/enseignement/Agreg/anneau.pdf, énoncé et indications dans https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/137933#Comment_137933--> {{Solution|contenu= D'abord, <math>x</math> et <math>y</math> sont associés car on a non seulement <math>x\mid xy</math>, mais aussi <math>xy\mid x</math> puisque <math>x=xy\times z</math>. Montrons ensuite que les inversibles de l'anneau sont seulement les (classes des) constantes non nulles. Soient <math>U(X,Y,Z),V(X,Y,Z)\in K[X,Y,Z]</math>, de classes respectives <math>u,v\in K[X,Y,Z]/\langle X(1-YZ)\rangle</math> inverses l'une de l'autre. Les images de <math>u,v</math> dans <math>K[X,Y,Z]/\langle X\rangle\simeq K[Y,Z]</math> sont a fortiori inverses l'une de l'autre donc à produit près par une constante non nulle, <math>U(X,Y,Z)=1+XP</math> et <math>V(X,Y,Z)=1+XQ</math> avec <math>P,Q\in K[X,Y,Z]</math>. Alors, modulo <math>X(1-YZ)</math>, <math>1\equiv UV=1+XP+XQ+X^2PQ</math>, c'est-à-dire <math>1-YZ\mid P+Q+XPQ</math>. Comme <math>K[Y,Z]/\langle 1-YZ\rangle=K[Y,1/Y]</math> est intègre, l'image de <math>P</math> dans <math>K[X,Y,Z]/\langle 1-YZ\rangle=K[Y,1/Y][X]</math> est donc nulle, si bien que (toujours à produit près par une constante non nulle), <math>U=1+XP\equiv1\bmod{X(1-YZ)}</math> donc <math>u=1</math>, et par conséquent <math>v=1</math>. Enfin, pour tout <math>\lambda\in K^*</math>, <math>xy\ne\lambda x</math> car <math>X(Y-\lambda)</math> n'est pas divisible par <math>X(1-YZ)</math>. }} Dans l'anneau <math>\Z[X]/\langle 2(X^2-1)\rangle</math>, on note <math>x</math> et <math>\bar2</math> les classes de <math>X</math> et <math>2</math>. Vérifier que <math>\bar2</math> et <math>\bar2x</math> sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau. {{Solution|contenu= <math>\bar2</math> et <math>\bar2x</math> sont associés car on a non seulement <math>\bar2\mid\bar2x</math>, mais aussi <math>\bar2x\mid\bar2</math> puisque <math>\bar2=\bar2x\times x</math>. Montrons ensuite que les inversibles de l'anneau sont seulement (les classes de) <math>1</math> et <math>-1</math>. Soient <math>U(X),V(X)\in\Z[X]</math>, de classes respectives <math>u,v\in\Z[X]/\langle 2(X^2-1)\rangle</math> inverses l'une de l'autre. Les images de <math>u,v</math> dans <math>\Z[X]/\langle 2\rangle=(\Z/2\Z)[X]</math> sont a fortiori inverses l'une de l'autre donc <math>U(X)=1+2P</math> et <math>V(X)=1+2Q</math> avec <math>P,Q\in\Z[X]</math>. Alors, modulo <math>2(X^2-1)</math>, <math>1\equiv UV=1+2P+2Q+4PQ</math>, c'est-à-dire <math>X^2-1\mid P+Q+2PQ</math>. Les deux entiers <math>P(1)</math> et <math>Q(1)</math>, vérifiant <math>P(1)+Q(1)=-2P(1)Q(1)</math>, sont alors nécessairement nuls ou égaux à <math>-1</math>, si bien que le reste de la division euclidienne de <math>P</math> par <math>X^2-1</math> est <math>aX+b</math> avec <math>a+b=P(1)=0</math> ou <math>-1</math> et de même, <math>-a+b=P(-1)=0</math> ou <math>-1</math>. Comme <math>a</math> et <math>b</math> sont entiers, la seule possibilité est <math>a=0,b=0</math> ou <math>-1</math>. On en déduit <math>U=1+2P\equiv\pm1\bmod{2(X^2-1)}</math> donc <math>u=v=\pm1</math>. Enfin, <math>\bar2x\ne\pm\bar2</math> car <math>2(X\mp1)</math> n'est pas divisible par <math>2(X^2-1)</math>. }} ==Exercice 12== Dans l'anneau <math>A=C(\R,\R)</math>, soit <math>I</math> l'idéal des fonctions nulles en 0. #Soient <math>f_1,\dots,f_n\in A</math>. Montrer que tout élément <math>g</math> de l'idéal <math>\langle f_1,\dots,f_n\rangle</math> vérifie <math>g=O\left(\sum|f_i|\right)</math> au voisinage de 0. #En déduire que <math>I</math> n'est pas de type fini (ce qui prouve que <math>A</math> n'est pas [[w:Anneau noethérien|noethérien]]). #Montrer que <math>I^2=I</math>. #Montrer que <math>A</math> ne contient aucun [[w:Primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|élément irréductible]]. #Montrer que si deux éléments de <math>A</math> n'ont pas de zéro commun, alors ils sont [[w:Primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|premiers entre eux]]. #Montrer que dans <math>A</math>, si deux éléments <math>f,g</math> ont un pgcd <math>d</math>, alors <math>Z(d)</math> (l'ensemble des zéros de <math>d</math>) est égal à <math>Z(f)\cap Z(g)</math> et <math>d\in\langle f,g\rangle</math>. {{Solution|contenu= #Soient <math>h_1,\dots,h_n\in A</math> et <math>g=\sum h_if_i</math>. Soient (par continuité des <math>h_i</math> en 0) <math>M\in\R</math> et <math>V</math> un voisinage de 0 tels que sur <math>V</math>, <math>|h_i|\le M</math>. Alors, sur <math>V</math>, <math>|g|\le M\sum|f_i|</math>. #Supposons que <math>I=\langle f_1,\dots,f_n\rangle</math> et considérons la fonction <math>g:=\sqrt{\sum|f_i|}\in I</math>. D'après la question précédente, il existe <math>M>0</math> et <math>V</math> un voisinage de 0 tels que sur <math>V</math>, <math>|g|\le Mf^2</math>. Soit <math>W\subset V</math> un voisinage de 0 tel que sur <math>W</math>, <math>|g|<1/M</math>. Alors, sur <math>W</math>, <math>g=0</math> donc toutes les fonctions de <math>I</math> s'annulent, ce qui est absurde. #On a comme toujours <math>I^2\subset I</math>. Réciproquement, soit <math>f\in I</math>. Alors <math>f=gh</math> avec <math>g:=\sqrt{|f|}\in I</math> et <math>h:=\operatorname{signe}(f)g\in I</math> donc <math>f\in I^2</math>. #Pour tout <math>f\in A</math> non inversible, <math>f=gh</math> avec <math>g:=\sqrt{|f|}</math> et <math>h:=\operatorname{signe}(f)g</math> non inversibles, donc <math>f</math> est réductible. #Soit <math>h</math> divisant <math>f</math> et <math>g</math>. On a <math>Z(h)\subset Z(f)\cap Z(g)</math> donc si <math>Z(f)\cap Z(g)=\varnothing</math> alors, <math>h</math> ne s'annule pas donc est inversible. # #*<!--https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01277455/document-->Puisque <math>d</math> divise <math>f</math> et <math>g</math>, <math>Z(d)\subset Z(f)\cap Z(g)</math>. L'inclusion réciproque résultera du point suivant. #*Soient <math>F,G\in A</math> tels que <math>f=dF</math> et <math>g=dG</math> et soit <math>D=\sqrt{|F|+|G|}</math>. Sur le fermé <math>Y:=\overline{X\setminus Z(d)}</math>, <math>F</math> et <math>G</math> n'ont pas de zéro commun (car <math>D</math> divise <math>F</math> et <math>G</math> donc <math>dD</math> divise <math>f</math> et <math>g</math> donc il existe <math>k\in A</math> tel que <math>d=kdD</math>, si bien que <math>kD=1</math> sur <math>X\setminus Z(d)</math>, et même sur <math>Y</math> par continuité). On peut donc définir sur <math>Y</math> : <math>u:=\frac F{F^2+G^2}</math> et <math>v:=\frac G{F^2+G^2}</math>. En [[w:Théorème de prolongement de Tietze|prolongeant continûment]] <math>u</math> et <math>v</math> de façon arbitraire<!--plus simplement, [[w:Axiome_de_séparation_(topologie)#La_séparation_T5_1/2_(espace_parfaitement_normal)|utiliser la distance]]-->, l'égalité <math>d=uf+vg</math> reste vraie sur <math>X</math> puisque <math>X\setminus Y\subset Z(d)\subset Z(f)\cap Z(g)</math>. }} Soient <math>K</math> un [[Topologie générale/Compacité|espace compact]] et <math>C(K,\R)</math> l'anneau des fonctions continues de <math>K</math> dans <math>\R</math>. On note <math>Z(f)=f^{-1}(\{0\})</math> (pour <math>f\in C(K,\R)</math>), et <math>I(x)=\{f\in C(K,\R)\mid f(x)=0\}</math> (pour <math>x\in K</math>). #Montrer que <math>I(x)</math> est un idéal maximal de <math>C(K,\R)</math>. #Quels sont les éléments inversibles de <math>C(K,\R)</math> ? #Soient <math>I</math> un idéal de <math>C(K,\R)</math> et <math>Z(I)=\cap_{f\in I}Z(f)</math>. Montrer que si <math>Z(I)=\varnothing</math>, il existe <math>f_1,\ldots, f_n\in I</math> telles que <math>\cap_{i=1}^nZ(f_i)=\varnothing</math>. Que peut-on dire alors de <math>\sum f_i^2</math> ? En déduire que <math>Z(I)=\varnothing\Leftrightarrow I=C(K,\R)</math>. #En déduire que tout idéal maximal de <math>C(K,\R)</math> est de la forme <math>I(x)</math>. #Si <math>K</math> est infini, soit <math>x</math> un [[Topologie générale/Adhérence, intérieur|point d'accumulation]] de <math>K</math>. Montrer par l'absurde que <math>I(x)</math> n'est pas de type fini. (Indication : si <math>I(x)=(f_1,\ldots,f_n)</math> et <math>F=\max(|f_1|,\ldots,|f_n|)</math>, montrer que <math>\sqrt F\in I(x)</math>, pour en déduire une contradiction.) {{Solution|contenu= #<math>I(x)</math> est le noyau du morphisme surjectif <math>C(K,\R)\to\R, f\mapsto f(x)</math>. #Si <math>fg=1</math>, <math>f</math> ne s'annule pas. Réciproquement si <math>f</math> ne s'annule pas, <math>g:={1\over f}\in C(K,\R)</math>. Les inversibles de <math>C(K,\R)</math> sont donc les <math>f\in C(K,\R)</math> qui ne s'annulent pas. #Si <math>Z(I)=\varnothing</math>, les ouverts <math>f^{-1}(\R^*)</math> pour <math>f\in I</math> forment un recouvrement de <math>K</math>. Comme <math>K</math> est compact, on peut en extraire un sous-recouvrement fini, associé à <math>f_1,\ldots,f_n\in I</math>, et l'on obtient <math>\cap_{i=1}^nZ(f_i)=\varnothing</math>, c'est-à-dire : pour tout <math>x\in K</math>, les <math>n</math> réels <math>f_i(x)</math> ne sont pas tous nuls. D'après 2, <math>g:=\sum f_i^2</math> est donc inversible, or <math>g\in I</math>, donc <math>I=C(K,\R)</math>. (Réciproquement, <math>Z(C(K,\R))=\varnothing</math>). #Soit <math>I</math> un idéal maximal de <math>C(K,\R)</math>. D'après 3, <math>Z(I)</math> est non vide. Soit <math>x\in Z(I)</math>, alors <math>I\subset I(x)</math> donc <math>I=I(x)</math> (donc <math>Z(I)=\{x\}</math>). #<math>f_1,\ldots,f_n</math> s'annulent en <math>x</math> donc <math>\sqrt F</math> aussi, donc <math>\sqrt F=\sum f_ig_i</math>. Soit alors une constante <math>c\ge\sum|g_i|</math> (il en existe, par compacité). On a <math>\sqrt F\le cF</math> donc <math>\forall y\neq x\quad1\leq c\sqrt F(y)</math>, ce qui est incompatible avec <math>F(x)=0</math>. }} ==Exercice 13== Dans l'anneau <math>\Z[\sqrt{10}]</math>, montrer que <math>2</math> est irréductible, mais pas premier. (Ceci prouvera que cet anneau n'est pas factoriel.) {{Solution|contenu= Utilisons la [[w:Entier quadratique#Conjugué et norme|norme sur cet anneau]] : <math>N(a+b\sqrt{10})=a^2-10b^2</math>. *Irréductibilité : si <math>2=uv</math> alors <math>N(u)N(v)=4</math> donc exactement l'un des deux <math>u</math> ou <math>v</math> est inversible, sauf dans l'éventualité où l'on aurait <math>N(u)=N(v)=\pm 2</math>, mais ce cas est impossible car <math>N(u),N(v)</math> sont des carrés modulo <math>5</math> alors que <math>\pm 2</math> n'en est pas un. *Non primalité : dans cet anneau, <math>2</math> divise <math>\sqrt{10}^2</math> mais ne divise pas <math>\sqrt{10}</math>. Remarque : on montre de même que : *dans <math>\Z[\sqrt5]</math>, <math>2</math> et <math>1+\sqrt5</math> sont irréductibles mais pas premiers. Mais ceci est moins surprenant car [[w:Entier quadratique#Fermeture intégrale et clôture intégrale|contrairement à <math>\Z[\sqrt{10}]</math>, <math>\Z[\sqrt5]</math> n'est pas]] [[w:Anneau intégralement clos|intégralement clos]] ; *dans <math>\Z[\sqrt d]</math> pour <math>d\in\Z</math> impair non carré et divisible par <math>5</math>, <math>2</math> est irréductible, mais pas premier ; *dans <math>\Z[\sqrt{-7}]</math>, <math>1\pm\sqrt{-7}</math> est irréductible, mais pas premier. }} ==Exercice 14== Quel est le noyau du morphisme <math>\Z[X]\to\Z/2\Z,\;P(X)\mapsto\overline{P(0)}</math> ? {{Solution|contenu= Deux méthodes, car <math>g\circ F=f\circ h</math>, où <math>h:\Z[X]\to\Z</math> et <math>g:(\Z/2\Z)[X]\to(\Z/2\Z)</math> sont les évaluations en 0, <math>f:\Z\to(\Z/2\Z)</math> la surjection canonique, et <math>F:\Z[X]\to(\Z/2\Z)[X]</math> la surjection qui s'en déduit : *<math>(g\circ F)(P)=0\Leftrightarrow F(P)\in(X)\Leftrightarrow P\in(2,X)</math>, ou bien *<math>(f\circ h)(P)\Leftrightarrow h(P)\in 2\Z\Leftrightarrow P\in(2,X)</math>. Donc le noyau est <math>(2,X)=\left\{\sum a_iX^i\mid a_i\in\Z,\;a_0\text{ pair}\right\}</math>. On remarque qu'il est [[w:Idéal maximal|maximal]] puisque le quotient est un [[Corps (mathématiques)|corps]]. }} ==Exercice 15== Démontrer que <math>\Z[\mathrm i]/\langle1+3\mathrm i\rangle=\Z[\mathrm i]/\langle\mathrm i-3\rangle\simeq\Z/10\Z</math>. {{Solution|contenu=<math>\mathrm i(1+3\mathrm i)=\mathrm i-3</math>, donc <math>\langle1+3\mathrm i\rangle=\langle\mathrm i-3\rangle</math>, donc <math>\Z[\mathrm i]/\langle1+3\mathrm i\rangle=\Z[\mathrm i]/\langle\mathrm i-3\rangle\simeq\Z[X]/\langle X^2+1,X-3\rangle=\Z[X]/\langle10,X-3\rangle\simeq\Z/10\Z</math>. }} Soit <math>A=\Z[\mathrm i\sqrt7]</math>. #Montrer que <math>A\simeq\Z[X]/\langle X^2+7\rangle</math>. #Montrer que <math>2A</math> n'est pas un {{w|idéal premier}} de <math>A</math>. #Montrer que <math>A/\langle1+\mathrm i\sqrt7\rangle\simeq\Z/8\Z</math>. {{Solution|contenu= #Le morphisme <math>\Z[X]\to\Complex,\;P\mapsto P(\mathrm i\sqrt7)</math> a pour image <math>A</math> (par définition) et pour noyau <math>\langle X^2+7\rangle</math> (par division euclidienne). #<math>A/2A\simeq\Z[X]/\langle X^2+7,2\rangle=\Z[X]/\langle(X+1)^2,2\rangle\simeq(\Z/2\Z)[X]/\langle(X+1)^2\rangle</math> n'est pas intègre. #<math>A/\langle1+\mathrm i\sqrt7\rangle\simeq\Z[X]/\langle X^2+7,1+X\rangle=\Z[X]/\langle(-1)^2+7,1+X\rangle=\Z[X]/\langle8,1+X\rangle\simeq\Z/8\Z</math>. }} ==Exercice 16== Soit <math>K</math> un corps commutatif. Déterminer les éléments inversibles et les idéaux (principaux et autres) de l'anneau <math>K[X,Y]/(X^2,XY,Y^2)</math>. {{Solution|contenu= Modulo <math>(X^2,XY,Y^2)</math>, tout polynôme de <math>K[X,Y]</math> s'écrit de manière unique <math>a+bX+cY</math> (avec <math>a,b,c\in K</math>), et l'on a <math>(a+bX+cY)(a'+b'X+c'Y)=aa'+(ab'+ba')X+(ac'+ca')Y</math> ; les inversibles sont donc les <math>a+bX+cY</math> avec <math>a\ne0</math>. Un idéal non trivial doit contenir un élément non nul et non inversible, donc de la forme <math>bX+cY</math> avec <math>(b,c)\ne(0,0)</math> (à produit près par un inversible, un tel élément est de la forme <math>X+cY</math> ou <math>Y</math>). Un idéal non principal doit contenir deux tels éléments non proportionnels, qui engendrent alors <math>X</math> et <math>Y</math>. L'idéal <math>(X,Y)</math> est maximal (puisque le quotient par cet idéal est le corps <math>K</math>). Les idéaux non triviaux sont donc les <math>(X+cY)</math> (avec <math>c\in K</math>), <math>(Y)</math> et <math>(X,Y)</math>. }} ==Exercice 17== Soit <math>J</math> l'idéal de <math>\R[X]</math> engendré par <math>X^3+3X^2+4X+2</math> et <math>X^4+2X^3+3X^2+2X+2</math>. Donner un isomorphisme entre <math>\R[X]/J</math> et <math>\C</math>. {{Solution|contenu=Le [[Polynôme/Arithmétique des polynômes|pgcd de ces deux polynômes (calculé par l'algorithme d'Euclide)]] est <math>D(X)=X^2+2X+2</math>. L'idéal <math>J</math> est engendré par <math>D</math>. Les racines complexes de <math>D</math> sont <math>-1\pm\mathrm i</math>. Le morphisme <math>\R[X]\to\Complex,\;P(X)\mapsto P(-1+\mathrm i)</math> a donc pour noyau <math>J</math> et comme il est surjectif, il induit un isomorphisme comme souhaité (il n'y en a qu'un autre, induit par <math>P(X)\mapsto P(-1-\mathrm i)</math> et qui est le composé du précédent par la conjugaison). }} ==Exercice 18== On suppose connu l'anneau <math>A:=\Z[\mathrm j]=\Z\oplus\Z\mathrm j</math> (euclidien) et l'on se propose d'étudier les idéaux premiers de <math>B:=A[\sqrt 2]</math>. #Montrer que <math>B</math> est noethérien #Soit <math>I</math> un idéal non nul de <math>B</math>. Montrer que <math>I\cap A\ne(0)</math> et en déduire que <math>I\cap\Z\ne(0)</math>. #On suppose de plus <math>I</math> premier. Montrer que <math>I\cap\Z</math> est de la forme <math>p\Z</math> où <math>p</math> est un nombre premier. Montrer que <math>I</math> est maximal. #Montrer que les idéaux premiers non nuls de <math>A[Y]</math> sont #*les <math>(P)</math> avec <math>P</math> élément irréductible de <math>A[Y]</math> #*les <math>(u,P)</math> avec <math>u</math> élément irréductible de <math>A</math>, et <math>P\in A[Y]</math> irréductible modulo <math>u</math> (c'est-à-dire d'image irréductible dans <math>(A/uA)[Y]</math>). #Soit <math>M</math> un idéal maximal de <math>A[Y]</math> contenant <math>Y^2-2</math>. ##Montrer que <math>M</math> est de la forme <math>M=(u,Y^2-2)</math> avec <math>u</math> élément irréductible de <math>A</math> et <math>Y^2-2</math> irréductible modulo <math>u</math>, ou alors <math>M=(u,Y-a)</math> avec <math>u</math> élément irréductible de <math>A</math> et <math>a\in A</math> racine de <math>Y^2-2</math> modulo <math>u</math>. ##En déduire l'allure des idéaux premiers non nuls de <math>B</math>. #Applications à <math>I_1=(\sqrt 2)</math> et <math>I_2=(-3+\sqrt 2, 2-\mathrm j)</math> : dans les deux cas, montrer que <math>I</math> est premier. Montrer que <math>B/I_1</math> est un corps à <math>4</math> éléments et que <math>B/I_2\simeq\Z/7\Z</math>. {{Solution|contenu= #<math>B=A[Y]/(Y^2-2)</math>. #Soit <math>u+v\sqrt 2</math> non nul dans <math>I</math> avec <math>u,v\in A</math>, alors <math>x:=u^2-2v^2=(u+v\sqrt 2)(u-v\sqrt 2)\in A\cap I</math> est non nul car <math>\sqrt2\notin\Q[\mathrm j]</math>. Soient <math>a,b\in\Z</math> tels que <math>x=a+\mathrm jb</math>, alors <math>y:=(a+\mathrm jb)(a+\mathrm j^2b)=a^2+b^2-ab\in I\cap\Z</math> est non nul car <math>>0</math>. #<math>I\cap\Z</math> est un idéal premier de <math>\Z</math>, non nul d'après 2, donc de la forme annoncée. <math>B/I</math> est donc une extension intègre finie (de dimension <math>\le4</math>) du corps <math>\Z/p\Z</math>, donc c'est un corps, donc <math>I</math> est maximal. #Remarquons que si <math>J</math> est de l'une des deux formes annoncées, <math>J</math> est automatiquement premier. Réciproquement, soit <math>J</math> un idéal premier non nul de <math>A[Y]</math>, alors <math>J\cap A</math> est un idéal premier de <math>A</math>. S'il est nul, soit <math>P\in J</math> non nul de degré minimum, alors <math>P</math> est irréductible dans <math>A[Y]</math> et <math>J=(P)</math>. S'il est non nul, soit <math>u\in A</math> premier non nul tel que <math>J\cap A=uA</math>. Si <math>J=(u)</math>, on est encore dans le premier cas (avec <math>P</math> de degré <math>0</math>). Sinon, <math>\overline J</math> est un idéal premier non nul de <math>(A/uA)[Y]</math>, donc de la forme <math>(\overline P)</math> avec <math>\overline P</math> premier, donc on est dans le second cas. # ##<math>Y^2-2</math> est irréductible dans <math>A[Y]</math> mais <math>A[Y]/(Y^2-2)\simeq B</math> n'est pas un corps donc <math>M\neq(Y^2-2)</math>. D'après (4), il existe donc <math>u</math> élément irréductible de <math>A</math> et <math>P\in A[Y]</math> irréductible modulo <math>u</math> tels que <math>M=(u,P)</math> et <math>Y^2-2\in(u,P)</math>. Si <math>Y^2-2</math> est également irréductible modulo <math>u</math> alors <math>(u,P)=(u,Y^2-2)</math>, et sinon, dans <math>(A/uA)[Y]</math>, <math>\overline{Y^2-2}</math> se décompose sous la forme <math>\overline{(Y-a)}.\overline{(Y+a)}</math> et <math>\overline P</math> est égal par exemple au premier facteur, d'où <math>(u,P)=(u,Y-a)</math>. ##Si <math>I</math> est un idéal premier non nul de <math>B=A[Y]/(Y^2-2)</math> (maximal d'après 3), son image réciproque <math>M</math> dans <math>A[Y]</math> est de l'une des deux formes indiquées dans la sous-question précédente ; dans le premier cas <math>I=uB</math>, dans le second <math>I=(u,\sqrt 2-a)</math>. #Soient <math>u=2(\in I_1)</math> et <math>a=0</math>. Alors <math>A/uA\simeq\Z[X]/(X^2+X+1,2)\simeq(\Z/2\Z)[X]/(\overline X^2+\overline X+\overline 1)</math> est un corps à <math>4</math> éléments et <math>B/I_1\simeq A[Y]/(u,Y-a)\simeq A/uA</math>. De même, soient <math>u=2-j</math> et <math>a=3</math>, alors <math>A/uA\simeq\Z[X]/(X^2+X+1,X-2)=\Z[X]/(7,X-2)\simeq\Z/7\Z</math> et <math>B/I_2\simeq A[Y]/(u,Y-a)\simeq A/uA</math>. }} ==Exercice 19== Soit A un anneau non nul. On suppose que pour tout élément <math>a</math> non nul de A, il existe un élément <math>a'</math> de A tel que <math>a' a = 1 .</math> Prouver que A est un corps. Indication : on peut prouver que les éléments non nuls de A forment un monoïde pour la multiplication et, à l'aide du Problème 2 de la page [[Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes]], que ce monoïde est un groupe. {{Solution | contenu = Soient <math>x, y</math> des éléments non nuls de A; prouvons que <math>xy</math> est non nul. D'après les hypothèses, il existe un élément <math>x'</math> de A tel que <math>x' x = 1 .</math> Alors <math>(x' x) y = y</math>, ce qui, d'après l'associativité de la multiplication dans A, peut s'écrire <math>x' (x y) = y .</math> Puisque le membre droit n'est pas nul, le facteur <math>x y</math> du membre gauche est non nul. Nous avons donc prouvé que le produit de deux éléments non nule de A est toujours non nul. Puisque l'élément 1 de A est un de ces éléments non nuls, il en résulte que les éléments non nuls de A forment un monoïde pour la multiplication. Soit <math>a</math> un élément non nul de A. Par hypothèse, il existe un élément <math>a'</math> de A tel que <math>a' a = 1 .</math> Il est clair que <math>a' </math> est non nul, donc, dans le monoïde multiplicatif formé par les éléments non nuls de A, chaque élément a un inverse à gauche. D'après le Problème 2 de la page [[Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes]], il en résulte que ce monoïde est un groupe, donc l'anneau A est un corps. }} Remarque. L'énoncé de cet exercice servira dans la solution d'un exercice de la page [[Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension]]. ==Exercice 20== Soient <math>K</math> un corps commutatif et <math>I=(X^3-YZ,Y^2-XZ,Z^2-X^2Y)</math> dans <math>K[X,Y,Z]</math>. On veut montrer que l'idéal <math>I</math> est premier et que <math>I</math> ne peut admettre moins de trois générateurs.<!--Cela signifie géométriquement que la variété définie par les équations de <math>I</math> n'est pas une intersection complète, car <math>I</math> n'est pas un idéal maximal ; cet exemple est d'{{w|Oscar Zariski}} lui-même.--> #Soient <math>\varphi:K[X,Y,Z]\to K[T]</math> le morphisme défini par <math>\varphi (X)=T^3, \varphi (Y)=T^4,\varphi (Z)=T^5</math>, et <math>J=\ker\varphi</math>. Vérifier que <math>J</math> est premier et contient <math>I</math>. #Montrer que les seuls <math>A,B,C\in K[X]</math> tels que <math>A+BY+CZ\in J</math> sont <math>A=B=C=0</math>. #Soit <math>P(X,Y,Z)\in K[X,Y,Z]</math>. Soit <math>YQ+R</math>, avec <math>Q,R\in K[X,Z]</math>, le reste de la division euclidienne de <math>P</math> par <math>Y^2-XZ</math> dans <math>K[X,Z][Y]</math>, puis <math>Z^2Q_2+ZQ_1+Q_0</math> et <math>Z^2R_2+ZR_1+R_0</math>, avec <math>Q_2,Q_1,Q_0,R_2,R_1,R_0\in K[X]</math>, les restes des divisions euclidiennes de <math>Q,R</math> par <math>Z^3-X^5</math> dans <math>K[X][Z]</math>. ##Montrer que <math>P\in J</math> si et seulement si <math>X^3ZQ_2+X^3Q_1+YQ_0+X^2YR_2+ZR_1+R_0\in J</math>. ##En déduire que <math>I=J</math> (utiliser (2)), ce qui prouve que <math>I</math> est premier. #Soit <math>M=(X,Y,Z)</math>, idéal maximal de <math>K[X,Y,Z]</math>. La structure d'idéal de <math>I</math> (idéal de <math>K[X,Y,Z]</math>) induit sur <math>I/MI</math> une structure de <math>K[X,Y,Z]/M\simeq K</math>-espace vectoriel, dont la dimension est majorée par <math>3</math>. Montrer que cette dimension est exactement 3 (ce qui prouvera que <math>I</math> ne peut avoir moins de trois générateurs). Pour cela, montrer que l'image dans <math>I/MI</math> du triplet <math>(X^3-YZ,Y^2-XZ,Z^2-X^2Y)</math> est <math>K</math>-libre. {{Solution|contenu= #<math>J</math> contient <math>I</math> car <math>\varphi (X^3-YZ)=\varphi (Y^2-XZ)=\varphi(Z^2-X^2Y)=0</math>. <math>J</math> est premier car <math>K[X,Y,Z]/J\simeq\operatorname{im}\varphi\subset K[T]</math>, intègre. #Dans <math>A(T^3)+B(T^3)T^4+C(T^3)T^5=0</math>, les monômes de degré <math>3k</math> (resp. <math>3k+1</math>, <math>3k+2</math>) viennent de <math>A</math> (resp. <math>B</math>, <math>C</math>). # ##<math>\varphi (P)=T^4\varphi(Q)+\varphi(R)=T^4(T^{10}\varphi(Q_2)+T^5\varphi(Q_1)+\varphi(Q_0))+T^{10}\varphi(R_2)+T^5\varphi(R_1)+\varphi(R_0)=\varphi(X^3ZQ_2+X^3Q_1+YQ_0+X^2YR_2+ZR_1+R_0)</math>. ##Si <math>P\in J</math> alors <math>X^3Q_1+R_0=Q_0+X^2R_2=X^3Q_2+R_1=0</math>, or <math>Z^3-X^5=Z(Z^2-X^2Y)-X^2(X^3-YZ)\in I</math> donc modulo <math>I</math>, <math>P\equiv Y(Z^2Q_2+ZQ_1-X^2R_2)+Z^2R_2-X^3ZQ_2-X^3Q_1=(Z^2-X^2Y)R_2-(X^3-YZ)(ZQ_2+Q_1)\in I</math>. #Soient <math>\lambda,\mu,\nu\in K</math> tels que <math>\lambda (X^3-YZ)+\mu(Y^2-XZ)+\nu(Z^2-X^2Y)\in IM</math>. Soient <math>P,Q,R\in M</math> tels que <math>\lambda (X^3-YZ)+\mu (Y^2-XZ)+\nu(Z^2-X^2Y)=(X^3-YZ)P+(Y^2-XZ)Q+(Z^2-X^2Y)R</math>. Alors <math>\lambda X^3=X^3P(X,0,0)</math> donc <math>\lambda =P(0,0,0)=0</math>, <math>\mu Y^2=Y^2Q(0,Y,0)</math> donc <math>\mu=Q(0,0,0)=0</math>, <math>\nu Z^2=Z^2R(0,0,Z)</math> donc <math>\nu=R(0,0,0)=0</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Étude de l'anneau Z8/]] }} t7dqo62gclflu65jzncnydldn9b68ng 1 19684 986191 912790 2026-09-02T17:44:24Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986191 wikitext text/x-wiki {{Évaluation|idfaculté=mathématiques|avancement=1}} == Publicité == Bonjour, je me permets de faire un peu de pub pour un chapitre d'une leçon qui se trouve [[Introduction_aux_mathématiques/Entiers_naturels|ici]] et qui raconte en détails ce que tu dis ici, si tu veux y mettre un lien... [[Utilisateur:Alex|Alex]] 13 octobre 2008 à 08:09 (UTC) == Intellectuellement précoce ? == J’ai regardé dans l’historique pour savoir quel était le petit plaisantin qui essaye d'enseigner les axiomes de Péano à des enfants de sept ou huit ans. J’ai vu que c’était une IP le 31 juillet 2005. Que viennent faire les axiomes de Péano (niveau 14 minimum) dans un cours de niveau 2 ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 août 2012 à 17:10 (UTC) == Signifiant et signifié == Ne pas confondre nombre et écriture d’un nombre. Par exemple, “12,00” est une écriture '''possible''' de douze dans le système de numération habituel, où un nombre entier '''peut''' s’écrire sans virgule.<br/> [[Spécial:Contributions/109.6.129.249|109.6.129.249]] 30 décembre 2016 à 16:03 (UTC) == Rigueur == Si [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Axiomes_de_Peano&oldid=629082 l’introduction] peut nous donner une brève définition d’un nombre entier, pourquoi donc nous compliquer la vie avec des axiomes ?<br/> [[Spécial:Contributions/109.6.129.249|109.6.129.249]] 3 janvier 2017 à 17:19 (UTC) <br/>Nombre entier naturel ou nombre infini, le concept de nombre cardinal se construit avant un quelconque système d’écriture des nombres, [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_fini&oldid=133456441 voir dans Wikipedia].<br/> [[Spécial:Contributions/109.6.129.249|109.6.129.249]] 8 janvier 2017 à 16:45 (UTC) == Cette page est liée sur Wikipédia == dans [[w:Addition dans l'arithmétique de Peano]]. Merci d'en tenir compte en cas de renommage. [[Discussion utilisateur:Anne Bauval|Anne]], 26/1/2018 7iz2d002rq5srllv1nfhufx58us2mi3 2 19862 986192 912801 2026-09-02T17:56:11Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986192 wikitext text/x-wiki <div style="background-color: #FEFEFE; border: 1px solid #ABABAB; padding: 0 1em;"> __NOEDITSECTION__ === {{{topic}}} === {{{content}}} <div style="float: right;"><small>&#91;[[{{#ifeq:{{User:WikimediaNotifier/translation}}|User:WikimediaNotifier/notifications|User:WikimediaNotifier/translation|{{User:WikimediaNotifier/translation}}}}#{{{topic}}}|local translation]]&#93;</small></div> :<small>… do '''not''' reply to this <u>automatically</u> delivered notification <span title="locally">here</span>; answer/discuss together '''[[meta:Talk:Global_notifications#{{{topic}}}|on Meta]]''', centrally!</small> </div> ij3fq54s4ldoaaebngmvq05i0phnlm3 2 19876 986193 968725 2026-09-02T17:56:21Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986193 wikitext text/x-wiki <div dir="ltr" lang="en" xml:lang="en" style="direction: ltr; padding-top: 3px;"> {{#ifeq:{{{onlyTOC|}}}|| <!--/ / Mirrored/synchronized; do not change this page [use Meta]; translate on separate page! /--> <noinclude><div class="plainlinks" style="float: right; margin-top: -30px;">['''[[meta:Global_notifications/RSS|RSS]] [[File:Feed-icon.svg|12px|link=meta:Global_notifications/RSS]]''']</div></noinclude> <div style="clear: both; background-color: #FFFCFC;">{{User:WikimediaNotifier/translate}}</div> <div style="float: right; background-color: #EFEFEF; margin: 0 0 1em 1em; padding: 0 0 4px 3px; position: relative; z-index: 9;"> __TOC__ </div> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Wikimedia notification system |content = [[File:Mail-notification.svg|25px|link=m:Global notifications]] <small>''This is a '''global notification system''' for all Wikimedia wikis!''</small> <hr style="margin: 0;" /> <div style="background-color: #F7FFF7; border: 2px solid #F3F3F3; padding: 10px 20px 15px;"> If it is necessary to inform many/all wikis about something important, a [[meta:Global_notifications|global notification]] can be requested at '''[[meta:Global notifications/requests]]'''. It is possible to have wiki and/or language dependent text within every message. ''All Meta notifications are synchronized automatically, either on all wikis or just on specific, selected ones.'' To have a common access point, the messages are updated at '''[[{{NS:User}}:WikimediaNotifier/notifications]]''' ''(mirrored, any changes to this page will be overwritten; [[meta:Global_notifications/how-to#translation|use a separate page for translation]]);'' you can include this page<small>(s)</small> like a template wherever you want, let's say your village pump, with a description in your language! Have a look on the '''[[meta:Global notifications/how-to|Frequently Asked Questions]]''' to see how it can fit your needs! * <small>With '''[[meta:User:Pathoschild/Scripts/SynchCrosswiki|SynchCrosswiki]]''' there furthermore is an easy way to create or synchronize pages like user scripts on all wikis!</small> </div> <hr style="margin: 0;" /> ''… it's for spreading information; and for a better cross-wiki communication & collaboration!'' }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Commons: Picture of the Year 2008 |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small class="GN-update_1">2009-04-19</small></span> <div style="float: left; margin-right: 15px;">[[File:POTY_barnstar_1_2008.svg|85px|link=m:commons:Project:Picture_of_the_Year/2008]]</div> The third annual '''[[m:commons:Project:Image de l'année/2008|Picture of the Year Award]]''' on [[m:commons:Main_Page|Wikimedia Commons]] goes into its second (<u>final</u>) round! {{:User:WikimediaNotifier/updated| ''The final voting round is running from April 19th to ''April 30th'' (23:59 UTC).'' Have a look on the '''[[m:commons:Project:Picture of the Year/2008/Finalists|finalists]]''' and select your favourite featured picture of 2008.}} </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = GNU Free Documentation License 1.3 |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small class="GN-update_5">2009-04-12</small></span> <div style="float: left; margin-right: 10px;">[[File:CC-devnations.svg|70px|link=http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0]]</div> The [[meta:GNU Free Documentation License|GNU Free Documentation License]] has been released in [[w:en:GNU_Free_Documentation_License#Timeline|version 1.3]] by its responsible [[w:en:Free Software Foundation|Free Software Foundation]].<br />This is not least a result of a request by our [[wikimedia:Resolution:License_update|Board of Trustees]] in December 2007, trying to offer us a possibility to <u>also</u> license and share our wiki contents under the easier to use [[w:en:Creative_Commons_licenses#Original_licenses|Creative Commons CC-BY-SA]] (Attribution + ShareAlike) license. The [[meta:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]] will soon organize a community wide referendum to decide whether our '''GNU FDL''' licensed wikis should be made availabe under the terms of this free and common '''CC-BY-SA''' license too, see [[w:en:Dual-licensing|dual-licensing]]. <div style="float: right;">[[File:CC-logo.svg|75px|link=http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0]]</div> See also a [[mailarchive:foundation-l/2008-November/046996.html|detailed summary]] for further reading.<sup class="plainlinks">([http://blog.wikimedia.org/2008/11/04/gnu-free-documentation-license-13-released/ source])</sup> On [[meta:Licensing update|Meta]] you can find [[meta:Licensing_update/Questions_and_Answers|further information (FAQ)]] and can [[meta:Licensing update|discuss]] the licensing update process of our wikis. {{:User:WikimediaNotifier/updated|'''A vote on [[meta:Licensing update|Meta]] is taking place from [[meta:Licensing update/Timeline|April 12, 2009]] to [[meta:Licensing update/Timeline|May 3, 2009]].'''}} </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Software news in brief |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small class="GN-update_3">2009-03-25</small></span> <table><tr><td style="padding-right: 15px;" valign="top">[[File:Namespace MediaWiki.1.svg|100px|link=Special:Version]]<div style="font-size: smaller; text-align: center;">[http://techblog.wikimedia.org/ Technical Blog]</div></td> <td style="font-size: smaller;"> {{:User:WikimediaNotifier/updated|1=<div style="margin: -3px 0 0;" /> * ''2009-03-25:'' <span class="plainlinks">The [[Spécial:Version|MediaWiki software]] with its [[Spécial:Version|extensions]] has been [http://www.mediawiki.org/w/index.php?title=Special:Code/MediaWiki/releasenotes&startrev=47458&endrev=48811&path=/trunk/phase3 updated] to SVN revision '''[http://www.mediawiki.org/w/index.php?title=Special:Code/MediaWiki/releasenotes&startrev=47458&endrev=48811&path=/trunk/phase3 48811]''' ([http://svn.wikimedia.org/viewvc/mediawiki/trunk/phase3/RELEASE-NOTES?r1=47457&r2=48811 release notes]).</span><!--[[:mw:This week's updates]]--> ** ''Major new features:'' New [[:mw:Help:Magic_words|magic word]] <code><nowiki>{{</nowiki>[[:mw:Help:Magic_words#Technical_metadata|REVISIONUSER]]<nowiki>}}</nowiki></code>, new special page [[Spécial:GlobalGroupPermissions]] for [[Spécial:GlobalUsers|global users]]; [[:rev:48801|etc]].}} * <span style="position: relative; margin-left: -20px; z-index: 9;">[[File:Stop bad orthography nuvola.svg|17px|link=w:en:Special:AbuseFilter]]</span> ''2009-03-17:'' The '''[[w:en:Special:AbuseFilter|AbuseFilter]]''' has also been activated for the English Wikipedia ''(Meta/dewiki: 2009-02-25)'' – the [[:mw:Extension:AbuseFilter|tool]] allows to automatically detect and/or prevent plain vandalism, spam and other pattern based changes. * ''2009-03-16:'' [[BugZilla:17714|TIFF support]] on Commons, [[BugZilla:15842|file/image renaming]] available for SysOps (through the [{{:MediaWiki:Move}}] tab). * ''2009-01-27:'' [[:mw:Extension:Collection|Collections]] will [[meta:Book tool/Schedule|soon]] be activated for all Wikimedia projects where they make sense, like currently for [http://blog.wikimedia.org/2009/01/27/wiki-to-print-feature-in-testing-in-the-german-wikipedia/ Wikibooks and the German Wikipedia] ''(2009-02-19: fr, pl, nl, pt, es, simple; en)'' – the extension lets your readers create PDF books to possibly order printed books. Use '''[http://pediapress.com/collection/ www.pediapress.com/collection]''' to create cross-wiki article collections of almost all wikis out there. * ''2009-01-26:'' Wikimedia will [http://blog.wikimedia.org/2009/01/26/mozilla-and-wikimedia-join-forces-to-support-open-video/ improve Ogg Theora/Vorbis support] with the help of the Mozilla Foundation. * ''2009-01-16:'' [[:mw:Extension:Drafts|Drafts]] are ready for [http://leuksman.com/log/2009/01/16/drafts-extension-enabled-on-test-wikipedia/ testing] – the extension makes backups of your unsaved edit sessions. * ''2008-12-17:'' Some major Wikipedias now have [[:en:Wikipedia:Searching#Wikipedia_search|enhanced]] search functionalities ([http://en.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Esperanto?search=Esperant*&fulltext=1 example]), all other wikis have to wait for [[bugzilla:16685#c0|better hardware]]. * ''2008-12-03:'' Wikipedia will become [http://blog.wikimedia.org/2008/12/03/improved-usability-in-our-future/ more user-friendly for new volunteer writers] ([http://blog.wikimedia.org/2009/01/21/a-note-on-the-wikipedia-usability-initiative/ current info]); see '''[[meta:Wikipedia Usability Initiative|Wikipedia Usability Initiative]]'''! </td></tr></table> </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Wikimania 2009 |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small>2009-02-24</small></span> <div style="float: left; margin-right: 15px;">[[File:Wikimania.svg|50px|link=wm2009:Call_for_Participation]]</div> '''Wikimania 2009''', this year's global event devoted to [[foundation:|Wikimedia]] projects around the globe, is accepting submissions for presentations, workshops, [[wm2009:Call_for_Participation#Types_of_Submissions|panels]], posters, [[w:en:Open_Space_Technology|open space]] [[w:en:Open-space_meeting|discussions]], and even artistic works related to the Wikimedia projects or free content topics in general. The conference will be held from '''August 26''' to '''28''' in [[w:en:Buenos Aires|Buenos Aires]], [[w:en:Argentina|Argentina]]!<br />For more information, check the official '''[[wm2009:Call for Participation|Call for Participation]]'''. </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Quality illustrations |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small>2009-01-26</small></span> <div style="float: left; margin-right: 10px;">[[File:Great Wave off Kanagawa2.jpg|60px|link=m:Restoration.wikimedia.org]]</div> Beside an [[meta:Philip Greenspun illustration project|elder project]] for the creation and improvement of illustrations, there is a [[meta:Restoration.wikimedia.org|new project]] to grow our encyclopedic image [[meta:Restoration.wikimedia.org|restoration community]]. It's to provide media restorers with the technical resources they need, and to reach out to all the archives in the world. </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Software localization |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small>2009-01-01</small></span> <div style="float: left; margin-right: 5px;">[[Image:Traducción.png|70px|link=betawiki:Main_Page#What_is_Betawiki]]</div> ''The localization<!--user interface--> of {{SITENAME}}'s software <small>(MediaWiki)</small> and its extensions is an ongoing task, and you can help!'' ''There are '''[[betawiki:Special:LanguageStats/{{CONTENTLANGUAGE}}|statistics]]''' about how much of the [[:mw:Localisation_statistics|core messages]] and [[betawiki:Translating:Group_statistics#Group_statistics|system messages in total]] have been translated so far.'' ---- [[betawiki:Betawiki:Translator|Apply]], and '''help''' translating our software externally at [[betawiki:Main_Page#What_is_Betawiki|TranslateWiki.net]] <small>(='''Betawiki''', no Wikimedia project so far); have a look on the <span class="plainlinks">[http://translatewiki.net/wiki/Special:RecentChanges?namespace=8&trailer=/{{CONTENTLANGUAGE}} recent localization activity]</span> for <u>your language</u> [{{#language:{{CONTENTLANGUAGE}}}}].</small> </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Central Wikimedia help |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small>2008-12-24</small></span> [[Image:Wikimedia Community Logo.svg|16px|link=m:Goings-on]] There is a proposal to share [[meta:Wikimedia Help|Wikimedia's help pages]] by centralizing and localizing them on [[meta:Wikimedia Help|Meta]] or a dedicated wiki. </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = FlaggedRevs review feature |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small>2008-11-28</small></span> <div style="float: left; margin-right: 15px;">[[Image:Artículo_bueno.svg|115px|link=m:FlaggedRevs]]</div> Beside the elder [[:mw:Help:Patrolled_edits|Patroller extension]] for patrolling recent changes and new pages, there is a highly configurable [[meta:MediaWiki|MediaWiki]] extension, called [[:mw:Extension:FlaggedRevs|FlaggedRevs]]. '''FlaggedRevs''' – being already enabled on [[meta:FlaggedRevs|several Wikimedia wikis]] – is a toolset for transparent and ensured article <u>patrolling</u> and/or for reliable <u>quality</u> assurance by specifying certain accurate article revisions that are shown to the public by default. Those stable article versions are identified in a release process by a trustable editorial staff and/or get approved by a reviewing expert staff. It is even possible to mark (tag) revisions of selected articles for different purposes, let's say for an article validation aiming on a print edition. Furthermore, there is the possibility to let your readers give you evaluative feedbacks. FlaggedRevs will make your wiki more reliable and thus more reputable over the time! Have a look on [[meta:FlaggedRevs|Meta's description]], the [[:mw:Extension:FlaggedRevs|technical description]] and the '''[[mailarchive:wikipedia-l/2008-June/030575.html|guidance for requesting FlaggedRevs]]'''! </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Interlanguage links |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small>2008-11-02</small></span> <div style="float: left; margin-right: 10px;"></div> Beside the ongoing discussion about introducing an [[meta:A_newer_look_at_the_interlanguage_link|interlanguage extension]] on Wikimedia projects to improve and centralize interwiki linking, an attempt to centralize the discussion about [[meta:Interwiki_synchronization|interlanguage link conflicts]] has been set up. </div> }}<br /> {{User:WikimediaNotifier/template| topic = Global bots |content = <div style="position: relative; margin-bottom: 6px;"> <span style="position: absolute; top: -38px; right: 42px; color: #BCBCBC;"><small>2008-11-01</small></span> <div style="float: left; margin-right: 10px;">[[Image:Bot Bienvenido.png|110px|link=m:Bot_policy/Implementation#Where_it_is_policy]]</div> On [[meta:Steward_requests/Bot_status#Global_bot_requests|Meta]], a bot account now can get a bot flag for all wikis that allow [[meta:Bot_policy#Global_bots|global bots]]!<br />To be able to run also on your {{SITENAME}}, the community has to <u>explicitly permit</u> global bots by local policy, '''[[meta:Bot_policy/Implementation#Where_it_is_policy|see list]]'''. ''To qualify for global bot access, the following requirements must be met by a bot:'' :::::# it must only maintain <u>interlanguage links</u> or fix <u>double-redirects</u> :::::# it must already be <u>active on several wikis</u>, with <u>long-term</u> contributions to back up its <u>trustworthiness</u><br /> </div> }} | #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Translation of the Week|Translation of the Week]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Commons: Picture of the Year 2008|Commons: Picture of the Year 2008]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#GNU Free Documentation License 1.3|GNU Free Documentation License 1.3]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#The Wiktionary logo dilemma|The Wiktionary logo dilemma]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Software news in brief|Software news in brief]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Wikimania 2009|Wikimania 2009]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Quality illustrations|Quality illustrations]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Software localization|Software localization]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Central Wikimedia help|Central Wikimedia help]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#FlaggedRevs review feature|FlaggedRevs review feature]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Wikipedia globe logo|Wikipedia globe logo]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Interlanguage links|Interlanguage links]] #[[{{User:WikimediaNotifier/translation}}#Global bots|Global bots]] }} </div> 9gfla116odu8omxrufpravq7o0h6hxk 2 20014 986194 139805 2026-09-02T17:56:31Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986194 wikitext text/x-wiki <div style="margin-top: -19px; text-align: center;"><small><span title="Traduko">Machine translation</span>: {{User:WikimediaNotifier/google}} – {{User:WikimediaNotifier/babelfish}} – '''[[m:Global_notifications/machine_translation#{{CONTENTLANGUAGE}}|Service List]]''' – '''[[{{#ifeq:{{User:WikimediaNotifier/translation}}|User:WikimediaNotifier/notifications|User:WikimediaNotifier/translation|{{User:WikimediaNotifier/translation}}}}|Local Translation Page]]''' &#124; <span title="Esperanto">[http://traduku.net/cgi-bin/elitrad/elitrad?en_eo&u=meta.wikimedia.org/wiki/Global_notifications traduku]</span></small></div> 77zkrl4wi1xltnuozsp3mx56rjvx0kf 0 20097 986195 726140 2026-09-02T17:56:41Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986195 wikitext text/x-wiki {{Devoir | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = }} {{Clr}} <div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅰ —''' </span></div> On désigne par <math>g</math> la fonction définie sur <math>\left]-1,1\right[</math> par : :<math>g(0)=0</math> et <math>g'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}</math>, où <math>g'</math> est la dérivée de la fonction <math>g </math> sur <math>\left]-1,1\right[</math> ; on ne cherchera pas à expliciter <math>g(x)</math>. On considère alors la fonction composée <math>h</math> définie sur <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math> par : :<math>h(x)=g(\sin x)</math>. '''1°''' Expliquer pourquoi <math>h</math> n’est pas définie en <math>-\frac\pi2</math> ni en <math>\frac\pi2</math>. '''2°''' Démontrer, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée, que pour tout <math>x</math> de <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>, on a <math>h'(x)=1</math>. '''3°''' Calculer <math>h(0)</math>. '''4°''' Donner l’expression de <math>h(x)</math> en utilisant b) et c). <div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅱ —''' </span></div> On désigne par <math>g</math> la fonction définie sur <math>\left]-1,1\right[</math> par : :<math>g(0)=0</math> et <math>g'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}</math>, où <math>g'</math> est la dérivée de la fonction <math>g</math> sur <math>\left]-1,1\right[</math> ; on ne cherchera pas à expliciter <math>g(x)</math>. On considère alors la fonction composée <math>h</math> définie sur <math>\left]-\pi,0\right[</math> par : :<math>h(x)=g(\cos x)</math>. '''1°''' Expliquer pourquoi <math>h</math> n’est pas définie en <math>-\pi</math> ni en <math>0</math>. '''2°''' Démontrer, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée, que pour tout <math>x</math> de <math>\left]-\pi,0\right[</math>, on a <math>h'(x)=1</math>. '''3°''' Calculer <math>h\left(\frac\pi2\right)</math>. '''4°''' Donner l’expression de <math>h(x)</math> en utilisant b) et c). {{Corrigé|contenu= <div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅰ —''' </span></div> #<math>\sin\frac\pi2=1</math> n'appartient pas au domaine de définition <math>\left]-1,1\right[</math> de <math>g</math>. De même pour <math>\sin\left(-\frac\pi2\right)=-1</math>. #Pour tout <math>x\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>, <math>\cos x>0</math> donc <math>h'(x)=g'(\sin x)\times\sin'x=\frac1{\sqrt{1-\sin^2}}\times\cos x=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos^2x}}=1</math>. #<math>h(0)=g(\sin0)=g(0)=0</math>. #<math>h(x)=ax+b</math> avec <math>a=h'(x)=1</math> et <math>b=h(0)=0</math> donc <math>h(x)=x</math>. <div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅱ —''' </span></div> #<math>\cos0=1</math> n'appartient pas au domaine de définition <math>\left]-1,1\right[</math> de <math>g</math>. De même pour <math>\cos\left(-\pi\right)=-1</math>. #Pour tout <math>x\in\left]-\pi,0\right[</math>, <math>\sin x<0</math> donc <math>h'(x)=g'(\cos x)\times\cos'x=\frac1{\sqrt{1-\cos^2}}\times(-\sin x)=\frac{-\sin x}{\sqrt{\sin^2x}}=1</math>. #<math>h\left(\frac\pi2\right)=g\left(\cos\frac\pi2\right)=g(0)=0</math>. #<math>h(x)=ax+b</math> avec <math>a=h'(x)=1</math> et <math>b=h(0)=0</math> donc <math>h(x)=x</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = }} ff2wzrrnf04b1qhhtcsihxa221fxcrg 3 20536 986196 676654 2026-09-02T17:56:51Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986196 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue}} == Pages d'essai == Comme indiqué ci-dessus, si vous voulez faire des pages d'essai, créez-vous une sous-page. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 9 décembre 2008 à 17:22 (UTC) == La méca c’est sympa… == Salut, Je me rends compte avec enthousiasme que tu{{exp|1}} rédiges [[Mécanique des milieux continus|une leçon sur la mmc]]. Il s'avère que je suis en train, en parallèle de développer une [[introduction à l'élasticité]] — qui donc a beaucoup de points communs avec la tienne{{exp|2}}. Je ne sais pas quel niveau ni quelles limites{{exp|3}} tu as fixé pour la rédaction de ton cours{{exp|4}}, mais si le principe te convient on peut envisager de mettre nos ressources en commun, plutôt que de faire route à part. Si tu le souhaites néanmoins, nous pourrons conserver les deux leçons parallèlement, car il est vrai que nous ne présentons pas les choses de la même manière. Je serais heureux de collaborer si cela t'es possible et ne pose pas de problème. :<small>{{exp|1}} Entre étudiants, on peut se tutoyer, n'est-ce pas ? {{Smiley|sourire}} </small> :<small>{{exp|2}} En revanche, je ne mentionne pas de mécanique des structures (hyp. de Bernoulli…) et manque cruellement de cas concrets… </small> :<small>{{exp|3}} Je ne sais pas, par exemple, si c’est un cours rédigé pour ton établissement, ni dans quelle mesure on peut réutiliser les images et textes que tu publies.</small> :<small>{{exp|4}} Me concernant, c’est un cours de première année d'école d'ingénieur, donc plein de tenseurs et de maths, comme il se doit.</small> Bon courage ! — [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 20 janvier 2009 à 12:33 (UTC) :Merci pour toutes les informations que tu m'as données, qui clarifient beaucoup les choses. Si tu dois être noté sur ce travail, je préfère ne pas le modifier (qu'on ne puisse pas te reprocher de ne pas l'avoir fait toi-même) et te laisser une totale liberté dans la rédaction. On pourra rediscuter d'une éventuelle fusion-acquisition une fois que tu pourras disposer librement du document, si tu le veux. D'ici là, que ce soit pour l’utilisation du wiki ou sur ses possibilités (formules, images, tableaux…) n'hésite pas à poser des questions, à [[User Talk:Sharayanan|moi]], dans la [[Wikiversité:La salle café|salle café]], sur [[Wikiversité:IRC|irc]]. Tout le monde se fera une joie de t'aider. :Concernant le cours que je rédige, il s'agit d'une introduction à la ''théorie'' de l'élasticité, assez calculatoire donc, mais surtout assez abstraite, puisqu'on s'arrête une fois les équations obtenues — c'est-à-dire là où la pratique ou la simulation commence. C'est aussi pour cela que je pense que ton travail est complémentaire : il reprend là où je me suis arrêté. :Lorsque ta soutenance sera passée (je sais ce que c'est…), si tu veux donner suite (donc, que ça c’est ''bien'' passé) et si tu penses que ça pourrait être intéressant, tu peux sans souci me faire signe pour qu'on voit quoi faire. Pendant ce temps, bon courage et bonne continuation sur Wikiversité ! [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 20 janvier 2009 à 23:03 (UTC) ::Yop ! Comme je t'ai dit précédemment, je suis très intéressé ! Il faudra quelques adaptations pour parfaire la fusion, mais je reste convaincu que ça apporte quelque chose d’important au sujet. Je m'y consacrerai en détails dès que l’occasion le permettra. Tu peux bien entendu continuer à le compléter si tu le souhaites d'ici là. Merci encore, à bientôt ! [[User:Sharayanan|Sharayanan]] _{([[User Talk:Sharayanan|blabla]])} 7 février 2009 à 00:54 (UTC) == à propos de [[Mécanique des milieux continus/Déformation]] == Pourriez-vous expliquer le blanchiment de la page. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 6 février 2009 à 16:48 (UTC) 2ogk1x9eck25e7e3xi6kmvhb5z887sy 0 20679 986197 968769 2026-09-02T18:08:01Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986197 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | chapitre = [[../../Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables/]] | précédent = [[../Équation différentielle du premier ordre/]] | suivant = [[../Application en démographie/]] | niveau = 14 }} {{Clr}} Cette page ne traite que des équations différentielles linéaires d''''ordre 2''' à '''coefficients non constants'''. Pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1, voir [[../../Équation différentielle linéaire du premier ordre|ce chapitre]] et pour celles d'ordre 2 à coefficients constants, [[../../Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants|ce chapitre]] (et bien sûr, les exercices liés). == Équations à coefficients polynomiaux == '''1.''' <math>\left(1+x^2\right)y''+xy'-y=0</math>. :Pour résoudre, poser <math>y=zx</math>. {{Solution|contenu= On pose (tant sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> que sur sur <math>\left]-\infty,0\right[</math>) <math>y=zx</math>, donc <math>y'=z'x+z</math> et <math>y''=z''x+2z'</math>. <math>(E_1)\Leftrightarrow0=\left(1+x^2\right)\left(z''x+2z'\right)+x\left(z'x+z\right)-zx=z''+\left(\frac2x+\frac x{1+x^2}\right)z'=0</math>. Une primitive de <math>\frac2x+\frac x{1+x^2}</math> est <math>2\ln|x|+\frac12\ln\left(1+x^2\right)</math>. Donc <math>(E_1)\Leftrightarrow z'=\frac\lambda{x^2\sqrt{1+x^2}}</math>. On pose <math>t=\arctan x</math>. Alors, <math>\cos t\ge0</math>, <math>x=\tan t</math> et <math>\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\cos^2t}</math>, donc <math>(E_1)\Leftrightarrow z=\lambda\int\frac1{\tan^2t\sqrt{\frac1{\cos^2t}}}\frac{\mathrm dt}{\cos^2t}=\lambda\int\frac{\cos t\,\mathrm dt}{\sin^2t}=-\frac\lambda{\sin t}+\mu=-\frac{\lambda\sqrt{1+x^2}}x+\mu</math>. La solution générale (tant sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> que sur sur <math>\left]-\infty,0\right[</math>) est donc <math>y=\lambda\,\sqrt{1+x^2}+\mu x,\quad(\lambda,\mu)\in \R^2</math>. Elle est prolongeable par <math>y(0)=\lambda</math> et l'on a alors <math>y'(0)=\mu</math> et <math>\left(1+0^2\right)y''(0)+0y'(0)-y(0)=0</math>. La solution générale sur <math>\R</math> est donc <math>y=\lambda\,\sqrt{1+x^2}+\mu x,\quad(\lambda,\mu)\in \R^2</math>. }} '''2.''' <math>xy''+2\left(x-1\right)y'-4y=0</math>. :Pour résoudre, chercher une solution polynomiale et une solution exponentielle. {{Solution|contenu= *Cherchons une solution particulière de la forme <math>y=ax^2+bx+c</math>, donc <math>y'=2ax+b </math> et <math>y''=2a</math>. *:<math>(E_2)\Leftrightarrow\left(-2a-2b\right)x-2b-4c=0</math>. *:Par identification, on obtient : <math>a=2c</math> et <math>b=-2c</math>. *:Une solution particulière est donc <math>y=2x^2-2x+1</math>. *Cherchons une solution particulière de la forme <math>y=\operatorname e^f</math>, donc <math>y'=f'y</math> et <math>y''=\left(f''+f'^2\right)y</math>. *:<math>(E_2)\Leftrightarrow x\left(f''+f'^2\right)+2\left(x-1\right)f'-4=0</math> devient, en posant <math>f(x)=ax</math> : *:<math>0=xa^2+2\left(x-1\right)a-4=\left(xa-2\right)\left(a+2\right)</math>. *:Une deuxième solution particulière est donc <math>y=\operatorname e^{-2x}</math>. L'espace des solutions sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> ou sur <math>\left]-\infty,0\right[</math> étant de dimension 2, il est engendré par ces deux solutions particulières. Les solutions sur <math>\R</math> sont les fonctions de la forme :<math>y(x)=\begin{cases}\lambda_1\left(2x^2-2x+1\right)+\mu_1\operatorname e^{-2x}&\text{si }x\ge0\\\lambda_2\left(2x^2-2x+1\right)+\mu_2\operatorname e^{-2x}&\text{si }x<0\end{cases}</math> avec comme seule contrainte : <math>\lambda_1+\mu_1=\lambda_2+\mu_2</math> (la fonction <math>y</math> est alors, même en <math>0</math>, de classe C{{exp|2}} et solution de <math>(E_2)</math>). }} '''3.''' <math>xy''+2y'+xy=0</math>. :Résoudre d'abord sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> et sur <math>\left]-\infty,0\right[</math>, en posant <math>z=xy</math>. {{Solution|contenu= <math>z=xy,\,z'=xy'+y,\,z''=xy''+2y'</math>. :<math>xy''+2y'+xy=0\Leftrightarrow z''+z=0\Leftrightarrow z=\alpha\cos x+\beta\sin x</math> donc la solution générale sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> ou sur <math>\left]-\infty,0\right[</math> est <math>y=\frac{\alpha\cos x+\beta\sin x}x,\;(\alpha,\beta)\in\R^2</math>. Par conséquent, une solution sur <math>\R</math> est une fonction de la forme :<math>y(x)=\begin{cases}\frac{\alpha_1\cos x+\beta_1\sin x}x&\text{si }x>0\\\gamma&\text{si }x=0\\\frac{\alpha_2\cos x+\beta_2\sin x}x&\text{si }x<0\end{cases} </math> avec <math>\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2,\gamma\in\R</math> tels que <math>y</math> soit deux fois dérivable en <math>0</math> et <math>0y''(0)+2y'(0)+0y(0)=0</math>, c'est-à-dire <math>y'(0)=0</math>. Il faut d'abord que <math>y</math> soit continue en <math>0</math>, ce qui équivaut à <math>\alpha_1=\alpha_2=0</math> et <math>\beta_1=\beta_2=\gamma</math> donc :<math>y(x)=\gamma\times\begin{cases}\frac{\sin x}x&\text{si }x\ne0\\1&\text{si }x=0.\end{cases}</math> Il n'y a pas de contrainte supplémentaire sur <math>\gamma</math> pour que <math>y'(0)</math> soit nul et que <math>y''(0)</math> existe, car : *<math>y'(0)=\gamma\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}x-1}x=\gamma\lim_{x\to0}\frac{\frac{x+o\left(x^2\right)}x-1}x=0</math> ; *pour <math>x\ne0</math>, <math>y'(x)=\gamma\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}</math> donc <math>y''(0)=\gamma\lim_{x\to0}\frac{\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}-0}x=\gamma\lim_{x\to0}\frac{x\left(1-x^2/2+o\left(x^2\right)\right)-\left(x-x^3/6+o\left(x^3\right)\right)}{x^3}=\gamma\left(-\frac12+\frac16\right)=-\frac\gamma3</math>. }} '''4.''' Soient <math>a,b\in\R</math>, <math>I\subset\R_+^*</math> et <math>k:I\to\R</math> continue. On considère l'équation :(E) : <math>x^2y''+axy'+by=k(x)</math>. Montrer que par un changement de variable <math>t=\ln x</math>, on se ramène à une e.d.l. à coefficients constants. Application : Résoudre sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> : #<math>x^2y''+xy'+y=0</math> ; #<math>x^2y''-2y=x</math> ; #<math>x^2y''+3xy'+y=1+x^2</math> ; #<math>x^2y''+xy'+y=x\ln|x|</math>. {{Solution|contenu= Soit <math>v(t)=y(\operatorname e^t)</math>, <math>y(x)=v(\ln x)</math> donc <math>xy'(x)=v'(\ln x)</math> et <math>x^2y''=v''(\ln x)-xy'=(v''-v')(\ln x)</math> : <math>y</math> est deux fois dérivable sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> si et seulement si <math>v</math> est deux fois dérivable sur <math>\R</math>, et (E) devient : <math>v''+(a-1)v'+bv=k(\operatorname e^t)</math>. #<math>a=b=1,k(x)=0,v''+v=0,v=a\cos x+b\sin x</math> (avec <math>a,b\in\R</math>), <math>y(x)=a\cos\ln x+b\sin\ln x</math>. #<math>a=0,b=-2,k(x)=x, v''-v'-2v=\operatorname e^t, v=\operatorname e^tu, 1=u''+u'-2u, u=-\frac12+\lambda\operatorname e^t+\mu\operatorname e^{-2t}, y=-\frac x2+\lambda x^2+{\mu\over x}</math>. #<math>a=3,b=1,k(x)=1+x^2, v''+2v'+v=1+\operatorname e^{2t}, v=1+\operatorname e^{2t}u, 1=u''+6u'+9u, u={1\over 9}+\operatorname e^{-3t}(\lambda t+\mu), y=1+{x^2\over 9}+{1\over x}(\lambda\ln x+\mu)</math>. #<math>a=b=1, k(x)=x\ln|x|, v''+v=t\operatorname e^t, v=\operatorname e^tu, t=u''+2u'+2u, u={t-1\over2}+\operatorname e^{-t}(\lambda\cos t+\mu\sin t), y={x\over2}(-1+\ln x)+\lambda\cos\ln x+\mu\sin\ln x</math>. }} == Équation ''y{{'}}{{'}} + qy'' = 0== On considère l'équation différentielle <math>y''+qy=0</math>, où <math>q:\R_+\to\R</math> est continue et intégrable. #Montrer que pour toute solution <math>y</math> bornée, <math>\lim_{+\infty}y'</math>=0. #Soient <math>u</math> et <math>v</math> deux solutions bornées. Que peut-on dire de leur wronskien <math>w</math> ? #Montrer qu'il existe des solutions non bornées. {{Solution|contenu= #Si <math>y</math> est une solution bornée alors <math>y'(x)=y'(0)-\int_0^xqy</math> admet une limite <math>\ell\in\R</math> quand <math>x\to+\infty</math> et d'après le [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Théorèmes sur la dérivation|théorème des accroissements finis]], <math>\ell=\lim_{x\to+\infty}\frac{y(2x)-y(x)}x=0</math>. #<math>w'=0</math> donc d'après la question 1, <math>w=0</math>. #Il existe deux solutions <math>u,v</math> linéairement indépendantes. Leur wronskien est alors non nul donc d'après la question 2, <math>u</math> ou <math>v</math> est non bornée. }} ==Théorèmes de Sturm : étude qualitative== On considère l'équation différentielle :<math>(E_0):\quad x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0</math>, où <math>a,b:I\to\R</math> sont des fonctions continues. #Soit <math>x</math> une solution non nulle de <math>(E_0)</math>. ##Montrer que les zéros de <math>x</math> sont simples et isolés, c'est-à-dire : si <math>x(t_0)=0</math> alors <math>x'(t_0)\ne0</math> et, dans un intervalle assez petit autour de <math>t_0</math>, le seul zéro de <math>x</math> est <math>t_0</math>. ##Montrer que si <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> sont deux zéros consécutifs de <math>x</math> alors <math>x'(\alpha)x'(\beta)<0</math>. #Soient <math>u</math> et <math>v</math> deux solutions de <math>(E_0)</math> linéairement indépendantes. ##Soient <math>\lambda,\mu\in\R</math> et <math>x=\lambda u+\mu v</math>. Déduire de la question 1.1 que si <math>x</math> et <math>x'</math> s'annulent simultanément en un point, alors <math>\lambda=\mu=0</math>. ##Retrouver ainsi (cf. [[../../Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables#Le wronskien|cours]]) que le wronskien <math>W=uv'-u'v</math> ne s'annule pas. #Déduire de tout ce qui précède que : ##<math>u</math> et <math>v</math> n'ont pas de zéro commun ; ##si <math>u</math> s'annule plusieurs fois alors, entre deux zéros consécutifs de <math>u</math>, il y a exactement un zéro de <math>v</math>. {{Solution|contenu= # ##Sachant que <math>x(t_0)=0</math>, on a <math>x'(t_0)\ne0</math> car sinon, par unicité (cf. cours : Théorème fondamental d'existence et unicité), <math>x</math> serait la fonction nulle. On a alors <math>x(t)\sim_{t\to t_0}\left(t-t_0\right)x'(t_0)</math> et par conséquent, pour <math>t\ne t_0</math> suffisamment proche de <math>t_0</math> : <math>x(t)\ne0</math>. ##Sur <math>\left]\alpha,\beta\right[</math>, <math>x</math> est de signe constant (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) donc (quitte à remplacer <math>x</math> par <math>-x</math> si nécessaire) <math>x>0</math>. Alors <math>x'(\alpha)=\lim_{t\to\alpha^+}\frac{x(t)}{t-\alpha}\ge0</math> et même (d'après la question précédente) <math>x'(\alpha)>0</math>. De même, <math>x'(\beta)<0</math>. Donc <math>x'(\alpha)x'(\beta)<0</math>. # ##Puisque <math>x</math> est solution de <math>(E_0)</math>, on déduit de 1.1 (par contraposition) que si <math>x(t_0)=x'(t_0)=0</math> alors <math>x=0</math> donc (puisque <math>(u,v)</math> est supposé libre) <math>\lambda=\mu=0</math>. ##D'après la question précédente, pour tout <math>t_0\in I</math>, on a<br /><math>\forall(\lambda,\mu)\in\R^2\quad\lambda\begin{pmatrix}u(t_0)\\u'(t_0)\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}v(t_0)\\v'(t_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow\lambda=\mu=0</math>,<br />autrement dit : les deux vecteurs <math>\begin{pmatrix}u(t_0)\\u'(t_0)\end{pmatrix}</math> et <math>\begin{pmatrix}v(t_0)\\v'(t_0)\end{pmatrix}</math> sont linéairement indépendants, ce qui se traduit par <math>W(t_0)\ne0</math>. # ##<math>\forall t\in I\quad 0\ne W(t)=u(t)v'(t)-u'(t)v(t)</math> donc <math>\left(u(t),v(t)\right)\ne(0,0)</math>. ##D'après 2.2, <math>W</math> est de signe constant. Soient <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> deux zéros consécutifs de <math>u</math>. Alors, <math>W(\alpha)=-u'(\alpha)v(\alpha)</math>, <math>W(\beta)=-u'(\beta)v(\beta)</math> et (d'après 1.2) <math>u'(\alpha)u'(\beta)<0</math>. Par conséquent, <math>v(\alpha)v(\beta)<0</math> donc <math>v</math> s'annule au moins une fois entre <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>. Mais pas deux fois car sinon (en inversant les rôles de <math>u</math> et <math>v</math> dans ce résultat), il y aurait au moins un zéro de <math>u</math> entre deux zéros consécutifs de <math>v</math> dans <math>\left]\alpha,\beta\right[</math>, ce qui est exclu par le choix de <math>(\alpha,\beta)</math>. Voir aussi {{Lien web|url=http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/equadiff/eqlineairestheorie&type=fexo|titre=cette feuille d'exercices|site=bibmath.net}}. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Équation différentielle du premier ordre/]] | suivant = [[../Application en démographie/]] }} pd6526m74jije15wxlyhx2gto3mgx2r 0 22060 986198 659253 2026-09-02T18:08:10Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986198 wikitext text/x-wiki {{Unicode}} {{Annexe | titre_leçon = Grammaire turque | idfaculté = langues | leçon = [[../../|Grammaire turque]] | numéro = 1 | niveau = 2 | précédent = [[../../|Sommaire]] }} Certains caractères de l'alphabet turc ne sont pas facilement accessibles depuis certains claviers d'ordinateurs; si vous ne disposez pas de clavier turc (ou de clavier virtuel turc à l'écran), voici un tableau qui peut vous être utile. {{Entête tableau charte}} !Lettre !Codage Unicode !HTML !Windows !{{abréviation|Mac OS|Macintosh Operating System|en}} !Linux (Ubuntu) !Microsoft Word |- |Ç||U+00C7||Ç||Alt+0199||Shift+Alt+c||Ctrl+Shift+u+00c7 Entrée||Ctrl+"," puis C |- |ç||U+00E7||Ç||Alt+0231||Alt+c||Ctrl+Shift+u+00e7 Entrée||Ctrl+"," puis c |- |Ğ||U+011E||&#286;||Alt+0208|| ||Ctrl+Shift+u+011e Entrée|| |- |ğ||U+011F||&#287;||Alt+0240|| ||Ctrl+Shift+u+011f Entrée|| |- |İ||U+0130||&#304;||Alt+0221|| ||Ctrl+Shift+u+0130 Entrée|| |- |ı||U+0131||&#305;||Alt+0253|| ||Ctrl+Shift+u+0131 Entrée|| |- |Ö||U+00D6||Ö||Alt+0214|| ||Ctrl+Shift+u+00d6 Entrée|| |- |ö||U+00F6||Ö||Alt+0246|| ||Ctrl+Shift+u+00f6 Entrée|| |- |Ş||U+015E||&#350;||Alt+0222|| ||Ctrl+Shift+u+015e Entrée|| |- |ş||U+015F||&#351;||Alt+0254|| ||Ctrl+Shift+u+015f Entrée|| |- |Ü||U+00DC||Ü||Alt+0220|| ||Ctrl+Shift+u+00dc Entrée|| |- |ü||U+00FC||Ü||Alt+0252|| ||Ctrl+Shift+u+00fc Entrée|| |} Vous pouvez également trouver un clavier virtuel turc en ligne sur [http://www.lexilogos.com/clavier/turkce.htm le site Lexilogos]. Pour les utilisateur de Windows, vous pouvez également télécharger la barre d'outil internationale d'Office pour accéder facilement à ces caractères spéciaux turcs sur [http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyID=d8e70fd2-39a4-4a01-8382-dfe35bcbac03&displaylang=fr&Hash=ncIwCEGbgXzt5e4km2g9gPG838NeX%2fD7aUKdMMQZdHDo6U1%2beQ6moXU7E6Ab2taoUAfgxMpcZ7eLTrIzIciDUw%3d%3d le site de Microsoft]. Vous pouvez également télécharger la police de caractères turcs en suivant [http://www.freelang.com/polices/index.html ce lien]. {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../../|Grammaire turque]] | précédent = [[../../|Sommaire]] }} eup4vssb1us3qfd9ypmzm8as9ghi7fk 0 23408 986199 969012 2026-09-02T18:08:20Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986199 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Définitions/]] | suivant = [[../Dérivation formelle/]] | niveau = 14 | page_liée = Exercices/Arithmétique des polynômes }} <math>K</math> désigne toujours un corps commutatif et <math>K[X]</math> l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps. == Division euclidienne et divisibilité dans ''K''[''X''] == {{Théorème | titre = Théorème et définition : Division euclidienne dans ''K''[''X''] | contenu = Il existe une unique division euclidienne dans <math>K[X]</math>, c'est-à-dire : :<math>\forall A,B \in K[X] \times (K[X]\setminus\{0\})\quad\exists ! (Q,R) \in (K[X])^2\quad A = BQ + R \mathrm{\;et\;} \deg R < \deg B</math>. <math>Q</math> est appelée '''quotient''' de <math>A</math> par <math>B</math> et <math>R</math> '''reste'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. Avec les notations du théorème : * '''Le couple (''Q'', ''R''), s'il existe, est unique :''' La démonstration se fonde sur une propriété du [[w:degré d'un polynôme|degré d'un polynôme]] ; le degré du produit de deux polynômes ''M'' et ''N'' est égal à la somme des degrés de chaque polynôme : <center><math>\text{deg } (MN) = \text{deg }M + \text{deg }N</math></center> On suppose l'existence de deux couples (''Q''₁, ''R''₁), (''Q''₂, ''R''₂) résultats de la division euclidienne de ''A'' par ''B'', on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités : <center><math>A = BQ_1 + R_1,\quad A = BQ_2 + R_2 \quad\text{donc}\quad (1)\quad B(Q_1-Q_2)=R_2-R_1.</math></center> Le polynôme ''B''(''Q''{{ind|1}} – ''Q''{{ind|2}}) est donc de degré strictement inférieur à celui de ''B'', ce qui n'est possible que si ''Q''{{ind|1}} – ''Q''{{ind|2}} est nul. L'égalité (1) montre alors que ''R''{{ind|1}} – ''R''{{ind|2}} est aussi nul. * '''Il existe un couple (''Q'', ''R'') satisfaisant l'identité de la division euclidienne :''' Soient ''m'' et ''n'' les degrés de ''A'' et ''B''. Si ''m < n ''(y compris si ''m ''= {{formule|–∞}}, c'est-à-dire si ''A ''= 0), il suffit de prendre ''Q'' égal au [[w:Polynôme constant|polynôme constant]] 0 et ''R'' égal à ''A'' pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Soit ''p ≥ n'' ; supposons la propriété démontrée pour toute valeur de ''m ''strictement inférieure à ''p ''et montrons-la pour ''m = p''. Pour cela, notons <center><math>A = a_mX^m + a_{m-1}X^{m-1} + \cdots + a_0 \quad \text{et}\quad B = b_nX^n + b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_0 \quad\text{avec}\quad b_n\neq 0</math></center> et posons <center><math>(2)\quad A_1=A-\frac {a_m}{b_n}X^{m-n} B.</math></center> Ce polynôme est de degré inférieur à ''m'', strictement (car les monômes de degré ''m ''des deux membres de cette différence sont égaux donc s'éliminent). On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : il existe deux polynômes ''Q''₁ et ''R''{{ind|1}} tels que : <center><math>(3)\quad A_1=Q_1B+R_1\quad \text{avec}\quad \deg R_1< \deg B.</math></center> En combinant (2) et (3), on obtient : <center><math>A=\left(\frac {a_m}{b_n}X^{m-n}+Q_1\right)B + R_1\quad\text{avec}\quad \deg R_1< \deg B,</math></center> ce qui établit la proposition.}} '''Exemple''' : Division de x{{exp|4}}-x{{exp|3}}+x{{exp|2}}-x+8 par x{{exp|2}}+3x+1 * ''Étape 1'' : division de x{{exp|4}}-x{{exp|3}}+x{{exp|2}} par x{{exp|2}}+3x+1 (quotient x{{exp|2}}, reste -4x{{exp|3}}) :{| border="0" cellspacing="0" |- style="text-align:right" | x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1 |- style="text-align:right" |x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || || style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black" |x{{exp|2}} |- style="text-align:right" | style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | || || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |} * ''Étape 2'' : division de -4x{{exp|3}} - x par x{{exp|2}} + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x{{exp|2}} + 3x) :{| border="0" cellspacing="0" |- style="text-align:right" | x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1 |- style="text-align:right" |x{{exp|4}} ||-3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || || style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black" |x{{exp|2}} - 4x |- style="text-align:right" | style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | ||- x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |- style="text-align:right" | ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |- style="text-align:right" | || style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |+ 12x² || style="border-top:thin solid black" |+ 3x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |} * ''Étape 3'' : division de 12x{{exp|2}} - 3x + 8 par x{{exp|2}} + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4) :{| border="0" cellspacing="0" |- style="text-align:right" | x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1 |- style="text-align:right" |x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || || style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black" |x{{exp|2}} - 4x + 12 |- style="text-align:right" | style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | ||- x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |- style="text-align:right" | ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x || || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |- style="text-align:right" | || style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |+ 12x² || style="border-top:thin solid black" |+ 3x ||+ 8 || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |- style="text-align:right" | || || 12x{{exp|2}}||+ 36x ||+12 || style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |- style="text-align:right" | || || style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 33x || style="border-top:thin solid black" |- 4|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | |} * ''Conclusion'' : x{{exp|4}} - x {{exp|3}} + x{{exp|2}} - x + 8 = (x{{exp|2}} + 3x + 1)(x{{exp|2}} - 4x + 12) - 33x - 4 {{Définition | titre = Définition : Divisiblité | contenu = Soient <math>A</math> et <math>B</math> deux polynômes. On dit que <math>B</math> '''divise''' <math>A</math> (ce qu'on note <math>B\mid A</math>) s'il existe <math>P\in K[X]</math> tel que <math>A = PB</math> : :<math>B\mid A\iff \exists P\in K[X]\quad A = PB</math>. }} {{Propriété | titre = Propriétés | contenu = Soient <math>A,B,C\in K[X]</math> et <math>\lambda\in K^*</math>. #<math>A\mid\lambda \iff A\text{ constant.}</math> #<math>A\mid B\text{ et }B\mid C\Rightarrow A\mid C</math> ([[Relation (mathématiques)/Définition|transitivité]]). #<math>A\mid B\text{ et }A\mid C\Rightarrow A\mid BU+CV\quad\forall U,V\in K[X]</math>. #<math>\left(A\mid B\text{ et }B\mid A\right) \iff \left(\exist \mu\in K^*\quad A=\mu B\right)</math>. }} Les démonstrations se font comme dans <math>\Z</math> (voir le cours d'[[arithmétique]]). == PGCD et PPCM == === Définitions === {{Définition | titre = Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes | contenu = Soient <math>A,B\in K[X]</math>. * Un '''PGCD (Plus Grand Diviseur Commun)''' de <math>A</math> et <math>B</math> est un polynôme <math>D</math> qui divise <math>A</math> et <math>B</math> et tel que tout diviseur commun à <math>A</math> et <math>B</math> divise <math>D</math> (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") . * Un '''PPCM (Plus Petit Commun Multiple)''' de <math>A</math> et <math>B</math> est un polynôme <math>M</math> qui est divisible par <math>A</math> et <math>B</math> et tel que tout multiple commun à <math>A</math> et <math>B</math> soit divisible par <math>M</math> (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") . }} '''Remarques :''' * <math> P\mid Q \iff \operatorname{pgcd}(P,Q) = P \iff \operatorname{ppcm}(P,Q) = Q</math>. *Deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près). * Comme dans <math>\mathbb Z</math>, deux polynômes sont dits '''premiers entre eux''' si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant). === [[Arithmétique/PGCD|Algorithme d'Euclide]] === Il est le même que dans <math>\mathbb Z</math>. On établit le lemme d'Euclide : {{Lemme | titre = Lemme d'Euclide | contenu = Soient <math>A,B\in K[X]</math>. Alors <math>\forall Q,R\in K[X]</math>, si <math>A = BQ+R</math> on a : :<math>\operatorname{pgcd}(A,B) = \operatorname{pgcd}(B,R)</math>. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Il faut montrer que l’ensemble <math>\mathcal D(A,B)</math> des diviseurs communs à <math>A</math> et <math>B</math> est égal à <math>\mathcal D(B,R)</math>. Soit <math>C</math> un diviseur de <math>B</math>. ALors, <math>C\mid A\Rightarrow C\mid A-BQ=R</math> et réciproquement, <math>C\mid R\Rightarrow C\mid BQ+R=A</math>. On a bien l'égalité <math>\mathcal D(A;B) = \mathcal D(B;Q)</math> : si ces ensembles sont égaux, alors leurs plus grands éléments aussi, d'où le résultat. }} On en déduit l'algorithme d'Euclide : Soient <math>A,B\in K[X]</math> tels que <math>\deg A>\deg B</math>. {| border="1" align="center" | valign="center" ! Opération !! Reste <math>R</math> !! Commentaires |- valign="center" align="center" | | on divise <math>A</math> par <math>B</math> | <math>R_0</math> | <math>\deg 0\le \deg R_0<\deg B \mbox{ et } pgcd(A,B)=pgcd(B,R_0)</math> |- valign="center" align="center" | | si <math>R_0\neq 0</math>, on divise <math>B</math> par <math>R_0</math> | <math>R_1</math> | <math>\deg 0\le \deg R_1<\deg R_0 \mbox{ et } pgcd(B,R_0)=pgcd(R_0,R_1)</math> |- valign="center" align="center" | | … | … | … |- valign="center" align="center" | | si <math>R_n\neq 0</math>, on divise <math>R_{n-1}</math> par <math>R_n</math> | <math>0</math> | <math>pgcd(R_{n-1},R_n)=R_n</math> |} == Théorèmes d'arithmétique == Ces théorèmes se démontrent comme dans <math>\Z</math>. {{Théorème | titre = Théorème de Bézout | contenu = * <math>\forall A,B\in K[X]\quad\exists U,V\in K[X]\quad AU+BV = \operatorname{pgcd}(A,B)</math>. * <math>\operatorname{pgcd}(A;B) = 1 \iff \left(\exists U,V \in K[X]\quad AU+BV = 1\right)</math>. }} {{Théorème | titre = Théorème de Gauss | contenu = Soient <math>A,B,C\in K[X]</math>. Si <math>A\mid BC</math> et <math>\operatorname{pgcd}(A,B) = 1</math>, alors <math>A\mid C</math>. }} == Idéaux de ''K''[''X''] == {{Théorème | contenu = ''K''[''X''] est un [[Anneau (mathématiques)/Anneau principal|anneau '''principal''']], ce qui signifie que tout [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Idéaux|idéal]] de ''K''[''X''] est principal : plus précisément, si <math>I</math> est un idéal de ''K''[''X''], alors : :<math>\exists P\in K[X]\quad I = (P) = \{PQ\mid Q\in K[X]\}</math>. }} {{Démonstration déroulante | contenu = L'idéal <math>\{0\}</math> est engendré par le polynôme nul. Soit maintenant <math>I</math> un idéal non nul de <math>K[X]</math>. Soit, parmi les éléments non nuls de <math>I</math>, un polynôme <math>B</math> de degré minimum. Comme <math>B\in I</math>, par définition d'un idéal, <math> (B) \subset I</math>. Réciproquement, soit <math>A\in I </math>. Par division euclidienne de <math>A</math> par <math>B</math>, il existe <math>Q,R\in K[X]</math> tels que <math>A=BQ+R</math> et <math>\deg(R)<\deg(B)</math>. Le polynôme <math>R=A-BQ</math> appartient à <math>I</math>, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par choix de <math>B</math>, la condition <math>\deg(R)<\deg(B)</math> implique <math>R=0</math> donc <math>A=BQ\in(B)</math>. Ceci prouve que <math>I\subset(B)</math> donc finalement, <math>I=(B)</math>. }} == Polynômes premiers et irréductibles == {{Définition | titre = Définition : Polynômes premiers et irréductibles | contenu = Soit <math>P\in K[X]</math> non constant. * Le polynôme <math>P</math> est dit '''irréductible''' si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme <math>\lambda P\;(\mathrm{avec\;} \lambda\in K)</math>. * Le polynôme <math>P</math> est dit '''premier''' si : *:<math>\forall A,B\in K[X]\quad P\mid AB \Rightarrow\left(P\mid A\text{ ou }P\mid B\right)</math>. }} [[Anneau (mathématiques)/Anneau principal#Factorialité de A, décomposition primaire|Comme dans tout anneau vérifiant le théorème de Gauss]], on a : {{Corollaire | contenu = Un polynôme est premier si (et seulement si) il est irréductible. }} Mieux : on a vu que <math>K[X]</math> est [[Anneau (mathématiques)/Anneau principal#Factorialité de A, décomposition primaire|principal ; on en déduit]] : {{Corollaire | contenu = L'anneau <math>K[X]</math> est '''factoriel''' ; cela signifie que tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles, unique à l’ordre des facteurs près et à association près. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Définitions/]] | suivant = [[../Dérivation formelle/]] }} tjp8gjtih1zogri1c19zl9c8wftzmkr 0 23781 986200 910721 2026-09-02T19:05:04Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986200 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = transport | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Maîtrise de la moto à allure lente/]] | niveau = intermédiaire }} == Règlementation du permis == === Les différentes puissances === Le permis A1 permet à une personne, de {{unité|16|ans}} minimum, de pouvoir circuler avec une motocyclette d'une cylindrée inférieure à {{unité|125|cm|3}} et dont la puissance est inférieure à {{unité|11|kW}} (environ 15 cv). Le permis A, permet à une personne, de {{unité|18|ans}} minimum, de pouvoir circuler avec une motocyclette dont la puissance est inférieure à {{unité|25|kW}} (environ 34 cv) et dont le rapport puissance/poids ne dépasse pas 0,16 kW/kg. Le permis A, permet à une personne de {{unité|21|ans}} minimum ou ayant {{unité|2|ans}} révolus d'obtention de permis A s'il l'a obtenu avant ses {{unité|21|ans}}, de pouvoir circuler avec un motocyclette dont la puissance est inférieure à {{unité|74|kW}} (environ 100 cv). L'âge, permettant de connaître les restrictions de cylindrée et de puissance imposées, est pris à la date du passage de la première épreuve de l'examen du permis : épreuve de maniabilité et de sécurité hors circulation. === La règlementation de l'examen === Les permis A et A1 sont délivrés après avoir réussi les 3 épreuves indépendantes du permis qui sont : * Épreuve de maniabilité et de sécurité hors circulation * Interrogations orales * Épreuve en circulation Pour passer la première épreuve de l'examen du permis, le candidat doit avoir réussi l'examen théorique du code de la route depuis au maximum trois ans, ou alors avoir réussi l'examen d'un précédent permis routier depuis au maximum cinq ans. == Les différentes épreuves de l'examen == Chaque exercice de chacune des épreuves est noté de A à C. L'examen est réussi si le candidat obtient au moins 1 A et n'a pas obtenu un seul C. === Épreuve de maniabilité et de sécurité hors circulation === Cette épreuve comporte deux exercices qui sont choisis par tirage au sort par l'un des candidats pour l’ensemble des candidats. Cette épreuve permet de vérifier la capacité du candidat à : * Manœuvrer une motocyclette à pied * Manœuvrer à vitesse lente, avec et sans passager, une motocyclette * Connaître les équipements de base d'une motocyclette === Interrogations orales === Cette épreuve comporte deux exercices qui sont choisis au sort. Un exercice sur l'une des vingt fiches liées au monde du motard et de la moto, l'autre exercice sur l'une des 40 fiches sur la signalisation orientée côté motard. === Épreuve en circulation === L'épreuve sur circulation est une épreuve d'une durée de 30 minutes environ en imprégnation dans la circulation. {{Bas de page | idfaculté = transport | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Maîtrise de la moto à allure lente/]] }} rp41ag7x7suzyqnek75f59b74n7vnfj 0 24407 986201 969100 2026-09-02T19:05:20Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986201 wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française. Ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités, on a les grandeurs suffisantes pour en créer et en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un symbole : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant '''<math>\frac 1{299792458}</math>''' seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole associé à l'unité : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = {{unité|0.19|{{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 ligne = 12 points = {{unité|2.256| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pouce = 12 lignes = {{unité|27| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pied-de-roi = 12 pouces = {{unité|325| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes utilisés au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|3 |milles}} * 1 mile = {{unité|1609.344|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|8| furlong}} * 1 furlong = {{unité|201.168|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|220 |yards}} * 1 chain = {{unité|20,1168|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|66|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|5.5| yards}} * 1 yard = {{unité|0.9144|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|3|pieds}} = {{unité|36| pouces}} * 1 pied = {{unité|0.3048|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|12| pouces}} * 1 pouce = {{unité|0.0254|{{abréviation|m|mètre}}}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 2 yards === Unités astronomiques === * 1 parsec = '''<math>3,085677581 \times 10^{16}</math>''' m * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870700}} m * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580800|m}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371200|m}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848800|m}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547480}} m = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792458|m}} === Unités microscopiques === * 1 angström = '''<math>10^{-10}</math>''' mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * {{unité|1|are}} = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = {{unité|0.4046873|ha}} * 1 Square inch (sq in)= {{unité|6.451626|cm|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = {{unité|0.09290341|m|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = {{unité|0.8361307|m|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = {{unité|2.589998|km|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = {{unité|0.4046842|ha}} * 1 Square inch (sq in) = {{unité|6.451578|cm|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = {{unité|0.09290272|m|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = {{unité|0.8361245|m|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = {{unité|2.589979|km|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts US * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = {{Unité|3.78541|litres}} * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * {{unité|1|joule}} = 1 kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = {{unité|0.239|calorie}} = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * {{unité|1|calorie}} = {{unité|4.1868|Joules}} = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = {{unité|1055.056|joules}} = {{unité|252|calories}} == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = {{unité|0.45359|kilogramme}} = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = {{unité|907.185|kilogrammes}} * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,660538782x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1 kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} ; * <math>K</math> = <math>^\circ C</math> + 273.15 = <math>\frac{5 (^\circ F + 459,67)}{9}</math> ; * <math>^\circ F</math> = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math> + 32 . <references />{{Cours/Référents}} 9p2z9qfmrkytezw7d51n0yqtja4anlw 0 24561 986202 677484 2026-09-02T19:05:30Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986202 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = chimie | numéro = 2 | précédent = [[../Lois de la thermochimie/]] | suivant = [[../Préparation du dihydrogène par reformage du méthane/]] | niveau = 14 }} == Exercice 1 == ''Données'' : * Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J.mol{{exp|-1}}.K {{exp|-1}} * Numéros atomiques : Z_P = 15 ; Z_Cl = 17 * Enthalpies de formation standard ∆_f H{{exp|0}} et entropie standard S{{exp|0}} à 298 K : {|class="wikitable" ! scope="col" | corps ! scope="col" | ∆_f H{{exp|0}} (kJ.mol{{exp|-1}}) ! scope="col" | S{{exp|0}} (J.K{{exp|-1}}.mol{{exp|-1}}) |----- | P (s) (blanc) | 0 | 58,9 |- | P (s) (rouge) | -17,56 | 22,8 |----- | P₄ (g) | 22,8 | 279,9 |} '''1.''' Il existe deux formes du phosphore solide : le phosphore rouge et le phosphore blanc (très toxique). :'''a.''' Calculer μ°_{P(s) (blanc)} − μ°_{P (s) (rouge)} à 298 K . :'''b.''' En conclure que l’on fait, dans le cas du phosphore, une exception pour le choix de l'état standard de référence. '''2.''' Par chauffage, le phosphore rouge se sublime en phosphore gazeux de formule P₄ : <div style="text-align: center;">4 P (s) (rouge)</sub> = P₄ (g)</div> :'''a.''' Exprimer l'enthalpie libre standard de cette réaction en fonction de la température T en faisant l'approximation d'Ellingham. On donnera le résultat sous forme d'une fonction de T avec des coefficients numériques. :'''b.''' En déduire une expression de la pression de la vapeur de phosphore à l'équilibre en fonction de T. :'''c.''' Pour quelle température la pression de vapeur du phosphore à l'équilibre est-elle égale à 1 bar ? {{Solution | contenu = :'''1.a.''' <div style="text-align: center;"> <math>\begin{align} \mu ^\circ _{P_{(s)(blanc)}}-\mu^\circ _{P_{(s)(rouge)}} & = \Big( \Delta _fH^\circ _{P_{(s)(blanc)}}-\Delta _fH^\circ _{P_{(s)(rouge)}}\Big) -T\Big( S^\circ _{P_{(s)(blanc)}}-S^\circ _{P_{(s)(rouge)}}\Big) \\ & = \Big( 0-(-17,56)\Big) .10^3-298\times(41,1-22,8) \\ & = \underline{12,1\,kJ.mol^{-1}} \\ \end{align}</math> </div> :'''1.b.''' <u>La forme la plus stable</u> est celle dont le <u>potentiel chimique est le plus bas</u>, c’est donc le <u>phosphore rouge</u>. Or le tableau attribue une enthalpie standard de formation nulle au phosphore blanc qui est donc le corps pur simple dans l'état standard de référence associé à l'élément '''P'''. Comme il s'agit normalement de la forme la plus stable, il y a ici une exception. :'''2.a.''' <math>\Delta _rH^\circ (298)=\Delta _fH^\circ _{P_{4(g)}}(298)-4\times\Delta _fH^\circ _{P_{(s)(rouge)}}(298)=58,9-4\times(-17,56)=\underline{129,14\,kJ.mol^{-1}}</math> <math>\Delta_rS^\circ (298)=S^\circ _{P_{4(g)}}(298)-4\times S^\circ _{P_{(s)(rouge)}}(298)=279,9-4\times(22,8)=\underline{188,7\,J.K^{-1}\,.mol^{-1}}</math> Dans l'approximation d'Ellingham, on a: <math>\Delta _rH^\circ (T)\simeq \Delta _rH^\circ (298)</math> et <math>\Delta_rS^\circ (T)\simeq \Delta _rS^\circ (298)</math>. Il vient donc : <div style="text-align: center;"><math>\Delta _rG^\circ (T)\simeq \Delta_rH^\circ (298)-T\Delta_r S^\circ (298)=\underline{129,14-0,1887\times T\,(kJ.mol^{-1})}</math></div> :'''2.b.''' À l'équilibre, la loi d'action de masse s'écrit : <math>\frac{a_{P_{4(g)}}}{\Big( a_{P_{(s)}}\Big) ^4}=K^\circ (T)=\exp \Bigg( -\frac{\Delta_rG^\circ (T)}{RT}\Bigg)</math>. ::Or: <div style="text-align: center;"><math>a_{P_{(s)}}</math> = 1 (solide pur), <math>a_{P_{4(g)}}=\frac{_{P_{4(g)}}}{P^\circ}</math> avec <math>P^\circ</math> = 1 bar. </div> Il vient donc : <div style="text-align: center;"><math>P_{P_{4(g)}}=P^\circ \exp \Bigg( -\frac{\Delta_rG^\circ (T)}{RT}\Bigg)=\underline{\exp \Bigg( 22,70-\frac{15533}{T} \Bigg) (bar)}</math></div> :'''2.c.''' <math>P_{P_{4(g)}}</math> = 1 bar <math>T_{eb}=\frac{15532}{22,63}=\underline{684K=411^\circ C}</math>. C'est la température d'ébullition du phosphore rouge sous 1 bar. }} {{Bas de page | idfaculté = chimie | précédent = [[../Lois de la thermochimie/]] | suivant = [[../Préparation du dihydrogène par reformage du méthane/]] }} jzhkky8gt464jjjy0kd6l38eg92g8os 0 24662 986203 951868 2026-09-02T19:05:40Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986203 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | chapitre = [[../../Méthode de Cardan/]] | précédent = [[../Sur les tracés de courbes/]] | suivant = [[../Simplification des racines/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{Clr}} == Exercice 4-1 == Résoudre par la méthode de Cardan les quatre équations suivantes : a) <math>x^3 - 18x - 35 =0</math> ; b) <math> x^3 - 3x- 1 =0</math> ; c) <math> x^3 - 3x^2 - 1=0</math> ; d) <math>6x^3-6x^2+12x+7=0</math> ; {{Solution|titre=Solution de la question a)|contenu= Considérons l'équation <math>x^3 - 18x - 35 =0</math>. Le coefficient de <math>x^2</math> est nul donc nous n'effectuons pas de changement de variable préliminaire. Posons : :<math>x= u + v</math>. On obtient : :<math> (u + v)^3 -18(u + v) - 35=0</math>, qui peut s'écrire : :<math> (u^3 + v^3) + 3(uv -6)(u + v) - 35=0</math>. En imposant :<math> uv =6</math>, on a donc : :<math>u^3 + v^3 = 35,\qquad u^3v^3 =216</math>. ''u''{{exp|3}} et ''v''{{exp|3}} sont donc racines de l'équation : :<math>X^2 - 35X + 216 = 0</math>, dont les racines sont 27 et 8. La paire <math>\{u,v\}</math> (vérifiant <math>uv=6</math>) a donc trois valeurs possibles : :<math>\{u_0,v_0\}=\{3,2\}</math> ; :<math>\{u_1,v_1\}=\{3\mathrm j,2\overline{\mathrm j}\}</math> ; :<math>\{u_2,v_2\}=\{3\overline{\mathrm j},2\mathrm j\}</math>. En reportant dans <math>x=u+v</math>, on obtient les trois solutions de l'équation que l'on s'était donné de résoudre : :<math>x_0=3+2=5,\qquad\{x_1,x_2\}=\left\{3\mathrm j+2\overline{\mathrm j},\;3\overline{\mathrm j}+2\mathrm j\right\}=\left\{\frac{-5+\mathrm i\sqrt3}2,\frac{-5-\mathrm i\sqrt3}2\right\}</math>. }} {{Solution|titre=Solution de la question b) |contenu= Posons :<math>x = u + v</math>. On obtient : :<math>(u+v)^3-3(u+v)- 1=0</math>, qui se simplifie sous la forme : :<math>u^3+v^3+(3uv-3)(u+v)-1=0</math>. Nous poserons alors : :<math>3uv-3 =0</math>, soit : :<math>uv =1</math>. On obtient le système : :<math>\begin{cases} u^3+v^3 = 1\\ u^3v^3 = 1. \end{cases}</math> ''u''{{exp|3}} et ''v''{{exp|3}} sont alors les racines de l'équation : :<math>X^2 - X + 1 = 0</math> Les deux racines de cette équation sont : :<math>\begin{cases} u^3=\frac{1+\mathrm i\sqrt3}2=\operatorname e^\frac{\mathrm i\pi}3\\ v^3=\frac{1-\mathrm i\sqrt3}2=\operatorname e^\frac{-\mathrm i\pi}3. \end{cases}</math> Compte tenu de la condition <math>uv = 1</math>, on en déduit : :<math> u =\mathrm j^k\operatorname e^\frac{\mathrm i\pi}9,\quad v =\overline u,\quad k\in\{-1,0,1\} </math>. En reportant dans <math>x = u + v</math>, on obtient : :<math> x_k=\operatorname e^{\frac{\mathrm i\pi}9+k\frac{2\mathrm i\pi}3}+\operatorname e^{-\frac{\mathrm i\pi}9-k\frac{2\mathrm i\pi}3}=\operatorname e^{\frac{(1+6k)\mathrm i\pi}9}+\operatorname e^{-\frac{(1+6k)\mathrm i\pi}9}\quad k\in\{-1,0,1\} </math> En tenant compte des formules d'Euler, on obtient finalement : :<math> x_0= 2\cos\frac\pi9,\quad x_1= 2\cos\frac{7\pi}9,\quad x_{-1}= 2\cos\frac{5\pi}9 </math>. }} {{Solution|titre=Solution de la question c) |contenu= Nous avons une équation de la forme : :<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math> avec : :<math> a = 1,\qquad b = -3,\qquad c = 0,\qquad d = -1</math>. Pour supprimer le monôme de degré 2, commençons par faire le changement de variable : :<math> x = z - \frac b{3a} = z + 1</math>. Nous obtenons : :<math> (z + 1)^3 - 3(z + 1)^2 - 1 =0</math>. En développant et en regroupant par degrés, on obtient : :<math> z^3 - 3z - 3 =0</math>. Posons : :<math> z = u + v</math>. On obtient : :<math> (u + v)^3 - 3(u + v) - 3=0</math>, qui peut s'écrire : :<math> (u^3 + v^3) + 3(uv - 1)(u + v) - 3=0</math>. Posons : :<math> uv =1</math>. On obtient : :<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = 3 \\ u^3v^3 = 1 \end{matrix}\right. </math> ''u''{{exp|3}} et ''v''{{exp|3}} sont donc racines de l'équation : :<math> X^2 - 3X + 1=0</math>, c'est-à-dire : :<math>\{u^3,v^3\}=\left\{\frac{3+\sqrt5}2,\frac{3-\sqrt5}2\right\}</math>. La paire <math>\{u,v\}</math> (vérifiant <math> uv = 1</math>) a donc trois valeurs possibles : :<math>\{u_0,v_0\}=\left\{\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math> ; :<math>\{u_1,v_1\}=\left\{\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math> ; :<math>\{u_2,v_2\}=\left\{\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math>. En reportant dans ''z'' = ''u'' + ''v'' puis ''x'' = ''z'' + 1, nous en déduisons finalement les trois solutions (une réelle et deux complexes conjuguées) de l'équation que l'on s'était donné de résoudre : :<math>x_0=\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1,\qquad\{x_1,x_2\}=\left\{\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1,\;\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1\right\}</math>. }} {{Solution|titre=Solution de la question d) |contenu= Soit à résoudre l'équation : :<math>6x^3-6x^2+12x+7=0</math>. Posons <math>x = z + \frac13</math>. On obtient en remplaçant et en développant : :<math>54z^3+90z+95 =0</math>. Posons alors <math>z = u + v </math>. On obtient :<math>54(u+v)^3+90(u+v)+ 95 = 0</math>, qui s'écrit : :<math>54(u^3+v^3)+(162uv+90)(u+v)+95=0</math>. En imposant <math>162uv+90 = 0 </math>, c’est-à-dire <math>uv = -\frac59</math>, on a donc : :<math>u^3+v^3 = -\frac{95}{54},\quad u^3v^3 = -\frac{125}{729} </math>. <math>u^3</math> et <math>v^3</math> sont donc les racines de l'équation : :<math>X^2 + \frac{95}{54}X -\frac{125}{729} = 0</math>, c'est-à-dire : :<math>\{u^3,v^3\}=\left\{\frac5{2\cdot 27},-\frac{50}{27}\right\}</math>. Les trois paires <math>\{u,v\}</math> vérifiant <math>uv=-\frac59</math> sont donc : :<math>\{u_0,v_0\}=\left\{\frac13\sqrt[3]{\frac52},-\frac13\sqrt[3]{50}\right\},\qquad\{u_1,v_1\}=\{\mathrm ju_0,\overline{\mathrm j}v_0\},\qquad\{u_2,v_2\}=\{\overline{\mathrm j}u_0,\mathrm jv_0\}</math>. En reportant dans <math>z = u + v </math> puis <math>x = z + \frac13</math>, on obtient finalement les trois solutions (une réelle et deux complexes conjuguées) de l'équation que l'on s'était donné de résoudre : <math>x_0 = \frac13\left(\sqrt[3]{\frac52} - \sqrt[3]{50} + 1\right),\qquad\{x_1,x_2\}=\left\{\frac13\left(\mathrm j\sqrt[3]{\frac52}-\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{50} + 1\right),\;\frac13\left(\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{\frac52}-\mathrm j\sqrt[3]{50} + 1\right)\right\}</math>. }} == Exercice 4-2 == Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes : a) <math>x^3-6x^2+9x-1 = 0</math> ; b) <math> 3x^3 + 9x^2 - 9x - 29 =0</math>. {{Solution|titre=Solution de la question a) |contenu= Considérons l'équation <math>x^3-6x^2+9x-1 = 0</math>. Pour supprimer le monôme de degré 2, posons <math>x=z+2</math>. L'équation devient : :<math>z^3-3z+1=0</math>. Posons alors :<math>z = u + v</math>. On obtient :<math>(u+v)^3-3(u+v)+ 1 = 0</math>, qui s'écrit : :<math>u^3+v^3+(3uv-3)(u+v)+1=0</math>. En imposant :<math>uv = 1</math>, on a donc : :<math>u^3+v^3=-1\qquad\text{et}\qquad u^3v^3=1</math>. <math>u^3</math> et <math>v^3</math> sont donc les deux racines de l'équation : :<math>X^2 + X + 1 = 0</math>, c'est-à-dire :<math>\{u^3,v^3\}=\{\mathrm j,\overline{\mathrm j}\}=\{\operatorname e^{\frac{2\mathrm i\pi}3},\operatorname e^{\frac{-2\mathrm i\pi}3}\}</math>. Les trois paires <math>\{u,v\}</math> vérifiant <math>uv=1</math> sont donc : :<math>\{u_k,v_k\}=\left\{\mathrm j^k\operatorname e^{\frac{2\mathrm i\pi}9},\mathrm j^{-k}\operatorname e^{-\frac{2\mathrm i\pi}9}\right\}=\left\{\operatorname e^{\frac{2\mathrm i\pi(1+3k)}9},\operatorname e^{-\frac{2\mathrm i\pi(1+3k)}9}\right\},\quad k\in\{0,1,2\}</math>. En reportant dans <math>z = u + v </math>, on obtient <math>z_k=2\cos\left(\frac{2\pi(1+3k)}9\right)</math>, soit : :<math>z_0=2\cos\frac{2\pi}9,\qquad z_1=2\cos\frac{8\pi}9,\qquad z_2=2\cos\frac{4\pi}9</math>, d'où les solutions <math>x_k=z_k+2</math>. }} {{Solution|titre=Solution de la question b) |contenu= Nous avons une équation de la forme : :<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math> avec : :<math> a = 3 \qquad b = 9 \qquad c = -9 \qquad d = -29 ~</math> Pour supprimer le monôme de degré 2, nous commencerons par faire le changement de variable : :<math> x = z - \frac{b}{3a} = z - 1 ~</math> Nous obtenons : :<math> 3(z - 1)^3 + 9(z - 1)^2 - 9(z - 1) - 29 = 0 ~</math> En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient : :<math> 3z^3 - 18z - 14 = 0 ~</math> Posons : :<math> z = u + v ~</math> On obtient : :<math> 3(u + v)^3 - 18(u + v) - 14 = 0 ~</math> Qui peut s'écrire : :<math> 3(u^3 + v^3) + 9(uv - 2)(u + v) - 14 = 0 ~</math> Posons : :<math> uv = 2 ~</math> On obtient : :<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = \frac{14}{3} \\ u^3v^3 = 8 \end{matrix}\right. </math> u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont donc racines de l'équation : :<math> X^2 - \frac{14}{3}X + 8 = 0 ~</math> Qui a pour racines : :<math> \left\{\begin{matrix} u^3 = \frac{7+i\sqrt{23}}{3} \\ v^3 = \frac{7-i\sqrt{23}}{3} \end{matrix}\right. </math> Tout cela pour dire en fait que ''u'' a trois valeurs possibles qui sont : :<math> u = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad u = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad u = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} ~</math> et ''v'' a aussi trois valeurs possibles qui sont : :<math> v = \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad v = j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad v = j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} ~</math> Nous devons ensuite en déduire ''x'' en ajoutant une valeur de ''u'' avec une valeur de ''v''. Comment savoir quelle valeur de ''u'' va avec quelle valeur de ''v'' ? Nous devons choisir une valeur de ''u'' et une valeur de ''v'' vérifiant la relation posée plus haut : :<math> uv = 2 ~</math> Compte tenu du fait que ''j''{{exp|3}} = 1, nous accouplerons ''u'' et ''v'' de la façon suivante : :<math> \left\{\begin{matrix} u = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right. </math> Comme ''z'' = ''u'' + ''v'', nous en déduisons trois valeurs pour z qui sont : <math> z_1 = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} + \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}}~</math> <math> z_2 = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} + j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}}~</math> <math> z_3 = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{i}} + j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}}~</math> En reportant les trois valeurs de z dans la relation : :<math> x = z - 1 ~</math> Nous en déduisons finalement : {{Encadre |contenu= <math> x_1 = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} + \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}}-1~</math> <math> x_2 = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} + j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}}-1~</math> <math> x_3 = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} + j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}}-1~</math> }} }} == Exercice 4-3 == Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes (déjà rencontrées dans l'exercice 1-3) : : α) <math>\frac{4x^2}3=\frac{\sqrt3-6x}{2x-\sqrt{27}}</math> ; : β) <math>x^3-5x^2+x-1= 4x\sqrt2</math>. {{Solution |contenu= α) L'équation : :<math>\frac{4x^2}3=\frac{\sqrt3-6x}{2x-\sqrt{27}}</math> Se met sous la forme : :<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> avec :<math>a=8,\quad b=-12\sqrt3,\quad c=18,\quad d=-3\sqrt3</math>. Par le changement de variable <math>x=z-\frac b{3a}</math>, elle devient :<math>z^3+pz+q=0</math> avec :<math>p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}=0</math> ; :<math>q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=0</math>. Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont : :<math>x_0=x_1=x_2=-\frac b{3a}=-\frac{-12\sqrt3}{3\times8}=\frac\sqrt32</math>. β) L'équation : :<math>x^3-5x^2+x-1= 4x\sqrt2</math> se met sous la forme : :<math>x^3-5x^2+(1-4\sqrt2)x-1=0</math>. Par le changement de variable <math>x=z-\frac b{3a}</math>, elle devient :<math>z^3+pz+q=0</math> avec :<math>p=\frac ca-\frac{b^2}{3a^2}=1-4\sqrt2-\frac{(-5)^2}3=-4\sqrt2-\frac{22}3</math> ; :<math>q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac da=\frac{2(-5)^3}{27}-\frac{-5(1-4\sqrt2)}3-1=\frac{-20\sqrt2}3-\frac{232}{27}</math> Calculons le discriminant de cette équation. :<math>\Delta=-4p^3-27q^2=0</math>. Calculons p et q : :<math> p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{1 - 4\sqrt{2}}{1} - \frac{(-5)^2}{3 \times 1^2} = -4\sqrt{2} - \frac{22}{3} ~</math> :<math> q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2(-5)^3}{27 \times 1^3} - \frac{-5(1 - 4\sqrt{2})}{3 \times 1^2} + \frac{-1}{1} = \frac{-20\sqrt{2}}{3} - \frac{232}{27} ~</math> Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont : :<math> x_0= \frac{3q}p- \frac b{3a} = 3 + 2\sqrt2</math> ; :<math> x_1= x_2= -\frac{3q}{2p} - \frac b{3a} = 1 - \sqrt2</math>. }} == Exercice 4-4 == En résolvant l'équation suivante par deux méthodes différentes : :<math> x^3 - 2x^2 + 3x - 2 =0</math>, montrer que : :<math> \sqrt[3]{\frac{8+3 \sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3 \sqrt{21}}{27}} + \frac23=1</math>. {{Solution |contenu= '''Première méthode''' Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x₁ = 1. Nous pouvons donc la factoriser par x - 1. Nous obtenons : <math> (x - 1)(x^2 + mx + 2) = 0 ~</math> Cette factorisation a été faites de façon à ce qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe : <math> x^3 + (m-1)x^2 + (2 -m)x - 2 = 0 ~</math> Et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient : <math>\begin{cases} m - 1 = -2 \\ 2 - m = 3 \end{cases}</math> Dans les deux cas, on voit que m = -1. L'équation factorisée s'écrit donc : <math> (x - 1)(x^2 - x + 2) = 0 ~</math> Il nous reste à résoudre : <math> x^2 - x + 2 = 0 ~</math> Calculons le discriminant : <math> \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 2 = -7 = \left(i \sqrt{7} \right)^2 ~</math> Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc : <math>\begin{cases} x_2 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} \\ x_3 = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2} \end{cases}</math> Finalement les trois racines de l'équation : <math> x^3 - 2x^2 + 3x - 2 =0 ~</math> sont : <math>\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} \\ x_3 = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2} \end{cases}</math> '''Deuxième méthode''' Dans : <math> x^3 - 2x^2 + 3x - 2 =0 ~</math> Posons : :<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math> On obtient après simplification : <math> 27z^3 + 45z - 16 =0 ~</math> Posons ensuite : :<math>z = u + v ~</math> On obtient : :<math>27(u+v)^3+45(u+v)- 16 = 0 ~</math> Qui se simplifie sous la forme : :<math> 27\left(u^3+v^3\right)+9(9uv+5)(u+v)-16=0 ~</math> Nous poserons alors : :<math>9uv+5 = 0 ~</math> Soit : :<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math> On obtient le système : :<math>\begin{cases} u^3+v^3 = \frac{16}{27} = \frac{432}{729} \\ u^3v^3 = -\frac{125}{729} \end{cases}</math> u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont alors les racines de l'équation : :<math>729X^2 - 432X - 125 = 0 ~</math> Les deux racines de cette équation sont : :<math>\begin{cases} u^3 = \frac{8+3\sqrt{21}}{27} \\ v^3 = \frac{8-3\sqrt{21}}{27} \end{cases}</math> Compte tenu de la condition : :<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math> on en déduit : :<math> \begin{cases} u = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} \\ v = \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \end{cases} ou \quad \begin{cases} u = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} \\ v = j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \end{cases} ou \quad \begin{cases} u = j^2\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} \\ v = j\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \end{cases} </math> En reportant dans z = u + v, on obtient : :<math>\begin{cases} z_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \\ z_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \\ z_3 = j^2\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \end{cases}</math> En reportant dans : :<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math> On trouve finalement : :<math>\begin{cases} x_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\ x_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\ x_3 = j^2\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \end{cases}</math> '''Conclusion''' Chacune des deux méthodes précédentes nous donne une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Il est donc évident que les racines réelles données par les deux méthodes sont égales. Ce qui se traduit par : <math> \sqrt[3]{\frac{8+3 \sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3 \sqrt{21}}{27}} + \frac23=1</math>. }} == Exercice 4-5 == La méthode suivante est due à [[w:François Viète|François Viète]] (1540-1603). #Montrer que pour un nombre (complexe) <math>k\ne0</math> donné, tout nombre <math>z</math> est de la forme <math>y-\frac ky</math> pour au moins un <math>y</math> (non nul). #On suppose <math>p\ne0</math> et dans l'équation #::<math>z^3+pz+q=0</math>, #:on effectue un changement de variable de la forme : #::<math>z=y-\frac ky</math>. #:Quelle équation polynomiale en <math>y</math> obtient-on ? #Pour quel choix du paramètre <math>k</math> cette équation est-elle bicarrée en <math>y^3</math> (c'est-à-dire de la forme <math>y^6+ry^3+s=0</math>) ? Préciser alors <math>r</math> et <math>s</math> et résoudre cette équation. #Retrouver ainsi les formules de Cardan. {{Solution|contenu= #Pour <math>k,z</math> fixés, on a, pour tout <math>y\ne0</math> : <math>z=y-\frac ky\Leftrightarrow y^2-zy-k=0</math>, or l'équation <math>y^2-zy-k=0</math> a toujours au moins une solution <math>y</math> non nulle, sauf si <math>k=z=0</math>. #<math>z^3+pz+q=0\Leftrightarrow(y^2-k)^3+p(y^2-k)y^2+qy^3=0\Leftrightarrow y^6+(p-3k)y^4+qy^3+(3k^2-pk)y^2-k^3=0</math>. #<math>k=\frac p3,\;r=q,\;s=-k^3=-\frac{p^3}{27}</math>. On pose <math>w=y^3</math> et l'on résout donc <math>w^2+rw+s=0</math>. Soit <math>\delta</math> l'une des deux racines carrées de <math>r^2-4s=q^2+4\frac{p^3}{27}</math>. Les 2 solutions de l'équation en <math>w</math> sont : <math>w_0=\frac{-q+\delta}2,\;w_1=\frac{-q-\delta}2</math>. Les 6 solutions de l'équation en <math>y</math> sont donc <math>\mathrm j^lu_k</math> pour <math>k\in\{0,1\}</math> et <math>l\in\{0,1,2\}</math>, où <math>u_0</math> est l'une des trois racines cubiques de <math>w_0</math>, et <math>u_1=-\frac p{3u_0}</math> (racine cubique de <math>w_1=-\frac{p^3}{27w_0}</math>). #Les 3 solutions de <math>z^3+pz+q=0</math> sont donc <math>z_l:=\mathrm j^lu_0-\frac p{3\mathrm j^lu_0}=\mathrm j^{-l}u_1-\frac p{3\mathrm j^{-l}u_1}=\mathrm j^lu_0+\mathrm j^{-l}v_0</math> pour <math>l\in\{0,1,2\}</math> (ou <math>l\in\{-1,0,1\}</math>), où <math>u_0</math> est l'une des trois racines cubiques de <math>\frac{-q+\delta}2</math> et <math>v_0:=u_1</math> est la racine cubique de <math>\frac{-q-\delta}2</math> telle que <math>u_0v_0=-\frac p3</math>, <math>\delta</math> étant l'une des deux racines carrées de <math>q^2+4\frac{p^3}{27}=-\frac\Delta{27}</math>. }} == Exercice 4-6 == La méthode suivante est due à [[w:Joseph-Louis Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736-1813). Soient <math>x_0,x_1,x_2</math> les solutions de <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> (numérotées dans un ordre arbitraire). On pose : *<math>y_0=x_0+x_1+x_2</math> ; *<math>y_1=x_0+\mathrm jx_1+\mathrm j^2x_2</math> ; *<math>y_2=x_0+\mathrm j^2x_1+\mathrm jx_2</math>. #Quel est l'effet, sur ces trois expressions, d'une permutation des <math>x_i</math> ? #En déduire que <math>y_0</math>, <math>y_1y_2</math> et <math>y_1^3+y_2^3</math> sont des polynômes symétriques en <math>x_0,x_1,x_2</math>. #Le retrouver par calcul direct, et exprimer <math>y_0</math>, <math>y_1y_2</math> et <math>y_1^3+y_2^3</math> en fonction de <math>a,\,b,\,c,\,d</math>. #En déduire un algorithme pour calculer <math>y_0,\{y_1,y_2\}</math>, puis <math>x_0,\{x_1,x_2\}</math>. #Retrouver ainsi les formules de Cardan. {{Solution|contenu= #Toute permutation des <math>x_i</math> laisse évidemment <math>y_0</math> invariant. Elle envoie <math>(y_1,y_2)</math> sur : #*<math>(\mathrm j^2y_1,\mathrm jy_2)</math> ou <math>(\mathrm jy_1,\mathrm j^2y_2)</math> si c'est une permutation circulaire ; #*<math>(y_2,y_1)</math> ou <math>(\mathrm jy_2,\mathrm j^2y_1)</math> ou <math>(\mathrm j^2y_2,\mathrm jy_1)</math> si c'est une transposition. #D'après la question précédente, toute permutation des <math>x_i</math> laisse fixes <math>y_0</math>, <math>y_1y_2</math> et <math>y_1^3+y_2^3</math>. # #:<math>y_0=\sigma_1=-\frac ba</math> ; #:<math>\begin{align}y_1y_2&=(x_0+\mathrm jx_1+\mathrm j^2x_2)(x_0+\mathrm j^2x_1+\mathrm jx_2)\\ &=\sum x_i^2-\sum_{i<j}x_ix_j\\ &=\sigma_1^2-3\sigma_2\\ &=\left(-\frac ba\right)^2-3\frac ca\\ &=\frac{b^2-3ac}{a^2}~;\end{align}</math> #:<math>\begin{align}y_1^3+y_2^3&=\left(x_0+\mathrm jx_1+\mathrm j^2x_2\right)^3+\left(x_0+\mathrm j^2x_1+\mathrm jx_2\right)^3\\ &=2\sum x_i^3-3\sum_{i\ne j}x_i^2x_j+12x_0x_1x_2\\ &=2(\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3)-3(\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3)+12\sigma_3\\ &=2\sigma_1^3-9\sigma_1\sigma_2+27\sigma_3\\ &=2\left(-\frac ba\right)^3-9\left(-\frac ba\right)\frac ca+27\left(-\frac da\right)\\ &=\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{a^3}.\end{align}</math> #Notons <math>A=\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{a^3}</math> et <math>B=\frac{b^2-3ac}{a^2}</math>.<br /><math>y_1^3</math> et <math>y_2^3</math> ont pour somme <math>A</math> et pour produit <math>B^3</math> donc <math>y_1^3=\frac{A+C}2</math> et <math>y_2^3=\frac{A-C}2</math>, avec <math>C^2=A^2-4B^3</math>. De plus, <math>y_1y_2=B</math>.<br />Ceci permet donc (par extraction d'une racine carrée et d'une racine cubique) de calculer la paire <math>\{y_1,y_2\}</math>. On sait également que <math>y_0=-\frac ba</math>. On peut ensuite calculer<br /><math>x_0=\frac{y_0+y_1+y_2}3</math> et <math>\{x_1,x_2\}=\left\{\frac{y_0+\mathrm j^2y_1+\mathrm jy_2}3,\frac{y_0+\mathrm jy_1+\mathrm j^2y_2}3\right\}</math>. #Soient <math>p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}</math> et <math>q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}</math> (les coefficients de l'équation <math>z^3+pz+q=0</math> à laquelle <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> se ramène par changement de variable <math>x=z-\frac b{3a}</math>). Les formules précédentes se réécrivent :<br /><math>A=-27q,\;B=-3p</math> et, en posant <math>\delta=\frac C{27},\;u=\frac{y_1}3,\;v=\frac{y_2}3</math> :<br /><math>\delta^2=q^2+\frac{4p^3}{27},\;u^3=\frac{-q+\delta}2,\;v^3=\frac{-q-\delta}2,\;uv=-\frac p3,\;x_0=u+v-\frac b{3a},\;\{x_1,x_2\}=\left\{\mathrm j^2u+\mathrm jv-\frac b{3a},\mathrm ju+\mathrm j^2v-\frac b{3a}\right\}</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Sur les tracés de courbes/]] | suivant = [[../Simplification des racines/]] }} p6qeqvc43jafwy5goi5djvq1jrzynwh 0 25842 986204 667835 2026-09-02T19:05:50Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986204 wikitext text/x-wiki {{Devoir | idfaculté = mathématiques | numéro = 3 | précédent = [[../Construction du pentagone régulier/]] | suivant = [[../Un problème de géométrie/]] | niveau = 13 }} {{Clr}} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct <math>(O;\vec u,\vec v)</math> d'unité graphique {{Unité|2|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}. On note <math>A</math> le point d'affixe <math>a=-2\mathrm i</math>. À tout point <math>M</math> du plan d'affixe <math>z</math> on associe le point <math>M'</math> d'affixe : :<math>z'=-2\bar z+2\mathrm i</math>. '''1°''' On considère le point <math>B</math> d'affixe <math>b=3-2\mathrm i</math>. :'''a)''' Déterminer la forme algébrique des affixes <math>a'</math> et <math>b'</math> des points <math>A'</math> et <math>B'</math> associés respectivement aux points <math>A</math> et <math>B</math>. :'''b)''' Placer les points <math>A</math>, <math>B</math>, <math>A'</math> et <math>B'</math>. '''2°''' Démontrer que si <math>M</math> appartient à la droite <math>D</math> d'équation <math>y=-2</math>, alors <math>M'</math> appartient aussi à <math>D</math>. '''3°''' '''a)''' Démontrer que pour tout <math>z</math>, <math>|z'+2\mathrm i|=2|z+2\mathrm i|</math>. :'''b)''' Interpréter géométriquement cette égalité. '''4°''' Dans cette question, on considère <math>c=4+2\mathrm i</math>. :'''a)''' Déterminer un argument de <math>c+2\mathrm i</math> et en donner une interprétation géométrique. :'''b)''' Déterminer un argument de <math>c'+2\mathrm i</math> et en donner une interprétation géométrique. :'''c)''' Placer <math>C</math> et <math>C'</math>, les points associés respectivement à <math>c</math> et <math>c'</math>. Tracer les demi-droites <math>[AC)</math> et <math>[AC')</math>. '''5°''' On se place à nouveau dans le cas général. On note <math>\theta</math> un argument de <math>z+2\mathrm i</math>. :'''a)''' Démontrer que <math>(z+2\mathrm i)(z'+2\mathrm i)</math> est un réel négatif ou nul. :'''b)''' En déduire un argument de <math>z'+2\mathrm i</math> en fonction de <math>\theta</math>. :'''c)''' Que peut-on en déduire pour les demi-droites <math>[AM)</math> et <math>[AM')</math> ? :'''d)''' Proposer une construction géométrique du point <math>M'</math> associé au point <math>M</math>. {{Corrigé|contenu= '''1° a)''' <math>a'=-2\mathrm i</math> et <math>b'=-6-2\mathrm i</math>. :'''b)''' {{...}} '''2°''' <math>-2(\overline{x-2\mathrm i})+2\mathrm i=-2x-2\mathrm i</math>. '''3° a)''' <math>|z'+2\mathrm i|=|-2\bar z+4\mathrm i|=|-2z-4\mathrm i|=2|z+2\mathrm i|</math>. :'''b)''' L'application <math>M\mapsto M'</math> double la distance au point <math>A</math>. '''4° a)''' <math>\arg\left(c+2\mathrm i\right)=\arg\left(4+4\mathrm i\right)\equiv\frac\pi4\bmod{2\pi}</math>. La demi-droite <math>[AC)</math> fait un angle de <math>\frac\pi4</math> avec l'axe orienté <math>(O;\vec u)</math>. :'''b)''' <math>\arg\left(c'+2\mathrm i\right)=\arg\left(-8+8\mathrm i\right)\equiv\frac{3\pi}4\bmod{2\pi}</math>. La demi-droite <math>[AC')</math> fait un angle de <math>\frac{3\pi}4</math> avec l'axe orienté <math>(O;\vec u)</math>. :'''c)''' {{...}} '''5° a)''' <math>(z+2\mathrm i)(z'+2\mathrm i)=-2|z+2\mathrm i|^2</math> :'''b)''' <math>\theta'\equiv\pi-\theta\pmod{2\pi}</math>. :'''c)''' Les demi-droites <math>[AM)</math> et <math>[AM')</math> sont symétriques par rapport à <math>D</math>. :'''d)''' Sur la demi-droite symétrique de <math>[AM)</math> par rapport à <math>D</math>, placer <math>M'</math> à distance <math>2AM</math> de <math>A</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Construction du pentagone régulier/]] | suivant = [[../Un problème de géométrie/]] }} lc8lyeofgtw31c6vmx1dn6xvemlrady 0 26435 986205 986070 2026-09-02T19:06:00Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986205 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = [[../Interaction gravitationnelle/]] | suivant = [[../Cohésion de la matière/]] }} [[File:Coulomb force attraction.svg|thumb|alt=Les deux charges ''q'' et ''q''″ ont des signes différents : elles s'attirent.|Les deux charges ''q'' et ''q''″ ont des signes différents : elles s'attirent.]] [[File:Coulomb force repulsion.svg|thumb|alt=Les deux charges ''q'' et ''q''″ ont le même signe : Elles se repoussent.|Les deux charges ''q'' et ''q''″ ont le même signe : elles se repoussent.]] Cette interaction, de portée infine, s'exerce entre deux corps possédant une charge électrique : l'interaction est à la fois de nature électrique et magnétique. Cette année, nous limiterons notre étude à la partie électrique de cette interaction. Cette interaction est : * '''attractive''' si les deux corps portent des charges de signe contraire (ex : protons et électrons s'attirent) * '''répulsive''' si les deux corps portent des charges de même signe (ex : les protons se repoussent entre eux) La valeur ''F'' des forces d'interaction électrique entre deux charges ''q'' et ''q''″ est donnée par la loi de Coulomb : :<math>F = k \times \frac{|q q\prime|}{d^2}</math> avec : * ''F'' en newton (N) * ''k'' = 9,0 × 10⁹ N m² C⁻² (peut être abrégé 9,0 × 10⁹ SI) ; * ''q''_''A'' et ''q''_''B'' en coulomb (C) ; * ''d'' : distance entre A et B en mètre (m). Cette interaction prédomine et explique la cohésion de la matière de l'échelle atomique à l'échelle humaine. {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Interaction gravitationnelle/]] | suivant = [[../Cohésion de la matière/]] }} 3boit8d6gn0wqxwdajpidghn2nr90zj 0 26438 986206 986071 2026-09-02T19:06:10Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986206 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 2 | précédent = [[../Les particules élémentaires/]] | suivant = [[../Interaction électrique/]] | niveau = 12 }} L'interaction gravitationnelle est une action réciproque existant entre des corps possédant une masse et a une portée infinie. Par exemple le mouvement de la Lune autour de la Terre, de la Terre autour du Soleil, d'un objet qui tombe sont des manifestations de l'interaction gravitationnelle. C'est donc l'interaction gravitationnelle qui assure la cohésion de l'Univers. Cette interaction est toujours très faible et nécessite que les corps aient une grande masse pour que cette interaction ne soit pas négligeable. C'est pourquoi elle prédomine à l’échelle '''astronomique'''. Elle est aussi toujours '''attractive'''. == Loi de l'attraction gravitationnelle == Deux corps ponctuels ''A'' et ''B'' de masses respectives ''m'' et ''m''' séparés d'une distance ''r'' exercent l'un sur l'autre les forces attractives ''F''_''A''/''B'' et ''F''_''B''/''A'' ayant pour direction commune la droite joignant les deux points ''A'' et ''B'', des sens opposés et une même intensité ''F''_''A''/''B'' = ''F''_''B''/''A''. Cette force varie proportionnellement au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la distance qui les sépare. :<math>F_{A/B} = F_{B/A} = G \times \frac{m m\prime}{r^2}</math> avec : * ''G'' = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² (appelée constante gravitationnelle) ; * ''m'' et ''m''″ en kilogramme (kg) ; * ''r'' : distance entre ''A'' et B en mètre (m) ; * ''F''_''A''/''B'' et ''F''_''B''/''A'' en newton (N). == Cas particulier : Attraction gravitationnelle entre une planète et un corps == Soit un objet de masse ''m'', considéré comme ponctuel et situé à une altitude ''h'' par rapport à la surface de la planète de masse ''M'' et de rayon ''R''. Soit ''F'' la force de gravitation exercée par la planète sur l'objet. La formule devient alors : :<math>F = G \times \frac{M m}{(R + h)^2}</math> {{(|Exemple|colonnes=1}} Soit un objet de masse ''m'' à la surface de la Terre. La force de gravitation exercée sur cet objet est de 25 N. Que devient la force si l’objet passe à une altitude ''h'' = {{Unité|500|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} ? On prendra le rayon de la Terre : ''R'' = {{formatnum:6400}} km. {{Solution|contenu= On sait que lorsque : * ''h'' = {{Unité|0|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} , alors ''F''₀ = 25 N ; * ''h'' = {{Unité|500|{{Abréviation|km|kilomètre}}}}, alors ''F''₅₀₀ = ? N. On applique la formule : :<math>F_0 = G \times \frac{M m}{R^2}</math> et <math>F_{500} = G \times \frac{M m}{(R + h)^2}</math>. :<math>\frac{F_{500}}{F_0} = \frac{R^2}{(R + h)^2}</math> , soit <math>F_{500} = F_0 \times \bigg( \frac{R}{R + h}\bigg)^2</math> Application numérique : :<math>F_{500} = 25 \times \bigg(\frac{64}{69}\bigg)^2 = 21,5 \ \text{N}</math> En conclusion, à une altitude de {{Unité|500|{{Abréviation|km|kilomètre}}}}, la force de gravitation de l’objet est donc de 21,5 N. }} {{)}} {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Les particules élémentaires/]] | suivant = [[../Interaction électrique/]] }} pkce4p6ecnhrm1ijkyfgpz2bjpvkepj 0 27133 986207 979501 2026-09-02T19:29:49Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986207 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 4 | précédent = [[../Lumière et couleur/]] | suivant = [[../Les images/]] | niveau = 9 }} == Les couleurs primaires == '''Définition''' : Les couleurs primaires sont des couleurs de base permettant, lorsqu'elles sont mélangées les unes aux autres, d'obtenir : * Un résultat visuel caractérisant l'absorption totale de l'ensemble des couleurs du spectre optique ('''noir''') * Un résultat visuel caractérisant la diffusion totale de l'ensemble des couleurs du spectre optique ('''blanc''') Les couleurs primaires se comptent au nombre de 3. Elles sont différentes selon qu'on se place dans la synthèse soustractive ou dans la synthèse additive : * Dans la '''synthèse soustractive''' : les couleurs primaires sont le <span style="background-color:#FFFF00; padding:2px;">Jaune </span>, <span style="background-color:#FF00FF; color:#fff; padding:2px;"> Magenta </span> et <span style="background-color:#00FFFF; padding:2px;"> Cyan </span> ('''CMJ'''). Les couleurs présentes dans la synthèse soustractives sont plus connues sous le nom "''couleurs du peintre''". * Dans la '''synthèse additive''' : les couleurs primaires sont le {{Rouge|Rouge}}''', '''le {{Bleu|Bleu}} et le {{Vert|Vert}} '''(RVB).''' Les couleurs présentes dans la synthèse additive sont les couleurs de la lumière. == Synthèse additive des couleurs == Si nous projetons sur un écran noir les couleurs primaires de la lumière nous obtenons du blanc ! Que se passe t-il ? Notre œil nous trompe-il ? En fait, c’est notre système visuel (œil + cerveau) qui établit une '''synthèse additive'''. Celle-ci obéit à des règles précises qui peuvent être résumées grâce à l'image ci-dessous. <div style="width:640px; margin:auto;"> {| |- valign="top" |[[Fichier:Synthèse additive des couleurs primaires de la lumière.jpg|thumb|upright=1.1|Projection sur un écran noir des trois couleurs fondamentales de la lumière]] | <div style="width:500px;"> {{conclusion|contenu= <div style="text-align: center;"> :<span style="background-color:#00ff01; color:#00ff01;">MMMMM</span> '''+''' <span style="background-color:#0000fe; color:#0000fe;">MMMMM</span> '''=''' <span style="background-color:#09ffff; color:#09ffff;">MMMMM</span> :'''Vert + Bleu''' = ''Cyan'' :<hr> <span style="background-color:#fe0000; color:#fe0000;">MMMMM</span> '''+''' <span style="background-color:#0000fe; color:#0000fe;">MMMMM</span> '''=''' <span style="background-color:#ff00ff; color:#ff00ff;">MMMMM</span> :''' Rouge + Bleu''' = ''Magenta'' :<hr><span style="background-color:#fe0000; color:#fe0000;">MMMMM</span> '''+''' <span style="background-color:#00ff01; color:#00ff01;">MMMMM</span> '''=''' <span style="background-color:#ffff00; color:#ffff00;">MMMMM</span> :'''Rouge + Vert''' = '' Jaune '' :<hr><span style="background-color:#00ff01; color:#00ff01;">MMMMM</span> '''+''' <span style="background-color:#0000fe; color:#0000fe;">MMMMM</span> '''+''' <span style="background-color:#fe0000; color:#fe0000;">MMMMM</span> '''=''' <span style="background-color:#fff; color:#fff; border:1px solid #a2a9b1;">MMMMM</span> :'''Vert + Bleu + Rouge''' = ''Lumière Blanche'' </div> }} |} </div> Ainsi quand nous voyons une lumière jaune, c’est notre cerveau qui interprète la nouvelle sensation issue du mélange de lumière rouge et verte. == Couleurs complémentaires == <!-- (Rvb) (Cmj) --> Nous appelons « couleurs complémentaires » les duos de couleurs qui, additionnées, nous permettent d'obtenir une lumière blanche. Par exemple le cyan est complémentaire du rouge puisque : rouge + cyan = blanc. En effet, si nous remplaçons le cyan par les couleurs primaires de la lumière qui le composent, nous obtenons : rouge + (vert + bleu ) = blanc. Cette dernière expression correspond effectivement à la définition de la lumière blanche. Nous pouvons énumérer les couleurs complémentaires de la lumière à l'aide du tableau suivant : {| align="center" style="text-align:center; border:1px solid #e1e1e1; border-collapse:collapse; margin-top:15px;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="3"| '''Couleurs complémentaires''' |- | width="80px" style="background-color:#00ffff;"| '''CYAN''' | rowspan="3" style="opacity:0.2;"| [[File:Font Awesome 5 solid arrows-alt-h.svg|220px]] | width="80px" style="background-color:#fe0000; color:#fff;"| '''ROUGE''' |- | width="80px" style="background-color:#ff00ff; color:#fff;"| '''MAGENTA''' | width="80px" style="background-color:#00ff01;"| '''VERT''' |- | width="80px" style="background-color:#ffff00;"| '''JAUNE''' | width="80px" style="background-color:#0000fe; color:#fff;"| '''BLEU''' |- |} ==Synthèse soustractive des couleurs== La synthèse soustractive suit le principe d'absorption et de diffusion de la lumière que nous avons vu au chapitre précédent. Elle est donc directement liée à la couleur d'un objet. Quand nous voyons que la nappe éclairée par la lumière du soleil est rouge, c’est parce que celle-ci diffuse de la lumière de couleur rouge et absorbe toutes les autres. Nous parlons de soustraction par '''diffusion'''.<br /> Il existe également la soustraction par '''transmission'''. Celle-ci ne s'applique qu'aux objets translucides, par exemple des vitraux. Si ceux-ci sont rouges, ils ne laisseront passer que la lumière de couleur rouge.<br /> Pour conclure, nous pouvons dire que '''ce sont les objets eux-mêmes qui pratiquent la synthèse soustractive des couleurs par absorption ou diffusion.'''<br /> Il faut également garder en tête que la synthèse additive effectuée par le cerveau est toujours applicable même dans le cas d'une synthèse soustractive. == Et le noir ? == '''La lumière noire n'existe pas''', le noir correspond à une absence totale de lumière. Un objet que nous considérons comme noir est un objet qui absorbe toutes les couleurs de la lumière et qui par conséquent ne diffuse aucune lumière. * Les couleurs primaires de la lumière sont '''le bleu, le rouge et le vert'''. * Les couleurs primaires du peintre sont '''le cyan, le magenta et le jaune'''. * Notre œil associé à notre '''cerveau''' effectue une '''synthèse additive des couleurs'''. * La couleur des '''objets''' est obtenue par la '''synthèse soustractive des couleurs'''. * Nous appelons '''couleurs complémentaires''' de la lumière les '''duos de couleurs''' permettant l'obtention de la '''lumière blanche'''. * Le '''noir''' correspond à une '''absence totale de lumière.''' {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Lumière et couleur/]] | suivant = [[../Les images/]] }} ix9o1vabocrf5n7v5mxj8qbf1s1f03r 0 27540 986208 969270 2026-09-02T19:29:59Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986208 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = médecine | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Système nerveux périphérique/]] }} == Éléments constitutifs == === Neurones === '''Généralités :''' Communique entre eux par des synapses Taille : 8 à 100 µm Corps cellulaire = soma = péricaryon Prolongement = neurites Dendrites (afférent) Axone (efférent) '''Classification morphologique selon disposition générale des prolongements par rapport aux corps cellulaires :''' Neurone unipolaire Neurone pseudo-unipolaire Neurone bipolaire Neurone multipolaire ex : motoneurone α '''Classification morphologique selon la forme du corps cellulaire :''' Etoilés Fusiformes Conique Polyédrique Sphérique Pyramidaux '''Structures caractéristiques :''' ME : Cône d’implantation de l’axone = de Doyer Noyau unique, volumineux '''Cytoplasme :''' AG en position juxta-nucléaire Corps de Nissl=REG dans corps cellulaire, partie proximale des dendrites, absent des cônes d’implantation de l’axone et de l’axone Mitochondries nombreuses Cytosquellette : riche dans cellules nerveuse, corps cellulaire, axone, dendrite (microfilament actine, FI, MT) MT : flux axonale antérograde (kinésine) et rétrograde (dynéine) Activité ATPasique REL Amas de lipofuscine '''Cas particulier :''' Neurones neuro-sécrétoires dans l’hypothalamus (neuro-hormones) Neurones pigmentées du tronc cérébral (grains de neuro-mélanine) Membrane plasmique : siège des synapses Transmission de l’influx nerveux 1 neurones interagit avec 1 millier d’autres neurones synapses électrique et chimique === Cellules gliales === * Astrocytes : '''En MO :''' Mise en évidence par la méthode de Cajal Forme étoilée '''4 types de prolongements cytoplasmiques des astrocytes :''' prolongement qui forments réseau au sein du parenchyme du SNC=rôle de support languettes qui entourent les synapses et empêche la diffusion des NT entoure les capillaires sanguin=pieds vasculaires prolongement cytoplasmique disposé à la surface '''En ME :''' FI (gliofilaments) Grains de glycogène '''Membrane astrocytaire :''' Canaux ionique voltage dépendant Transporteurs ioniques actifs Récepteurs membranaires Jonctions communicantes '''Fonction :''' Sécrétion de neurostéroïdes '''Récepteurs nucléaires pour :''' Hormones stéroïdiennes Stéroïdes sexuels Corticostéroïdes surrénaliens * Oligodendrocytes dans SG : relation métabolique étroite avec neurones dans SB : élaborent myéline du SNC (1 oligodendrocyte forme plusieurs segments myélinique autour d’un nombre variables d’axones) cellules microgliales=microglie '''En MO :''' Coloration argentique, lectine Appartient aux monocytes/macrophages Cellule de défense du système nerveux Activation/transformation en macrophages '''Sécrétion de molécules :''' Cytokines Protéases Anions superoxyde Oxyde nitrique (NO) Ependymocytes : revêtement du système ventriculaire === Capillaires sanguins === * Capillaires continus Entourés par les pieds vasculaires des astrocytes '''Fonction :''' Restriction des échanges entre sang et SNC : barrière sang-cerveau == L’organisation tissulaire == '''Substance grise :''' Régions où s’établissent les synapses Corps cellulaires et prolongement '''Cellules gliales :''' Astrocytes Oligodendrocytes satellites (à proximité des neurones) microglie Capillaires sanguins '''Substance blanche :''' Dépourvue de synapses Essentiellement des faisceaux d’axones myélinisés '''Cellules gliales :''' Astrocytes Oligodendrocytes satellites (à proximité des neurones) Microglie Capillaires sanguins peu nombreux Peu d’espace extra-cellulaire, éléments de la SB très rapprochés SB= organe de conduction, activité métabolique moindre '''Oligodendrocytes forment la myéline du SNC :''' Internode= segment interannulair= segment d’axone Internode accolé par des nœuds de Ranvier (pas de myéline) Myéline en coupe transversale '''Structure lamellaire spiralée, constitué par alternance de :''' Ligne denses majeures (ou périodique) Bandes claires (intrapériodique) Divisé en 2 parties égales par 1 ligne dense mineure (ou intrapériodique + fine) '''Disposition périodique de la myéline résulte :''' Aplatissement d’une portion de la cellule myélinisante en un mince feuillet dépourvu de cytoplasme, fusion des faces internes des membranes cytoplasmique Enroulement de ce feuillet autour de l’axone Rapprochement des tours de spire avec accolement des faces externes des membranes cytoplasmique '''Composition chimique de la myéline du SNC :''' 70% lipides (cholestérol, phospholipides, glycolipides) 30% protéines '''Protéine spécifique de la myéline centrale :''' PLP (proteolipid protein) MBP (myelin basic protein) MAG (myelin associated glycoprotein) '''La myélinisation des axones permet :''' Accélération de la conduction nerveuse (nœud de Ranvier qui déclenche des PA, conduction nerveuse saltatoire) Économie d’énergie et d’espace Ependymes : épendymocytes Revêtement des cavités ventriculaire du SNC Epithélium cubique ou prismatique simple cilié Pôle apical : cils Face lat : ZA, gap junction Pôle basal : prolongement cytoplasmique '''Rôle :''' Mouvement d’eau entre {{abréviation|L.C.R.|liquide céphalo-rachidien}} et compartiment extra cellulaire du SNC Marqueur : GFAP, vimentine Revêtement astrocytaire marginal : prolongement astrocytaire en contact avec le {{abréviation|L.C.R.|liquide céphalo-rachidien}} {{Bas de page | idfaculté = médecine | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Système nerveux périphérique/]] }} 92s0v89xjo6uz5f9li4b3wlz4nm31l5 0 28055 986209 969301 2026-09-02T19:30:09Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986209 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = médecine | niveau = 14 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Muscle strié cardiaque/]] }} == Organisation générale == Le muscle squelettique, est un organe strié à '''contraction volontaire''' qui présente une forme assez simple, avec à ses extrémités un ou plusieurs tendons, et entre les tendons une partie qui constitue le corps charnu du muscle. Ce dernier est constitué d’enveloppes conjonctives à différents niveaux d’organisation. L’'''épimysium''' est la plus externe, puis viennent le '''périmysium''' (délimite des faisceaux musculaires), et enfin l’'''endomysium'''. On trouve dans l’endomysium une centaine de fibres musculaires striées squelettiques. <br />Pour que chaque fibre musculaire se contracte, elle faut qu’elle soit innervée par un '''motoneurone''', le rôle des enveloppes est d’apporter les fibres nerveuses de la périphérie jusqu’à la fibre cellulaire. # Les fibres musculaires Ce sont des cellules, qui se présentent, au MO, comme des éléments fusiformes, avec une longueur qui va de quelques microns à des dizaines de cm. L’aspect sera différent en fonction que l’on étudie en coupe transversale ou longitudinale. <br />Le '''plasmalemme''' est la membrane plasmique de la fibre, la fibre possède plusieurs noyaux périphériques et denses. Autour du '''plasmalemme''', en dehors de chaque fibre musculaire, on retrouve une membrane basale. Par définition, on appelle '''sarcolemme''' l’ensemble du plasmalemme et de la membrane basale. Le '''sarcoplasme''' est le cytoplasme de la fibre, il contient deux types d’éléments : des ''myofibrilles'', et le ''réseau intermyofibrillaire''. Les noyaux sont périphériques, au contact de la membrane, on trouve le cytoplasme de la fibre striée squelettique, avec des myofibrilles et un réseau myofibrillaire. On s’aperçoit que les différentes myofibrilles présentent une striation périodique, visible dès la '''microscopie électronique''' en coupe longitudinale. # La striation des fibres musculaire Elles présentent une alternance de fibres sombres et claires : * Disque A, anisotrope (à la lumière polarisée) : longueur constante de 1,5 micron il est séparé régulièrement par une succession de * Disques I, isotropes (à la lumière polarisée), de 0,8 micron d’épaisseur au repos. * On observe, au milieu des disques I clairs, une strie Z répétitive. <br />Dans le sarcomère au repos, on observe, au milieu de chaque disque sombre, une zone claire, la '''bande H''' (0,3 microns), elle-même centrée par la '''strie M'''. Krause a décrit une unité de base des fibres musculaires la case musculaire ou sarcomère. Le sarcomère est l’espace compris entre deux stries Z voisines, qui comporte un demi disque I, puis un disque A, puis un autre demi disque I. Observation au microscope électronique : confirmation de l’unité de base de contraction du muscle squelettique. == Les myofilaments d’actine et de myosine == En vue longitudinale, on observe une striation périodique. Il y a un lien entre la striation des fibres et striation du sarcomère. <br />La striation est liée à la présence, à l’intérieur de chaque sarcomère, de filaments, les myofilaments. Ils sont de deux types : * à l’intérieur du sarcomère, il existe des myofilaments épais (bâton allongé, 12 à 14 nm), d’une longueur de 1,5 microns, chacun de ces éléments correspond à un '''filament de myosine'''. Ils sont allongés parallèlement les uns avec les autres, centrés par la strie M (milieu du sarcomère), de telle façon que la zone des filaments épais délimite les disques sombres. <br />En complément des filaments épais, on trouve * les '''filaments fins d’actine''' (myofilaments d’actine), ils ont la particularité d’être linéaires et d’êtres tendus de la strie Z jusqu’à la zone H (longueur 1 micron, diamètre de 5-7 nm), les filaments fins, tendus de la partie périphérique du sarcomère, ne vont pas jusqu’au centre : on trouve une zone de 0,3 micron où l’on ne trouve pas d’actine. Le sarcomère est constitué de filaments épais de myosine et fin d’actine, qui vont coexister ensemble de façon parfaite. <br />Les disques sombres correspondent à la zone de cohabitation des filaments d’actine avec les filaments de myosine. Les limites latérales des filaments épais correspondent aux limites latérales du disque sombre. La zone latérale isotrope du sarcomère correspond à la zone où l’on ne trouve que des filaments fins. <br />Dans le disque sombre, on trouve au centre (bande H, 0,3 microns) que des filaments épais. La zone la moins dense du disque anisotrope sombre n’est donc constituée que de fibres de myosine. Les parties latérales du disque sombre sont les zones physiologiquement les plus importantes (les molécules d’actine et de myosine vont se lier et former des ''complexes d’actomyosine''). Si on fait une coupe transversale au niveau des parties latérales du sarcomère, on observe une organisation extrêmement précise des filaments fins et des filaments épais : c’est une '''organisation paracristalline''' : chaque filament épais est entouré par six filaments fins. Chaque filament fin est entouré de 3 filaments épais. <br />Dans ce territoire, on trouve, en longueurs, une structure de base qui est le filament épais. Certaines molécules de myosine effectuent des contact avec les molécules d’actine, via des expansions latérales des molécules de myosine, ce sont les ponts de myosine, ils sont l’endroit par lequel les molécules de myosines se fixent au molécules d’actine (tous les 70 A, donc le pas de l’hélice est de 420 A). <br />''Quand il y a une concentration suffisante de calcium et d’ATP, la liaison est favorisée. '' == Le système du réticulum sarcoplasmique et des tubules T == ''Cet ensemble va permettre, en fonction de la commande nerveuse, de libérer ou non du calcium dans le milieu qui baigne les myofilaments.'' # Le réticulum sarcoplasmique. Le réticulum sarcoplasmique est un réticulum lisse, organisé en microcylindres autour des myofibrilles, avec un microcylindre autour de chaque disque sombre et autour de chaque disque clair. Il est constitué à chaque niveau d’éléments longitudinaux, soit en regard d’un disque sombre, soit en regard du disque clair. Ces éléments sont fermés par d’autres éléments, plus dilatés, avec une disposition transversale, qui correspondent à des citernes du réticulum sarcoplasmique. <br />En fonction de l’état de la fibre musculaire, la lumière du réticulum sarcoplasmique stocke plus ou moins de calcium. Ce stockage se fait grâce à la calcium séquestrine, lorsque la fibre est au repos. La contraction musculaire est déclenchée lorsque la commande nerveuse l’ordonne, le relargage du calcium se fait hors de la lumière du réticulum. Lorsque le stimulus nerveux aura disparu, le calcium retournera dans la citerne du réticulum sarcoplasmique. # Les tubules T L’élément de coordination est le tubule T, ou '''tubule transverse'''. Ce sont des replis de la membrane plasmique (sans la membrane basale !) de la fibre musculaire. Ils se glissent entre les citernes du réticulum endoplasmique, l’ensemble vient amener de la membrane plasmique au voisinage de chaque citerne : la fibre nerveuse (extrémité du motoneurone) vient faire synapse avec la fibre musculaire : s'il y a information nerveuse (acétylcholine), il y a transmission grâce au tubule T jusqu’à proximité des citernes du réticulum endoplasmique entraînant le relargage du calcium. Ces deux systèmes vont donc permettre de pulser du calcium et d’entraîner ou non une contraction musculaire. La triade est un ensemble tubule T – 2 citernes du sarcomère, elles sont présentes de façon très répétitives, elles se trouvent à la jonction disque clair - disque sombre (présence de pieds de connexion qui assure le couplage entre les différents éléments). == Autres constituants == Pour que le système fonctionne, il faut qu’il y ait de l’énergie, les fibres musculaires contiennent des éléments liés au métabolisme énergétique, il y a plus ou moins de mitochondries, situées dans l’espace myofibrillaire. Il y a aussi des substances stockant de l’énergie : glycogène lipides... Il existe en plus des filaments d’actine et de myosines des fibres qui renforcent l’armature : * La '''desmine''', spécifique aux fibres musculaires de tous les muscles, vont avoir une disposition transversale (englobe les stries Z) et une disposition longitudinale (encadre le sarcomère). * La '''nébuline''', encadrant les fibres d’actine. * La '''titine''', relie les fibres de myosine aux stries Z (partie mobile) et au centre du sarcomère (partie fixe). <br />''La titine et la nébuline sont des protéines à haut poids moléculaire, ce sont des '''marqueurs spécifiques''' des muscles striés (myocarde et squelettiques)''. Les fibres musculaires se déforment lors de la contraction, elle se manifeste au cœur des myofibrilles et à la périphérie : les membranes plasmiques vont êtres soumises à des forces parallèles aux fibres. Entre l’intérieur des fibres et l’extérieur, il y a une chaine complexe qui assure une forme de cohésion et de solidité, entre le milieu intracellulaire et les fibres musculaires. La [[w:myopathie de Duchenne|myopathie de Duchenne]] entraine l’absence de la dystrophine (gène du chromosome X), elle est normalement exprimée près de la membrane, et chez les malades, son absence entraine une nécrose. Elle sert, au niveau interne de la mb musculaire, à former un lien entre les filaments du cytosquelette et la membrane plasmique des fibres musculaire : liaison entre les fibres musculaires et leur environnement. Lorsque la mérosine est absente, cela entraine une autre dystrophie. Il existe un complexe de molécules, qui avait été appelé protéine ou glycoprotéine associée à la dystrophine DAG ou DAP, que l’on regroupe sous le nom de sarcoglycanes, les dystroglycanes et les syntrophines, qui sont soit transmembranaires, et qui font un lien entre la mérosine et la dystrophine. == Cellules satellites == Ce sont des cellules situées entre la basale de la fibre musculaire et la fibre, elles sont mononuclées et au repos. Au plan physiologique, la cellule n’a '''aucune fonction contractile''', ce sont des précurseurs des fibres musculaires (peuvent se réveiller et fabriquer ou réparer la fibre musculaire). On appelle ce phénomène régénération musculaire. Le myocarde ne possède pas de cellules précurseurs. <br />Le tissu musculaire proprement dit est les fibres musculaires contractiles, mais également les cellules satellites qui sont à côté. Pour que les fibres musculaires puissent se contracter, il faut un certain nombre de conditions. == Vascularisation et innervation == La vascularisation est intense, elle implique la présence d’un grand nombre de capillaires dans l’endomysium, avec un réseau à mailles rectangulaires. <br />L’innervation est '''motrice''' (motoneurones) et '''sensitive''' (informe sur l’état de tension du muscle). <br />Les motoneurones partent de la corne antérieur de la substance grise de la moelle épinière, cheminent par les membranes conjonctives, et se divisent pour donner des branches qui vont innerver spécifiquement une chaîne musculaire : un neurone se divise ainsi en plusieurs branches qui innervent une fibre musculaire : l’innervation est donc dite mononeuronale : une fibre est innervée par un seul et unique motoneurone. <br />Par contre, un motoneurone innerve plusieurs fibres musculaires. Lorsque le neurone stimule, toutes les fibres se contractent en même temps. <br />La synapse neuro-musculaire : en amont il y a terminaison de la fibre nerveuse afférente, la fente synaptique, et en dessous l’appareil sous neural (invagination de la membrane plasmique, qui transmet un signal neural) c’est une synapse effectrice. <br />L’innervation sensitive : terminaisons nerveuses libres, à valeur de récepteurs sensitif, avec les stimuli nociceptifs, il y a des récepteurs encapsulés, dont il existe deux types : le fuseau neuro-musculaire (ordre du centimètre de longueur), qui, à la partie centrale du cylindre, possède des amas de noyaux, qui renseigne les centres nerveux sur l’état de tension : il s’agit d’un récepteur encapsulé. Le troisième dispositif fait intervenir une extrémité tendineuse, avec une ou plusieurs fibres sensitives : c’est l’organe tendineux de Golgi, il informe sur l’état de tension des tendons. == Histophysiologie == # constitution chimique des myofilaments. Les '''filaments de myosine''' sont constitués de l’assemblage de 200 à 300 molécules de myosine voisine (470000 daltons), chaque molécule possède trois territoires : une partie allongée, la queue, et une tête (avec les parties S1 et une partie rectiligne, S2), elles s’assemblent par la queue. La molécule possède un site de fixation de calcium, à l’ATP, et à l’actine. La partie S2 est la partie mobile de la tête. Les '''filaments d’actine''' : l’actine est molécule globulaire, arrondie, avec un diamètre de 5,5 nm avec une masse de 43000 Dalton. En présence de calcium et de magnésium, elle est capable de former des chaines avec d’autres actines G : c’est l’actine F. La fibre d’actine est une association de deux fibres d’actine F (pas de 37 nm). <br />La tropomyosine : c’est une molécule fibrillaire allongée, avec une taille de 40 nm, qui s’insère dans les molécules d’actine. <br />Tous les 38 nm, le système est renforcé de troponine, protéine globulaire, fixant entre elles les molécules de tropomyosine. La troponine comporte trois types principaux : la troponine T (capable de se fixer à la tropomyosine), la troponine I (rôle d’inhibiteur), la troponine C (fixe le calcium). Il y a deux sites T de chaque côté de la molécule. # La contraction musculaire : Lorsqu’un signal nerveux abouti à la libération du neuromédiateur, le système T s’active et du calcium est libéré dans le milieu des myofibrilles. Lorsque la fibre musculaire est au repos, deux éléments bloquent la contraction: * la conformation du filament fin, la plupart des molécules d’actine on un site de fixation à la myosine qui est à l’intérieur du filament. Ces sites ne sont pas accessibles provisoirement. * À l’état basal, l’ATPase de la myosine est inactivée par la troponine I (inhibitrice). L’arrivée du calcium va entraîner la modification de l’état de tension de l’actine, par fixation sur la troponine C (l’état de tension du filament fin se modifie, les molécules d’actine présentent alors leur site de fixation à la myosine). <br />La fixation de calcium sur la troponine C inhibe l’activité de la troponine I, rendant possible l’activité ATPasique. Il y a création d’un complexe d’actomyosine, à chaque cycle, il y a consommation d’un ATP, et le bras mobile de la partie S2 de la molécule de myosine bascule. Grâce à l’amplification, il y a une multitude de bascule, et la fibre musculaire se rétrécie de façon significative. Lorsque le captage s’arrête, il y a rebascule des têtes de myosine et relâchement musculaire. # Modification du sarcomère au cours de la contraction. Elle est appréciable au MO, son aspect se modifie : (2,3 μm au repos), mais à aucun moment il n’y a modification de la taille des fibres. À l’échelle du sarcomère, les filaments fins glissent sur les filaments épais : alors que le disque A reste inchangé, les demi-disques I et les stries Z se rapprochent du centre du sarcomère. La bande H disparaît progressivement. # Hétérogénéité fonctionnelles des fibres musculaires. Il n’y a pas un type métabolique de fibre musculaires mais plusieurs, dans certains animaux, il y a des muscles de couleur rouges et claires (dû à la présence d’un pigment rouge, la myoglobine) : les muscles rouges assurent une contraction lente et soutenue (muscles posturaux), alors que les muscles blancs assurent une contraction rapide (fonction dynamique). <br />Chez l’homme, il n’y a pas de muscles totalement rouge ou blanc : chaque muscle est une association de fibres lentes et fibres rapides, en proportions variables. Cette variabilité témoigne de la fonction du muscle. Un muscle postural aura une forte proportion de fibres lentes associés à la fonction posturale. Un muscle impliqué dans des mouvements rapides aura une fonction dynamique avec une forte proportion de fibres rapides. La répartition se fait en « damier » <br />Les fibres lentes, de type 1, ont un métabolisme oxydatif, ce qui implique une richesse en mitochondries (on les met en évidence grâce à la tétraosdium oxydase NADH). A contrario, les fibres rapides ont un métabolisme glycolytique, ce sont les fibres 2, ont les met en évidence grâce au PAS (APS), car elles stockent l’énergie sous forme de glycogène. La myosine est exprimée sous forme d’une '''isoforme''' '''lente''' ou '''rapide''' en fonction du type de fibre. La physiologie du muscle témoigne de sa fonction dynamique ou posturale (il existe également d’autres physiologies de fibres). Si on réfléchie à la physiologie, c’est le motoneurone qui innerve la fibre qui induit son phénotype lent ou rapide. <br />''Toutes les fibres musculaires d’une même fibre nerveuse ont la même physiologie : on parle d’unité motrices lentes et rapides.'' Cette situation physiologique n’est pas figée et peut évoluer dans le temps, avec l’entraînement musculaire. Il y a une adaptation phénotypique à la fibre musculaire. '' À côté du muscle strié squelettique, il y a le muscle cardiaque''... {{Bas de page | idfaculté = médecine | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Muscle strié cardiaque/]] }} 438p4f0emaxit3mdiw7jcg2s80wlqhz 0 28585 986210 706117 2026-09-02T19:30:19Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986210 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | niveau = 11 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Calcul d'image/]] }} __TOC__ {{Clr}} == Exercice 1-1 == '''a)''' Pourquoi l’expression <math>\frac1{x-1}</math> n'est-elle pas définie pour <math>x=1</math> ? {{Solution|contenu= Pour <math>x=1</math>, l’expression <math>x-1</math> s'annule. Or on ne peut pas diviser par <math>0</math>. Donc <math>1</math> est une valeur interdite pour l’expression <math>\frac1{x-1}</math>. }} '''b)''' Pourquoi l’expression <math>\frac1{x-2}</math> n'est-elle pas définie pour <math>x=2</math> ? {{Solution|contenu= Pour <math>x=2</math>, l’expression <math>x-2</math> s'annule. Or on ne peut pas diviser par <math>0</math>. Donc <math>2</math> est une valeur interdite pour l’expression <math>\frac1{x-2}</math>. }} '''c)''' Pourquoi l’expression <math>\frac1{x+1}</math> n'est-elle pas définie pour <math>x=-1</math> ? {{Solution|contenu= Pour <math>x=-1</math>, l’expression <math>x+1</math> s'annule. Or on ne peut pas diviser par <math>0</math>. Donc <math>-1</math> est une valeur interdite pour l’expression <math>\frac1{x+1}</math>. }} '''d)''' Pourquoi l’expression <math>\frac1{x+2}</math> n'est-elle pas définie pour <math>x=-2</math> ? {{Solution|contenu= Pour <math>x=-2</math>, l’expression <math>x+2</math> s'annule. Or on ne peut pas diviser par <math>0</math>. Donc <math>-2</math> est une valeur interdite pour l’expression <math>\frac1{x+2}</math> }} '''e)''' Pourquoi l’expression <math>\frac1{x^2-1}</math> n'est-elle pas définie pour <math>x=1</math> ? {{Solution|contenu= Pour <math>x=1</math>, l’expression <math>x^2-1</math> s'annule. Or on ne peut pas diviser par <math>0</math>. Donc <math>1</math> est une valeur interdite pour l’expression <math>\frac1{x^2-1}</math>. }} En factorisant <math>x^2-1</math>, trouver une autre valeur interdite. {{Solution|contenu= <math>x^2-1=(x-1)(x+1)</math> donc <math>x^2-1</math> s'annule aussi pour <math>x=-1</math>. Donc <math>-1</math> est aussi une valeur interdite. }} '''f)''' Pourquoi l’expression <math>\frac1{x^2-4}</math> n'est-elle pas définie pour <math>x=2</math> ? {{Solution|contenu= Pour <math>x=2</math>, l’expression <math>x^2-4</math> s'annule. Or on ne peut pas diviser par <math>0</math> donc <math>2</math> est une valeur interdite pour l’expression <math>\frac1{x^2-4}</math>. }} En factorisant <math>x^2-4</math>, trouver une autre valeur interdite. {{Solution|contenu= <math>x^2-4=(x-2)(x+2)</math> donc <math>x^2-4</math> s'annule aussi pour <math>x=-2</math>. Donc <math>-2</math> est aussi une valeur interdite. }} == Exercice 1-2 == Pour chacune des expressions suivantes, donner les nombres réels pour lesquelles l'expression n'est pas définie. '''a)''' <math>\frac2{x-1}</math> {{Solution|contenu= Le dénominateur <math>x-1</math> s'annule si et seulement si <math>x=1</math> donc l’expression <math>\frac2{x-1}</math> n’est pas définie si et seulement si <math>x=1</math>. }} '''b)''' <math>1-\frac{2x}{x+2}</math> {{Solution|contenu= Le dénominateur <math>x+2</math> s'annule si et seulement si <math>x=-2</math> donc l’expression <math>1-\frac{2x}{x+2}</math> n’est pas définie si et seulement si <math>x=-2</math>. }} '''c)''' <math>\frac1{x-2}+\frac1{x^2+1}</math> {{Solution|contenu= <math>x^2+1</math> ne s'annule jamais et <math>x-2</math> s'annule si et seulement si <math>x=2</math> donc l’expression <math>\frac1{x-2}+\frac1{x^2+1}</math> n’est pas définie si et seulement si <math>x=2</math>. }} '''d)''' <math>\frac1{x-2}+\frac1{x^2-1}</math> {{Solution|contenu= Cette expression n'est pas définie si et seulement si <math>x=2</math> ou <math>x^2=1</math>. Or <math>x^2=1\Leftrightarrow(x+1)(x-1)=0\Leftrightarrow x=-1</math> ou <math>x=1</math>. Donc l'expression n'est pas définie si et seulement si <math>x</math> est égal à <math>2</math>, <math>-1</math> ou <math>1</math>. }} == Exercice 1-3 == Chacune des expressions ci-dessous définit une fonction <math>f</math>. Exprimer l'ensemble de définition <math>D_f</math> (le plus grand possible) sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles. '''a)''' <math>f(x)=\frac2{x-1}</math> {{Solution|contenu= <math>D_f=\R\setminus\{1\}=\left]-\infty,1\right[\cup\left]1,+\infty\right[</math>. }} '''b)''' <math>f(x)=1-\frac{2x}{x+2}</math> {{Solution|contenu= <math>D_f=\R\setminus\{-2\}=\left]-\infty,-2\right[\cup\left]-2,+\infty\right[</math>. }} '''c)''' <math>f(x)=\frac1{x-2}+\frac1{x^2+1}</math> {{Solution|contenu= <math>D_f=\R\setminus\{2\}=\left]-\infty,2\right[\cup\left]2,+\infty\right[</math>. }} '''d)''' <math>f(x)=\frac1{x-2}+\frac1{x^2-1}</math> {{Solution|contenu= <math>D_f=\R\setminus\{-1,1,2\}=\left]-\infty,-1\right[\cup\left]-1,1\right[\cup\left]2,+\infty\right[</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Calcul d'image/]] }} nsfzzo2kmo04dk8ies10pn94f83kbkz 0 28648 986211 711358 2026-09-02T19:30:29Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986211 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | chapitre = [[../../Factorisation/]] | précédent = [[../Développement/]] | suivant = [[../Quotient/]] | niveau = 10 }} == Exercice 4-1 == Factoriser en utilisant les identités remarquables. '''a)''' <math>x^2+14x+49</math> '''b)''' <math>9x^2-6x+1</math> '''c)''' <math>2x^2+x\sqrt{24}+3</math> '''d)''' <math>\frac{1}{4}-3x+9x^2</math> '''e)''' <math>x^2-25</math> '''f)''' <math>9x^2-16</math> '''g)''' <math>3x^2-1</math> '''h)''' <math>(x-3)^2-16</math> '''i)''' <math>(x-3)^2-2</math> '''j)''' <math>4(x-3)^2-25(1-3x)^2</math> {{solution | contenu = '''a)''' <math>x^2+14x+49=x^2+2\times7x+7^2=(x+7)^2</math> '''b)''' <math>9x^2-6x+1=(3x)^2-2\times3x+1^2=(3x+1)^2</math> '''c)''' <math>2x^2+x\sqrt{24}+3=2x^2+2x\sqrt6+3=(x\sqrt2)^2+2\times x\sqrt2\times\sqrt3+(\sqrt3)^2=(x\sqrt2+\sqrt3)^2</math> '''d)''' <math>\frac{1}{4}-3x+9x^2=\left(\frac12\right)^2-2\times\frac123x+(3x)^2=\left(\frac12-3x\right)^2</math> '''e)''' <math>x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)</math> '''f)''' <math>9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x+4)(3x-4)</math> '''g)''' <math>3x^2-1=(x\sqrt3)^2-1^2=(x\sqrt3+1)(x\sqrt3-1)</math> '''h)''' <math>(x-3)^2-16=(x-3)^2-4^2=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7)</math> '''i)''' <math>(x-3)^2-2=(x-3)^2-(\sqrt2)^2=(x-3+\sqrt2)(x-3-\sqrt2)</math> '''j)''' <math>4(x-3)^2-25(1-3x)^2=[2(x-3)]^2-[5(1-3x)]^2=[2(x-3)+5(1-3x)][2(x-3)-5(1-3x)]=(2x-6+5-15x)(2x-6-5+15x)=(-13x-1)(17x-11)</math> }} == Exercice 4-2 == Factoriser les expressions suivantes : '''a)''' <math>(3x+1)(-4x+5)-2(3x+1)</math> '''b)''' <math>(x-5)(x+3)-(2x+7)(x+3)</math> '''c)''' <math>(x+2)(5x-1)-(5x+2)(2x+4)</math> '''d)''' <math>(2x+3)^2-(4x+6)(-4x+2)</math> {{solution | contenu = '''a)''' <math>(3x+1)(-4x+5)-2(3x+1)=(3x+1)[(-4x+5)-2]=(3x+1)(-4x+3)</math> '''b)''' <math>(x-5)(x+3)-(2x+7)(x+3)=(x+3)[(x-5)-(2x+7)]=(x+3)(-x-12)</math> '''c)''' <math>(x+2)(5x-1)-(5x+2)(2x+4)=(x+2)(5x-1)-2(5x+2)(x+2)=(x+2)[(5x-1)-2(5x+2)]=(x+2)(5x-1-10x-4)=(x+2)(-5x-5)=-5(x+2)(x+1)</math> '''d)''' <math>(2x+3)^2-(4x+6)(-4x+2)=(2x+3)^2-2(2x+3)(-4x+2)=(2x+3)[(2x+3)-2(-4x+2)]=(2x+3)(2x+3+8x-4)=(2x+3)(10x-1)</math> }} == Exercice 4-3 == Factoriser les expressions suivantes : '''a)''' <math>4x^2-1-(2x-1)(3x+5)</math> '''b)''' <math>4x^2+4x+1-(2x+1)(3x+5)</math> '''c)''' <math>ab(a+b)+bc(a^2+2ab+b^2)+b^2(a^2-b^2)</math> '''d)''' <math>3x(x-1)-6(x^2-2x+1)+9x(x^2-1)</math> '''e)''' <math>2xy(y^2-9)-4x(3-y)+8x(y^2-6y+9)</math> {{solution | contenu = <math> \begin{align} a)\quad 4x^2-1-(2x-1)(3x+5)&=(2x)^2-1-(2x-1)(3x+5) \\ &=(2x+1)(2x-1)-(2x-1)(3x+5) \\ &=(2x-1)[(2x+1)-(3x+5)] \\ &=(2x-1)(-x-4) \\ &=-(2x-1)(x+4) \end{align}</math> <math> \begin{align} b)\quad 4x^2+4x+1-(2x+1)(3x+5)&=(2x)^2+2\times2x+1-(2x+1)(3x+5) \\ &=(2x+1)^2-(2x+1)(3x+5) \\ &=(2x+1)[(2x+1)-(3x+5)] \\ &=(2x+1)(-x-4) \\ &=-(2x+1)(x+4) \end{align}</math> <math> \begin{align} c)\quad ab(a+b)+bc(a^2+2ab+b^2)+b^2(a^2-b^2)&=ab(a+b)+bc(a+b)^2+b^2(a+b)(a-b) \\ &=b(a+b)[a+c(a+b)+b(a-b)] \\ &=b(a+b)(a+ac+bc+ab-b^2) \end{align}</math> <math> \begin{align} d)\quad 3x(x-1)-6(x^2-2x+1)+9x(x^2-1)&=3x(x-1)-6(x-1)^2+9x(x+1)(x-1) \\ &=3(x-1)[x-2(x-1)+3x(x+1)] \\ &=3(x-1)(3x^2+2x+2) \end{align}</math> <math> \begin{align} e)\quad 2xy(y^2-9)-4x(3-y)+8x(y^2-6y+9)&=2xy(y+3)(y-3)+4x(y-3)+8x(y-3)^2 \\ &=2x(y-3)[y(y+3)+2+4(y-3)] \\ &=2x(y-3)[y^2+3y+2+4y-12] \\ &=2x(y-3)(y^2+7y-10) \end{align}</math> }} == Exercice 4-4 == Factoriser les expressions suivantes : '''a)''' <math>(x+3y)^2-(x-5y)^2</math> '''b)''' <math>(x^2+2xy+y^2)-(m^2-2mn+n^2)</math> '''c)''' <math>(5+2\sqrt{5a}+a)-(3-2\sqrt{3b}+b)</math> '''d)''' <math>a^2-b^2-c^2-2bc</math> {{solution | contenu = <math> \begin{align} a)\quad (x+3y)^2-(x-5y)^2&=(x+3y+x-5y)(x+3y-x+5y) \\ &=(2x-2y)(8y) \\ &=16y(x-y) \end{align}</math> <math> \begin{align} b)\quad (x^2+2xy+y^2)-(m^2-2mn+n^2)&=(x+y)^2-(m-n)^2 \\ &=(x+y+m-n)(x+y-m+n) \end{align}</math> <math> \begin{align} c)\quad (5+2\sqrt{5a}+a)-(3-2\sqrt{3b}+b)&=((\sqrt5)^2+2\sqrt5\sqrt a+(\sqrt a)^2)-((\sqrt3)^2-2\sqrt3\sqrt b+(\sqrt b)^2) \\ &=(\sqrt5+\sqrt a)^2-(\sqrt3-\sqrt b)^2 \\ &=(\sqrt5+\sqrt a+\sqrt3-\sqrt b)(\sqrt5+\sqrt a-\sqrt3+\sqrt b) \end{align}</math> <math> \begin{align} d)\quad a^2-b^2-c^2-2bc&=a^2-\left(b^2+c^2+2bc\right) \\ &=a^2-\left(b+c\right)^2 \\ &=(a+b+c)(a-b-c) \end{align}</math> }} == Exercice 4-5 == Factoriser les expressions suivantes : '''a)''' <math>abc^2-abd^2+ce-de</math> '''b)''' <math>a^2+2ab(a-b)-b^2</math> '''c)''' <math>x^2+2+\frac1{x^2}</math> '''d)''' <math>ax+ay+bx+by+(a-b)^2+4ab</math> {{solution | contenu = <math> \begin{align} a)\quad abc^2-abd^2+ce-de&=ab(c^2-d^2)+e(c-d) \\ &=ab(c+d)(c-d)+e(c-d) \\ &=(c-d)[ab(c+d)+e] \\ &=(c-d)(abc+abd+e) \end{align}</math> <math> \begin{align} b)\quad a^2+2ab(a-b)-b^2&=a^2-b^2+2ab(a-b) \\ &=(a+b)(a-b)+2ab(a-b) \\ &=(a-b)(a+b+2ab) \end{align}</math> <math> \begin{align} c)\quad x^2+2+\frac1{x^2}&=x^2+2x\frac1x+\left(\frac1x\right)^2 \\ &=\left(x+\frac1x\right)^2 \end{align}</math> <math> \begin{align} d)\quad ax+ay+bx+by+(a-b)^2+4ab&=a(x+y)+b(x+y)+a^2-2ab+b^2+4ab \\ &=(a+b)(x+y)+a^2+2ab+b^2 \\ &=(a+b)(x+y)+(a+b)^2 \\ &=(a+b)(x+y+a+b) \end{align}</math> }} == Exercice 4-6 == Factoriser les expressions suivantes : '''a)''' <math>(x+2\sqrt3-5)^2-(x-3\sqrt3+2)^2</math> '''b)''' <math>x^2+2x(x-1)+(x-1)^2</math> '''c)''' <math>m^2+\frac1{m^2}+1</math> '''d)''' <math>4x^2+4x(x+3)+(x+3)^2+6(x+1)</math> {{solution | contenu = <math> \begin{align} a)\quad (x+2\sqrt3-5)^2-(x-3\sqrt3+2)^2&=(x+2\sqrt3-5+x-3\sqrt3+2)(x+2\sqrt3-5-x+3\sqrt3-2) \\ &=(2x-\sqrt3-3)(5\sqrt3-7) \end{align}</math> <math> \begin{align} b)\quad x^2+2x(x-1)+(x-1)^2&=[x+(x-1)]^2 \\ &=(2x-1)^2 \end{align}</math> <math> \begin{align} c)\quad m^2+\frac1{m^2}+1&=m^2+2+\frac1{m^2}-1 \\ &=m^2+2m.\frac1m+\left(\frac1m\right)^2-1^2 \\ &=(m+\frac1m)^2-1^2 \\ &=(m+\frac1m+1)(m+\frac1m-1) \end{align}</math> <math> \begin{align} d)\quad 4x^2+4x(x+3)+(x+3)^2+6(x+1)&=(2x)^2+2\times2x(x+3)+(x+3)^2+6(x+1) \\ &=(2x+x+3)^2+6(x+1) \\ &=(3x+3)^2+6(x+1) \\ &=9(x+1)^2+6(x+1) \\ &=(x+1)[9(x+1)+6] \\ &=(x+1)(9x+15) \\ &=3(x+1)(3x+5) \end{align}</math> }} == Exercice 4-7 == Factoriser les expressions suivantes : '''a)''' <math>x^2-8x+15</math> '''b)''' <math>x^2+2x-35</math> '''c)''' <math>x^2+x-6</math> '''d)''' <math>x^2-3x-40</math> '''e)''' <math>x^2+6x+7</math> {{solution | contenu = <math> \begin{align} a)\quad x^2-8x+15&=x^2-8x+16-1 \\ &=x^2-8x+4^2-1^2 \\ &=(x-4)^2-1^2 \\ &=(x-4+1)(x-4-1) \\ &=(x-3)(x-5) \end{align}</math> <math> \begin{align} b)\quad x^2+2x-35&=x^2+2x+1^2-6^2 \\ &=(x+1)^2-6^2 \\ &=(x+1+6)(x+1-6) \\ &=(x+7)(x-5) \end{align}</math> <math> \begin{align} c)\quad x^2+x-6&=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-6 \\ &=\left(x+\frac12\right)^2-\frac{25}4 \\ &=\left(x+\frac12\right)^2-\left(\frac52\right)^2 \\ &=\left(x+\frac12+\frac52\right)\left(x+\frac12-\frac52\right) \\ &=(x+3)(x-2) \end{align}</math> <math> \begin{align} d)\quad x^2-3x-40&=\left(x-\frac32\right)^2-\frac94-40 \\ &=\left(x-\frac32\right)^2-\left(\frac{13}2\right)^2 \\ &=\left(x-\frac32+\frac{13}2\right)\left(x-\frac32-\frac{13}2\right) \\ &=(x+5)(x-8) \\ \end{align}</math> <math> \begin{align} e)\quad x^2+6x+7&=(x+3)^2-2 \\ &=(x+3)^2-(\sqrt2)^2 \\ &=(x+3+\sqrt2)(x+3-\sqrt2) \end{align}</math> }} == Exercice 4-8 == Factoriser les expressions suivantes : '''a)''' <math>3(x^2+2x-35)-(x+2)(x-5)</math> '''b)''' <math>(3x-1)^2-(2x+3)^2-(x-4)^2</math> {{solution | contenu = <math> \begin{align} a)\quad 3(x^2+2x-35)-(x+2)(x-5)&=3[(x+1)^2-6^2]-(x+2)(x-5) \\ &=3[(x+1+6)(x+1-6)]-(x+2)(x-5) \\ &=3(x+7)(x-5)-(x+2)(x-5) \\ &=(x-5)[3(x+7)-(x+2)] \\ &=(x-5)(2x+19) \end{align}</math> <math> \begin{align} b)\quad (3x-1)^2-(2x+3)^2-(x-4)^2&=[(3x-1)+(2x+3)][(3x-1)-(2x+3)]-(x-4)^2 \\ &=(3x-1+2x+3)(3x-1-2x-3)-(x-4)^2 \\ &=(5x+2)(x-4)-(x-4)^2 \\ &=(x-4)[(5x+2)-(x-4)] \\ &=(x-4)[4x+6] \\ &=2(x-4)(2x+3) \end{align}</math> }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Développement/]] | suivant = [[../Quotient/]] }} fv3nsuc6r5q1dlvjpgws7e7xcofd50o 0 29828 986212 980985 2026-09-02T19:30:39Z Crochet.david.bot 1005 correction codification HTML 986212 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = langues | numéro = 1 | leçon = [[../|La grammaire bretonne]] | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Prononciation/]] | niveau = 2 }} ==Évolution du breton== L'origine de la langue bretonne se situe au V^e siècle (401-500), quand des insulaires de langue brittonique venus de ce qui est aujourd'hui la Grande-Bretagne, fuyant l'invasion saxonne, franchirent la Manche pour venir s'installer dans la péninsule occidentale de la Gaule, qu'on appelait alors ''Aremorici'' en langue gauloise, "le pays maritime" : l'Armorique ( <q>''Aremorici''</q> se prononce ''Aremoriki''). Leur langue se répandit dans la péninsule et atteignit au IX^ème siècle une ligne reliant la baie du Mont Saint-Michel à l'estuaire de la Loire. Elle devint le breton en se détachant peu à peu de la langue insulaire, suivant son évolution propre. L'usage du breton a reflué depuis : au vingtième siècle, il était parlé à l'ouest d'une ligne [[w:Saint-Brieuc|Saint-Brieuc]] – [[w:Vannes|Vannes]]. Le breton s'écrit avec un alphabet latin adapté à son histoire ; les accents écrits (circonflexe et grave) n'ont pas la même valeur qu'en français. Tout comme le français, la langue bretonne a été écrite de plusieurs manières au cours de son histoire. On distingue plusieurs périodes, déterminées par l'analyse de textes d'abord gravés, puis manuscrits et enfin imprimés. {| class="wikitable" style="width:95%;" |- ! !! Dates !! Plus ancien document connu — <small>Source : [[w:Arzel Even|Arzel Even]] (1956), ''Istor ar yezhoù keltiek'', vol. I, pp. 95-151, Hor Yezh, 1987</small> |- ! Proto-breton |VI^e – VIII^e siècles || Avant 550 : inscription ''irha ema in ri'' (<q>ici repose le roi</q>) à [[w:Crac'h|Krac'h]] ; le breton se distingue des langues brittoniques insulaires. |- ! Vieux breton |VIII^e – XII^e siècles || [[:w:Cartulaire de Redon|Cartulaire de Redon]], archives manuscrites de l'abbaye. |- ! rowspan="3" | Moyen breton |1100 – 1450 : pré-moyen breton || [[w:Cartulaire de Quimperlé|Cartulaire de Quimperlé]], archives manuscrites de l'abbaye. |- |1450 – 1557 : moyen breton classique || ''An Dialog etre Arzur Roe d'an Bretounet ha Guynglaff'', poème manuscrit de 247 vers. |- |1557 – 1659 : moyen breton tardif || ''Buhez santes Barba'', mystère en 4 878 vers imprimé à [[w:Morlaix|Morlaix]]. |- ! rowspan="2"|Breton moderne |1659 – 1807 : breton pré-moderne || ''Le Sacré-Collège de Jésus'' de [[w:Julien Maunoir|Julien Maunoir]], catéchisme. |- |1807 – aujourd'hui : breton moderne || ''Grammaire celto-bretonne'' de [[w:Jean François Le Gonidec de Kerdaniel|Jean François Le Gonidec de Kerdaniel]]. |} ;Évolution du breton moderne Plusieurs systèmes orthographiques ont été tentés au fil du temps pour unifier la langue écrite de manière interdialectale. * 1905 : une assemblée d'écrivains de [[w:Cornouaille|Cornouaille]], du [[w:Pays de Léon|Léon]] et du [[w:Trégor|Trégor]] établissent le système orthographique dit ''KLT'', pour ''Kernev–Leon–Treger'' ; le dialecte du [[w:Vannetais|Vannetais]] n'ayant pas été pris en compte, l'édition en vannetais garde son orthographe particulière. * 1941 : les tenants du KLT et ceux du vannetais s'entendent pour finir de mettre au point l'orthographe dite ''peurunvan'' ( <q>complètement unifiée</q> ) prévue à Lorient en 1936, qui remplace alors le KLT dans l'édition en langue bretonne. * 1955 : des universitaires rennais rétifs au ''peurunvan'' publient dans leur propre système, dit ''skolveurieg'' ( <q>universitaire</q> ) ; quatre éditeurs l'utilisent encore aujourd'hui. * 1971 : un universitaire brestois imagine et promeut son propre système dit ''etrerannyezhel'' ( <q>interdialectal</q> ), peu usité aujourd'hui. <div style="width:62%; margin:auto; margin-top:20px; box-shadow:5px 5px #f00; border:1px solid #008000; background-color:#cfd; text-align:center; padding:20px;">'''Le ''peurunvan'' étant l'orthographe largement majoritaire aujourd'hui, c'est celle que nous utiliserons dans les cours.'''<br />Qui lit en ''peurunvan'' peut lire dans les autres systèmes, y compris le moyen breton !</div> ==Écrire le breton== On traitera ici de l'écriture seulement ; la prononciation du breton et ses particularités, telles les voyelles longues, sera traitée dans la leçon spécifique. === Alphabet === L'alphabet breton moderne se compose de 25 lettres ; on n'y trouve pas les lettres Q et X, et au lieu de C il comporte CH, qui se prononce [ ʃ ] (ch) ou [ ʒ ] (j) suivant le contexte grammatical, et C'H, qui se prononce [ x ] en fin de mot comme le /ch/ allemand, le <big>خ</big> /kh/ arabe, la ''jota'' /j/ espagnole et le /x/ russe, et comme un /h/ aspiré [ h ] entre deux voyelles. Voici les 5 voyelles, 19 consonnes et la voyelle/consonne de l'alphabet breton : {| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;" |- !Écriture||style="background-color:#c8e4ff;"|A, a||B, b||CH, ch||C'H, c'h||D, d||style="background-color:#c8e4ff;"|E, e||F, f||G, g||H, h||style="background-color:#c8e4ff;"|I, i||J, j||K, k||L, l||M, m||N, n||style="background-color:#c8e4ff;"|O, o||P, p||R, r||S, s||T, t||style="background-color:#c8e4ff;"|U, u||V, v||W, w||style="background-color:#f2d2d2;"|Y, y||Z, z |- |'''Prononciation'''||style="background-color:#c8e4ff;"|''a''||''bé''||''ché''||''c'hé''||''dé''||style="background-color:#c8e4ff;"|''é''||''fé''||''gué''||''hé''||style="background-color:#c8e4ff;"|''i''||''jé''||''ké''||''lé''||''mé''||''né''||style="background-color:#c8e4ff;"|''o''||''pé''||''ré''||''sé''||''té''||style="background-color:#c8e4ff;"|''u''||''vé''||''wé''||style="background-color:#f2d2d2;"|''yé''||''zé'' |} *La phrase suivante est un pangramme breton, elle contient toutes les lettres de l'alphabet : <div style="text-align:center;">'''Ya, deuet eo cheuc'h hor brezhoneg aba studiomp e Wikiskolveur, hon flijadur vras eo !'''<br />''Oui, notre breton est devenu chic depuis que nous étudions à Wikiversité, c'est notre grand plaisir !''</div> ===Écriture des voyelles=== On appelle « voyelles » des sons émis par la voix sans bruit d'air, par résonance de la cavité buccale plus ou moins ouverte (voyelles simples et doubles), parfois en communication avec la cavité nasale en ouvrant plus ou moins la bouche (voyelles nasalisées). L'écriture des voyelles simples et doubles est la même qu'en français ; celle des voyelles nasalisées est particulière au breton. ;Écriture des voyelles simples {| class="wikitable" |- style="font-variant:small-caps;" ! !!{{br}}!!{{fr}} |- |align="center"|'''A'''|| '''a'''b'''a''' ''(depuis)'' || '''a'''b'''a'''t |- |align="center"|'''E'''|| '''e'''d ''(du blé)''|| d'''e''' |- |align="center"|'''I'''|| '''i'''sk'''i'''s ''(étrange)'' || sk'''i''' |- |align="center"|'''O'''|| '''o'''s'''o'''d ''(prothèse)'' || s'''o'''t |- |align="center"|'''U'''|| '''u'''nt'''u''' ''(unilatéral)'' || t'''u''' |} ;Écriture des voyelles doubles Les voyelles doubles sont deux voyelles distinctes que l'on couple à l'écrit pour traduire un son différent de celle de chaque voyelle isolée : en breton comme en français, ''eu'' se prononce différemment de /e/ ou /u/ isolées. {| class="wikitable" |- style="font-variant:small-caps;" ! !!{{br}}!!{{fr}} |- |align="center"|'''EU'''|| b'''eu'''z ''(buis)'' || p'''eu''' |- |align="center"|'''OU'''|| b'''ou'''ed ''(nourriture)''|| b'''ou'''le |} ;Écriture des voyelles nasalisées Les voyelles nasalisées sont prononcées en partie par le nez : le mot français ''andin'' comprend un /a/ et un /i/ nasalisés. La nasalisation est beaucoup plus marquée en breton, et sonne différemment. En breton, la nasalisation est indiquée par l'emploi d'un signe <abbr title="qui sert à cactériser">diacritique</abbr>, le ''tilde'' <big>'''~'''</big>, placé sur un /n/ ; '''ñ''' indique donc la nasalisation de la voyelle qui le précède. Le tableau suivant montre les voyelles nasalisées du breton et du français ; '''attention''' : les prononciations ne sont pas équivalentes. {| class="wikitable" |- style="font-variant:small-caps;" ! !!{{br}}!!{{fr}} |- |align="center"|'''AÑ'''|| aez'''añ''' ''(faciliter)'' || '''an'''se |- |align="center"|'''EÑ'''|| kr'''eñ'''v ''(fort)''|| '''en'''cre |- |align="center"|'''IÑ'''|| f'''iñ'''val (bouger)'' || '''in'''ca |- |align="center"|'''OÑ'''|| d'''oñ'''v ''(apprivoisé)'' || '''on''' |- |align="center"|'''UÑ'''|| b'''uñ'''s ''(muid)'' || '''un''' |} *La nasalisation n'est pas toujours écrite ; par exemple : '''a'''mzer [ˈãm.zɛr] ''(temps)'', '''e'''nez [ˈẽːnes] ''(île)'', f'''iñ'''val [ˈfĩːval] ''(bouger)'', t'''o'''nn [ˈtɔ̃nː] ''(vague)''. ===Écriture des consonnes=== Certaines des 19 consonnes du breton peuvent subir des [[Breton/Grammaire/Mutations|mutations consonantiques]] selon le contexte grammatical, par exemple '''t'''ad ''(père)'' – ma '''z'''ad ''(mon père)'' – da '''d'''ad ''(ton père)'' ; ce phénomène peut apparaître dans l'écriture ou rester oral. {| class="wikitable" |- style="font-variant:small-caps;" ! !!{{br}}!!{{fr}}!! |- |align="center"|'''B'''|| '''b'''azh ''(bâton)'' || '''b'''a'''b'''a || Mutations écrites [[File:Emblem-pen.svg|20px]] |- |align="center"|'''CH'''|| '''ch'''ag ''(stagnant)'' || '''ch'''at || Mutations orales [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] |- |align="center"|'''C'H'''|| '''c'h'''oari ''(jeu)'' || — || [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] ; {{de}} ''bach'' |- |align="center"|'''D'''|| '''d'''all ''(aveugle)'' || '''d'''a'''d'''a || [[File:Emblem-pen.svg|20px]] |- |align="center"|'''F'''|| '''f'''all ''(mauvais)'' || '''f'''able || [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] |- |align="center"|'''G'''|| '''g'''enoù ''(bouche)'' || '''g'''uenon || [[File:Emblem-pen.svg|20px]] ; toujours dur, jamais comme dans ''genou'' |- |align="center"|'''H'''|| '''h'''ael ''(noble)'' || '''h'''aricot || [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] |- |align="center"|'''J'''|| '''j'''al ''(engelures)'' || '''j'''our || Ne mute pas (Ø) |- |align="center"|'''K'''|| '''k'''azh ''(chat)'' || '''k'''oala || [[File:Emblem-pen.svg|20px]] |- |align="center"|'''L'''|| '''l'''aer ''(voleur)'' || '''l'''ac''' || [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] |- |align="center"|'''M'''|| '''m'''a'''mm''' || '''m'''ère || [[File:Emblem-pen.svg|20px]] |- |align="center"|'''N'''|| '''n'''adoz ''(aiguille)'' || '''n'''adir || [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] |- |align="center"|'''P'''|| '''p'''al ''(but)'' || '''p'''age || [[File:Emblem-pen.svg|20px]] |- |align="center"|'''R'''|| '''r'''edi ''(obligation)'' || '''r'''adon || [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] |- |align="center"|'''S'''|| '''s'''ae ''(robe)'' || '''s'''able || [[File:Font Awesome 5 regular comment-dots.svg|20px]] |- |align="center"|'''T'''|| '''t'''ad ''(père)'' || '''t'''able || [[File:Emblem-pen.svg|20px]] |- |align="center"|'''V'''|| '''v'''i ''(œuf)'' || o'''v'''ale || Ø |- |align="center"|'''W'''|| '''w'''ar ''(sur)'' || '''w'''apiti || Ø |- |align="center"|'''Z'''|| '''z'''eal ''(zozoter)'' || '''z'''ébu || Ø |} ===Écriture de la voyelle/semi-consonne=== Comme en français, /y/ est une voyelle quand elle est l'initiale d'un mot ou après une consonne, et une semi-consonne quant elle est suivie d'une voyelle. {| class="wikitable" |- style="font-variant:small-caps;" ! !!{{br}}!!{{fr}}!! |- | align="center"|'''Y'''|| '''y'''a ''(oui)'' || '''y'''ak || Ø |} * L'écriture permet la lecture, il nous faut donc étudier les bases de la '''[[Breton/Grammaire/Prononciation|prononciation]] du breton'''. {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Prononciation/]] }} 175ke90qphsa9nczbt1d5fk6z1266z3 0 71484 986213 983029 2026-09-02T23:24:49Z ~2026-47654-11 80923 /* Exercice no 5 : Histoires de drapeaux */ 986213 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = physique | niveau = 12 | numéro = 1 }} == Exercice n^o 1 == Trois projecteurs de lumière colorées rouge, verte et bleue sont utilisés pour l'éclairage d'une scène. # Quels projecteurs faut-il utiliser pour obtenir : ## un éclairage jaune ? ## un éclairage cyan ? # Comment peut-on obtenir un éclairage blanc ? {{Solution|contenu= # ## Il faut un projecteur de lumière colorée rouge et un projecteur vert pour obtenir un éclairage jaune par synthèse additive. ## Il faut un projecteur de lumière colorée bleue et un projecteur vert pour obtenir un éclairage cyan par synthèse additive. # Il faut tous les trois projecteurs pour obtenir un éclairage blanc par synthèse additive.}} == Exercice n^o 2 == # On éclaire un ballon avec une source de lumière blanche : il apparaît bleu. ## Quelle(s) lumière(s) colorée(s) absorbe et diffuse ce ballon ?<br />De quelle couleur apparaît le ballon quand on l'éclaire : ## avec une lumière verte ? ## avec une lumière magenta ? ## avec une lumière jaune ? # Eclairé en lumière magenta, un objet apparaît rouge, mais éclairé en lumière cyan, il apparaît vert. ## Quelle(s) lumière(s) colorée(s) cet objet absorbe-t-il ? Diffuse-t-il ? ## Quelle est la couleur perçue de cet objet en lumière blanche ? ## Quelle est la couleur perçue de cet objet en lumière bleue ? {{Solution|contenu= # ## Le ballon absorbe la radiation rouge et verte et diffuse la radiation bleue, donc en lumière blanche il apparaît bleu. ## Le ballon apparaît noir lorsque l'on l'éclaire avec une lumière verte car le ballon absorbe cette radiation et ne diffuse aucune radiation. ## Le ballon apparaît bleu lorsque l'on l'éclaire avec une lumière magenta, qui est constituée de radiation bleue et rouge, car le ballon absorbe la radiation rouge et diffuse la radiation bleue. ## Le ballon apparaît noir lorsque l'on l'éclaire avec une lumière jaune, qui est constituée de radiation rouge et vert, car le ballon absorbe la radiation rouge et vert et ne diffuse aucune radiation. # ## En lumière magenta, constituée de radiation rouge et bleue, cet objet apparaît rouge car il absorbe la radiation bleu et diffuse la radiation rouge, et en lumière cyan, l'objet apparaît vert car il absorbe la radiation bleu et diffuse la radiation vert. Donc l'objet absorbe la radiation bleu et diffuse la radiation rouge et vert. ## En lumière blanche, constituée de radiation rouge, verte et bleue, l'objet apparaît jaune, constituée de radiation rouge et vert, car il absorbe la radiation bleu et diffuse la radiation rouge et verte. ## En lumière bleue, l'objet apparaît noir car il absorbe la radiation bleue et ne diffuse aucune radiation. }} == Exercice n^o 3 : Écran d'ordinateur == Chaque pixel de l'écran d'un ordinateur est constitué de trois luminosphores rouge, vert et bleu qui peuvent prendre chacun 256 intensités lumineuses différentes. La valeur 0 pour un luminosphore correspond à l'absence de lumière (luminosphore étént). La valeur maximale 255 correspond à la brillance maximale. Montrer que cet écran permet d'obtenir plus de 16 millions de couleurs différentes {{Solution|contenu= Il y a 256 valeurs possibles pour 3 luminosphores donc: :<math>256^3 = 16777216</math> est le nombre de combinaisons possibles et est donc le nombre de couleurs possibles. }} == Exercice n^o 4 == {{multiple image | width = 400 | align = center | image1 = Flag of South Africa.svg | caption1 = Figure n^o 1 | image2 = Flag of South Africa - No Yellow Ink.svg | caption2 = Figure n^o 2 }} Le drapeau sud-africain a l'aspect (1) en lumière blanche. Simon a tenté de le reproduire avec son imprimante, mais a obtenu le drapeau (2). Quel est le problème concernant son imprimante ? {{Solution|contenu= La partie gauche du drapeau (1) paraît noir, c'est-à-dire elle diffuse aucune radiation. Or la partie gauche du drapeau (2) paraît bleu, la radiation bleue n'est pas absorbé, il manque d'encre qui permet leur absorption et par synthèse soustractive, il s'agit de l'encre jaune. }} == Exercice n^o 5 : Histoires de drapeaux == {{multiple image | width = 100 | image1 = Flag of Belgium.svg | caption1 = Belgique | image2 = Flag of Switzerland.svg | caption2 = Suisse | image3 = Flag of Austria.svg | caption3 = Autriche | image4 = Flag of Italy.svg | caption4 = Italie | image5 = Flag of Mali.svg | caption5 = Mali | image6 = Flag of Bahrain.svg | caption6 = Bahreïn | image7 = Flag of Ethiopia (1975–1987).svg | caption7 = Éthiopie (1975–1987) }} # De nuit, à l’aide de trois spots de lumières colorées, on désire représenter le '''drapeau français''' sur une tribune blanche. ## De quel type de synthèse s’agit-il ? Quels sont les couleurs des spots utilisés ? ## Expliquer comment procéder pour obtenir le drapeau français désiré. ## À cause d’un problème technique, les spectateurs voient apparaître à sa place le drapeau belge (voir ci-contre). '''Proposer une explication.''' # On dispose des sept drapeaux '''en tissu''' ci-contre. ## Comment apparaît le drapeau malien éclairé en lumière verte ? en lumière magenta ? ## Quel éclairage coloré permettrait de percevoir de manière identique les drapeaux malien et italien ? ## Quels drapeaux pourrait-on confondre sous un éclairage rouge ? {{Solution}} iafm1rk0gxpeh6fd36bb1ny0ttizzpj 0 74240 986176 986174 2026-09-02T15:03:35Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986176 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\big(</math>qu'il soit discret ou continu de matière<math>\big)\;</math> et le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est galiléen soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_r%C3%A9sultante_cin%C3%A9tique_et_vitesse_du_C.D.I.-28|²⁸]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret ou continu en translation, à l'exception de ce cas <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition * d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et * d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} qf4kxunj9wi0n1i2j1f1ek1zke7cof2 986177 986176 2026-09-02T15:13:15Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986177 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-28|²⁸]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret ou continu en translation, à l'exception de ce cas <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition * d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et * d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} hc2egcqzrlvk7xo3ovn0opznysgu2tw 986178 986177 2026-09-02T15:19:02Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986178 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret ou continu en translation, à l'exception de ce cas <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition * d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et * d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} gqlaj8cmgkqct8mxkuh4hle7hohc99x 986179 986178 2026-09-02T15:25:18Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986179 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition * d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et * d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} agh6zff2w6zabp61r6dk0v8orhp1fxj 986180 986179 2026-09-02T15:27:12Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986180 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition * d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et * d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} 05r82c0k4r8e98uj3q5yjg9put5or53 986181 986180 2026-09-02T15:39:51Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986181 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} rx8y70zg7cyivwdh04ijxbuuyv265vr 986182 986181 2026-09-02T15:52:56Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986182 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} hxmuea4xtori6bmgwe176dbpdq7i1wa 986214 986182 2026-09-03T03:06:51Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986214 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} sidlvih206368pi68nphcgqg0rriab9 986215 986214 2026-09-03T03:26:12Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986215 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} qyizcrgjitmwnvpqjp9x5600c079wxk 986216 986215 2026-09-03T03:41:50Z Phl7605 31541 /* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */ 986216 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} p2wrc9cnpv1ehrhii9hznjedzwoo64e 4 80727 986217 986068 2026-09-03T04:40:52Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 986217 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2026-09-01T07:10:28Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul résultat|5000 résultats}} au maximum {{PLURAL:5000|est disponible|sont disponibles}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! Gadget !! data-sort-type="number" | Nombre d’utilisateurs !! data-sort-type="number" | Utilisateurs actifs |- |Accessibility || 27 || 1 |- |AdvancedContribs || 44 || 1 |- |AncreTitres || 32 || 2 |- |Barre de luxe || 46 || 2 |- |CoinsArrondis || 96 || 1 |- |DeluxeHistory || 121 || 2 |- |EditZeroth || 4 || 1 |- |FastRevert || 35 || 4 |- |FlecheHaut || 56 || 2 |- |HotCats || 94 || 4 |- |JavascriptHeadings || 18 || 1 |- |LeftPaneSwitch || 7 || 0 |- |LiveRC || 30 || 1 |- |OngletGoogle || 30 || 1 |- |OngletPurge || 100 || 6 |- |OptimizedSuivi || 16 || 0 |- |Popups || 39 || 1 |- |RenommageCategorie || 28 || 1 |- |ResizeGalleries || 81 || 1 |- |RestaurationDeluxe || 47 || 2 |- |ResumeDeluxe || 112 || 3 |- |RevertDiff || 32 || 2 |- |SisterProjects || 31 || 2 |- |Smart patrol || 5 || 2 |- |ZoomOnThumb || 31 || 1 |- |monBrouillon || 43 || 2 |- |recentchangesbox || 9 || 0 |- |searchFocus || 17 || 0 |- |searchbox || 31 || 2 |- |social-networks || 13 || 0 |} * [[Spécial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Accessibility,27,1 AdvancedContribs,44,1 AncreTitres,32,2 Barre de luxe,46,2 CoinsArrondis,96,1 DeluxeHistory,121,2 EditZeroth,4,1 FastRevert,35,4 FlecheHaut,56,2 HotCats,94,4 JavascriptHeadings,18,1 LeftPaneSwitch,7,0 LiveRC,30,1 OngletGoogle,30,1 OngletPurge,100,6 OptimizedSuivi,16,0 Popups,39,1 RenommageCategorie,28,1 ResizeGalleries,81,1 RestaurationDeluxe,47,2 ResumeDeluxe,112,3 RevertDiff,32,2 SisterProjects,31,2 Smart patrol,5,2 ZoomOnThumb,31,1 monBrouillon,43,2 recentchangesbox,9,0 searchFocus,17,0 searchbox,31,2 social-networks,13,0 --> rfjblkl0s3y5in8z8q8e1dn5ezto8r7 4 85584 986233 963429 2026-09-03T11:49:14Z Lionel Scheepmans 11392 986233 wikitext text/x-wiki {{Boîte colorée |titre= |titre-couleur-fond=#D33 |titre-couleur=#FFF |contenu= == Remettre au format initial les cours au format MOOC == Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ». Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]]. Une première s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis la prise de décision fut réouverte le 3 septembre 2026. }} == Discussion == === Changement d'avis === Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) === Première Discussion === Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique... Par contre, il est évident que ce cours est "super bien fait" et qu'il mérite qu'on le corrige... Tentative d'éclaircissement en live : # ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment... :: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (<small>''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; "@Éric38fr", qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''</small>), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC). # Ce que j'intuite comme pouvant être une cause ! ## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. ###L'auteur en a réalisé une version MOOC. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV. ## Ce qui aurait existé séquentiellement : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), ###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé "le truc en attente"... # Pour corriger il y a plusieurs solutions : ## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause... ## "méthode bourrin" : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction ## "entre les deux premières" : ###on audite toutes les dysfonctions, ###on établit une solution par type de PB, ###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification "enchassée " par les suivantes... Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!) Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer... Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC) :[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC) ::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 avril 2025 à 23:03 (UTC) :::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question : :::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois) :::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres "précédent" et "suivant" de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.) :::# alors il faut :::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}} :::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a) :::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision. :::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC) ::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC) :::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} :::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC) :::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 18:02 (UTC) ::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 20 avril 2025 à 21:33 (UTC) :::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 22:55 (UTC) ::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 21 avril 2025 à 10:29 (UTC) :::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC) ::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 22 avril 2025 à 16:11 (UTC) : Bonjour, : J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire. : En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC) ===Réparer avant d'enlever=== Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que "Faire et défaire c'est toujours travailler"... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère "Comprendre et intervenir". Je suis donc contre le fait d'enlever "la couche MOOC" sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) :Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC) ::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC) ===trouver les ressources=== Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) :Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC) ::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 29 avril 2025 à 08:56 (UTC) '''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]''' == Avis == Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET). Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ? === Pour === * {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC) * {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC) * {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Contre === * {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{Contre}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Neutre === * {{Neutre}} [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:28 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC) == Résultats == {{Résultat vote | pour = 4 | contre = 2 | neutre = 3 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC) }} 49ai531ob4ndiiduulmjc65iac640zy 986234 986233 2026-09-03T11:50:05Z Lionel Scheepmans 11392 986234 wikitext text/x-wiki {{Boîte colorée |titre= |titre-couleur-fond=#D33 |titre-couleur=#FFF |contenu= == Remettre au format initial les cours au format MOOC == Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ». Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]]. Une première prise de décision s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis, la prise de décision fut à nouveau ouverte le 3 septembre 2026. }} == Discussion == === Changement d'avis === Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) === Première Discussion === Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique... Par contre, il est évident que ce cours est "super bien fait" et qu'il mérite qu'on le corrige... Tentative d'éclaircissement en live : # ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment... :: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (<small>''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; "@Éric38fr", qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''</small>), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC). # Ce que j'intuite comme pouvant être une cause ! ## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. ###L'auteur en a réalisé une version MOOC. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV. ## Ce qui aurait existé séquentiellement : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), ###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé "le truc en attente"... # Pour corriger il y a plusieurs solutions : ## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause... ## "méthode bourrin" : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction ## "entre les deux premières" : ###on audite toutes les dysfonctions, ###on établit une solution par type de PB, ###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification "enchassée " par les suivantes... Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!) Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer... Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC) :[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC) ::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 avril 2025 à 23:03 (UTC) :::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question : :::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois) :::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres "précédent" et "suivant" de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.) :::# alors il faut :::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}} :::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a) :::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision. :::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC) ::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC) :::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} :::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC) :::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 18:02 (UTC) ::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 20 avril 2025 à 21:33 (UTC) :::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 22:55 (UTC) ::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 21 avril 2025 à 10:29 (UTC) :::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC) ::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 22 avril 2025 à 16:11 (UTC) : Bonjour, : J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire. : En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC) ===Réparer avant d'enlever=== Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que "Faire et défaire c'est toujours travailler"... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère "Comprendre et intervenir". Je suis donc contre le fait d'enlever "la couche MOOC" sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) :Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC) ::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC) ===trouver les ressources=== Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) :Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC) ::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 29 avril 2025 à 08:56 (UTC) '''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]''' == Avis == Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET). Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ? === Pour === * {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC) * {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC) * {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Contre === * {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{Contre}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Neutre === * {{Neutre}} [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:28 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC) == Résultats == {{Résultat vote | pour = 4 | contre = 2 | neutre = 3 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC) }} nx2xifij2lf9sfpu252v4oq0aezltjb 986235 986234 2026-09-03T11:52:03Z Lionel Scheepmans 11392 A modifié les paramètres de protection pour « [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] » : éouverture de la prise de la prise de décision suite à un changement d'avis. ([Renommer=Autoriser uniquement les administrateurs] (infini)) 986234 wikitext text/x-wiki {{Boîte colorée |titre= |titre-couleur-fond=#D33 |titre-couleur=#FFF |contenu= == Remettre au format initial les cours au format MOOC == Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ». Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]]. Une première prise de décision s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis, la prise de décision fut à nouveau ouverte le 3 septembre 2026. }} == Discussion == === Changement d'avis === Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) === Première Discussion === Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique... Par contre, il est évident que ce cours est "super bien fait" et qu'il mérite qu'on le corrige... Tentative d'éclaircissement en live : # ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment... :: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (<small>''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; "@Éric38fr", qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''</small>), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC). # Ce que j'intuite comme pouvant être une cause ! ## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. ###L'auteur en a réalisé une version MOOC. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV. ## Ce qui aurait existé séquentiellement : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), ###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé "le truc en attente"... # Pour corriger il y a plusieurs solutions : ## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause... ## "méthode bourrin" : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction ## "entre les deux premières" : ###on audite toutes les dysfonctions, ###on établit une solution par type de PB, ###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification "enchassée " par les suivantes... Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!) Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer... Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC) :[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC) ::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 avril 2025 à 23:03 (UTC) :::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question : :::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois) :::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres "précédent" et "suivant" de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.) :::# alors il faut :::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}} :::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a) :::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision. :::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC) ::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC) :::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} :::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC) :::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 18:02 (UTC) ::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 20 avril 2025 à 21:33 (UTC) :::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 22:55 (UTC) ::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 21 avril 2025 à 10:29 (UTC) :::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC) ::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 22 avril 2025 à 16:11 (UTC) : Bonjour, : J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire. : En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC) ===Réparer avant d'enlever=== Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que "Faire et défaire c'est toujours travailler"... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère "Comprendre et intervenir". Je suis donc contre le fait d'enlever "la couche MOOC" sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) :Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC) ::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC) ===trouver les ressources=== Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) :Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC) ::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 29 avril 2025 à 08:56 (UTC) '''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]''' == Avis == Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET). Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ? === Pour === * {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC) * {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC) * {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Contre === * {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{Contre}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Neutre === * {{Neutre}} [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:28 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC) == Résultats == {{Résultat vote | pour = 4 | contre = 2 | neutre = 3 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC) }} nx2xifij2lf9sfpu252v4oq0aezltjb 986236 986235 2026-09-03T11:52:34Z Lionel Scheepmans 11392 /* Résultats */ 986236 wikitext text/x-wiki {{Boîte colorée |titre= |titre-couleur-fond=#D33 |titre-couleur=#FFF |contenu= == Remettre au format initial les cours au format MOOC == Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ». Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]]. Une première prise de décision s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis, la prise de décision fut à nouveau ouverte le 3 septembre 2026. }} == Discussion == === Changement d'avis === Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) === Première Discussion === Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique... Par contre, il est évident que ce cours est "super bien fait" et qu'il mérite qu'on le corrige... Tentative d'éclaircissement en live : # ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment... :: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (<small>''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; "@Éric38fr", qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''</small>), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC). # Ce que j'intuite comme pouvant être une cause ! ## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. ###L'auteur en a réalisé une version MOOC. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV. ## Ce qui aurait existé séquentiellement : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), ###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé "le truc en attente"... # Pour corriger il y a plusieurs solutions : ## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause... ## "méthode bourrin" : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction ## "entre les deux premières" : ###on audite toutes les dysfonctions, ###on établit une solution par type de PB, ###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification "enchassée " par les suivantes... Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!) Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer... Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC) :[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC) ::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 avril 2025 à 23:03 (UTC) :::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question : :::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois) :::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres "précédent" et "suivant" de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.) :::# alors il faut :::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}} :::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a) :::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision. :::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC) ::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC) :::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} :::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC) :::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 18:02 (UTC) ::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 20 avril 2025 à 21:33 (UTC) :::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 22:55 (UTC) ::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 21 avril 2025 à 10:29 (UTC) :::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC) ::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 22 avril 2025 à 16:11 (UTC) : Bonjour, : J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire. : En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC) ===Réparer avant d'enlever=== Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que "Faire et défaire c'est toujours travailler"... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère "Comprendre et intervenir". Je suis donc contre le fait d'enlever "la couche MOOC" sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) :Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC) ::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC) ===trouver les ressources=== Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) :Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC) ::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 29 avril 2025 à 08:56 (UTC) '''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]''' == Avis == Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET). Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ? === Pour === * {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC) * {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC) * {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Contre === * {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{Contre}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Neutre === * {{Neutre}} [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:28 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC) == Résultats == {{Résultat vote | pour = 4 | contre = 1 | neutre = 3 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC) }} qu4569gk0luir1wv4l43bmlg8oxy1ve 986237 986236 2026-09-03T11:52:54Z Lionel Scheepmans 11392 /* Contre */ 986237 wikitext text/x-wiki {{Boîte colorée |titre= |titre-couleur-fond=#D33 |titre-couleur=#FFF |contenu= == Remettre au format initial les cours au format MOOC == Le cours [[Astronomie-Systeme_Solaire-Presentation]] est au format MOOC et sort en erreur suite à je_ne_sais_quelles_modifications. L'idée est de remettre le cours dans [[Modèle:Leçon|le format initial]], c'est-à-dire sans le dispositif spécifique « MOOC ». Il en est de même pour [[:Catégorie:Formations MOOC|les autres cours au format MOOC]]. Une première prise de décision s'est [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Prise_de_d%C3%A9cision/R%C3%A9organiser_les_cours_sous_format_MOOC&oldid=963428 clôturée le 15 mai 2026]. À la suite d'un changement d'avis, la prise de décision fut à nouveau ouverte le 3 septembre 2026. }} == Discussion == === Changement d'avis === Bonjour. Ce 3 septembre 2026, je réouvre cette prise de décision suite à un changement d'avis. Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais, après avoir regardé de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bug de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas une personne compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. Pour le bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide, je n'y serais pas arrivé. Ou peut-être après des jours de recherche. Comme les MOOCs reposent sur du code bien plus complexe et pas du tout documenté ([[MediaWiki:Gadget-MOOC|MediaWiki:gadjet-MOOC]], [[MediaWiki:gadget-MOOC.css]] et [[MediaWiki:gadget-MOOC.js]]) et que [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|aucune solution n'a été trouvée au sein de notre communauté]], j'en arrive à la conclusion qu'il vaudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maîtrisons. Une présentation qui peut bien entendu être améliorée dans le cadre des [[Wikiversité:20 ans|20 ans de Wikiversité]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:49 (UTC) === Première Discussion === Bonjour, je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris le problème à résoudre... Ni la genèse de la problématique... Par contre, il est évident que ce cours est "super bien fait" et qu'il mérite qu'on le corrige... Tentative d'éclaircissement en live : # ne peut-on pas inviter Eric78fr a donner son sentiment... :: Merci {{Notif|Athozus}} pour cet honneur (<small>''NB: pas 78, mais 38 comme l'Isère ; "@Éric38fr", qui est mon pseudo externe, pas sur les WMs…''</small>), et merci {{Notif|Fourmidable}} de l'avoir effectué. Peu de disponibilités en ce moment, donc notification précieuse ; je vais y réfléchir ce soir ou demain, mais ce ne sera juste que mon avis. --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 22 avril 2025 à 09:01 (UTC). # Ce que j'intuite comme pouvant être une cause ! ## Ce qui aurait existé séquentiellement (retrouver les différents historiques mémorisés !) : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle qu'il adore enseigner. ###L'auteur en a réalisé une version MOOC. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), probablement à partir de saisies de la version MOOC et donc des commandes spécifiquement pour MOOC sont encore présentes sur WV. ## Ce qui aurait existé séquentiellement : ###le cours normal a été créé par Eric78fr car c'est son domaine de compétence professionnelle. ###L'auteur a versé le cours sur Wikiversité (WV), ###L'auteur (ou, suivant historique article, plutôt Utilisateur:Athozus au 22 mars 2020 à contacter impérativement!) a tenté de créer un MOOC à partir de la version WV générant des dysfonctionnements de la version WV. Paniqué et pris par ailleurs, (son agenda semble être colossalement bien rempli !), il a laissé "le truc en attente"... # Pour corriger il y a plusieurs solutions : ## d'abord trouver dans le séquentiel, la cause du problème et revenir en arrière à partir de cet événement perturbateur : l'essentiel du temps est dans la recherche de la cause... ## "méthode bourrin" : on se moque de la cause... On ouvre page à page et on résout les problèmes un à un... l'essentiel du temps est dans la correction une à une sans tentative d'industrialiser la correction ## "entre les deux premières" : ###on audite toutes les dysfonctions, ###on établit une solution par type de PB, ###on corrige en se répartissant les types. L'essentiel du temps est dans la définition de la correction-type pour chacun des dysfonctionnements. En fin du live, je pense que Athorus a modifié la version du cours WV de Eric78fr et qu'il faut tenter d'annuler cette vieille modification "enchassée " par les suivantes... Je suis POUR la correction ET POUR la survie de la version MOOC si elle existe (le lait, la vache... et la crémière !!!) Note : Je suis ingénieur retraité, ancien du spatial..., je ne suis pas informaticien, je ne connais pas le code MOOC, je peux apprendre et contribuer... Qu'en pensez-vous ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:49 (UTC) :[[:Catégorie:Formations MOOC|Tous les cours utilisant le module MOOC]] sont à l'heure actuelle inutilisable. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 avril 2025 à 14:15 (UTC) ::Et pourquoi @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] tu le sais ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 avril 2025 à 23:03 (UTC) :::Bonjour tout le monde ! Oui, j'ai aussi remarqué ce problème récemment. Voici mon avis sur la question : :::# '''Si''' (et seulement si) '''il est impossible de régler ce problème à court terme''' (sous environ un mois) :::# et étant donné que le format MOOC '''n'apporte quasiment aucune plus-value à l'accessibilité du contenu''' (il permettait d'afficher un menu latéral très pratique, mais les leçons sont censées suivre une progression bien précise, donc c'est dispensable. À noter que les paramètres "précédent" et "suivant" de nombreux modèles de page, notamment {{M|Chapitre}}, permettent une navigation sommaire pour soit avancer, soit revenir légèrement en arrière.) :::# alors il faut :::## '''transformer''' toutes les pages MOOC existantes en pages {{M|Leçon}} :::## '''supprimer les pages d'aide''' relatives au format MOOC (s'il y en a) :::## '''informer officiellement''' la communauté de cette décision. :::Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:28 (UTC) ::::PS : Je notifie {{Notif|Athozus|Eric.LEWIN}} mentionnés dans cette discussion. Quant aux dates de la prise de décision, je nous donne encore 7 jours de discussion pour un passage aux votes à partir du lundi 28 avril. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 15:30 (UTC) :::::Ne peut-on pas réfléchir à fusionner ce qu'il y a de meilleur dans les deux configurations ? Autant ne pas mettre à la poubelle tout ce qui a été réalisé. Ce sont des heures de travail qui de plus furent réalisées par des personnes rémunérées et donc supposées compétentes. Il existe aussi de nombreuses pages qui expliquent comment créer un MOOC. Pourquoi devrions-nous supprimer tout ce travail ? Cela fonctionnait parfaitement avant et si ça tombe, il suffit de rectifier un peu de code quelque part pour que tout fonctionne comme avant. Supprimer, tout comme bloquer et entretenir un statuquo en général sont des solutions faciles, mais destructrices et frustrantes que je préfère éviter. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} :::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je précise justement que ma proposition ne s'applique que si le dommage actuel est irréparable à court terme. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 avril 2025 à 16:33 (UTC) :::::::Au temps pour moi =). Je remarque que cette page commence aussi à buger car je ne peux plus utiliser le lien « Répondre ». Les problèmes techniques commence à s'accumuler sur Wikivesité. On devrait peut-être penser à passagé par Phabricator pour demander de l'aide. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 18:02 (UTC) ::::::::Oups je m'excuse pour avoir saccagé le cours ; sentez-vous libre de le réarranger comme il vous semble vous, en plus de n'être pas un contributeur très récurrent à la Wikiversité je ne maîtrisais pas bien l'outil. :) Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 20 avril 2025 à 21:33 (UTC) :::::::::Pas de soucis @[[Utilisateur:Athozus|Athozus]], il n'y a pas de saccage ni de responsabilité à attribuer. Cela ressemble plus à un bug qu'autre chose. Le problème, c'est que pour rendre les projets Wikimedia plus faciles à l'usage, ce qui est un réel confort, même pour les anciens, les choses sont devenues plus complexes au niveau de la maintenance et la compréhension de l'origine des bugs. Ajouté à cela le fait que nous sommes une très petite communauté d'utilisateur et d'administrateur sur Wikiversité, chacun limité dans nos investissements en raisons de nos vies personnelles, n'aide pas à rassembler l'énergie nécessaire pour résoudre les problèmes et améliorer le projet. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 avril 2025 à 22:55 (UTC) ::::::::::Okay pas de soucis, et force à vous ! Amicalement, [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 21 avril 2025 à 10:29 (UTC) :::::::::::Oui {{Mention|Athozus}}, je ne pense pas non plus que ce soit de ta faute. Le problème affecte [[:Catégorie:Formations MOOC|tous les cours MOOC]] et il est survenu bien après ton passage. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 avril 2025 à 15:56 (UTC) ::::::::::::Ok tant mieux pour moi alors haha ! [[Utilisateur:Athozus|Athozus]] ^{[[Discussion utilisateur:Athozus|Discussion]]} 22 avril 2025 à 16:11 (UTC) : Bonjour, : J’ai tenté une modeste contribution en retirant un bout de wikicode ajouté entre une version où l’erreur apparaît sur la page de documentation et la première version où elle n’était pas apparente. Malheureusement cela n’a pas l’air de suffire. : En l’état il faudrait plus de temps pour analyser quel est l’origine de l’anomalie que je ne saurais en consacrer dans l’immédiat. Comme déjà remonté par d’autres dans ce fil, les mannes humaines de la Wikiversité sont limités. Les outils en question sont certes tout à fait intéressant, mais si notre communauté ne peut se payer de luxe de les maintenir à flot, je craint qu’il serait plus pertinent de s’en passer. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 24 avril 2025 à 15:19 (UTC) ===Réparer avant d'enlever=== Bonjour, Certes, depuis les calendes grecques, d'aucun-e-s pensent que "Faire et défaire c'est toujours travailler"... Je ne suis pas pour cet adage. Je préfère "Comprendre et intervenir". Je suis donc contre le fait d'enlever "la couche MOOC" sans essayer de comprendre et de réparer... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) :Bonjour {{Mention|Guy6631}} : Je suis d'accord avec toi en principe. Le truc, c'est que personne ne semble en mesure de régler le problème dans l'immédiat. Et la situation traîne depuis un moment maintenant... [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:01 (UTC) ::Pas apte pour auditer en profondeur les outils MOOC implantés dans WV... Mais... Je suis à la retraite et je gère mon temps comme je veux... Je peux faire si on me dit ce qu'il faut faire, si j'en suis capable et que le travail est circonscrit à une activité commensurable : nombre de pages impactées, nombre de... Etc. Avec un parrain pour suivre mon avancement... Qu'en pense {{Mention|Lydie Noria}}, ma marraine de débutance ? [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 11:14 (UTC) ===trouver les ressources=== Si on a du temps et de l'énergie pour transformer les MOOC en leçons classiques, autant l'utiliser pour réparer les Moocs. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) :Actuellement il y a des personnes compétentes pour convertir et a priori aucune pour régler réellement le problème... On peut peut-être ouvrir un ticket Phabricator ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 29 avril 2025 à 08:42 (UTC) ::C'est effectivement ce par quoi il faudrait continuer à mon avis. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 29 avril 2025 à 08:56 (UTC) '''Suite des discussions sur [[Discussion Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]''' == Avis == Section ouverte jusqu'au dimanche 11 mai 2025 à 23 h 59 (CET). Êtes-vous favorable au retrait du format MOOC et à la conversion des [[:Catégorie:Formations MOOC|leçons concernées]] au format {{M|Leçon}} jusqu'à ce que le problème technique soit résolu ? === Pour === * {{Pour}} Cela permettra, au passage, de rattacher ces leçons à un département ou à une faculté. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:55 (UTC) * {{pour}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:38 (UTC) * {{pour}} en attendant de résoudre le problème ... [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 mai 2025 à 16:58 (UTC) * {{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 avril 2025 à 21:39 (UTC) === Contre === * {{Contre}} [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 avril 2025 à 10:38 (UTC) === Neutre === * {{Neutre}} [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 19 avril 2025 à 10:28 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:54 (UTC) * {{Neutre}}--[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 30 avril 2025 à 09:11 (UTC) == Résultats == {{Résultat vote | pour = 4 | contre = 1 | neutre = 3 | date = 15 mai 2025 à 13:07 (UTC) }} 7rs0xj3wak25a5tyh2rll24rg70a893 104 86018 986218 986172 2026-09-03T09:23:30Z Mekkiwik 5298 /* Glutamate Glu Gln */ 986218 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate) *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD donne <> Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein) *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. Pra est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 ok4y2wxfkaxsqctw94od6sko63yoqy8 986219 986218 2026-09-03T09:30:02Z Mekkiwik 5298 /* Glutamate Glu Gln */ 986219 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate) *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD donne <> Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein) *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. Pra est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 kvmi033f9znviz6rm0o2se2ty7y6v3q 986220 986219 2026-09-03T09:39:54Z Mekkiwik 5298 /* Glutamate Glu Gln */ 986220 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate) *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD donne <> Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein) *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 9ihsm1hk5m38a6hsamk3uaqut7cr58m 986221 986220 2026-09-03T09:50:00Z Mekkiwik 5298 /* Glutamate Glu Gln */ 986221 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate) *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD donne <> Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein) *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 44qrinm3gwx4y49vpgwjtee5cxwzi6l 986222 986221 2026-09-03T10:19:44Z Mekkiwik 5298 /* Glutamate Glu Gln */ 986222 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate==== *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=+3.10kcal/mol *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate) *: - *<u>'''Acetate''' + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD donne <> Pyruvate +NAD +CO2 EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc de Malate (tab) uni (schem) ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=+4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=+8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) kinase de f1.6 à f6 ΔG=+6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein) *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC4125 (R00751) transaminase (B6 protein) *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc Vfructose (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi (pas eco mais pls eco--) *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ΔG=+9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=+9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=+55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=+2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 2hweqhrv6izj1fritbf0gzminxmv8ls 4 86051 986231 986151 2026-09-03T11:20:37Z Lionel Scheepmans 11392 /* Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence */ Réponse 986231 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|08}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-32 == <section begin="technews-2026-W32"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518] * L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-readinglists&filter=&action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia. * La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698] * Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W32"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 août 2026 à 19:46 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30872536 --> == Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div></div> '''Un numéro exceptionnel''' La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Dossier spécial Wikimania</span>''' '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les POV</span>'''<br>— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être<br>— Témoignages : regards sur la Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">L'Analyse</span>''' — La crise s'intensifie après le refus de la WMF de reconnaître le syndicat WWU '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Comptes-rendus</span>'''<br>— Une Wikimania sous le signe de la jeunesse<br>— Sur les conséquences de la définition de « wikimédien·ne »<br>— Petit tour d’horizon de la créativité wikimédienne<br>— CultureStrong : respecter les savoirs des Premières Nations sur les plateformes Wikimédia<br>— Des événements techniques à Wikimania '''<span style="margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black">Les Interviews</span>'''<br>— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !<br>— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! <span class="smiley">[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]</span> [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC) :Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-33 == <section begin="technews-2026-W33"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692] '''Actualités pour la contribution technique''' * Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001] * <span class="mw-translate-fuzzy">Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>cldsort=timestamp</nowiki></code></bdi> dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.</span> [https://phabricator.wikimedia.org/T433768] * Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W33"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 10 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30901051 --> == Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence == Bonjour. Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement. C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité. En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche. Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche. L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&oldid=1 1^er décembre 2026]. * Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique. * Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour. * Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides. * Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet. Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet. J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ? Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 15 août 2026 à 15:50 (UTC) :Bonjour, :Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté. :Mon idée, par exemple: :* Études artistiques :** On remplace les quatres département en un seul. :** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki. :* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité, je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. :Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC) ::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul. ::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose. ::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs. ::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué. ::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs. ::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 10:54 (UTC) ::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté "Études artistiques" dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC) :::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table. :::* Ce qui reste à faire en priorité : :::** réparer les "MOOCs" ; :::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon "niveau d'avancement" pour les ébauches]] ; :::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]]. :::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] : :::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ; :::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement) :::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail. :::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC) ::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC) :::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 14:05 (UTC) :::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia. :::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki. :::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC) ::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:37 (UTC) ::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple: ::La faculté "Études artistiques" possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille "Études artistiques", dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction. ::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC) : Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) :Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. <br>Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC). ::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:41 (UTC) :Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs : : * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile. : * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée. : * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire. : => Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?). Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... : Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) - une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' => Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 août 2026 à 23:55 (UTC) :Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres "professeurs" les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe ("travaux de groupe" disait on autrefois) : Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une "superintelligence" va-t-elle manger "nos" wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) ::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:00 (UTC) P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus. : Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC) :Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 août 2026 à 23:48 (UTC) ::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 23 août 2026 à 00:02 (UTC) :::Je viens de lire ce fil ? :::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ? :::Ou, dois-je dire : "Hourrah ! bonne nouvelle ? :::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees. :::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC) ::::Bonsoir à tous, ::::Je précise ma participation au projet. ::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables. ::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression. ::::Le chantier devrait comprendre six axes : ::::1. Inventaire ::::2. Architecture du site, ::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales, ::::5. Accueil des publics ::::6. Modernisation technique. ::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : ::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; ::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]]. ::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté. ::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : ::::* Ateliers présentiels ::::* Supports publiés sur Wikiversitè ::::* Productions accompagnées ::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants. ::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique : ::::1. le problème traité ::::2. le public concerné ::::3. le responsable ::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. ::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC) :::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants : :::::1. Recherche et thèse, en prenant appui :::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia :::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè :::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon. :::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales & la traçabilité des productions. :::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ; :::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables. :::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable) :::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC) :::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^" Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC) ::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant "pignon sur rue" serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: "leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé"Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC) :::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC) ::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit. ::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon. ::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence. ::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC) == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-34</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W34"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC. '''Updates for editors''' * [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>__EXPECTSHORTPAGE__</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203] * One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>w:bol:</nowiki></code></bdi>]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921] * Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640] '''Updates for technical contributors''' * Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W34"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17 août 2026 à 21:03 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30922806 --> == Growth/Newsletters/36 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"> [[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]] ''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.'' <span id="Recent_releases"></span> === Modifications récentes === <span id="Account_creation_experiments"></span> ==== Expériences de création de compte ==== Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs. * Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]]) * Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) *Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]] *Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option "afficher le mot de passe" et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %). <span id="Revise_Tone_structured_task"></span> ==== Tâche structurée de révision du ton ==== [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton. Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée. Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté. [[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité "Revise Tone" sur d'autres wikis. <span id="Automated_mentor_list_cleanup"></span> ==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ==== Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés). L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs. Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]]. <span id="Growth_features_for_Wikidata"></span> ==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ==== Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module "Impact", les actualités de la communauté et le panneau d'aide. <span id="Work_in_progress"></span> === Travail en cours === [[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]] <span id="Home"></span> ==== Accueil ==== Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants. Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun. <span id="Research"></span> === Recherche === L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté : * [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]] * [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] ''<small>'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].</small>'' </div> 18 août 2026 à 13:17 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&oldid=30870183 --> == Actualités techniques n° 2026-35 == <section begin="technews-2026-W35"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783] * Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448] '''Actualités pour la contribution technique''' * La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{#uic:}}</nowiki></code></bdi>. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{Userlinks}}</nowiki></code></bdi>]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466] * En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> (Spécial:Ma_page) avec l’argument <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:MyPage</nowiki></code></bdi> restent accessibles et utilisables sans <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>User:Myusername</nowiki></code></bdi>) peuvent toujours être utilisées avec <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=raw</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386] * Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>librsvg</nowiki></code></bdi> a été mis à jour vers la version 2.60 et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ImageMagick</nowiki></code></bdi> vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W35"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 24 août 2026 à 20:45 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30961208 --> == Actualités techniques n° 2026-36 == <section begin="technews-2026-W36"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines. '''Actualités pour la contribution''' * La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788] * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre. * À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés. * Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>onlyredirects:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>withredirects:</nowiki></code></bdi>, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>incategory:</nowiki></code></bdi>, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>intitle:</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>insource:</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089] * Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>deepcat</nowiki></code></bdi> pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859] '''Actualités pour la contribution technique''' * Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465] * L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]] '''En détails''' * Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W36"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 31 août 2026 à 20:53 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30990659 --> j30wkf13vb4d1untajj2akcr16axhqy 4 87330 986223 985949 2026-09-03T10:45:37Z Lionel Scheepmans 11392 /* Les MOOCs */ 986223 wikitext text/x-wiki Page d'organisation de l'amélioration de Wikiversité pour ses 20 ans d'existence. == Les MOOCs == ===Discussions=== Qu'allons-nous faire avec les MOOCs « en panne » ? Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais après avoir regarder de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bugs de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas un personnes compétente pour le faire, cela risque d'être très compliquer. POur la bug de la salle café, j'ai du faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide je n'y serais pas arrivé.Ou peut être après des jours de recherche. Comme les MOOCs repose sur du code bien plus complexe et pas du tout doccumenté, j'en arrive à la conclusion qu'il faudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maitrisons. Une présentation qui peut bien entendu être amélioré dans le cadre du projet des 20 ans. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:45 (UTC) === Équipe de travail === * [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ===Plans de travail=== * Liste à puces === Vote pour mise en application du plan de travail === En attente du plan de travail. == Les ébauches == === Fusion catégories === === Suppression abandons === == Portail de scolarités == == CSS == === Actualiser la charte graphique === == Bibliothèque de cours == == Rationnalisation des départements et facultés == == Fusion département études artistiques == == Modèles et modules == === Mise à jour === == Règle éditoriales == === Vérifiabilité vs Neutralité === === Propagande === 2c51bja7im7qiwhkthurjbtro15u40s 986225 986223 2026-09-03T10:50:08Z Lionel Scheepmans 11392 986225 wikitext text/x-wiki Page d'organisation de l'amélioration de Wikiversité pour ses 20 ans d'existence. == Les MOOCs == ===Discussions=== Qu'allons-nous faire avec les MOOCs « en panne » ? Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais après avoir regarder de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bugs de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas un personnes compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. POur la bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide je n'y serais pas arrivé.Ou peut être après des jours de recherche. Comme les MOOCs repose sur du code bien plus complexe et pas du tout doccumenté, j'en arrive à la conclusion qu'il faudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maitrisons. Une présentation qui peut bien entendu être amélioré dans le cadre du projet des 20 ans. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:45 (UTC) === Équipe de travail === * [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ===Plans de travail=== * Liste à puces === Vote pour mise en application du plan de travail === En attente du plan de travail. == Les ébauches == === Fusion catégories === === Suppression abandons === == Portail de scolarités == == CSS == === Actualiser la charte graphique === == Bibliothèque de cours == == Rationnalisation des départements et facultés == == Fusion département études artistiques == == Modèles et modules == === Mise à jour === == Règle éditoriales == === Vérifiabilité vs Neutralité === === Propagande === 85051v6efm3zupj6vrlaz9y8y02vvab 986226 986225 2026-09-03T10:54:43Z Lionel Scheepmans 11392 986226 wikitext text/x-wiki Cette page est dédiée à la réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence. Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous. == Les MOOCs == ===Discussions=== Qu'allons-nous faire avec les MOOCs « en panne » ? Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais après avoir regarder de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bugs de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas un personnes compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. POur la bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide je n'y serais pas arrivé.Ou peut être après des jours de recherche. Comme les MOOCs repose sur du code bien plus complexe et pas du tout doccumenté, j'en arrive à la conclusion qu'il faudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maitrisons. Une présentation qui peut bien entendu être amélioré dans le cadre du projet des 20 ans. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:45 (UTC) === Équipe de travail === * [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ===Plans de travail=== * Liste à puces === Vote pour mise en application du plan de travail === En attente du plan de travail. == Les ébauches == === Fusion catégories === === Suppression abandons === == Portail de scolarités == == CSS == === Actualiser la charte graphique === == Bibliothèque de cours == == Rationnalisation des départements et facultés == == Fusion département études artistiques == == Modèles et modules == === Mise à jour === == Règle éditoriales == === Vérifiabilité vs Neutralité === === Propagande === bfaw3rr7w3rps64vvrs7bacxiekbhqd 986227 986226 2026-09-03T10:55:09Z Lionel Scheepmans 11392 986227 wikitext text/x-wiki Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.''' Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous. == Les MOOCs == ===Discussions=== Qu'allons-nous faire avec les MOOCs « en panne » ? Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais après avoir regarder de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bugs de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas un personnes compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. POur la bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide je n'y serais pas arrivé.Ou peut être après des jours de recherche. Comme les MOOCs repose sur du code bien plus complexe et pas du tout doccumenté, j'en arrive à la conclusion qu'il faudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maitrisons. Une présentation qui peut bien entendu être amélioré dans le cadre du projet des 20 ans. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:45 (UTC) === Équipe de travail === * [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ===Plans de travail=== * Liste à puces === Vote pour mise en application du plan de travail === En attente du plan de travail. == Les ébauches == === Fusion catégories === === Suppression abandons === == Portail de scolarités == == CSS == === Actualiser la charte graphique === == Bibliothèque de cours == == Rationnalisation des départements et facultés == == Fusion département études artistiques == == Modèles et modules == === Mise à jour === == Règle éditoriales == === Vérifiabilité vs Neutralité === === Propagande === 1w67x2reluyv34dzih4qz0r2xwjje07 986232 986227 2026-09-03T11:28:18Z Lionel Scheepmans 11392 /* Les MOOCs */ 986232 wikitext text/x-wiki Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.''' Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous. == Les MOOCs == == Antécédents ==[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] ===Discussions=== Qu'allons-nous faire avec les MOOCs « en panne » ? Initialement, j'étais en faveur d'une réparation. Mais après avoir regarder de plus près et après avoir fait les démarches pour réparer le bugs de la salle café, je réalise que si nous n'avons pas un personnes compétente pour le faire, cela risque d'être très compliqué. POur la bug de la salle café, j'ai dû faire appel à deux programmateurs durant Wikimania, dont un actif à la fondation. C'était réglé en une heure. Sans aide je n'y serais pas arrivé.Ou peut être après des jours de recherche. Comme les MOOCs repose sur du code bien plus complexe et pas du tout doccumenté, j'en arrive à la conclusion qu'il faudrait mieux recycler le contenu de MOOCs en panne dans une nouvelle présentation faite avec les outils que nous maitrisons. Une présentation qui peut bien entendu être amélioré dans le cadre du projet des 20 ans. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:45 (UTC) === Équipe de travail === * [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ===Plans de travail=== * Liste à puces === Vote pour mise en application du plan de travail === En attente du plan de travail. == Les ébauches == === Fusion catégories === === Suppression abandons === == Portail de scolarités == == CSS == === Actualiser la charte graphique === == Bibliothèque de cours == == Rationnalisation des départements et facultés == == Fusion département études artistiques == == Modèles et modules == === Mise à jour === == Règle éditoriales == === Vérifiabilité vs Neutralité === === Propagande === ok5mt4zala8fzzechxrcz029401ly5k 986238 986232 2026-09-03T11:56:43Z Lionel Scheepmans 11392 /* Discussions */ 986238 wikitext text/x-wiki Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.''' Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous. == Les MOOCs == == Antécédents ==[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] ===Discussions=== Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:56 (UTC) === Équipe de travail === * [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ===Plans de travail=== * Liste à puces === Vote pour mise en application du plan de travail === En attente du plan de travail. == Les ébauches == === Fusion catégories === === Suppression abandons === == Portail de scolarités == == CSS == === Actualiser la charte graphique === == Bibliothèque de cours == == Rationnalisation des départements et facultés == == Fusion département études artistiques == == Modèles et modules == === Mise à jour === == Règle éditoriales == === Vérifiabilité vs Neutralité === === Propagande === ll5u8tkyke5m4dlx0d71fs8g9khypjt 5 87331 986224 985950 2026-09-03T10:47:39Z Lionel Scheepmans 11392 /* Comment organiser les discussions ? */ Réponse 986224 wikitext text/x-wiki == Comment organiser les discussions ? == On organise explication, discussion, resolution, votes et mise en application sur une seule page comme durant les prises de décisions ? Ou on utilise cette page de discussion pour profiter de l'outil de réponse et de structuration des conversations ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 août 2026 à 00:20 (UTC) :Je propose que l'on parle ici uniquement l'organisation de la page [[Wikiversité:20 ans]] et que tous ce qui concerne le projet, discussion, vote, plan de travail, etc. reste sur la page principale. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:47 (UTC) hbtre36kowkbdwrhb0166u6zdremmcc 986228 986224 2026-09-03T11:17:40Z Lionel Scheepmans 11392 986228 wikitext text/x-wiki == Rencontre en Viso == Pour une rencontre en visio rendez-vous sur la page : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans Quand êtes vous disponibles ? == Comment utiliser cette page de discussions ? == On organise explication, discussion, résolution, votes et mise en application sur une seule page comme durant les prises de décisions ? Ou on utilise cette page de discussion pour profiter de l'outil de réponse et de structuration des conversations ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 août 2026 à 00:20 (UTC) :Je propose que l'on parle ici uniquement de l'organisation de la page [[Wikiversité:20 ans]] et que tous ce qui concerne le projet, discussion, vote, plan de travail, etc. reste sur la page principale. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:47 (UTC) == L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... == Je découvre tardivement que l'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité. Heureusement, la discussion structurée fonctionne. Comme j'utilise principallement l'éditeur visuel pour une question de confort visuel précisément, Je pensais faire un déplacement vers l'espace de nom Projet: mais le projet est le même. Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche: quite à replacer la page dans l'espace Wikiversité: quand les travaux sont fini. Que fait-on ? nbaqwilq928ssiqjme0kbca1x1xuyvq 986229 986228 2026-09-03T11:19:25Z Lionel Scheepmans 11392 986229 wikitext text/x-wiki == Rencontre en Viso == Pour une rencontre en visio, rendez-vous sur la page : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans Quand êtes-vous disponibles ? Peut-on se fixer un rendez-vous hebdomadaire ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC) == Comment utiliser cette page de discussions ? == On organise explication, discussion, résolution, votes et mise en application sur une seule page comme durant les prises de décisions ? Ou on utilise cette page de discussion pour profiter de l'outil de réponse et de structuration des conversations ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 août 2026 à 00:20 (UTC) :Je propose que l'on parle ici uniquement de l'organisation de la page [[Wikiversité:20 ans]] et que tous ce qui concerne le projet, discussion, vote, plan de travail, etc. reste sur la page principale. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:47 (UTC) == L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... == Je découvre tardivement que l'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité. Heureusement, la discussion structurée fonctionne. Comme j'utilise principallement l'éditeur visuel pour une question de confort visuel précisément, Je pensais faire un déplacement vers l'espace de nom Projet: mais le projet est le même. Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche: quite à replacer la page dans l'espace Wikiversité: quand les travaux sont fini. Que fait-on ? c4iw6rqjrfwdk97t39t6y1s61dmbs90 986230 986229 2026-09-03T11:19:49Z Lionel Scheepmans 11392 /* L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... */ 986230 wikitext text/x-wiki == Rencontre en Viso == Pour une rencontre en visio, rendez-vous sur la page : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans Quand êtes-vous disponibles ? Peut-on se fixer un rendez-vous hebdomadaire ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC) == Comment utiliser cette page de discussions ? == On organise explication, discussion, résolution, votes et mise en application sur une seule page comme durant les prises de décisions ? Ou on utilise cette page de discussion pour profiter de l'outil de réponse et de structuration des conversations ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 août 2026 à 00:20 (UTC) :Je propose que l'on parle ici uniquement de l'organisation de la page [[Wikiversité:20 ans]] et que tous ce qui concerne le projet, discussion, vote, plan de travail, etc. reste sur la page principale. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 10:47 (UTC) == L'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité... == Je découvre tardivement que l'éditeur visuel ne fonctionne pas dans l'espace Wikiversité. Heureusement, la discussion structurée fonctionne. Comme j'utilise principallement l'éditeur visuel pour une question de confort visuel précisément, Je pensais faire un déplacement vers l'espace de nom Projet: mais le projet est le même. Une solution serait donc d'aller dans l'espace Recherche: quite à replacer la page dans l'espace Wikiversité: quand les travaux sont fini. Que fait-on ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 3 septembre 2026 à 11:19 (UTC) drj35gmp5vspqvk4nlnvtist17xgyrl 0 87339 986175 2026-09-02T13:19:48Z Bamba GFIR 80921 Page créée avec « __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * ~~~ {{AutoCat}} » 986175 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * [[Utilisateur:Bamba GFIR|Bamba GFIR]] ([[Discussion utilisateur:Bamba GFIR|discuter]]) {{AutoCat}} mqnwyszta4ges0fwtuu189wal23pon1