Auxiliaires en français/Fiche/Tableau de conjugaison

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  | idfaculté = français
  | nom       = des tableaux de conjugaison des auxiliaires
}}

La conjugaison du français comporte six personnes. Ce sont :
* '''Je''', la première personne du singulier, qui est celle du locuteur.
* '''Tu''', la deuxième personne du singulier, qui s'adresse à l'interlocuteur.
* '''Il''', '''elle''' ou '''on''', la troisième personne du singulier, qui réfère à un sujet indépendant. ''Il'' se rapporte à une personne ou un objet masculin, et ''elle'' est pour un personne féminine. ''On'' recouvre une personne indéfinie.
* '''Nous''', la première personne du pluriel, pour un groupe incluant le locuteur.
* '''Vous''', la deuxième personne du pluriel, qui est pour l'audience.
* '''Ils''', '''elles''', la troisième personne du pluriel, se réfèrent à un groupe indépendant. ''Ils'' pour les groupes totalement ou partiellement masculins, et ''elles''  pour les groupes exclusivement féminins. 


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== Les temps simples de l'indicatif du verbe &quot;être&quot;  ==
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|}

Le participe passé est ''' '' été ''''' : J’ai été &lt;br /&gt;
Le participe présent est ''' '' étant ''''' : En étant &lt;br /&gt;

== Les temps simples de l'indicatif du verbe « avoir»   ==
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Le participe passé est '''''eu''''' : J’ai eu.

Le participe présent est '''''ayant ''''' : En ayant.

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}}

La conjugaison du français comporte six personnes. Ce sont :
* '''Je''', la première personne du singulier, qui est celle du locuteur.
* '''Tu''', la deuxième personne du singulier, qui s'adresse à l'interlocuteur.
* '''Il''', '''elle''' ou '''on''', la troisième personne du singulier, qui réfère à un sujet indépendant. ''Il'' se rapporte à une personne ou un objet masculin, et ''elle'' est pour un personne féminine. ''On'' recouvre une personne indéfinie.
* '''Nous''', la première personne du pluriel, pour un groupe incluant le locuteur.
* '''Vous''', la deuxième personne du pluriel, qui est pour l'audience.
* '''Ils''', '''elles''', la troisième personne du pluriel, se réfèrent à un groupe indépendant. ''Ils'' pour les groupes totalement ou partiellement masculins, et ''elles''  pour les groupes exclusivement féminins. 


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Le participe passé est ''' '' été ''''' : J’ai été &lt;br /&gt;
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&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;Vous&lt;/div&gt;
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| width=&quot;22%&quot; | 
&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;eurent&lt;/div&gt;
|}

Le participe passé est '''''eu''''' : J’ai eu.

Le participe présent est '''''ayant ''''' : En ayant.

{{Bas de page
  | idfaculté   = français
  | leçon       = [[../../|Les auxiliaires]]
  | précédent   = [[../../|Sommaire]]
  | suivant     = [[../../|Sommaire]]
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    <title>Conjugaison française du verbe avoir</title>
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        <username>Heddryin</username>
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  | idfaculté   = français
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[[Catégorie:Leçons avec chapitres de niveau très différent]]</text>
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      </contributor>
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  | idfaculté   = français
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[[Catégorie:Leçons avec chapitres de niveau très différent]]</text>
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    <title>Conjugaison française du verbe avoir/Le participe</title>
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      <contributor>
        <username>Heddryin</username>
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  | suivant   = [[../L'indicatif/]]
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}}

== Le participe  ==
Nous allons commencer par un morceau très difficile...

Vous m'avez cru ? 

Bon, sérieusement, ce chapitre, on n'en fait qu'une bouchée !

== ''Avoir'' au participe présent  ==
* '''Ayant'''

== ''Avoir'' au participe passé  ==
* '''eu''', '''eue''', '''eus''', '''eues'''
ou
* '''ayant eu'''

On utilisera « eu » dans les temps composés. Notez qu'il ne s'accorde '''que si le complément d'objet direct est antéposé''' :
* ''Elles ont '''eu''' de la chance.''
* ''Les cadeaux qu'elles ont '''eus''' à Noël.''


{{Bas de page
  | idfaculté = français
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../L'indicatif/]]
 }}

[[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]]</text>
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    <title>Conjugaison française du verbe avoir/L'indicatif</title>
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      <timestamp>2026-09-04T04:15:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heddryin</username>
        <id>1730</id>
      </contributor>
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  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Le participe/]]
  | suivant   = [[../L'impératif/]]
  | niveau    = 3
}}

== Les temps simples  ==
=== Le présent ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||ai
|-
|tu||as
|-
|il/elle/on||a
|-
|nous||avons
|-
|vous||avez
|-
|ils/elles||ont
|}

=== Le futur  ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||aurai
|-
|tu||auras
|-
|il/elle/on||aura
|-
|nous||aurons
|-
|vous||aurez
|-
|ils/elles||auront
|}

{{Attention|Avec_fond=oui|À la première personne du singulier, on ne met pas de « s », contrairement à l'imparfait. Si l’on met un « s », ça veut dire que le verbe est conjugué au conditionnel présent.|}}

=== L'imparfait ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||av''ais''
|-
|tu||av''ais''
|-
|il/elle/on||av''ait''
|-
|nous||av''ions''
|-
|vous||av''iez''
|-
|ils/elles||av''aient''
|}

{{principe|contenu=L'imparfait se termine toujours de la même façon.}}

=== Le passé simple  ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||eus
|-
|tu||eus
|-
|il/elle/on||eut
|-
|nous||eûmes
|-
|vous||eûtes
|-
|ils/elles||eurent
|}

{{Attention|Avec_fond=oui|On fait souvent l'erreur de mettre un accent circonflexe « ^ » sur la troisième personne du singulier.|}}

== Les temps composés  ==
Dans les temps composés, « avoir » est conjugué avec lui-même.

{{Attention|Avec_fond=oui|Le participe passé de « avoir » est invariable (sauf après un COD antéposé&lt;ref&gt;https://www.google.fr/#q=%22Je+les+ai+eues%22&amp;hl=fr&amp;tbo=d&amp;tbm=bks&amp;source=lnt&amp;tbs=lr:lang_1fr&amp;lr=lang_fr&amp;sa=X&amp;ei=l7-9UMGZMoOQhQf6oICIBQ&amp;ved=0CBMQpwUoAQ&amp;bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_cp.r_qf.&amp;fp=eb66a54848e078c&amp;bpcl=39580677&amp;biw=1366&amp;bih=575&lt;/ref&gt;).|}}

=== Le passé composé  ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (dans ce cas « avoir »)!!Verbe conjugué au participe passé
|-
|j'||ai||eu
|-
|tu||as||eu
|-
|il/elle/on||a||eu
|-
|nous||avons||eu
|-
|vous||avez||eu
|-
|ils/elles||ont||eu
|}

=== Le futur antérieur  ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué(dans ce cas « avoir »)!!Verbe conjugué au participe passé
|-
|j'||aurai||eu
|-
|tu||auras||eu
|-
|il/elle/on||aura||eu
|-
|nous||aurons||eu
|-
|vous||aurez||eu
|-
|ils/elles||auront||eu
|}

=== Le plus-que-parfait  ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (dans ce cas « avoir »)!!Verbe conjugué au participe passé
|-
|j'||avais||eu
|-
|tu||avais||eu
|-
|il/elle/on||avait||eu
|-
|nous||avions||eu
|-
|vous||aviez||eu
|-
|ils/elles||avaient||eu
|}

=== Le passé antérieur  ===
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (dans ce cas « avoir»)!!Verbe conjugué au participe passé
|-
|j'||eus||eu
|-
|tu||eus||eu
|-
|il/elle/on||eut||eu
|-
|nous||eûmes||eu
|-
|vous||eûtes||eu
|-
|ils/elles||eurent||eu
|}

Le futur antérieur et le passé antérieur sont très peu utilisés en français.

{{CfExo
|align=center
  | idfaculté = français
|exercice=&lt;br /&gt;[[Conjugaison française/Avoir/Indicatif|Indicatif de Avoir]]
}}

== Références ==
&lt;references/&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = français
  | précédent = [[../Le participe/]]
  | suivant   = [[../L'impératif/]]
}}

[[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]]</text>
      <sha1>fkrdtgf0fy6pqwdbjhx8dodhtaals1o</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Conjugaison française du verbe avoir/L'impératif</title>
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      <timestamp>2026-09-04T04:13:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Heddryin</username>
        <id>1730</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Avoir à l'impératif présent */ Mise à jour de contenu</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="990" sha1="i2pqms833jdbn05fgnwogx58yd7tnzv" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = français
  | numéro    = 3
  | précédent = [[../L'indicatif/]]
  | suivant   = [[../Le conditionnel/]]
  | niveau    = 4
}}

== L'impératif ==
'''Rappel:'''
L'impératif sert à donner des ordres ou émettre une interdiction. Exemple : '''Soyons''' motivés !

== Avoir à l'impératif présent  ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|(tu)||Aie 
|-il,elle,on a
|(nous)||Ayons
|-
|(vous)||Ayez
|}
{{Attention|Avec_fond=oui|On ne met '''jamais''' le pronom personnel sujet devant un verbe à l'impératif.|}}

== Avoir à l'impératif passé  ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|(tu)||Aie eu
|-
|(nous)||Ayons eu
|-
|(vous)||Ayez eu
|}
L'impératif passé est très peu utilisé en français.

{{Bas de page
  | idfaculté = français
  | précédent = [[../L'indicatif/]]
  | suivant   = [[../Le conditionnel/]]
 }}

[[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]]</text>
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  </page>
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    <title>Conjugaison française du verbe avoir/Le conditionnel</title>
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      <contributor>
        <username>Heddryin</username>
        <id>1730</id>
      </contributor>
      <minor />
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  | idfaculté = français
  | numéro    = 4
  | précédent = [[../L'impératif/]]
  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
  | niveau    = 6
}}

== Le conditionnel  ==
Rappelons que le conditionnel se forme de la racine du verbe au futur et de la terminaison à l'imparfait :

{{Exemple
  | contenu =
manger(je)=&gt; futur : je '''manger'''ai+ imparfait : je mang'''e'''''ais'' = conditionnel : je '''manger''' ''ais''
}}

== Avoir au conditionnel présent ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||aurais
|-
|tu||aurais
|-
|il/elle/on||aurait
|-
|nous||aurions
|-
|vous||auriez
|-
|ils/elles||auraient
|}

== Avoir au conditionnel passé {{1re}} forme  ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'(je)||aurais||eu
|-
|tu||aurais||eu
|-
|il/elle/on||aurait||eu
|-
|nous||aurions||eu
|-
|vous||auriez||eu
|-
|ils/elles||auraient||eu
|}

== Avoir au conditionnel passé 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; forme  ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'(je)||eusse||eu
|-
|tu||eusses||eu
|-
|il/elle/on||eût||eu
|-
|nous||eussions||eu
|-
|vous||eussiez||eu
|-
|ils/elles||eussent||eu
|}

Voilà pour le conditionnel !

{{Bas de page
  | idfaculté = français
  | précédent = [[../L'impératif/]]
  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
}}

[[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]]</text>
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        <username>Heddryin</username>
        <id>1730</id>
      </contributor>
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  | idfaculté = français
  | numéro    = 4
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  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
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}}

== Le conditionnel  ==
Rappelons que le conditionnel se forme de la racine du verbe au futur et de la terminaison à l'imparfait :

{{Exemple
  | contenu =
manger(je)=&gt; futur : je '''manger'''ai+ imparfait : je mang'''e'''''ais'' = conditionnel : je '''manger''' ''ais''
}}

== Avoir au conditionnel présent ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||aurais
|-
|tu||aurais
|-
|il/elle/on||aurait
|-
|nous||aurions
|-
|vous||auriez
|-
|ils/elles||auraient
|}

== Avoir au conditionnel passé {{1re}} forme  ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'||aurais||eu
|-
|tu||aurais||eu
|-
|il/elle/on||aurait||eu
|-
|nous||aurions||eu
|-
|vous||auriez||eu
|-
|ils/elles||auraient||eu
|}

== Avoir au conditionnel passé 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; forme  ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'(je)||eusse||eu
|-
|tu||eusses||eu
|-
|il/elle/on||eût||eu
|-
|nous||eussions||eu
|-
|vous||eussiez||eu
|-
|ils/elles||eussent||eu
|}

Voilà pour le conditionnel !

{{Bas de page
  | idfaculté = français
  | précédent = [[../L'impératif/]]
  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
}}

[[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]]</text>
      <sha1>m7uj14erxpmvhdl0ycwtb2rf67h6no5</sha1>
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        <username>Heddryin</username>
        <id>1730</id>
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      <origin>986260</origin>
      <model>wikitext</model>
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  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
  | niveau    = 6
}}

== Le conditionnel  ==
Rappelons que le conditionnel se forme de la racine du verbe au futur et de la terminaison à l'imparfait :

{{Exemple
  | contenu =
manger(je)=&gt; futur : je '''manger'''ai+ imparfait : je mang'''e'''''ais'' = conditionnel : je '''manger''' ''ais''
}}

== Avoir au conditionnel présent ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||aurais
|-
|tu||aurais
|-
|il/elle/on||aurait
|-
|nous||aurions
|-
|vous||auriez
|-
|ils/elles||auraient
|}

== Avoir au conditionnel passé {{1re}} forme  ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'||aurais||eu
|-
|tu||aurais||eu
|-
|il/elle/on||aurait||eu
|-
|nous||aurions||eu
|-
|vous||auriez||eu
|-
|ils/elles||auraient||eu
|}

== Avoir au conditionnel passé 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; forme  ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'||eusse||eu
|-
|tu||eusses||eu
|-
|il/elle/on||eût||eu
|-
|nous||eussions||eu
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|vous||eussiez||eu
|-
|ils/elles||eussent||eu
|}

Voilà pour le conditionnel !

{{Bas de page
  | idfaculté = français
  | précédent = [[../L'impératif/]]
  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
}}

[[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]]</text>
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    <title>Conjugaison française du verbe avoir/Référents</title>
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      <contributor>
        <username>Heddryin</username>
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    <title>Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la méthode de Lagrange</title>
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        <username>Crochet.david.bot</username>
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      <text bytes="12904" sha1="ijsicyucric9bgr3r48xqzuzk6g7rax" xml:space="preserve">{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 7
  | chapitre  = [[../../Méthode de Lagrange/]]
  | précédent = [[../Sur la méthode de Descartes/]]
  | suivant   = [[../Sur les résolutions trigonométriques/]]
  | niveau    = 14
}}
__TOC__
{{Clr}}
== Exercice 7-1 ==

En utilisant la méthode « de Lagrange », résoudre l'équation :
:&lt;math&gt; z^4-5z^2+z\sqrt{30}-\frac32=0&lt;/math&gt;.

{{Solution
   |contenu=

Nous avons une équation de la forme :
:&lt;math&gt; z^4 + pz^2 + qz + r =0&lt;/math&gt;

avec :
:&lt;math&gt; p=-5,\qquad q=\sqrt{30},\qquad r=-\frac32&lt;/math&gt;.

Nous devons maintenant résoudre l'équation :
:&lt;math&gt; y^3 + 2py^2 + (p^2-4r)y - q^2 =0&lt;/math&gt;

qui s'écrit, en remplaçant ''p'', ''q'' et ''r'' par leurs valeurs :
:&lt;math&gt; y^3 - 10y^2 + 31y - 30 =0&lt;/math&gt;.

Cette résolvante a trois racines évidentes :
:&lt;math&gt;y_1=2,\qquad y_2=3,\qquad y_3=5&lt;/math&gt;.

Pour avoir :
:&lt;math&gt;  \sqrt{y_1} \times \sqrt{y_2} \times \sqrt{y_3} =-q=-\sqrt{30}&lt;/math&gt;,

nous choisirons comme racines carrées, par exemple :
:&lt;math&gt;\begin{cases}
\sqrt{y_1}= \sqrt2\\
\sqrt{y_2}= \sqrt3\\
\sqrt{y_3}= -\sqrt5.
\end{cases}&lt;/math&gt;

Nous en déduisons que les racines de l'équation :
:&lt;math&gt; z^4-5z^2+z\sqrt{30}-\frac32=0&lt;/math&gt;

sont :
:&lt;math&gt;\begin{cases}
z_0=\frac12(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\
z_1=\frac12(\sqrt2- \sqrt3+\sqrt5)\\
z_2=\frac12(-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\
z_3=\frac12(-\sqrt2-\sqrt3-\sqrt5).
\end{cases}&lt;/math&gt;
}}

== Exercice 7-2 ==
a) Soit
:&lt;math&gt;z^4+pz^2+qz+r=0&lt;/math&gt;
une équation dont la résolvante de Lagrange a (comme l'équation de l'exercice 6-3) une racine triple, &lt;math&gt;y_0&lt;/math&gt;.
#Montrer que l'une des deux racines carrées de &lt;math&gt;y_0&lt;/math&gt; a pour cube &lt;math&gt;q&lt;/math&gt;.
#On note &lt;math&gt;\sqrt{y_0}&lt;/math&gt; cette racine. Exprimer alors les solutions de &lt;math&gt;z^4+pz^2+qz+r=0&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;\sqrt{y_0}&lt;/math&gt; et montrer que cette équation a une racine (au moins) triple.
#Montrer que réciproquement, si une équation de degré 4 a une racine (au moins) triple alors sa résolvante de Lagrange aussi.

b) Montrer que de même, une équation de degré 4 a une racine (au moins) double si et seulement si sa résolvante de Lagrange a une racine (au moins) double.

{{Solution
   |contenu=
a) 1. Par hypothèse, la résolvante de Lagrange &lt;math&gt; y^3 + 2py^2 + (p^2-4r)y - q^2 =0&lt;/math&gt; a pour racines &lt;math&gt;y_0=y_1=y_2&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;\pm k&lt;/math&gt; sont les deux racines carrées de &lt;math&gt;y_0&lt;/math&gt;, on a par conséquent
:&lt;math&gt;\left(k^3\right)^2=\left(k^2\right)^3=y_0^3=y_0y_1y_2=q^2&lt;/math&gt;,
donc &lt;math&gt;k^3=\pm q&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(-k)^3=-k^3=\mp q&lt;/math&gt;.

a) 2. Comme nous devons avoir :
:&lt;math&gt;  \sqrt{y_0} \times \sqrt{y_1} \times \sqrt{y_2} = -q&lt;/math&gt;,

nous choisirons par exemple :
:&lt;math&gt;
\sqrt{y_1}=\sqrt{y_0},\quad\sqrt{y_2}=-\sqrt{y_0}&lt;/math&gt;.

Les racines de l'équation :
:&lt;math&gt;z^4+pz^2+qz+r=0&lt;/math&gt;

s'écrivent alors :
:&lt;math&gt;\begin{cases}
z_0=\frac12(\sqrt{y_0} + \sqrt{y_1} + \sqrt{y_2})=\frac12\sqrt{y_0}\\
z_1=\frac12(\sqrt{y_0} - \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2})=\frac12\sqrt{y_0}=z_0\\
z_2=\frac12(-\sqrt{y_0} + \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2})=\frac12\sqrt{y_0}=z_0\\
z_3=\frac12(-\sqrt{y_0} - \sqrt{y_1} + \sqrt{y_2})=-\frac32\sqrt{y_0}.
\end{cases}&lt;/math&gt;

a) 3. Si les racines de &lt;math&gt;z^4+pz^2+qz+r=0&lt;/math&gt; sont &lt;math&gt;z_0=z_1=z_2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, alors celles de sa résolvante de Lagrange sont :
:&lt;math&gt;y_0=-(z_0+z_1)(z_2+z_3)=-2z_0(z_0+z_3)&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;y_1=-(z_0+z_2)(z_1+z_3)=-2z_0(z_0+z_3)=y_0&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;y_2=-(z_0+z_3)(z_1+z_2)=-(z_0+z_3)(2z_0)=y_0&lt;/math&gt;.

b) On peut procéder de même, ou constater que les deux discriminants sont égaux :
:&lt;math&gt;4p^2(p^2-4r)^2-36p(p^2-4r)q^2-27q^4-4(p^2-4r)^3+32p^3q^2=16r(16r^2-8rp^2+p^4+9pq^2)-q^2(4p^3+27q^2)&lt;/math&gt;
ou, moins calculatoirement :
:&lt;math&gt;\prod_{0\le i&lt;j\le2}(y_i-y_j)^2=\prod_{0\le k&lt;l\le3}(z_k-z_l)^2&lt;/math&gt;
en regroupant deux par deux les 6 termes du produit de droite : par exemple,
:&lt;math&gt;(z_0-z_1)^2(z_2-z_3)^2=(z_0z_2+z_1z_3-z_1z_2-z_0z_3)^2=(y_2-y_3)^2&lt;/math&gt;.
}}

== Exercice 7-3 ==
Montrer que la méthode de Ferrari, dans le cas général d'une équation
:&lt;math&gt;x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0&lt;/math&gt;,
est équivalente à la première des deux méthodes originelles de Lagrange.
{{Solution|contenu=
Dans la méthode de Ferrari, si &lt;math&gt;\lambda_0&lt;/math&gt; est une racine de la résolvante
:&lt;math&gt;8\lambda^3-4c\lambda^2+\left(2bd-8e\right)\lambda+(4c-b^2)e-d^2=0&lt;/math&gt;.
et si &lt;math&gt;\mu_0&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\ne0&lt;/math&gt;) est une racine carrée de &lt;math&gt;2\lambda_0-c+\frac{b^2}4&lt;/math&gt;,
alors
:&lt;math&gt;x^4+bx^3+cx^2+dx+e=\left[x^2+\left(\mu_0+\frac b2\right)x+\lambda_0+\frac{b\lambda_0-d}{2\mu_0}\right]\left[x^2+\left(-\mu_0+\frac b2\right)x+\lambda_0-\frac{b\lambda_0-d}{2\mu_0}\right]&lt;/math&gt;.

Dans la première méthode originelle de Lagrange, si ''u''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; est une racine de la résolvante
:&lt;math&gt;u^3-cu^2+(bd-4e)u+(4c-b^2)e-d^2=0&lt;/math&gt;
et si
:&lt;math&gt;P_\pm=\frac{u_0}2\pm\sqrt{\frac{u_0^2}4-e},\quad S_++S_-=-b,\quad P_-S_++P_+S_-=-d&lt;/math&gt;
alors
:&lt;math&gt;x^4+bx^3+cx^2+dx+e=\left[x^2-S_+x+P_+\right]\left[x^2-S_-x+P_-\right]&lt;/math&gt;.

Ces deux résolutions sont équivalentes, par le changement de paramètre &lt;math&gt;u=2\lambda&lt;/math&gt;.

En effet, ce changement transforme bien :
*une résolvante en l'autre ;
*&lt;math&gt;\lambda_0\pm\frac{b\lambda_0-d}{2\mu_0}&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;P_\pm=\lambda_0\pm\sqrt{\lambda_0^2-e}&lt;/math&gt; car
*:&lt;math&gt;\begin{align}4\mu_0^2(\lambda_0^2-e)&amp;=4\left(2\lambda_0-c+\frac{b^2}4\right)\left(\lambda_0^2-e\right)\\
&amp;=8\lambda_0^3+(b^2-4c)\lambda_0^2-8e\lambda_0+(4c-b^2)e\\
&amp;=b^2\lambda_0^2-2bd\lambda_0+d^2\\
&amp;=(b\lambda_0-d)^2~;\end{align}&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\pm\mu_0+\frac b2&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;-S_\pm&lt;/math&gt; car :
**&lt;math&gt;-\left(\mu_0+\frac b2\right)-\left(-\mu_0+\frac b2\right)=-b&lt;/math&gt; ;
**&lt;math&gt;-\left(\lambda_0-\frac{b\lambda_0-d}{2\mu_0}\right)\left(\mu_0+\frac b2\right)-\left(\lambda_0+\frac{b\lambda_0-d}{2\mu_0}\right)\left(-\mu_0+\frac b2\right)=-d&lt;/math&gt;.
}}

== Exercice 7-4 ==
Dans ses deux méthodes originelles, Lagrange, considérant une équation
:&lt;math&gt;x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0&lt;/math&gt;,
pose d'abord
:&lt;math&gt;u_0=x_0x_1+x_2x_3,\quad u_1=x_0x_2+x_1x_3,\quad u_2=x_0x_3+x_1x_2&lt;/math&gt;,
puis se ravise et exprime les ''x{{ind|i}}'' en fonction de
:&lt;math&gt;s_0=x_0+x_1-x_2-x_3,\quad s_1=x_0+x_2-x_1-x_3,\quad s_2=x_0+x_3-x_1-x_2&lt;/math&gt;.
#En déduire l'expression des solutions ''x''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; et ''x''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; en fonction de ''u''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ''u''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; et ''u''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.
#Adapter cette étude en posant (comme dans notre pseudo-« méthode de Lagrange » de tout le début ce chapitre, mais à présent pour &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; non nécessairement nul) :
#:&lt;math&gt;y_0=-(x_0+x_1)(x_2+x_3),\quad y_1=-(x_0+x_2)(x_1+x_3),\quad y_2=-(x_0+x_3)(x_1+x_2)&lt;/math&gt;.
{{Solution|contenu=
'''1.'''  Puisque
:&lt;math&gt;s_i=\sqrt{t_i}=2\sqrt{u_i-c+b^2/4}&lt;/math&gt;,
en effectuant cette substitution dans les formules de la seconde méthode, on obtient les formules suivantes (également appelées « formules de Ferrari », ce nom étant justifié dans l'exercice précédent) :
:&lt;math&gt;\begin{align}x_0&amp;=-\frac b4+\frac12\left(\sqrt{u_0-c}+\sqrt{u_1-c}+\sqrt{u_2-c}\right)\\
x_1&amp;=-\frac b4+\frac12\left(\sqrt{u_0-c}-\sqrt{u_1-c}-\sqrt{u_2-c}\right)\\
x_2&amp;=-\frac b4+\frac12\left(-\sqrt{u_0-c}+\sqrt{u_1-c}-\sqrt{u_2-c}\right)\\
x_3&amp;=-\frac b4+\frac12\left(-\sqrt{u_0-c}-\sqrt{u_1-c}+\sqrt{u_2-c}\right)\end{align}&lt;/math&gt;
en ayant soin de choisir les trois racines carrées de façon cohérente :
:&lt;math&gt;\begin{align}\sqrt{u_0-c+b^2/4}\,\sqrt{u_1-c+b^2/4}\,\sqrt{u_2-c+b^2/4}&amp;=\frac{s_0}2\frac{s_1}2\frac{s_2}2\\
&amp;=\frac{-b^3+4bc-8d}8\\
&amp;=-d+\frac{bc}2-\frac{b^3}8.\end{align}&lt;/math&gt;

'''2.'''  Puisque la résolvante pour les &lt;math&gt;u_i&lt;/math&gt; est
:&lt;math&gt;u^3-cu^2+(bd-4e)u+(4c-b^2)e-d^2=0&lt;/math&gt;,
celle pour les
:&lt;math&gt;y_i=u_i-c&lt;/math&gt;
est
:&lt;math&gt;(y+c)^3-c(y+c)^2+(bd-4e)(y+c)+(4c-b^2)e-d^2=0&lt;/math&gt;,
c'est-à-dire :
:&lt;math&gt;y^3+2cy^2+(c^2-4e+bd)y-d^2+bcd-b^2e=0&lt;/math&gt;
(voir aussi l'exercice 2-3), et l'on obtient :
:&lt;math&gt;\begin{align}x_0&amp;=-\frac b4+\frac12\left(\sqrt{y_0}+\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}\right)\\
x_1&amp;=-\frac b4+\frac12\left(\sqrt{y_0}-\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\right)\\
x_2&amp;=-\frac b4+\frac12\left(-\sqrt{y_0}+\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\right)\\
x_3&amp;=-\frac b4+\frac12\left(-\sqrt{y_0}-\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}\right)\end{align}&lt;/math&gt;
en ayant soin de choisir les trois racines carrées de façon cohérente :
:&lt;math&gt;\sqrt{y_0}\,\sqrt{y_1}\,\sqrt{y_2}=-d+\frac{bc}2-\frac{b^3}8&lt;/math&gt;.
(Ceci généralise le cas &lt;math&gt;(b,c,d,e)=(0,p,q,r)&lt;/math&gt; traité dans tout le début de ce chapitre.)
}}

== Exercice 7-5 ==
Par notre méthode « de Lagrange », retrouver (cf. exercice 8-5 et chapitre 8 de la leçon sur les équations de degré 3) une équation du sixième degré à coefficients entiers ayant pour racine le nombre :
:&lt;math&gt;\beta:=\sqrt{2 \left( 1 + \cos\frac\pi7\right)} + \sqrt{2 \left( 1 + \cos\frac{3\pi}7\right)} + \sqrt{2 \left( 1 + \cos\frac{5\pi}7\right)}&lt;/math&gt;.
{{Solution|contenu=
Nous avons vu dans le cours sur les équations du troisième degré que les nombres &lt;math&gt;\cos\frac\pi7&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cos\frac{3\pi}7&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\cos\frac{5\pi}7&lt;/math&gt; sont les racines du polynôme
:&lt;math&gt;X^3-\frac12X^2-\frac12X+\frac18&lt;/math&gt;.

Par conséquent, les nombres :
:&lt;math&gt; y_1 = 2 \left( 1 + \cos\frac\pi7\right),\qquad y_2 = 2 \left( 1 + \cos\frac{3\pi}7\right),\qquad y_3 = 2 \left( 1 + \cos\frac{5\pi}7\right)&lt;/math&gt;

sont les racines de l'équation :
:&lt;math&gt;(y/2-1)^3-\frac12(y/2-1)^2-\frac12(y/2-1)+\frac18=0&lt;/math&gt;,

qui se simplifie en :
:&lt;math&gt; y^3 - 7y^2 + 14y - 7 =0&lt;/math&gt;.

Pour que cette dernière équation coïncide avec notre résolvante « de Lagrange » :
:&lt;math&gt; y^3 + 2py^2 + (p^2-4r)y - q^2 =0&lt;/math&gt;,

il faut que :
:&lt;math&gt;\begin{cases}
2p=-7\\
p^2-4r=14\\
q^2=7.
\end{cases}&lt;/math&gt;

Nous en déduisons :
:&lt;math&gt;\begin{cases}
p=-\frac72\\
r=-\frac7{16}\\
q=-\sqrt7.
\end{cases}&lt;/math&gt;

Nous avons choisi :
:&lt;math&gt;  q = -\sqrt7&lt;/math&gt;

pour que :
:&lt;math&gt;  \sqrt{y_1} \times \sqrt{y_2} \times \sqrt{y_3} = -q&lt;/math&gt;.

Par conséquent, d’après la méthode de Lagrange, l'équation :
:&lt;math&gt;  x^4 - \frac 72 x^2 - x\sqrt7- \frac7{16} = 0&lt;/math&gt;

a parmi ses racines le nombre &lt;math&gt;\beta/2&lt;/math&gt;.

Autrement dit : &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; est racine de l'équation
:&lt;math&gt;  \left( \frac x2 \right)^4 - \frac 72 \left( \frac x2 \right)^2 - \left( \frac x2 \right)\sqrt7- \frac7{16} = 0&lt;/math&gt;,

qui se simplifie sous la forme :
:&lt;math&gt;  x^4 - 14x^2 - 8x\sqrt7- 7=0&lt;/math&gt;.

Il nous reste un petit détail à régler. L'énoncé précisait une équation à coefficients entiers. Nous pouvons alors choisir l'équation obtenue en multipliant le premier membre par l’expression conjuguée de celui-ci. C'est-à-dire l'équation :
:&lt;math&gt;(x^4 - 14x^2 - 8x\sqrt7- 7)(x^4 - 14x^2 + 8x\sqrt7- 7)=0&lt;/math&gt;.

En développant le premier membre de cette dernière équation nous voyons que &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; est l'une des racines de l'équation :
:&lt;math&gt;  x^8 - 28x^6 + 182x^4 - 252x^2 + 49 = 0&lt;/math&gt;.

Ce n'est toujours pas bon car l'énoncé précisait une équation du sixième degré. Essayons donc de factoriser le premier membre comme produit de deux polynômes à coefficients entiers. Pour cela, posons :
:&lt;math&gt;  z = x^2&lt;/math&gt;.

On obtient :
:&lt;math&gt;  z^4 - 28z^3 + 182z^2 - 252z + 49 =0&lt;/math&gt;.

Nous constatons que cette dernière équation admet ''z'' = 7 comme racine évidente. Nous en déduisons la factorisation :
:&lt;math&gt;  (z-7)(z^3-21z^2+35z-7) =0&lt;/math&gt;.

En remplaçant à nouveau ''z'' par ''x''{{exp|2}}, on obtient :
:&lt;math&gt;  (x^2-7)(x^6-21x^4+35x^2-7)=0&lt;/math&gt;.

Le nombre &lt;math&gt;\beta&gt;2\sqrt2&gt;\sqrt7&lt;/math&gt; est par conséquent racine de :
:&lt;math&gt;x^6-21x^4+35x^2-7 =0&lt;/math&gt;,

qui est donc l'équation recherchée.
}}
== Exercice 7-6 ==
Calculer par notre méthode « de Lagrange » les racines
:&lt;math&gt;2\cos\frac{\pi}{20},\quad2\cos\frac{7\pi}{20},\quad2\cos\frac{9\pi}{20},\quad2\cos\frac{17\pi}{20}&lt;/math&gt;
du polynôme
:&lt;math&gt;P(X)=X^4-X^3\sqrt2-3X^2+3X\sqrt2-1&lt;/math&gt;.
{{Solution|contenu=
&lt;math&gt;P\left(Z+\frac1{2\sqrt2}\right)=Z^4-\frac{15}4Z^2+\frac5{2\sqrt2}Z+\frac5{64}=:Z^4+pZ^2+qZ+r&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt;Y^3+2pY^2+(p^2-4r)Y-q^2=Y^3-\frac{15}2Y^2+\frac{55}4Y-\frac{25}8=\left(Y-\frac52\right)\left[\left(Y-\frac52\right)^2-5\right]&lt;/math&gt;.
En posant
:&lt;math&gt;t_0=\sqrt\frac12,\quad t_1=\sqrt\frac52,\quad t_2=\sqrt{\frac52+\sqrt5},\quad t_3=\sqrt{\frac52-\sqrt5}&lt;/math&gt;,
on a &lt;math&gt;t_1t_2t_3=q&lt;/math&gt; et les racines de &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; sont (de la plus grande à la plus petite) :
:&lt;math&gt;\begin{cases}
2\cos\frac{\pi}{20}=\frac{t_0+t_1+t_2-t_3}2\\
2\cos\frac{7\pi}{20}=\frac{t_0-t_1+t_2+t_3}2\\
2\cos\frac{9\pi}{20}=\frac{t_0+t_1-t_2+t_3}2\\
2\cos\frac{17\pi}{20}=\frac{t_0-t_1-t_2-t_3}2.
\end{cases}&lt;/math&gt;
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Sur la méthode de Descartes/]]
  | suivant   = [[../Sur les résolutions trigonométriques/]]
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    <title>Arpitan/Grammaire/Conjugaison/Indicatif présent</title>
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        <username>Crochet.david.bot</username>
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      <text bytes="16020" sha1="74aghgjokfpbkw5xwffdko0ku3t2fsh" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|Conjugaison arpitanne]]
  | titre_leçon = Conjugaison arpitane
  | numéro      = 9
  | niveau      = 2
  | précédent   = [[../Infinitif/]]
  | suivant     = [[../Indicatif futur/]]
}}

PRESENT SIMPLE

[[Fichier:Blason Panarpitan.png|14px]] '''écriture ORB Supradialectale :'''
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| je || '''-o''' || '''-o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;o''' || '''-o''' || '''-o''' || '''-o'''
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| te || '''-es''' || '''-es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;é&lt;/span&gt;s''' || '''-es''' || '''-s''' || '''-s'''
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| il, el, o || '''-e''' || '''-e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;é&lt;/span&gt;t''' || '''-e''' || '''-t''' || '''-'''
|-
| nos || '''-ens''' || '''-ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ens''' || '''-ens''' || '''-ens''' || '''-ens'''
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| vos || '''-âds''' || '''-iéds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;éds''' || '''-éds''' || '''-éds''' || '''-éds'''
|-
| ils, els || '''-ont''' || '''-ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ont''' || '''-ont''' || '''-ont''' || '''-ont'''
|}

&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;'''infixe de conjugaison'''&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''forme inchoative de IIa'''&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''écriture ORB dialectale :'''&lt;/span&gt;

[[File:Blason Ville fr Lyon.svg|14px]] [[Arpitan/Lyonnais|lyonnais :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| je || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;'''
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| te || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-â&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;s&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;'''
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| a, el, o || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-â&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;t&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-t&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
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| je || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ons&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ons&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âtsons&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ons&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ons&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ons&lt;/span&gt;'''
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| vos || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âs&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îs&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âtsis&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îs&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îs&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îs&lt;/span&gt;'''
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| ils, els || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''
|}

[[Fichier:Blason duché fr Savoie.svg|14px]] [[Arpitan/Savoie|savoyard :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| de || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ésso&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| te || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-as&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-éssas&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;'''
|-
| el,l',o || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-èt&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| nos || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éssens&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;'''
|-
| vos || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âs&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-éssîs&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îs&lt;/span&gt;'''
|-
| i || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éssont&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''
|}

[[Fichier:Blason maison de Baugé.svg|14px]] [[Arpitan/Bresse|bressan :]]

[[Fichier:Blason_fr_Franche-Comté.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Franche Comté|burgondan :]]

[[Fichier:Dauphin_of_Viennois_Arms.svg|14px]] [[Arpitan/Dauphiné|dauphinois :]]

[[Fichier:Armoiries_Forez.svg|14px]] [[Arpitan/Forez|forézien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ji || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ésso&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;o&lt;/span&gt;'''
|-
| tchu || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-és&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;'''
|-
| ol,eil || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ét&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| nous || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ons&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-éssons&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ons&lt;/span&gt;'''
|-
| vous || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âs&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ésséds&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-éds&lt;/span&gt;'''
|-
| eis || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éssont&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''
|}

[[Fichier:Blason_département fr Jura.svg|14px]] [[Arpitan/Jura|jurassien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| i || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;o&lt;/span&gt;'''
|-
| te || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ès&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ès&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;'''
|-
| i, l' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-èt&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-t&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| ne || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-as&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-as&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-as&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-as&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-as&lt;/span&gt;'''
|-
| os || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ès&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îs&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îs&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-tès&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-tès&lt;/span&gt;'''
|-
| i || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''
|}

[[Fichier:Blason département fr Doubs.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Doubs|savorêt :]]

[[Fichier:CHE Genève COA.svg|14px]] [[Arpitan/Genève|genevois :]]

[[Fichier:Wappen Freiburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Fribourg|fribourgeois :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantâr''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| i || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;o&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;'''
|-
| tè || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ès&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;'''
|-
| ily,ly || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-èt&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| no || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éssens&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;'''
|-
| vo || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-âds&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îds&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îds&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ds&lt;/span&gt;'''
|-
| i || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éssont&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''
|}

[[Fichier:Wappen Neuenburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Neuchâtel|neuchâtelois :]]

[[Fichier:Wappen Wallis matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Valais|valaisan :]]

[[Fichier:Wappen Waadt matt.svg‎|14px]] [[Arpitan/Vaud|vaudois :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''megiér''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''ôvrir''' || IIIa : '''dèvêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ye || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;'''
|-
| te || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| il, l' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| nos || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ens'''&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ein&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;'''
|-
| vos || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-âd(e)&lt;/span&gt;''' || '''-iéd(e)'''|| '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éd(e)&lt;/span&gt;'''|| '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éd(e)&lt;/span&gt;'''|| '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-êtes&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;'''
|-
| ils, l' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''|| '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''|| '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''
|}

[[Fichier:Armoiries Aoste.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Val d'Aost|valdoten :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantâr''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| dze || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ésso&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-o&lt;/span&gt;'''
|-
| te || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ès&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-es&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-s&lt;/span&gt;'''
|-
| i, l' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-èt&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-e&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-t&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-&lt;/span&gt;'''
|-
| no || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ens&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ens&lt;/span&gt;'''
|-
| vo || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-âds&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îds&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îds&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-îds&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;-ds&lt;/span&gt;'''
|-
| i || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-éssont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;''' || '''&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-ont&lt;/span&gt;'''
|}

 [[Arpitan/Faeto|faetar :]]
{{Bas de page
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|La conjugaison arpitanne]]
  | précédent   = [[../Infinitif/]]
  | suivant     = [[../Indicatif futur/]]
}}</text>
      <sha1>74aghgjokfpbkw5xwffdko0ku3t2fsh</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Arpitan/Grammaire/Conjugaison/Infinitif</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-09-03T17:34:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>correction codification HTML</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6192" sha1="eqbn95deqwymoho0bi6i4zvqhbhiusf" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | titre       = L'infinitif
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|Conjugaison arpitanne]]
  | titre_leçon = Conjugaison arpitanne
  | numéro      = 8
  | précédent   = [[../Auxiliaires présent/]]
  | suivant     = [[../Indicatif présent/]]
  | niveau      = 2
}}


INFINITIF

Il existe en arpitan 3 groupes principaux :

'''''Groupe I''''' : correspond au 1{{er}} groupe latin en -are.

Ia : infinitif maintenu en '''-ar'''

Ib : infinitif en '''-iér''' résultant de l'évolution particulière en arpitan du ''a'' précédé d'une consonne palatale

'''''Groupe II''''' : verbes en '''-ir'''

IIa : forme incohative se terminant en '''-ir'''

IIb : autres verbes en '''-ir'''

'''''Groupe III''''' : autres verbes

IIIa : infinitif en '''-êr'''

IIIb : infinitif en '''-re'''


[[Fichier:Blason Panarpitan.png|14px]] '''ORB Supradialectal :'''
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe I''|| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe II''  || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe III''
|-
| Ia || Ib || IIa || IIb || IIIa || IIIb
|-
| '''-ar''' || '''-ier''' || '''-ir''' || '''-ir''' || '''-êr''' || '''-re'''
|-
| '''chantar''' || '''mangier''' || '''finir     ''' || '''venir'''   || '''devêr''' || '''vendre''' 
|}


[[File:Blason Ville fr Lyon.svg|14px]] [[Arpitan/Lyonnais|lyonnais :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe I'' || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe II''  || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe III''
|-
| Ia || Ib || IIa || IIb || IIIa || IIIb
|-
| &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ar'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ier'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-êr'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-re'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rə]&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason duché fr Savoie.svg|14px]] [[Arpitan/Savoie|savoyard :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe I'' || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe II''  || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe III''
|-
| Ia || Ib || IIa || IIb || IIIa || IIIb
|-
| &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ar'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; ||  || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-re'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rə]&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason maison de Baugé.svg|14px]] [[Arpitan/Bresse|bressan :]]

[[Fichier:Blason fr Franche-Comté.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Franche-Comté|burgondan :]]

[[Fichier:Dauphin of Viennois Arms.svg|14px]] [[Arpitan/Dauphiné|dauphinois :]]

[[Fichier:Armoiries Forez.svg|14px]] [[Arpitan/Forez|forézien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe I'' || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe II''  || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe III''
|-
| Ia || Ib || IIa || IIb || IIIa || IIIb
|-
| &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ar'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[a]&lt;/span&gt; || || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; ||  ||  || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-re'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rə]&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason_département_fr_Jura.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Jura|jurassien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe I'' || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe II''  || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe III''
|-
| Ia || Ib || IIa || IIb || IIIa || IIIb
|-
| &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-êr'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ier'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[e]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; ||  || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ar'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[a]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-re'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rə]&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason_département_fr_Doubs.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Doubs|savorêt :]]

[[Fichier:CHE Genève COA.svg|14px]] [[Arpitan/Genève|genevois :]]

[[Fichier:Wappen Freiburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Fribourg|fribourgeois :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe I'' || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe II''  || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe III''
|-
| Ia || Ib || IIa || IIb || IIIa || IIIb
|-
| &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ar'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[a]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ier'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-re'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rə]&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Wappen Neuenburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Neuchâtel|neuchâtelois :]]

[[Fichier:Wappen Wallis matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Valais|valaisan :]]

[[Fichier:Wappen Waadt matt.svg‎|14px]] [[Arpitan/Vaud|vaudois :]]

[[Fichier:Armoiries Aoste.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Val d'Aost|valdoten :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe I'' || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe II''  || ! colspan=&quot;2&quot; | ''Groupe III''
|-
| Ia || Ib || IIa || IIb || IIIa || IIIb
|-
| &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-êr'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || '''-ir'''&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ir'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-êvre'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛvrə]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-re'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rə] &lt;/span&gt;
|}

 [[Arpitan/Faeto|faetar :]]


{{Bas de page
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|La conjugaison arpitanne]]
  | précédent   = [[../Auxiliaires présent/]]
  | suivant     = [[../Indicatif présent/]]
}}</text>
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    </revision>
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    <title>Arpitan/Grammaire/Conjugaison/Prononciation</title>
    <ns>0</ns>
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        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
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      <comment>correction codification HTML</comment>
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      <text bytes="27186" sha1="dca49proa0x2j52zfjzs1myotgwtuei" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|Conjugaison arpitanne]]
  | titre_leçon = Conjugaison arpitanne
  | numéro      = 1
  | niveau      = 2
  | précédent   = [[../|Sommaire]]
  | suivant     = [[../Auxiliaire présent/]]
}}

PRONONCIATION DES TERMINAISONS

[[Fichier:Blason Panarpitan.png|14px]] '''écriture ORB supradialectale'''

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| rowspan=2 | || rowspan=2|Présent || rowspan=2|Futur || ! colspan=&quot;2&quot;|Imparfait || ! colspan=&quot;2&quot; | Subjonctif || rowspan=2|Conditionnel || rowspan=2|Impératif
|-
| ''forme 1'' || ''forme 2'' || présent || imparfait
|-|
| je || '''-o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;é''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;o''' || '''-ê''' || ! colspan=&quot;2&quot;| '''-o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;io''' / '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;ê'''||
|-
| te || (I II) '''-es'''&lt;br /&gt;(III) '''-s''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;és''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;es''' || '''-ês''' || ! colspan=&quot;2&quot;| '''-es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;ês'''  || (Ia)'''-a'''&lt;br /&gt;(Ib)'''-e'''&lt;br /&gt;(II III)'''-'''
|-
| il,el,o || (I IIb) '''-e'''&lt;br /&gt;(IIa IIIa) '''-t'''&lt;br /&gt;(IIIb) '''-''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;at''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;e''' || '''-êt''' || ! colspan=&quot;2&quot;| '''-e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;êt''' ||
|-
| nos || '''-ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;ens''' || '''-ians''' || ! colspan=&quot;2&quot;| '''-ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;ians''' || '''-ens'''
|-
| vos || (I) '''-âds'''&lt;br /&gt;(II III) '''-éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;âds''' || '''-iâds''' || ! colspan=&quot;2&quot;| (I)'''-âds''' (II et III)'''-éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;iâds'''|| (I)'''-âds'''&lt;br /&gt;(Ib II III)'''-éds'''
|-
| ils,els || '''-ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;ont''' || '''-iant''' || ! colspan=&quot;2&quot;| '''-ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;r&lt;/span&gt;iant''' ||
|}

&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;infixe de conjugaison&lt;/span&gt;
Règles de base :

2è personne du singulier : le '''-s''' final n’est pas prononcé

3è personne du singulier : le '''-t''' final n’est pas prononcé

1ère personne du pluriel : le '''-s''' final n’est pas prononcé

2è personne du pluriel : le '''-s''' final n’est pas prononcé

3è personne du pluriel : le '''-t''' final n’est pas prononcé

ces lettres finales ne servent qu’à prononcer une éventuelle liaison
&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''écriture ORB dialectales''' &lt;/span&gt; + &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;prononciation phonétique:&lt;/span&gt;

[[File:Blason Ville fr Lyon.svg|14px]] [[Arpitan/Lyonnais|lyonnais :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| rowspan=2 | || rowspan=2|Présent || rowspan=2|Futur || ! colspan=&quot;2&quot;|Imparfait || ! colspan=&quot;2&quot; | Subjonctif || rowspan=2|Conditionnel || rowspan=2|Impératif
|-
| ''forme 1'' || ''forme 2'' || présent || imparfait
|-
| je || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[œ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ri'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ri]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-vo'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vœ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iê'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt; ||! colspan=&quot;2&quot; | &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[œ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-riê'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rɛ̃]&lt;/span&gt; ||
|-
| te || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I IIb)'''-es'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[e]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIa III) '''-s'''&lt;/span&gt;|| &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rés'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[re]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ves'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ve]&lt;/span&gt; ||&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jo]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; style=&quot;border=&quot;0&quot;&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[e]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjo]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia)'''-a'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;(Ib) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-i'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(II III) '''-'''&lt;/span&gt;
|-
| a,el,o || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I IIb)'''-e'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ə]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIa IIIa)'''-t'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIIb)'''-'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rat'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ra]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ve'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[və]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iêt'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[je]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ə]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rêt'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[re]&lt;/span&gt; ||
|-
| je || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ons'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rans'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vons'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vɔ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ians'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jã]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rians'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ons'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ̃]&lt;/span&gt;
|-
| vos || (Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt; &lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(Ib II III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-râs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jɔ]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |(Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt; &lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(Ib II III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjɔ]&lt;/span&gt; || (Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt; &lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(Ib II III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt;
|-
| ils || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-vont'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vɔ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jã]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-riant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjã]&lt;/span&gt; ||
|}

[[Fichier:Blason duché fr Savoie.svg|14px]] [[Arpitan/Savoie|savoyard :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| rowspan=2| || rowspan=2|Présent || rowspan=2|Futur || Imparfait || ! colspan=&quot;2&quot; | Subjonctif || rowspan=2|Conditionnel || rowspan=2|Impératif
|-
| ''forme 1'' || présent || imparfait
|-
| de || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;(IIIb) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-'''&lt;/span&gt;|| &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ré'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[re]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-vo'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vɔ]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rio'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjɔ]&lt;/span&gt; ||
|-
| rowspan=2|te || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;(Ia IIa)'''-as'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[a]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIIb) '''-s'''&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rés'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[re]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vas'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[va]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; | &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-as'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[a]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjo]&lt;/span&gt; || rowspan=2|(I) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[o]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(II) '''-è'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[e]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(III) '''-'''&lt;/span&gt;
|-
| &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(III) -es&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ə]&lt;/span&gt;
|-
| èl,l',o || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia) '''-e'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ə]&lt;br /&gt;&lt;/span&gt; (IIa) &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-t'''&lt;br /&gt;(IIIb) '''-'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rat'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ra]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ve'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[və]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; | &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ə]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rêt'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[re]&lt;/span&gt; ||
|-
| nos || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rɛ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vions'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjɛ̃]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt;
|-
| rowspan=2|vos || rowspan=2|(Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(IIa IIIb)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rîs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ri]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-viâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vɔ]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; | (Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rio]&lt;/span&gt; || rowspan=2|(Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[o]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(Ib II III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt;
|-
| &lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(IIa IIIb)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[i]&lt;/span&gt;
|-
| i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[õ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ront'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rõ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-vont'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[võ]&lt;/span&gt; ||! colspan=&quot;2&quot; | &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[õ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riont'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjõ]&lt;/span&gt; ||
|}

[[Fichier:Blason maison de Baugé.svg|14px]] [[Arpitan/Bresse|bressan :]]

[[Fichier:Blason fr Franche-Comté.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Franche-Comté|burgondan :]]

[[Fichier:Dauphin of Viennois Arms.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Dauphiné|dauphinois :]]

[[Fichier:Armoiries Forez.svg|14px]]‎ ‎[[Arpitan/Forez|forézien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| rowspan=2 | || rowspan=2|Présent || rowspan=2|Futur || ! colspan=&quot;2&quot;|Imparfait || ! colspan=&quot;2&quot; | Subjonctif || rowspan=2|Conditionnel || rowspan=2|Impératif
|-
| ''forme 1'' || ''forme 2'' || présent || imparfait
|-
| ji || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[u]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; '''-ré'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âva'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iê'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-a'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-riê'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjɛ̃]&lt;/span&gt; ||
|-
| tchu || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia)'''-es'''&lt;br /&gt;(IIa IIIb) '''-s'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; '''-rés'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-âves'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iês'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-riês'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-a'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(II)&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt; '''-e'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(III) '''-'''&lt;/span&gt;
|-
| ol,eil ||&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia) '''-e'''&lt;br /&gt;(IIa) '''-t'''&lt;br /&gt;(IIIb) '''-'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; '''-rat'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-âve'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-it'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rit'''&lt;/span&gt; ||
|-
| nous || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ons'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[un]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rons'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[run]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âvans'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ians'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ions'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[iun]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ians'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rians'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ons'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[un]&lt;/span&gt;
|-
| vous || (Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[a]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIa IIIb) '''-éds'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rîs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âvâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ava]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ja]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rja]&lt;/span&gt; || (I) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[a]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; (II III) '''-éds'''&lt;/span&gt;
|-
| eis || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[un]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âvant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jã]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-riant'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjã]&lt;/span&gt; ||
|}

[[Fichier:Blason département fr Jura.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Jura|jurassien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| rowspan=2| || rowspan=2|Présent || rowspan=2|Futur || Imparfait || ! colspan=&quot;2&quot; | Subjonctif || rowspan=2|Conditionnel || rowspan=2|Impératif
|-
| ''forme 1'' || présent || imparfait
|-
| i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[u]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rè'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-vo'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[u]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[u]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ro'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ru]&lt;/span&gt; ||
|-
| te || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia) '''-es'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(Ib)&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt; '''-és'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;( IIa III) '''-s'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vès'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rês'''&lt;/span&gt; || (I II) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-a'''&lt;/span&gt;
|-
| rowspan=2|i || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-e'''&lt;br /&gt;(IIa IIIa) '''-t'''&lt;br /&gt;(IIIb) '''-'''&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rât'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ro]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I II) '''-ve'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt; (III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rat'''&lt;/span&gt; ||
|-
| (I) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-'''&lt;/span&gt;
|-
| ne || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-as'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ras'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vas'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-as'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ra]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rayas'''&lt;/span&gt; ||
|-
| os || (Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ès'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;(Ib IIa) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;(III) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-tés'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-râs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ra]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vîs'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rayîs'''&lt;/span&gt; || (Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ès'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt; (Ib II)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt; (III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-tès'''&lt;/span&gt;
|-
| i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; '''-ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ront'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-vont'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; '''-ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rayont'''&lt;/span&gt; ||
|}

[[Fichier:Blason département fr Doubs.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Doubs|savorêt :]]

[[Fichier:CHE Genève COA.svg|14px]] [[Arpitan/Genève|genevois :]]

[[Fichier:Wappen Freiburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Fribourg|fribourgeois :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| rowspan=2 | || rowspan=2|Présent || rowspan=2|Futur || ! colspan=&quot;2&quot;|Imparfait || ! colspan=&quot;2&quot; | Subjonctif || rowspan=2|Conditionnel || rowspan=2|Impératif
|-
| ''forme 1'' || ''forme 2'' || présent || imparfait
|-
| i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[u]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ri'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; '''-vo'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vu]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ê'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[e]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[u]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rê'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[re]&lt;/span&gt; ||
|-
| tè || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-es'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɘ]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIa IIIb) '''-s'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ris'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ves'''&lt;/span&gt; ||&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ês'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[e]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rês'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[re]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia)'''-a'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;(Ib II)'''-e'''&lt;br /&gt;(III)'''-'''
|-
| ily, ly || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-e'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɘ]&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIa) '''-t'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIIb) '''-'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rèt'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ve'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-at'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rat'''&lt;/span&gt; ||
|-
| rowspan=2|no || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rɛ̃]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt; '''-vans'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rã]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt; '''-ans'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ã]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|(I II III) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ã]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rans'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rã]&lt;/span&gt; || rowspan=2|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt;
|-
| (I) &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɛ̃]&lt;/span&gt; ||
|-
| vo || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia) '''-âds'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;(Ib II) '''-ids'''&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(IIIb)&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ds'''&lt;/span&gt;|| &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-râs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt; '''-vâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt; '''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; || (I) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(II III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-râs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(Ia) '''-âds'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;(Ib II) '''-îds'''&lt;br /&gt;(III) '''-des'''
|-
| i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ront'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt; '''-vant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot;|&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rant'''&lt;/span&gt; ||
|}

[[Fichier:Wappen Neuenburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Neuchâtel|neuchâtelois :]]

[[Fichier:Wappen Wallis matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Valais|valaisan :]]

[[Fichier:Wappen Waadt matt.svg|14px]] [[Arpitan/Vaud|vaudois :]]

[[Fichier:Armoiries Aoste.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Val d'Aost|valdoten :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| rowspan=2| || rowspan=2|Présent || rowspan=2|Futur || ! colspan=&quot;2&quot; |Imparfait || ! colspan=&quot;2&quot; | Subjonctif || rowspan=2|Conditionnel || rowspan=2|Impératif
|-
| ''forme 1'' || ''forme 2'' || présent || imparfait
|-
| dze || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ri'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-vo'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-io'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jɔ]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[ɔ]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rio'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjɔ]&lt;/span&gt; ||
|-
| te || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I IIb) '''-es'''&lt;br /&gt;(II aIII) '''-s'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ris'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ves'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iês'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-reis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-a'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(IIa)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ei'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIb III) '''-'''&lt;/span&gt;
|-
| i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I IIb) '''-e'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIa IIIa) '''-t'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(IIIb) '''-'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rèt'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ve'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iêt'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-reit'''&lt;/span&gt; ||
|-
| no || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; '''-ens'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[en]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-rens'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vons'''&lt;/span&gt; ||  &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ions'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ons'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rions'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-ens'''&lt;/span&gt;
|-
| vo || (Ia) &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âds'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(II IIIa)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îds'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(IIIb)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ds'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-reis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[vo]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[jo]&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[o]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-riâs'''&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkred;&quot;&gt;[rjo]&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;(I) '''-âds'''&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;(II III)&lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-îds'''&lt;/span&gt;
|-
| i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-rant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-vant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iant'''&lt;/span&gt; || ! colspan=&quot;2&quot; |&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-riant'''&lt;/span&gt; ||
|}

 [[Arpitan/Faeto|faetar :]]
{{Bas de page
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|La conjugaison arpitanne]]
  | précédent   = [[../|Sommaire]]
  | suivant     = [[../Auxiliaire présent/]]
}}</text>
      <sha1>dca49proa0x2j52zfjzs1myotgwtuei</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Arpitan/Grammaire/Conjugaison/Subjonctif</title>
    <ns>0</ns>
    <id>30705</id>
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      <id>986250</id>
      <parentid>966382</parentid>
      <timestamp>2026-09-03T18:08:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
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      <minor />
      <comment>correction codification HTML</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="34550" sha1="rh2up9buz3bie20hp7uuhvyoqxi4827" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|Conjugaison arpitanne]]
  | titre_leçon = Conjugaison arpitanne
  | numéro      = 15
  | niveau      = 2
  | précédent   = [[../Participe présent/]]
  | suivant     = [[../Subjonctif présent/]]
}}

SUBJONCTIF PRESENT

[[Fichier:Blason Panarpitan.png|14px]] '''écriture ORB Supradialectale :'''
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''présent''
|-
| que je || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;o''' || '''-o'''
|-
| que te || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;es''' || '''-es'''
|-
| qu’il, el, o || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;e''' || '''-e'''
|-
| que nos || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ens''' || '''-ens'''
|-
| que vos || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;âds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;éds''' || '''-éds'''
|-
| qu’ils, els || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;ont''' || '''-ont'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''imparfait''
|-
| que je || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;iéss&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ess&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;o&lt;/span&gt;''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;o''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;o'''
|-
| que te || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;iéss&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ess&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;es&lt;/span&gt;''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;es''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;es'''
|-
| qu’il,el,o || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;iéss&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ess&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;e&lt;/span&gt;''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;e''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;e'''
|-
| que nos || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;iéss&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ess&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;ens&lt;/span&gt;''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ens''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ens'''
|-
| que vos || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;âds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;iéss&lt;/span&gt;éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ess&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;éds&lt;/span&gt;''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;éds''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;éds'''
|-
| qu’ils || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;iéss&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ess&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:black;&quot;&gt;ont&lt;/span&gt;''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ont''' || '''-&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;éss&lt;/span&gt;ont'''
|}

&lt;span style=&quot;color:orange;&quot;&gt;'''infixe de conjugaison'''&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''forme inchoative de IIa'''&lt;/span&gt;
&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''prononciations dialectales :'''&lt;/span&gt;

[[File:Blason Ville fr Lyon.svg|14px]] [[Arpitan/Lyonnais|lyonnais :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''présent''
|-
| que je || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt;
|-
| qu’il, el, o || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt;
|-
| que je || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt;
|-
| que vos || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-és'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;és'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-és'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-és'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-és'''&lt;/span&gt;
|-
| qu’ils, els || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt;
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''imparfait''
|-
| que je || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ass&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;èsso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ass&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésso'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ass&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;èsses'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ass&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésses'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésses'''&lt;/span&gt;
|-
| qu’il,el,o || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ass&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;èsse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ass&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésse'''&lt;/span&gt;
|-
| que je || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-assans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-assans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ans'''&lt;/span&gt;
|-
| que vos || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-assés'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;és'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-assés'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;és'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;és'''&lt;/span&gt;
|-
| qu’ils || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-assant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-âts&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-assant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ant'''&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason duché fr Savoie.svg|14px]] [[Arpitan/Savoie|savoyard :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''présent''
|-
| que de || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èsso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-as'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;as'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'èl, l', o || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èsse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt;
|-
| que no || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iens'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èssiens'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-iens'''&lt;/span&gt;
|-
| que vo || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;yis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-yis'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èssont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt;
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''imparfait''
|-
| que de || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issas'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issas'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issas'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'èl,l',o || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt;
|-
| que no || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issiens'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issiens'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issiens'''&lt;/span&gt;
|-
| que vo || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issiâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issiâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issiâs'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont'''&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason maison de Baugé.svg|14px]] [[Arpitan/Bresse|bressan :]]

[[Fichier:Blason fr Franche-Comté.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Franche-Comté|burgondan :]]

[[Fichier:Dauphin of Viennois Arms.svg|14px]] [[Arpitan/Dauphiné|dauphinois :]]

[[Fichier:Armoiries Forez.svg|14px]] [[Arpitan/Forez|forézien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''présent''
|-
| que ji || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-a'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issa'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-a'''&lt;/span&gt;
|-
| que tchu || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'ol, eil || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt;
|-
| que nous || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ions'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issions'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ions'''&lt;/span&gt;
|-
| que vous || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-is'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-is'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'eis || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt;
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''imparfait''
|-
| que de || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éza'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-isséza'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éza'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éz&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-isséz&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éz&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'èl,l',o || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éz&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-isséz&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éz&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt;
|-
| que no || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ézians'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issézians'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ézians'''&lt;/span&gt;
|-
| que vo || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éziâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-isséziâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éziâs'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éziant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-isséziant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-éziant'''&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason département fr Jura.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Jura|jurassien :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''présent''
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ès'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-a&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-a&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;-'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt;
|-
| que ne || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayas'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayas'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayas'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayas'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-as'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'os || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayis'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ayis'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ont'''&lt;/span&gt;
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''imparfait''
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésso'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ès'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ès'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ésse'''&lt;/span&gt;
|-
| que ne || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;as'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;as'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;as'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;as'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;as'''&lt;/span&gt;
|-
| que os || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;is'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;is'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;is'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;is'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;is'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éssont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éssont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éssont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éssont'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éssont'''&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Blason département fr Doubs.svg|14px]]‎ [[Arpitan/Doubs|savorêt :]]

[[Fichier:CHE Genève COA.svg|14px]] [[Arpitan/Genève|genevois :]]

[[Fichier:Wappen Freiburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Fribourg|fribourgeois :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''présent''
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyo'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyo'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èsso'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-o'''&lt;/span&gt;
|-
| que tè || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyes'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyes'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èsses'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-es'''&lt;/span&gt;
|-
| qu’ily, ly || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eye'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eye'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èsse'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-e'''&lt;/span&gt;
|-
| que no || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ens'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ens'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ans'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ans'''&lt;/span&gt;
|-
| que vo || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;is'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-is'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-ant'''&lt;/span&gt;
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''imparfait''
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;o'''&lt;/span&gt;
|-
| que tè || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;es'''&lt;/span&gt;
|-
| qu’ily,ly || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;e'''&lt;/span&gt;
|-
| que no || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issams'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issams'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issams'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issams'''&lt;/span&gt;
|-
| que vo || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-éss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issâs'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issâs'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'i || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-èss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;issant'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-issant'''&lt;/span&gt;
|}

[[Fichier:Wappen Neuenburg matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Neuchâtel|neuchâtelois :]]

[[Fichier:Wappen Wallis matt.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Valais|valaisan :]]

[[Fichier:Wappen Waadt matt.svg|14px]] [[Arpitan/Vaud|vaudois :]]

[[Fichier:Armoiries Aoste.svg|14px]] ‎[[Arpitan/Val d'Aost|valdoten :]]

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|  || Ia : '''chantar''' || Ib : '''mangier''' || IIa : '''finir''' || IIb : '''uvrir''' || IIIa : '''devêr''' || IIIb : '''vendre'''
|-
| ! colspan=&quot;7&quot; | ''présent''
|-
| que de || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyo'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;eyo'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyo'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyo'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyo'''&lt;/span&gt;
|-
| que te || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyes'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;eyes'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyes'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyes'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eyes'''&lt;/span&gt;
|-
| qu'èl, l', o || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eye'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;eye'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eye'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eye'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-eye'''&lt;/span&gt;
|-
| que no || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ons'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;?&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;'''-iss&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ons'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ons'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ons'''&lt;/span&gt; || &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''-ey&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:darkviolet;&quot;&gt;ons'''&lt;/span&gt;
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  | idfaculté = biologie
  | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]]
}}
{{Hypothèse
 | titre  = Pétrole prébiotique
 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]]
 | image  = {{idfaculté/logo/biologie}}
}}
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size: 180%; border: &quot;&gt;'''Initialisation du métabolisme dans le pétrole prébiotique'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
----
'''Résumé'''&lt;br /&gt; Le présent travail (théorique et bibliographique) porte sur l'origine géochimique de la vie. 
Il part du postulat suivant:&lt;br /&gt;&quot;''La classe des molécules les plus complexes du vivant qui puissent avoir une origine géochimique et abiotique est la classe des acides gras à longue chaîne aliphatique''&quot;.&lt;br /&gt; Il a plusieurs origines : la polémique sur la [[w:Théorie du pétrole abiotique|Théorie du pétrole abiotique]] et sur le pétrole [[w:Abiotique|abiotique]] pour l’industrie, mais aussi de premières mesures d'hydrocarbures abiotiques faites au niveau des dorsales médio-océaniques ( Charlou J.L. et al. 2002, Proskurowski G. et al. 2008 )&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. 

'''Question scientifique''' : Peut-on construire une expérimentation susceptible d'éclairer l’[[w:Origine de la vie|origine de la vie]] sur terre, en testant l’idée que la [[w:soupe prébiotique|soupe prébiotique]], ou un «'' pétrole prébiotique'' », serait issue de la [[w:Diagenèse|diagénèse]] du mélange ''clathrates de gaz/sédiments''. 
&lt;br /&gt;En effet, les gaz [[w:Dihydrogène|H2]], [[w:Sulfure d'hydrogène|H2S]] [[w:Diazote|N2]] [[w:dioxyde de carbone|CO2]] [[w:Méthane|CH4]], sont produits au niveau des dorsales océaniques, et à grande échelle sur le [[w:Plancher océanique|plancher océanique]], par la [[w:serpentinisation|serpentinisation]]. Les sédiments pourraient contenir des [[w:hydrogénophosphate|hydrogénophosphates]] faisant office de source de [[w:phosphate|phosphates]], ainsi que les minéraux nécessaires à la [[w:Catalyse|catalyse surfacique]]. Les conditions extrêmes dans lesquelles vivent certains [[w:procaryote|procaryotes]] et les pressions et températures des gisements sous-marins de pétrole fossile sont proches ([[w:pression hydrostatique|pression hydrostatique]] aux environ de 1,5 kbar et température inférieure à {{Unité|150|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}).

Cette expérimentation est possible de nos jours, car ces conditions sont par exemple déjà rencontrées :
* lors des recherches et de l'exploration du pétrole et gaz fossiles profond ;
* dans le domaine de la chimie organique dit &quot;''[[w:Chimie verte|chimie verte]]''&quot; où les températures restent basses mais où la pression peut atteindre les 10 kbars (Eldik R.V. et al. 2008)&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;.
* pour certaines études sur la biologie des procaryotes vivant dans le pétrole fossile (et d'un intérêt industriel). 

Cette expérimentation peut aussi profiter de la recherche sur l'origine ''a priori'' abiotique de CH4 sur [[w:mars (planète)|Mars]] et des hydrocarbures détectés sur [[w:titan (lune)|Titan]].

Dans ce cadre, l'étape suivante pour la recherche théorique de l'origine de la vie est la synthèse abiotique de [[w:Liposome|liposomes]]. Elle nécessite une synthèse abiotique de [[w:Glycérol|glycérol]] et d'un [[w:acide aminé|Acide aminé]], l'éthanol-amine (ou [[w:Sérine|sérine]]) à estérifier au phosphate et à l'acide gras. 
La recherche sur la synthèse abiotique de ces molécules a déjà montré que celle de la sérine, de l'éthanol-amine et celle des 1ères étapes de la [[w:réaction de formose|réaction de formose]] ([[w:Glyceraldéhyde|Glyceraldéhyde]], [[w:glycolaldéhyde|glycolaldéhyde]] et [[w:dihydroxyacétone|dihydroxyacétone]]) sont tout à fait possibles dans une soupe prébiotique issue de la diagénèse des clathrates de gaz, surtout grâce à la présence de H2. 
Par contre les synthèses du glycérol en laboratoire et en industrie sont si drastiques et complexes qu’il est ici proposé pour l'initialisation du métabolisme dans les vésicules d'acides gras, une hydrogénation par H2 du Glycéraldéhyde-P ou de la DHA-P (dihydroxyacétone-phosphate) en glycérol-3P après estérification sur l'acide gras, hydrogénation facilitée par le pouvoir catalytique de la surface multi-anionique de ces vésicules.&lt;br /&gt; Cette idée, je l'ai approfondie dans l’article &quot;chiralité prébiotique&quot; où je montre que la cohésion mécanique du liposome est à l'origine de l’[[w:homochiralité|homochiralité]] des sucres et des acides aminés et qu'elle accélère l'initialisation du métabolisme. Dans cet article j’ai ébauché d'une dizaines d'étapes dans l'évolution du métabolisme prébiotique.&lt;br /&gt; Par ailleurs j’ai ébauché (dans un 3{{e}} article , &quot;''chimio-osmose prébiotique''&quot;) la mise en place de [[w:Canal ionique|canaux ioniques]] indispensables à la communication du liposome avec son environnement. L'initialisation des canaux ioniques se base sur la nature [[w:Zwitterion|zwitterionique]] des phospholipides, sur la cohésion mécanique du liposome et sur le [[w:Potentiel électrique|potentiel électrique]] à travers la bicouche. Ce dernier serait à l'origine de la chimio-osmose prébiotique, moteur de la continuité de l’[[w:évolution moléculaire|évolution moléculaire]].&lt;br /&gt; Cet article-ci, sur le pétrole prébiotique, est à la base de tous ces travaux.&lt;br /&gt; 

: Voir dans l’article pour des références détaillées.
:::Publication des articles dans Wikiversity:
:::https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Pétrole_prébiotique 
:::https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Chimio-osmose_prébiotique
:::https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Chiralité_prébiotique.

'''Note''' du 14.03.2015: Cet article fait partie de la synthèse de mes travaux jusqu'en 2014, synthèse publiée dans Prebiotic Petroleum; Mekki-Berrada Ali, Origins of Life and Evolution of Biospheres, mars 2015, DOI 10.1007/s11084-015-9416-7&lt;ref&gt;Prebiotic Petroleum; Mekki-Berrada Ali, [http://link.springer.com/article/10.1007/s11084-015-9416-7?sa_campaign=email/event/articleAuthor/onlineFirst Origins of Life and Evolution of Biospheres], mars 2015, DOI 10.1007/s11084-015-9416-7.&lt;/ref&gt;

== Introduction ==
   Ce travail se veut une recherche théorique sur l'évolution moléculaire qui se produirait dans le pétrole abiotique et qui pourrait aboutir à l'émergence de la vie. Une poche de pétrole abiotique analogue à celle du pétrole fossile constitue un environnement idéal pour l'étude de l'origine de la vie. C'est un milieu fermé, stable, riche en molécules organiques et en catalyseurs minéraux, évoluant et remontant à un rythme géologique des profondeurs de la croûte terrestre à la surface. En passant progressivement des conditions physico-chimiques extrêmes des profondeurs à celles de la surface, compatibles avec la vie, toute évolution moléculaire qu'on puisse imaginer y est possible.&lt;br /&gt; 
   Le pétrole synthétique, pourrait être utilisé dans une expérimentation abiotique. Mais il est synthétisé par le procédé industriel de [[w:en:Fischer–Tropsch_process|Fischer-Tropsch]] à partir du gaz de synthèse, CO+H2, lui-même synthétisé soit du coke (C+H2O) soit du gaz naturel(CH4+H2O) tous deux d'origine fossile. Pour arriver à un pétrole abiotique, analogue au pétrole fossile, il faudrait que sa synthèse se fasse en présence des éléments N P S, avec des molécules d'origine abiotique, en profondeur dans la croûte et qu’il remonte imbibé dans une roche poreuse exempte de toute molécule d'origine biogénique.&lt;br /&gt;
   Avant d'étudier l'initialisation du métabolisme dans ce contexte, nous allons établir l'état des connaissances sur les processus géochimiques produisant du pétrole abiotique accompagné des éléments N P S sous forme abiotique aussi.

== État de la recherche sur la poche de pétrole prébiotique  ==
   Ce sera plutôt l'état de la recherche sur les éléments de la poche qui la composeraient. Car aucun travail n'a été fait jusqu'à maintenant à son sujet. Ces éléments sont les hydrocarbures et l'eau (H C O), le phosphate libre (P) et l'ion ammonium(N). Nous n'étudierons pas le soufre (S) spécialement, car ses espèces moléculaires qui interviennent dans le vivant, sulfures, sulfates et l'élément S lui-même sont omniprésents dans la lithosphère et l'hydrosphère.&lt;br /&gt;
   Pour l'azote, NH4+ est l'espèce la plus présente en profondeur, aux hautes pressions et aux hautes températures, car dans les minéraux il remplace l'ion potassium K+. Au contraire, en surface et aux pressions et températures de la poche de pétrole fossile, ce sont les nitrates qui représentent l'azote, car l'ammonium est utilisé directement par les bactéries. Le diazote N2 dissout dans les eaux interstitielles à {{unité|11|ppm}}, peut être réduit en NH4+ en présence de H2 dans les fluides hydrothermaux ce qui n’est pas le cas en surface et dans la poche de pétrole fossile.
=== Sur le terrain  ===
==== Le phosphate ====
* Le phosphore est présent à {{unité|700|ppm}} molaire( [http://www.periodni.com/fr/p.html {{unité|1050|ppm}}] massique) dans la croûte terrestre sous forme, la plupart du temps, d'ions phosphates intégrés dans les apatites insolubles. Il est présent à {{unité|0.04|ppm}} molaire (2µmol/kg, Broecker &amp; Peng&lt;ref name=&quot;peng&quot;/&gt; 1982) dans l'eau des océans sous forme de phosphates libres.
* Aux températures généralement atteintes dans les magmas, 1000-{{Unité|1400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, une fraction des ions phosphates dans le liquide magmatique se polymérise pour former des polyphosphates. Yamagata&lt;ref name=&quot;yamagata&quot;&gt;Yamagata, Y., Watanabe, H., Saitoh, M. &amp; Namba, T. (1991). Volcanic production of polyphosphates and its relevance to chemical evolution. Nature 352, 516-519.&lt;/ref&gt; et al. (1991) a démontré que des polyphosphates sont présents dans les solutions hydrothermales à une concentration de l’ordre du micromolaire. &lt;br /&gt;
* D'après Arrhenius&lt;ref name=&quot;arrhe&quot;&gt;G. Arrhenius, B. Sales, S. Mojzsis and T. Lee : Entropy and Charge in Molecular Evolution-the Case of Phosphate Journal of Theoretical Biology Volume 187, Issue 4, 21 August 1997, Pages 503-522&lt;/ref&gt; et al. (1997), dans l'eau de mer (Mg/Ca ~ 5 et pH &lt; 8.5 ) les phosphates provenant du lessivage des terres émergées, précipitent sous forme d'un solide amorphe d'hydrogénophosphates de Ca et de Mg ( [http://webmineral.com/data/Brushite.shtml brushite], CaHPO4.2H2O et [http://webmineral.com/data/Newberyite.shtml newberyite], MgHPO4.3H2O). &lt;br /&gt;
:Ce solide cristallise en [http://webmineral.com/data/Whitlockite.shtml whitlockite], HMgCa9(PO4)7, capable de donner des oligo-phosphates dans les conditions de température et de pression du métamorphisme de contact ou de celles des sources hydrothermales de surface. D'après Arrhenius&lt;ref name=&quot;arrhe&quot;/&gt;, aujourd'hui, les êtres vivants utilisent les hydrogénophosphates et les transforment en apatites. Et aux origines de la vie, les oligophosphates seraient très disponibles.
* On trouve la [[w:en:Whitlockite|whitlockite]] comme minéral secondaire dans les pegmatites granitiques et en abondance dans les environnements extraterrestres : les météorites, sur la Lune et sur Mars.

==== L'ammonium ====
* L'azote est présent à {{unité|35|ppm}} massique({{unité|50|ppm}} molaire) dans la croûte terrestre sous forme d'ions ammonium remplaçant les ions potassium dans les roches ignées (Hall&lt;ref&gt;A. Hall : Ammonium in granites and its petrogenetic significance . Earth-Science Reviews Volume 45, Issues 3-4, March 1999, Pages 145-165&lt;/ref&gt; 1999, Stevenson&lt;ref&gt;F.J.Stevenson :Chemical state of the nitrogen in rocks . Geochimica et Cosmochimica Acta, 1962, vol. 26, pp. 797-809&lt;/ref&gt; et al. 1962) .
:D'après Hall la majorité de cet ammonium est d'origine sédimentaire, mais une partie est d'origine magmatique. L'origine sédimentaire est incorporée majoritairement par altération hydrothermale, le reste par métamorphisme de contact. L'ammonium des roches ignées peut être extrait par pyrolyse sous vide à {{Unité|1000|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} sous la pression standard (Hall&lt;ref&gt;Stuart R. Boyd, Anthony Hall and C.T. Pillinger : The measurement of δ15N in crustal rocks by static vacuum mass spectrometry: Application to the origin of the ammonium in the Cornubian batholith, southwest England. Geochimica et Cosmochimica Acta Volume 57, Issue 6, March 1993, Pages 1339-1347&lt;/ref&gt; et al. 1993). Ce qui correspond peut-être aux conditions du manteau supérieur.
* Les nitrates, très rares, sont représentés par les évaporites en surface. Les nitrates dissous ne représentent que {{unité|0.6|ppm}} molaire ({{Unité|30|µmol||l|-1}}, Broecker &amp; Peng&lt;ref name=&quot;peng&quot;/&gt; 1982) dans les océans.
* Dans l'eau de mer et les eaux interstitielles le diazote est la forme prédominante avec {{unité|11|ppm}} molaire ({{Unité|590|µmol||l|-1}}, Broecker &amp; Peng&lt;ref name=&quot;peng&quot;&gt;Broecker, W.S., and Peng, T.-H., 1982. Tracers in the Sea: Palisades, NY (Lamont-Doherty Geological Observatory).&lt;/ref&gt; 1982 ); le diazote peut être réduit en NH3 par H2 des fluides hydrothermaux.

==== Le pétrole abiotique  ====
C'est essentiellement le processus de serpentisation qui a été étudié sur le terrain, pour la recherche du pétrole abiotique. Et notamment au niveau des dorsales océaniques et aux premiers kilomètres de profondeur des zones de subduction.
* Dorsales océaniques.&lt;br /&gt;
:Les dorsales océaniques s'étalent sur {{Unité|60000|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} et sont parsemées régulièrement de sources hydrothermales qui produisent sur de longues durées H2S, CH4, H2, N2 et CO2. Ces 5 gaz sont refroidis brusquement à {{Unité|2|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, la température des fonds marins, à la sortie des sources et se retrouvent sur le plancher océanique, sous des pressions de 100 à 400 bars et plus, où ils peuvent former des clathrates de gaz. En s'éloignant de l'axe des dorsales, ils seront recouverts petit à petit de sédiments contenant les hydrogénates de phosphate qu'on a vu ci-dessus. &lt;br /&gt;
:Voici en condensé, les résultats des campagnes de mesures faites dans 7 sources hydrothermales de l'Atlantique, d’après Charlou&lt;ref name=&quot;charlou&quot;/&gt; et al. (2002), table 1.&lt;br /&gt;
:&lt;span style=&quot;font-size:1.2em&quot;&gt;Tableau 1. Les gaz produits sur les dorsales atlantiques.&lt;/span&gt;
:{| class=&quot;wikitable&quot;
! Gaz &lt;br /&gt;mmol/kg||nombre &lt;br /&gt;de sites||intervalle ||Eau de mer
|-
||CO2 ||6 ||5.2 - 28 ||2.30 
|- 
||N2 ||6 ||.9 - 3 ||.59 
|- 
||H2S ||7 ||.5 - 11 ||0 
|- 
||CH4 ||7 ||.023 - 2.63 ||.0003 
|- 
||H2 ||7 ||.020 - 16 ||.0004 
|- 
||δ13C CH4 &lt;br /&gt;en ‰ ||6 ||-8 . -19,6 ||- 
|}

:Au site Rainbow (Charlou&lt;ref name=&quot;charlou&quot;&gt;Charlou J.L., Donval J.P., Fouquet Y., Jean-Baptiste P., Holm N., « Geochemistry of high H2 and CH4 vent fluids issuing from ultramafic rocks at the Rainbow hydrothermal field », Chemical Geology, vol. 191, 2002, p. 345-359.&lt;/ref&gt; et al. 2002, table 3) les mesures ont été faites en 1997, 1998, 1999 et 2001. Elles ne varient guère . &lt;br /&gt;
:Par ailleurs la mesure du fractionnement isotopique du 13C pour CH4 (δ13C) laisse penser à une origine abiotique. Le méthane serait synthétisé par le processus [[w:en:Fischer–Tropsch_process|Fischer-Tropsch]] . &lt;br /&gt;
:L'origine abiotique du méthane a été étudiée plus en détail par Proskurowski&lt;ref name=&quot;prosk&quot;&gt;Giora Proskurowski, Marvin D. Lilley, Jeffery S. Seewald, Gretchen L. Früh-Green, Eric J. Olson, 1 John E. Lupton, Sean P. Sylva, Deborah S. Kelley: Abiogenic Hydrocarbon Production at Lost City Hydrothermal Field . Science vol 319, 1 février 2008 ;&lt;/ref&gt; et al. (2008), en montrant l’augmentation du δ13C pour C2H6 et C3H8 avec le nombre de carbones, conforme à la théorie du fractionnement abiotique.
* Zones de subduction
:Au contact des 2 plaques en subduction, les processus géochimiques sont multiples et complexes, dus aux forces gigantesques mises en jeu, sans commune mesure avec ce qui se passe sur les dorsales océaniques. Au niveau du plancher des fosses océaniques les pressions peuvent atteindre le kbar et la température n'est que de {{Unité|2|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. &lt;br /&gt;
:Aux premiers km de profondeur, le long de la surface de contact de subduction, ce sont donc des processus à basse température et haute pression qui sont en action. Le faciès [[w:Schiste_bleu|schiste-bleu]] se situe ainsi à 15-{{Unité|18|km}} de profondeur avec des pressions supérieures à 6 kbar et des températures entre 200 et {{Unité|500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Les roches ultramafiques vont se métamorphoser en lizardites, qui sont des [[w:en:Serpentinite|serpentinites]]. D'après la synthèse sur les serpentinites faite par B.W. Evans&lt;ref name=&quot;evans&quot;&gt;Bernard W. Evans : The Serpentinite Multisystem Revisited: Chrysotile is Metastable . International Geology Review, Vol. 46, 2004, p. 479–506 .&lt;/ref&gt; (2004), la serpentinisation peut se produire entre 50 et {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} de température et dans une large gamme de pression, de 0.1 kbar à 10 kbar (figure 5&lt;ref name=&quot;evans&quot;/&gt;), pour donner de la [http://webmineral.com/data/Chrysotile.shtml chrysotile] ( Mg3Si2O5(OH)4 ) et de la [http://webmineral.com/data/Lizardite.shtml lizardite] ( Mg3Si2O5(OH)4 ) avec production de H2 et de magnétite. &lt;br /&gt;
:Au-delà de {{Unité|18|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} de profondeur, la serpentinisation des roches ultramafiques donnera de l'[http://webmineral.com/data/Antigorite.shtml antigorite] ( (Mg, Fe++)3Si2O5(OH)4 ) sans production de H2 ni de magnétite à une température entre 400 et {{Unité|600|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} (Evans&lt;ref name=&quot;evans2&quot;&gt;Bernard W. Evans : Lizardite versus antigorite serpentinite: Magnetite, hydrogen, and life(?) . Geology, October 2010 v. 38; no. 10; p. 879–882; doi: 10.1130/G31158.1 &lt;/ref&gt; 2010). &lt;br /&gt;
:Pour les zones de subduction, ce sont là les seuls résultats qu'on puissent déduire indirectement, de l'étude des roches et des anomalies magnétiques et sismiques au niveau de la zone avant de l'arc volcanique. &lt;br /&gt;
:Sinon de nombreux phénomènes en surface laissent penser qu’il y aurait production d'hydrocarbures, mais dont on ne sait pas, jusqu'à maintenant, s'ils sont de nature fossile ou abiotique. Ce sont :
:# Les volcans de boue à l'avant de l'arc, qui émettent beaucoup de méthane.
:# Les hydrates de gaz repérés par de nouvelles techniques tout le long des zones de subduction, d'une longueur équivalente aux dorsales océaniques. Ces gisements ne sont pas encore exploités.
:# Les gaz de schiste et les schistes bitumeux, roches issues des zones de métamorphisme.
:# Les gaz volcaniques qui comprennent CH4, H2 et NH3.&lt;br /&gt;
:Il ne faut pas oublier aussi la forte circulation hydrothermale vers le haut, produite par la vaporisation de l'eau et des gaz qui imbibent la croûte océanique en subduction. Ces fluides hydrothermaux transportent notamment des ions NH4+ qui remplacent les ions K+ dans les roches métamorphiques comme on l'a vu précédemment, ainsi que du phosphate libre (Yamagata Y. et al. 1991)&lt;ref name=&quot;yamagata&quot;/&gt;.

=== En laboratoire  ===
   Les expérimentations abiotiques en laboratoire sont beaucoup plus nombreuses et variées que les mesures sur le terrain, et elles concernent les 3 molécules clés que sont le méthane, l'ammoniac et le phosphate. Le rapprochement de la synthèse de CH4 et NH4+ dans le tableau 2, est justifié du fait que ces molécules et les molécules qui leur donnent naissance, c'est-à-dire H2, CO2 et N2 se retrouvent toujours ensemble dans les fluides hydrothermaux. Et cette situation est tout à fait adéquate pour la formation de poche de pétrole abiotique contenant les éléments N P S.&lt;br /&gt;
   Les expériences rapportées au tableau 2, n'ont pas été faites toutes dans le même esprit, ni dans l'objectif de la poche de pétrole abiotique. Cependant les résultats sont compatibles avec la formation d'une poche abiotique. Les principaux enseignements qu'on peut en tirer sont :
:# Ces processus se produisent dans une gamme de températures étroite, autour de {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} ;
:# La pression peut varier beaucoup pour un même processus, jusqu'à 2 ordres de grandeurs, mais reste inférieure à 10 kbar pour tous les processus.
:# L'état supercritique des expériences hydrothermales permettent de les mettre en parallèle avec les procédés industriels en phase gazeuse et à faible pression. J’ai ajouté le vaporeformage car il peut se produire en subduction, comme l'attestent les gaz volcaniques des arcs de subduction.
:# Les catalyseurs utilisés, notamment le fer, son oxyde et le nickel, sont abondants dans la lithosphère.
:# Il faut noter l'importance des surfaces minérales dans les procédés industriels. Il est primordial que les expériences pour l'objectif « poche abiotiques » soient faites dans des roches poreuses adéquates.
:# Les expériences hydrothermales sont motivées par l'hypothèse que l'origine de la vie s'est produite (ou se produit) au niveau des dorsales océaniques. Or il est évident que la trempe immédiate de H2, CO2 et N2, dans l'eau froide du plancher ne devrait pas du tout favoriser les processus de type [[w:en:Fischer–Tropsch_process|Fischer-Tropsch]] et la réduction du N2 par les processus de type [[w:fr:Procédé_Haber|Haber-Bosch]]. Mais les résultats sont intéressants car les expériences sont faites à haute pression et haute température qui sont les conditions des zones de subduction. De même c’est intéressant pour les processus se déroulant dans les hydrates de gaz, qu'on a vu précédemment, quand ils seront recouverts de quelques km de sédiments tout en subissant la chaleur du plancher qui se refroidit.
:# McCollom&lt;ref name=&quot;collom&quot;&gt;T.M.McCollom et al. 2006:Carbon isotope composition of organic compounds produced by abiotic synthesis under hydrothermal conditions. Earth and Planetary Science Letters Volume 243, Issues 1-2, 15 March 2006, Pages 74-84&lt;/ref&gt; a pu démontrer, ligne e.j du tableau, que la discrimination entre biotique et abiotique sur la base du fractionnement des carbones 12 et 13 n'était pas valable pour le méthane. C'est pour ça que pour démontrer la nature abiotique des hydrocarbures au niveau des dorsales, Proskurowski&lt;ref name=&quot;prosk&quot;/&gt; a dû le faire pour les chaines d'hydrocarbures supérieures. Cette remarque a une grande importance pour la suite, car si l'origine de la vie s'était faite dans le pétrole abiotique, alors les êtres issus de ce pétrole auraient pu transformer, ou seulement enrichir, avec leurs membranes, les hydrocarbures abiotiques en hydrocarbures biotiques. De là serait l'origine biotique des pétroles dits fossiles.
:# Ces expériences doivent être refaites dans l'hypothèse de la poche de pétrole abiotique et notamment pour les phosphates, aux mêmes pressions que les autres expériences.
::&lt;span style=&quot;font-size:1.2em&quot;&gt;Tableau 2. Les processus abiotiques&lt;/span&gt;
:{| class=&quot;wikitable&quot;
! Processus || réactions || Produits || Température {{Abréviation|°C|degré Celsius}} || Pression bar 
|-
||'''a''' Vaporeformage || CH4+H2O || CO H2 || 700-1100 || 1 
|-
||'''b''' Serpentinisation dorsales, plancher || FeO+H2O || H2 N2 CH4 CO2 || 50-300 || 100-10000 
|-
||'''c''' Serpentinisation subduction 15km || FeO+H2O || H2 (N2 CH4 CO2 ?) || 200-500 || 6000 
|-
||'''d''' Fischer-Tropsch gaz || CO+H2 || Pétrole dont acides gras || 220-350 || 25-45 
|-
||'''e, j''' Fischer-Tropsch hydrothermal || CO2+H2 || Pétrole dont acides gras || 250 || 325 
|-
||'''f''' Haber-Bosch gaz || N2+H2 || NH3 || 500-600 || 200-300 
|-
||'''g''' Haber-Bosch hydrothermal || N2+H2 || NH3 || 700 || 1000 
|-
||'''h''' Haber-Bosch hydrothermal || N2+H2 || NH3 || 200 || 55 
|-
||'''i''' Arrhenius chauffage || MgHOPO3+H2O || OH(H2PO3)nH || 100-500 || 1 
|} 
:'''a'''. [[w:en: Steam_reforming#Industrial_reforming|Vaporeformage]] :
::CH4 + H2O = CO + H2; 	
::T= 800-{{Unité|900|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 25 bars, catalyseur: Ni, CuO, Zn, surfaces minérales.
* [[w:en: Serpentinite#Serpentinite_reactions| Serpentinisation]]
::(Mg, Fe)SiO4 + H2O = Mg3Si2O5(OH)4 + Mg(OH)2 + Fe3O4 + H2 , 	ou bien
::olivine + eau = serpentine + brucite + magnétite + hydrogène	et se résume à
::2(FeO)roche + H2O = (Fe2O3)roche + H2
:'''b'''. Serpentinisation aux dorsales et plancher océaniques
::Reproduction de la serpentinisation en laboratoire et modélisation :
::McCollom&lt;ref&gt;T.M.McCollom et al. 2009:Thermodynamic constraints on hydrogen generation during serpentinization of ultramafic rocks. Geochimica et Cosmochimica Acta 73 (2009) 856–875&lt;/ref&gt; 2009, modélisation ; 
::B.W. Evans&lt;ref name=&quot;evans2&quot;/&gt; 2010, expérimentation. 
::Température de 50 à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, Pression de 100 bars à plusieurs kbar.
::Holm&lt;ref&gt;N.G. Holm et al. 2006: Alkaline fluid circulation in ultramafic rocks and formation of nucleotide constituents: a hypothesis . Geochemical Transactions 2006, 7:7 doi:10.1186/1467-4866-7-7 .&lt;/ref&gt; 2006 : considère que sur le plancher la serpentinisation se fait de façon continue à des températures autour de {{Unité|150|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}.
:'''c'''. Serpentinisation en subduction à 15km de profondeur
::Evans&lt;ref name=&quot;evans&quot;/&gt; (2004).
::Température de 50 à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 	Pression de 6 kbar.
* Processus [[w:en:Fischer–Tropsch_process|Fischer-Tropsch]] 
::'''(2n+1)H2 + nCO = CnH(2n+1)-X + nH2O''' &lt;br /&gt;
:: X = H, chaînes aliphatiques dont méthane, éthane...&lt;br /&gt;
:: X = OH, alcools dont méthanol, éthanol et alcools en alpha et à longue chaîne aliphatique ....&lt;br /&gt;
:: X = CO2H, acides carboxyliques dont formique, acétique et les acides gras à longue chaîne aliphatique ....&lt;br /&gt;
:: X = CHO, aldéhydes dont formaldéhyde, acétaldéhyde et les aldéhydes à longue chaîne aliphatique....&lt;br /&gt;
:: X = CH=CH2, oléfines dont acétylène et propylène et oléfines à longue chaîne aliphatique...
:'''d'''. Procédé industriel phase gaz : Kreutz&lt;ref&gt;Thomas G. Kreutz, Eric D. Larson, Guangjian Liu, Robert H. Williams : Fischer-Tropsch Fuels from Coal and Biomass . 25th Annual International Pittsburgh Coal Conference 29 September–2 October, 2008 Pittsburgh, Pennsylvania, {{Abréviation|USA|United States of America}}. [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?rep=rep1&amp;type=pdf&amp;doi=10.1.1.208.3300 PDF] &lt;/ref&gt; et al. 2008 
::T= 220-{{Unité|350|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 25-45 bars; catalyseur: Fe, surfaces minérales.
:'''e'''. Conditions hydrothermales, McCollom&lt;ref name=&quot;collom2&quot;&gt;T.M.McCollom et al. 1999: Lipid synthesis under hydrothermal conditions by fischer-tropsch-type reactions . Origins of Life and Evolution of the Biosphere 29: 153–166, 1999 .&lt;/ref&gt; 1999:
::T= {{Unité|175|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 325 bars; catalyseur: montmorillonite + alumine.
:'''j'''. Fractionnement isotopique, McCollom&lt;ref name=&quot;collom&quot;/&gt; 2006: 
::Démonstration du fractionnement non discriminant des isotopes 12 et 13 du carbone, processus Fischer-Tropsch en conditions hydrothermales, T= {{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 325 bars; catalyseur: Fe.
* Processus Haber-Bosch.
:: N2 + 3 H2 = 2 NH3 
:'''f'''. Procédé industriel phase gaz [[w:Procédé_Haber|Haber-Bosch]]: 
::T= 500-{{Unité|600|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 200-300 bars, catalyseur Fe, surfaces minérales. 
:'''g'''. Conditions hydrothermales, Brandes&lt;ref&gt;J.A.Brandes et al.1998: Abiotic nitrogen reduction on the early Earth. Nature vol 395 24 september 1998 .&lt;/ref&gt; 1998: 
::T= 300-{{Unité|800|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 1000 bars, catalyseur Fe : pour un rapport H2O/Fe = .5, production de 17% de NH3 à {{Unité|700|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}
::T= {{Unité|500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 1000 bars, catalyseur Fe3O4 dans HCO2H : production de 0.6% de NH3.
:'''h'''. Conditions hydrothermales, Smirnov&lt;ref&gt;A. Smirnov :Abiotic ammonium formation in the presence of Ni-Fe metals and alloys and its implications for the Hadean nitrogen cycle. Geochemical Transactions 2008, 9:5 doi:10.1186/1467-4866-9-5;&lt;/ref&gt; 2008: 
::T= {{Unité|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, P= 55 bars, catalyseur Fe.
:'''i'''. Production des polyphosphates et leur concentration par les surfaces minérales.
::Arrhenius&lt;ref name=&quot;arrhe&quot;/&gt; 1997: 
::Newbeyrite, Mg(OHPO3).3H2O donne des oligo-phosphate jusqu'à 9 phosphates. Pression 1 bar, chauffage de 100 à {{Unité|550|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}
::de même avec brushite, Ca(OHPO3).2H2O et withlockite, HMgCa9(PO4)7.
* ''Note sur le procédé FTT''.&lt;br /&gt;
Pour illustrer la variété des produits du procédé FTT voici le lien vers les archives américaines recueillies en Europe à la fin de la 2{{e}} guerre mondiale qui détaillent les divers procédés utilisés et les divers produits obtenus ainsi que leurs concentrations.&lt;br /&gt;
Il est rare de trouver dans la littérature des oléfines produites par FTT et dont la double liaison se trouve au milieu de la chaîne. Les archives américaines ci-dessus mentionnent ces oléfines en expliquant que le catalyseur, Fe(CO)5, isomériserait les alpha-oléfines en déplaçant la double liaison jusqu'au milieu de la chaîne. Les concentrations diminuent avec l'éloignement de la position de la double liaison par rapport au carbone alpha.&lt;br /&gt;
Pour les archives américaines il faut partir de wikipédia dans &quot;[[w: Essence_synthétique|essence synthétique ]]&quot;, puis cliquer l'archive du paragraphe &quot;Notes et références&quot; pour ne pas perdre ce lien. Dans le [http://www.fischer-tropsch.org/ site américain] naviguer ainsi:&lt;small&gt;'' Government Reports (dans Primary Documents); U.S. Naval Technical Mission In Europe; Technical Report No.248-45 The Synthesis Of Hydrocarbons And Chemicals From CO And H2; olefines (page 81).''&lt;/small&gt;

== Hypothèses de travail pour une poche de pétrole prébiotique  ==
   Étant donné la profusion de H2 produit par la lithosphère : dorsales océaniques, zones de subduction et même dans les eaux interstitielles des roches sous le plancher océanique, on est obligé de tenir compte, dans la quête de l'origine de la vie, du méthane et du pétrole abiotiques qui pourraient être produits à partir de H2 et du CO2 de la serpentinisation. &lt;br /&gt;
   On peut considérer ainsi 3 types de méthane dans la lithosphère suivant leur origine :
:# '''Le méthane issu de la serpentinisation''' : il apparait à des pressions inférieures à 10 kbar et une température inférieure à {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, en profondeur. Les clathrates de gaz repérés dans les zones de subduction en contiendraient.
:# '''Le méthane biogénique''' : Il est produit en condition anoxique, principalement dans les sédiments et les zones humides par des procaryotes méthanogènes, à partir de la biomasse (feu follet, clathrates des marais, lacs, rizières, estuaires et leurs bouchons vaseux, permafrost et plateaux continentaux des océans).
:# '''Le méthane abiotique produit au niveau du manteau supérieur''' : il est issu de carbonates et d'eau à des pressions supérieures à 50 kbar et à une température autour de {{Unité|1500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Ce méthane n'a été produit qu'en laboratoire seulement (H.P Scott&lt;ref&gt;Henry P.Scott, Russell J.Hemley, Ho-kwang Mao, Dudley R.Herschbach, Laurence E.Fried, W.Michael Howard, and Sorin Bastea: Generation of methane in the Earth’s mantle: In situ high pressure–temperature measurements of carbonate reduction : PNAS September 28, 2004 vol. 101 no. 39 14023-14026&lt;/ref&gt; et al., J.F Kenney&lt;ref&gt;. F. Kenney, Vladimir A. Kutcherov, Nikolai A. Bendeliani, and Vladimir A. Alekseev. The evolution of multicomponent systems at high pressures: VI. The thermodynamic stability of the hydrogen–carbon system: The genesis of hydrocarbons and the origin of petroleum. PNAS August 20, 2002, vol. 99 no. 17, 10976-10981&lt;/ref&gt; et al.). On n'a pas pu, jusqu'à maintenant, démontrer son existence dans l'environnement terrestre ; il est supposé se transformer en partie en pétrole et remonter par les failles ou le long des plaques de subduction.&lt;br /&gt;
   Le méthane des grandes profondeurs (le type 3) ne sera pas abordé ici, car il concerne la polémique du pétrole abiotique dans le contexte de la production industrielle. 

=== Pétrole issu de la serpentinisation  ===
   Qu'en est-il du pétrole produit par le processus [[w:en:Fischer–Tropsch_process|FTT]] en même temps que la serpentinisation? Au niveau des dorsales, il n'est produit qu’à l'état de traces alors que le rapport H2/CH4 peut-être très élevé (tableau1). Que devient cet hydrogène s'il n’est pas utilisé pour la synthèse du pétrole? 
==== Sur les flancs des dorsales océaniques:  ====
===== Diagénèse des clathrates de gaz. =====
   Une hypothèse émise par les spécialistes des dorsales, dont J.L Charlou&lt;ref&gt;[http://www.ifremer.fr/serpentine/fiches/fiche8.htm Ifremer] : Serpentinisation et synthèse inorganique d'hydrogène, méthane et hydrocarbures le long de la dorsale médio Atlantique&lt;/ref&gt;, serait la formation d'hydrates de gaz de méthane piégés dans les sédiments sur les flancs des dorsales. Ce méthane serait produit directement par serpentinisation grâce à une convection hydrothermale à travers la croûte fracturée. 
Développons un peu cette hypothèse.&lt;br /&gt;
   D'abord la serpentinisation ne produit pas de méthane, mais produit H2 et produit ou concentre CO2 et N2. 
La production de méthane se ferait ensuite, par le processus FTT. La serpentinisation se déroule entre 50 et {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et à des pressions allant jusqu'à 10 kbar. Les gaz produits par les flancs s'ajoutent à ceux déjà produits par la dorsale. Sur les flancs, loin de l'axe, les fractures sont moins profondes et la température est plus basse, et la pression augmente avec la profondeur. Cette situation permet la production de H2 à une température modérée et favorise la formation des clathrates. La production de méthane par FTT risque de diminuer plus rapidement que la serpentinisation, car elle doit se faire à une température plus élevée (voir McCollom&lt;ref name=&quot;collom2&quot;/&gt; ). Cependant plus on s'éloignera de l'axe, plus la couche de sédiments, au-dessus des clathrates, s'épaissira et la pression augmentera entraînant une augmentation de la température par [[w:gradient géothermique|gradient géothermique]].&lt;br /&gt;
   Prenons l'exemple du gisement ''[[w:en:Pre-salt_layer|Tupi Pre-salt_layer Tupi]]'' découvert au large du Brésil, dans une zone sans subduction, sous {{Unité|2|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} d'eau et {{Unité|5|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} de sédiments. Avec un gradient géothermique de {{Unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}/km et celui de la pression de 250 bar/km dans les sédiments, nous atteignons une température de {{Unité|150|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, et une pression de l’ordre de 1,5 kbar. Pendant des millions d'années ces clathrates ont été soumis à des températures nettement inférieures à celle de l'optimum du procédé FTT de {{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, et à des pression qui vont très vite dépasser les 350 bars de l'optimum du procédé FTT pour atteindre 1 à 2 kbar. Par rapport à l'optimum, le fait que la synthèse des hydrocarbures soit exothermique ([[w: fr: Principe_de_Le_Chatelier#Loi_générale_de_modération_:_Principe_de_Le_Chatelier | principe de Le Chatelier]]), l'équilibre va être déplacé vers le méthane avec l’augmentation de la pression ( 4H2+CO2=CH4+2H2O ΔH=-151,3 kJ/mol [[w:Production_d'hydrogène|Dihydrogène]]); la baisse de température va réduire la vitesse de la réaction mais pas l'équilibre final. L'état supercritique de H2, CO2 et CH4 à ces températures et pressions augmente leur réactivité, alors que l'eau et les chaines longues aliphatiques ne sont pas dans leur état supercritique. Avec la pression toutes les réactions se déplacent vers la production de chaines de plus en plus longues qui se retrouvent de plus en plus dans un état non critique. Il faut ajouter à ce piégeage par les longues chaines, l'effet de surface du mélange sédiments/clathrates et celui catalytique des métaux de transition.&lt;br /&gt;
   L'intérêt de l'hypothèse de J.L Charlou ([http://www.ifremer.fr/serpentine/fiches/fiche8.htm Ifremer] ), ce n’est pas tant la production de CH4, que celle de H2 et la formation des clathrates. Les études&lt;ref&gt;Hu, Y. H. and Ruckenstein, E. (2006), Clathrate Hydrogen Hydrate—A Promising Material for Hydrogen Storage. Angewandte Chemie International Edition, 45:2011–2013. doi:10.1002/anie.200504149.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;T.A. Strobel et al. 2008 : clathrates of hydrogen with application towards hydrogen storage . Proceedings of the 6th International Conference on Gas Hydrates (ICGH 2008), Vancouver, British Columbia, CANADA, July 6-10, 2008.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;C.N.Murray et al. 1996 :permanent storage of carbon dioxide in the marine environment: the solid co2 penetrator. Energy Convers. Mgmt Vol. 37, Nos 6-8, pp. 1067-1072, 1996&lt;/ref&gt; des clathrates sont très développées actuellement pour le stockage de l'hydrogène utilisé comme source d'énergie, la séquestration du CO2 au fond des océans et la libération du méthane par réchauffement climatique. Il n’est pas question de développer ce point ici, mais ces études montrent que les conditions de température et de pression au niveau du plancher océanique, sont compatibles avec la stabilité de ces mélanges faits de sédiments et de clathrates des gaz comme ceux issus de la serpentinisation .&lt;br /&gt;
   En même temps la réduction de N2 en NH3 par H2 pourrait se faire ici de façon analogue au CH4: état supercritique des gaz réactants, réaction exothermique ( 3H2+N2 = 2NH3 ΔH°=-92,2 kJ/mol ) [[w: fr: Ammoniac|* ]] et donc déplacement de l'équilibre avec la pression. Le processus industriel de [[w:Procédé_Haber|Haber-Bosch]] à une température élevée ({{Unité|450|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et 300 bars) et l'inexistence de déplacement par formation de chaînes longues d'azote (comme le font les chaînes aliphatiques) laisseraient penser que, dans les conditions de la poche de pétrole abiotique, NH3 ne se formerait pas. Cependant P. Avenier et al.2007&lt;ref&gt; P.Avenier, M.Taoufik, A.Lesage, X.Solans-Monfort, A.Baudouin, A.de Mallmann, L.Veyre, J.-M.Basset, O.Eisenstein, L.Emsley and E.A.Quadrelli:Dinitrogen Dissociation on an Isolated Surface Tantalum Atom. Science 24 August 2007:Vol. 317 no. 5841 pp. 1056-1060 DOI: 10.1126/science.1143078. [http://www.sciencemag.org/content/317/5841/1056.abstract ] &lt;/ref&gt; ont pu produire du NH3 à partir de N2 et H2 à {{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et à la pression de 1 bar avec comme catalyseur du silicate de tantale. Ce qui est tout à fait possible dans les conditions de la poche de pétrole abiotique avec déplacement de l'équilibre par une pression de 1 à 2 kbar. Quand aux quantités de NH3 produites, il n’est pas nécessaires qu’elles soient grandes, puisque son utilisation se fera en grande partie après la formation des liposomes qui le piégeront (voir le chapitre initalisation du métabolisme plus bas et l’article sur la [[Recherche:Chimio-osmose_prébiotique|chimio-osmose prébiotique]] ). &lt;br /&gt;
   La libération du phosphate des hydrogénophosphates par la chaleur et sa concentration par les surfaces minérales (Arrhenius&lt;ref name=&quot;arrhe&quot;/&gt; ) sera favorisée par le H2 (hydrogénation) mais défavorisée par la haute pression (précipitation), la température inférieure à {{Unité|150|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} étant encore favorable comme dans les expériences d'Arrhenius.&lt;br /&gt;
   Cette hypothèse de diagénèse des clathrates pourrait expliquer, avec la tectonique des plaques, les grands gisements de gaz et de pétrole du côté des marges passives à très grande profondeur(Tupi), les clathrates de gaz ayant migré vers les zones de subduction dans le cône d'accrétion, ainsi que les gaz de schiste par métamorphisme de ces clathrates mélangés aux sédiments, dans la zone de contact des 2 plaques.

===== Les zéolithes  =====
&lt;p style=&quot;text-align: justify;&quot;&gt; La diagénèse des clathrates a abouti à l'exemple du [[w:Gisement de Tupi|gisement de Tupi]] qui pose une grande énigme : l'épaisseur de sel qui se trouve au-dessus, soit {{Unité|3|km}} et {{Unité|2|km}} de roches encore au-dessus. Par ailleurs j’avais mentionné l’utilisation des [[w:Zéotite|zéolite]]s pour la synthèse industrielle du pétrole abiotique lors de l'étude de la possibilité d'une origine géochimique de la poche de pétrole prébiotique. Or les [[w:Zéolithe|zéolites]] sont constitués d'[[w:Aluminosilicate|alumino-silicates]] ou d'alumino-phosphate (type AlPO4) dont les espaces vides sont occupés initialement par des cations (Na K Ca Mg...) et des molécules d'eau et où peut se dérouler une catalyse.&lt;/p&gt;
&lt;p style=&quot;text-align: justify;&quot;&gt; La question suivante se posait alors : les zéolites peuvent-ils intervenir dans un processus géochimique à grande échelle, dans la synthèse du pétrole prébiotique ? Mon intérêt pour cette question a grandi et a été aiguisée par la lecture d'un article de E. Haddock décrivant les concrétions salines dans le [[w:Dépression de l'Afar|rift des Afars]] (Afrique de l'Est)&lt;ref&gt;Eitan Haddock (2009) &quot;La naissance d'un océan&quot;. Pour La Science n&amp;deg; 376 page 45.&lt;/ref&gt;. L'auteur y mentionne clairement une odeur d'hydrocarbure se dégageant des concrétions. Cet indice géochimique m'a poussé à faire des recherches sur les rifts anciens et je suis tombé sur la théorie du parallélisme entre les formations géologiques des gisements de pétrole du Gabon et du Brésil qui se sont produites au début de la séparation des plaques tectoniques africaine et américaine. Comme la situation est la même que celle du rift des Afars, mais avec en plusdes strates salines de quelques kms d'épaisseur, il était tentant de répondre qu'oui : il est possible que les zéolites interviennent géochimiquement dans la synthèse de pétrole prébiotique.&lt;/p&gt;
&lt;p style=&quot;text-align: justify;&quot;&gt; Concernant la diagénèse des clathrates de gaz que nous avons supposée se dérouler pour la formation de la poche de pétrole prébiotique, nous avions calculé, au niveau de Tupi, que la profondeur sous le plancher océanique conduisait à des températures autour de 150°C et des pressions autour de 2 kbars. Ces conditions sont celles aussi du faciès géologique des [[w:en: Zeolite_facies|zéolites]] : 50-150°C et une profondeur sous terre de 1 à 5 km. Après diagénèse ( 1er km ) du mélange clathrates/sédiments est-ce qu'on n'amorce pas le faciès zéolitique? Nous aurons alors une formation de clathrates et de zéolites tout deux formés de cavités, le 1er constitué de cages d'eau piégeant les gaz et le second de cavités favorisant la catalyse. De là à penser que la poche de pétrole prébiotique a pour origine ces formations géologiques, il n'y a qu'un pas. Mais est-il raisonnable de proposer un tel modèle abiotique alors que tous les travaux d'exploration pétrolière se font dans la théorie du pétrole fossile et que tous se basent sur les données organiques mesurées dans les roches attestant de leur origine fossile ? Est-il irraisonnable d'envisager la formation de pétrole abiotique quand aucune vie n'existe encore? Est-il irraisonnable de mettre en parallèle l'origine théorique du pétrole abiotique avec la formation de quantités « astronomiques » d'hydrocarbures sur Titan, loin de toute photosynthèse et dans des conditions de froid extrême ? Certes on pourrait un jour démontrer que les hydrocarbures de Titan sont d'origine bactérienne, mais ceci n’enlèverait rien à la plausibilité de l'hypothèse des poches de pétrole prébiotique, et en plus sans l'abondance de la production organique due à la photosynthèse. Sur Terre les 2 processus, fossile et abiotique, peuvent coexister et la part actuelle du fossile être si prédominante qu’il serait difficile de démontrer l’existence de l'abiotique.&lt;/p&gt;
&lt;p style=&quot;text-align: justify;&quot;&gt; Sans polémiquer, considérer la possibilité de la combinaison des clathrates et des zéolites éclaire d'un jour nouveau l'hypothèse de la poche prébiotique et la théorie du pétrole fossile. Nous verrons plus loin l’intérêt d’étudier les processus en jeu dans la poche de pétrole fossile, processus conditionnés par de hautes pressions (quelques centaines de bars), et par son environnement gazeux et minéral. C'est la situation où se trouverait l'évolution moléculaire de la poche prébiotique quand les 1ers êtres vivants apparaitront et que les zéolites disparaitront comme dans Tupi, ne laissant que du sel.&lt;/p&gt;
&lt;p style=&quot;text-align: justify;&quot;&gt; Pour la poche prébiotique j’avais envisagé que les liposomes se formaient à partir des vésicules d'eau dans l'huile (voir chimio-osmose prébiotique) qui auraient migrées vers la phase eau en incorporant le 2{{e}} feuillet lipidique. J'avais invoqué la formation du pétrole abiotique dans des roches poreuses pour augmenter la surface de catalyse, ce pétrole migrant ensuite vers la poche. Le mélange clathrates/zéolites me parait plus prometteur car nous savons aujourd’hui que les zéolites catalysent de nombreuses réactions de [[w: fr: Zéolithe#Chimie|chimie organique]], outre les hydrocarbures&lt;ref&gt;[http://scd-theses.u-strasbg.fr/2225/ Khun P.], thèse 2011, université de Strasbourg&lt;/ref&gt;. Certes l’idée de roche poreuse était adéquate puisque je l'envisage comme pour le pétrole fossile et le pétrole synthétique sans zéolite, mais ses propriétés catalytique étaient limitées aux hydrocarbures. Les produits de la catalyse par zéolites étant plus riches en molécules très diverses feraient évoluer plus rapidement les vésicules aqueuses dans l'huile. Cependant si le rôle de la roche poreuse reste limité et flou, les zéolites posent un gros problème géochimique : comment disparaissent-ils pour ne laisser qu'une épaisse couche de sel? Car les épaisses couches de sel sous-marines ne peuvent s'expliquer par le seul processus d'évaporation. Il a été calculé qu'une mer de {{unité|1000|{{abréviation|m|mètre}}}} de profondeur ne produirait qu'une couche de [[w:Chlorure_de_sodium|sel]] de {{unité|16|{{abréviation|m|mètre}}}} ! (salinité des océans 3,5% et densité du sel à {{Unité|25|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, {{Unité|2.17|g||cm|-3}}). Il a été suggéré aussi des processus de dépôts salins par des courants marins sursaturés. Mais l'origine de ces couches immenses en surface et en épaisseur restent d'actualité. Les gisements de pétrole de la mer du nord, de l'Arabie Saoudite, des cotes brésiliennes, vénézuéliennes et gabonaises se trouvent en dessous directement d'une épaisse couche de sels ( NaCl KCl CaSO4 ). Les salifères de l'Iran, en surface, sont proches des gisements de pétrole aussi.&lt;/p&gt;
   En conclusion l'étude des zéolites dans l'optique de la poche de pétrole prébiotique m'a convaincu que tout se focalise autour de ses conditions de pression et de température: 150°C et 2kbars. Ce sont:
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;La diagénèse des clathrates,&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;puis le début du faciès géologique des zéolites,&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;l'adaptation de certaines bactéries aux grandes pressions (autour de 600 bars) avec simplification des protéines (&lt;ref&gt;[http://www.theses.fr/2010AIX22003/document Badr Al Ali] 2010, p 10&lt;/ref&gt;,&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;des réactions de chimie organique qui se déroulent plus facilement à ces pressions alors que certaines ne peuvent même pas s'effectuer aux conditions standard d'un laboratoire. C'est ce qu'on appelle la chimie verte&lt;ref&gt;Rudi Van Eldik, Frank-Gerrit Kl?rner, Frank-Gerrit Klärner. High pressure chemistry, John Wiley &amp; Sons, 2008&lt;/ref&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;la possibilité que l'évolution moléculaire prébiotique puisse se dérouler, dans les mêmes conditions de pression et de température, dans les profondeurs des mers de Titan et qui expliquerait les grandes quantités dhydrocarbures qu'on y a trouve.&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;

==== Au niveau des zones de subductions : transformation du méthane en pétrole au contact des fluides hydrothemaux.  ====
Au niveau des zones de subductions il a été repéré surtout des clathrates de gaz qui proviendraient, d’après moi, comme on l'a vu précédemment de la serpentinisation des dorsales. On peut toujours supposer, pour notre poche abiotique, qu'une partie de ce méthane abiotique soit transformé en pétrole au contact des fluides hydrothermaux formés à de hautes pressions et de température le long des plaques en subduction. Le processus [[w:en:Fischer–Tropsch_process|FTT]] serait initialisé par vaporeformage du méthane, l'ammoniac et le phosphate étant apportés par les fluides hydrothemaux (voir les chapitres ammoniac et phosphate ci-dessus). Les [[w:en: Mud_volcano|volcans des zones de subduction]] , terminent leur activité par un rejet d'un peu d'hydrocarbures. Mais la zone de la plaque subduite, entre le cône d'accrétion des sédiments et la zone du métamorphisme de l'arc volcanique, est très réduite pour pouvoir créer de grands gisements de pétrole. Par contre ce pétrole abiotique, en petite quantité localement, mais répandu sur des dizaines de milliers de km, peut constituer autant d'opportunités pour constituer des poches favorables à l'évolution moléculaire.

==== Le long des failles transformantes:  ====
Deux exemples de failles transformantes que j'envisage d'étudier plus tard: la plaque transformante entre les plaques indienne et arabique et les 2 plaques transformantes entre les plaques nord-américaine, des caraïbes et sud-américaine dans le golfe du Mexique. L’idée c’est que ces failles ont fonctionné très longtemps pour la remontée du continent indien vers l'Asie et pour l'écartement des 2 Amériques qui se fait en même temps que la séparation du continent américain du continent africain. Elles produiraient une très grande quantité de clathrates de gaz avec du méthane et du H2, ce qui expliquerait les gisements de pétrole gigantesques de ces zones: golf du Mexique et golf persique.

=== Les hypothèses de travail pour l'expérimentation  ===
Les principaux points à respecter pour l'expérimentation de l'initialisation du métabolisme dans le pétrole abiotique. sont donc :
:# Haute pression de l’ordre de quelques kbars au début;
:# Une température relativement faible, entre 50 et {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} ;
:# Une poudre de roche qu’il faudra définir, qui simulera un dépôt sédimentaire poreux contenant des hydrogénophosphates et des catalyseurs (Fe Ni et d'autres éléments à définir suivant la littérature des procédés industriels ou expérimentaux).
:# Du clathrate de gaz reconstitué contenant H2 {{Formule chimique|CO|2}} N2 {{Formule chimique|H|2|O}}
:# Le H2S peut bloquer certaines réactions, aussi faut-il l'introduire petit à petit ;
:# Si le produit obtenu se rapproche de la poche de pétrole fossile, on peut réduire la pression et la température en suivant l'évolution moléculaire pour repérer s'il y a initialisation du métabolisme ou non.
:# Priorité à la synthèse de l'huile d’abord.
:# Envisager des expériences de longues durées (ou les simuler) pour reproduire les temps géologiques et les processus de cristallisation.
=== Parallèle avec la théorie du pétrole fossile  ===
&lt;p&gt;&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt; C'est en lisant un article sur les bactéries qui posent des problèmes dans l'exploitation pétrolière que je suis tombé sur un schéma qui représente les intéractions entre les différentes espèces de procaryotes qui se trouvent dans une poche de pétrole fossile et leur environnement ( Dorota Wolickaa et al., 2010&lt;ref&gt;Dorota Wolickaa, Andrzej Borkowskib &amp; Dariusz Dobrzyńskic. Interactions between Microorganisms, Crude Oil and Formation Waters. Geomicrobiology Journal Volume 27, Issue 1, 2010 DOI:10.1080/01490450903232181
pages 43-52 [http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01490450903232181#.UvcnPqEu52V Abstract] &lt;/ref&gt; ). Ce schéma, avec la mention des gaz et des catalyseurs, ressemblerait énormément à celui issu d'une étude sur la poche de pétrole prébiotique. C'est ainsi que:&lt;/span&gt;&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt;Ces procaryotes tirent leur énergie des minéreaux et non de la photosynthèse, comme dans la poche prébiotique;&lt;br /&gt;&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt; consomment les petites molécules du pétrole et les gaz. Cependant l'ammoniac et le phosphate n'apparaissent pas à la différence de la poche prébiotique, car le phosphate est un facteur limitant et certaines espèces transforment rapidement l'ammoniac en nitrates qui est à son tour utilisé par d'autres espèces pour l'énergie et la fabrication des aas;&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt;des vésicules aqueuses peuvent se former dans la phase huile et des liposomes dans la phase eau et l’on est alors dans la même situation que dans la poche prébiotique pour l'évolution moléculaire prébiotique;&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt;Les conditions de pression, et dans une moindre mesure de température, obligent les procaryotes à s'adapter jusqu'à atteindre les conditions nécessaires à l'initialisation de l'évolution moléculaire. C'est ainsi que nous voyons qu'aux pressions élevées, autour de 600 bars, les procaryotes simplifient leurs protéines qui deviennent monomériques au lieu de rester multimériques, que les chaines aliphatiques s'allongent et augmentent le nombre des liaisons insaturées ([http://www.theses.fr/2010AIX22003/document Badr Al Ali,2010] , page 9).&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt;Nous pouvons nous trouver alors dans une situation telle qu'on ne puisse plus distinguer si le procaryote a atteint le maximum de régression pour pouvoir encore le définir comme vivant ou bien si le liposome, formé dans la poche fossile et ayant subi l'évolution moléculaire prébiotique, a atteint un stade d'évolution maximum pour qu’il passe pour un être vivant. C'est à ce niveau que se pose l'énigme des procaryotes endémiques des poches de pétrole fossile: sont -ils nés du pétrole ou bien on n'a pas pu démontrer encore leur origine allochtone&lt;ref&gt;Ravot G. thèse 1996. Nouvelles approches microbiologiques de la thiosulfato-réduction en milieu pétrolier. Université Aix-Marseille 1.[http://www.sudoc.abes.fr/DB=2.1/SRCH?IKT=12&amp;TRM=007406371 abstract]&lt;/ref&gt;?&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;span class=&quot;mw-headline&quot;&gt; La poche de pétrole fossile a l'avantage d'exister, que de nombreuses expérimentations y ont été faites pour résoudre des problèmes d'exploitation pétrolière. Ces expérimentations ont développé les techniques des hautes pressions et les conditions extrêmes de température. Cependant elles n'ont pas été faites dans l'optique de l'évolution moléculaire prébiotique. On pourrait les appliquer à la poche de pétrole prébiotique. Notamment il serait judicieux d'expérimenter une poche fossile sans procaryotes avec du phosphate, de l'ammoniac, quelques aas et des bases nucléiques pour observer l'évolution moléculaire à un stade avancé. Mais déjà au niveau de la littérature on peut étudier, toujours dans l'optique de l'évolution moléculaire prébiotique, les intéractions du milieu environnant avec le métabolisme du procaryote de la poche fossile.&lt;br /&gt;&lt;/span&gt;

== Initialisation du métabolisme dans les poches de pétrole abiotique analogues à celles du pétrole fossile  ==
   Je n'arrive pas à concevoir le métabolisme dans un milieu ouvert, non confiné dans un volume restreint de la taille d'une cellule. Quel que soit le réseau de réactions chimiques, qui s'établit à un moment donné dans un milieu ouvert, il est automatiquement détruit par le processus de diffusion. De même un réseau délimité par une paroi lipidique fermée, ne communiquera pas avec l'extérieur et du coup n'évoluera pas.&lt;br /&gt; Beaucoup d'expériences ont été faites avec les surfaces minérales, donc des milieux ouverts, pour démontrer la catalyse et/ou la concentration de molécules organiques ou minérales comme les phosphates, les acides aminés et les acides nucléiques. Mais aucune d'entre-elles ne laisse supposer une initialisation du métabolisme, à moins d'imaginer des scénarios complexes faisant intervenir plusieurs phénomènes à la fois, comme l'alternance du chaud et du froid, la dessiccation et l'hydratation, le jour et la nuit, les processus lumineux etc.&lt;br /&gt;
   Deux expériences ont été conduites pour confiner le métabolisme dans un liposome. Et dans les deux cas la nécessité de communiquer avec l'extérieur apparaît primordiale. Deamer&lt;ref&gt;Pierre-Alain Monnard, and David W. Deamer : Membrane Self-Assembly Processes: Steps Toward the First Cellular Life . The anatomical record, Volume 268, Issue 3, 1 November 2002, Pages: 196–207 . DOI 10.1002/ar.10154 &lt;/ref&gt; et al. (2002), expérimentent dans le modèle du «monde {{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}}» en encapsulant l'{{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}} dans des liposomes dont les chaines aliphatiques comportent 14 carbones pour que la membrane soit assez perméable pour laisser passer des nucléotides. Davis&lt;ref&gt;Paul M. Gardner, Klaus Winzer and Benjamin G. Davis : Sugar synthesis in a protocellular model leads to a cell signalling response in bacteria . Nature chemistry, vol 1, august 2009. DOI:10.1038/nchem.296 &lt;/ref&gt; et al. (2009) vont fabriquer une cellule artificielle minimale pouvant communiquer avec l'extérieur. Ils démontrent que l'encapsulation des ingrédients nécessaires à la réaction de formose peut produire des sucres dont des pentoses. Mais ils étaient obligés d'insérer dans la membrane une protéine bactérienne, l'α-hémolysine, qui s'auto-assemble en un pore pour faire passer les sucres et communiquer ainsi avec l'extérieur.&lt;br /&gt;
   Dans ce qui suit nous allons montrer que le métabolisme peut être initialisé à travers la bicouche lipidique grâce à des pores primitifs qui permettent d'interagir avec le milieu extérieur. Que ce métabolisme aura une partie spécifique, confinée à l'intérieur du liposome, qui correspond à la notion classique de métabolisme, et une partie dans la membrane qui fait office d'interface de communication. Pour cela nous allons d’abord présenter l'état de la recherche sur la synthèse abiotique des phospholipides comme je l'ai fait pour le pétrole abiotique.
=== État de la recherche sur la synthèse abiotique des phospholipides et de petites molécules  ===
   Nous avons vu pour l’introduction de la poche prébiotique, du point de vue géochimique et en tenant compte que les éléments NPS doivent être présents, que toute molécule organique est susceptible d’être synthétisée dans les conditions de pression et de température (et avec les durées géologiques) dans cette poche. Cependant, alors que pour le pétrole abiotique à proprement parler en absence des NPS ( avec production d'acides gras, d'alcools, d'aldéhydes, de chaînes aliphatiques, d'oléfines et de cycles et d'hétéro cycles avec oxygène ) nous avons l'exemple de la synthèse industrielle et les 1ers indices géochimiques avec les sources hydrothermales (évents), pour la tête hydrophile des PLDs, c.a.d glycérol et éthanol-amine ( le phosphate étant supposé exister du point de vue géochimique ), nous n'avons que les exemples des synthèses industrielles et laborantines.&lt;br /&gt;
   Pour concrétiser un peu les étapes nécessaires à la synthèse des PLDs j’ai établi dans le tableau 3 la liste des réactions qu'utilisent les laboratoires et les industriels. Il est à remarquer cependant que même si on produit industriellement les petites molécules de glycérol et d'éthanolamine, et qu’il existe quelques expériences de laboratoire pour synthétiser un PLD, on continue actuellement à utiliser les PLDs naturels pour les expérimentations biologiques ou médicales parce que faciles à extraire des produits naturels biologiques.&lt;br /&gt;
      '''Tableau 3. procédés industriels et de laboratoire pour la synthèse des Phospholipides et de leurs composants'''
* '''1 - Esterification des acides gras :'''
:* L'estérification est une réaction athermique, avec un acide comme catalyseur; rendement maximum sur plusieurs mois sans catalyseur. ( [[w:Esterification|Estérification]] ) 
:* Conditions hydrothermales entre 100 et {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}.	( Rushdi&lt;ref&gt;Ahmed I. Rushdi, and Bernd R.T. Simoneit : Abiotic condensation synthesis of glyceride lipids and wax esters under simulated hydrothermal conditions . Origins of Life and Evolution of Biospheres (2006) 36: 93–108 . DOI: 10.1007/s11084-005-9001-6 &lt;/ref&gt; et al. 2006 )
:::2a.gras + glycerol → diacyl-glycérol	(1,2/1,3 = 1)
:::7C, 2% en moyenne et jusqu'à 11% en présence de H2 (a. oxalique) et {{Unité|100|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} ; plus de 34% de mono-acyl au-delà de {{Unité|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Sur {{unité|72|{{abréviation|h|heure}}}}.
:::a.gras + ethylene-glycol → acyl-ethylene-glycol 19C, 50% en moyenne jusqu'à {{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Sur {{unité|72|{{abréviation|h|heure}}}}.
:::Auto-assemblage en bicouche ( sans phosphate ni éthanolamine).
* '''2 - Ethoxide :''' CH2=CH2 éthylène, synthétisé par [[w:en:Fischer–Tropsch_process|FTT]]		
:* {{Formule chimique|CH|2}}={{Formule chimique|CH|2}} + {{Formule chimique|Cl|2}} + {{Formule chimique|H|2|O}} → {{Formule chimique|CH|2|Cl-OHCH|2}} + HCl	éthylène chlorohydrine	( Weissermel&lt;ref name=&quot;weisser&quot;&gt;Klaus Weissermel, Hans-Jürgen Arpe : Industrial organic chemistry. Wiley-VCH, 2003. pages 296-302.&lt;/ref&gt; et al. 2003, p 146)
:* 2({{Formule chimique|CH|2|Cl-OHCH|2}}) + {{Formule chimique|Ca(OH)|2}} → 2{{Formule chimique|(CH|2|CH|2|)O}} + {{Formule chimique|CaCl|2}} + 2{{Formule chimique|H|2|O}} Ethoxide (même réactions que propène : voir glycerol)
* '''3 - Ethanolamine '''
:* {{Formule chimique|(CH|2|CH|2|)O}} + {{Formule chimique|NH|3}} → {{Formule chimique|OH-CH|2|CH|2|-NH|2}} (Weissermel et al. 2003, p 159)
::solution 20-30% {{Formule chimique|NH|3}}, 60-{{Unité|150|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 30-150 bars. (mono+di+tri) Ethanolamine
:* {{Formule chimique|HOCH|2|CHO}} + {{Formule chimique|NH|3}} → {{Formule chimique|(OH-CH|2|3=CH=NH)}} + {{Formule chimique|H|2|O}} (imine, amination, glycolaldéhyde) A.D.Aubrey et al. (2009), Fig 4&lt;ref&gt; A. D. Aubrey &amp; H. J. Cleaves &amp; Jeffrey L. Bada: The Role of Submarine Hydrothermal Systems in the Synthesis of Amino Acids. Orig Life Evol Biosph (2009) 39:91–108 DOI 10.1007/s11084-008-9153-2&lt;/ref&gt;
::{{Formule chimique|(OH-CH|2|3=CH=NH)}} + H2 → {{Formule chimique|OH-CH|2|CH|2|-NH|2}}	Ethanolamine
:: conditions hydrothermales, 50-{{unité|300|{{abréviation|°C|degré Celsius}}}} et 200 bars; 0.1 à 0.001M/kg de NH4HCO2.
* '''4 - Esters phosphates '''
:* Ethanolamine + {{Formule chimique|H|3|PO|4}} → Ethanolamine-{{Formule chimique|H|2|PO|4}} + {{Formule chimique|H|2|O}}	{{Unité|185|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar ( [http://orgprepdaily.wordpress.com/2007/02/10/ethanolamine-o-phosphate-and-n-palmitoylethanolamine-o-phosphate/ orgprepdaily] )
:* Glycerol + {{Formule chimique|H|3|PO|4}} → Glycerol-{{Formule chimique|H|2|PO|4}} + {{Formule chimique|H|2|O}} (rac : 1 et 3)	{{Unité|105|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar (J.J Rae&lt;ref&gt;James Jamieson Rae, Henry Davenport Kay, and Earl Judson King : Glycerophosphoric acid, the recognition and separation of α- and β-glycerophosphates. Biochem J. 1934; 28(1): 143–151.&lt;/ref&gt; et al. 1934, p. 143)
* '''5 - Hydroformylation: '''	( Györgydeák&lt;ref&gt;Zoltán Györgydeák, István F. Pelyvás. Monosaccharide sugars: chemical synthesis by chain elongation, degradation...(Page 8). Academic Press 1998.&lt;/ref&gt; et al. 1998)
:* {{Formule chimique|CH|2|O}} + H2 + CO → Glycolaldéhyde, Glyceraldéhyde, sucres à 4 5 6 C. 
::{{Unité|140|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 120 bars, catalyseur: Co+triéthylamine
:* 3{{Formule chimique|C|2|H|5|OH}} + {{Formule chimique|NH|3}}---&gt; {{Formule chimique|(C|2|H|5|)|3|N}} + 3{{Formule chimique|H|2|O}} alcool, [[w:en:Chemical_derivatives_of_ethanol|triéthylamine]]
::150-{{Unité|220|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar, catalyseur: Ni sur Si ou Al
:* {{Formule chimique|CO|2}} + 3H2 → {{Formule chimique|CH|3|OH}} + {{Formule chimique|H|2|O}} [[w:Méthanol#Production_et_synthèse|Méthanol]] 
::{{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 50-100 bars, catalyseur : Cu, ZnO, Al2O3. Ça ressemble à FTT.
::FTT produit des molécules à courte chaîne quand la température est supérieure à l'optimale. McCollom&lt;ref name=&quot;collom2&quot;/&gt; 1999 p.156.
:* {{Formule chimique|CH|3|OH}} → {{Formule chimique|CH|2|O}} + H2 [[w:Méthanal|Méthanal]]
::{{Unité|650|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar, catalyseur : Ag	
:* 3{{Formule chimique|CH|3|OH}} + {{Formule chimique|K|2|Cr|2|O|7}} + 8{{Formule chimique|HClO|4}} → 3{{Formule chimique|CH|2|O}} + {{Formule chimique|Cr|2|(ClO|4|)|6}} + 2{{Formule chimique|KClO|4}} + 7{{Formule chimique|H|2|O}}	( E. Pérez-Benito et al. 1993&lt;ref&gt; Enrique Pérez-Benito,Elvira Rodenas :Methanol and ethanol oxidation by chromium(VI) in aqueous perchloric acid; Transition Metal Chemistry June 1993, Volume 18, Issue 3, pp 329-334. [http://www.springerlink.com/content/j43707k803n57285/ ] &lt;/ref&gt; )
::à la place de HclO4 on peut utiliser H2SO4, solution {{Unité|25|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar.
:* 5{{Formule chimique|CH|3|OH}} + 2MnO4- + 6H+ → 5HCHO + 2Mn2+ + 8{{Formule chimique|H|2|O}} ([[w:Oxydation_d'un_alcool|Oxydation d'un alcool]] )
::solution {{Unité|25|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar, milieu acide :H2SO4 
:* CH3CHO + HCN → CH3CH2OCN lactonitrile, catalyse basique, 1 bar; puis 
:: CH3CHOHCN + 2H2O → CH3CHOHCO2H acide lactique, H2SO4, {{Unité|100|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar. ( Weissermel&lt;ref name=&quot;weisser&quot;/&gt; et al. 2003, p 305)
* '''6 - Sucres phosphates:''' TMP, Trimétaphosphate 
:* a.Glycérique + TMP → 2-Glycérate-P + 3-Glycérate-P	 solution alcaline; ( Orgel&lt;ref&gt;Vera Kolb and Leslie E. Orgel . :Phosphorylation of glyceric acid in aqueous solution using trimetaphosphate . Origins of Life and Evolution of the Biosphere 26: 7-13, 1996. &lt;/ref&gt; et al. 1996)
:* {{Formule chimique|NH|3}} + TMP → {{Formule chimique|NH|2|-(PO|3|)|3}}	( Orgel&lt;ref name=&quot;orgel&quot;&gt;Leslie E. Orgel : Prebiotic Chemistry and the Origin of the RNA World . Critical Reviews in Biochemistry and Molecular Biology, 39:99–123, 2004 . DOI: 10.1080/10409230490460765. (Fig.6 page 106).&lt;/ref&gt; 2004 ) 
:* Glycolaldéhyde + {{Formule chimique|NH|2|-(PO|3|)|3}} → Glycolaldéhyde-P Mg++ pH 7	 ( Eschenmoser&lt;ref&gt;Ramanarayanan Krishnamurthy, Gustaf Arrhenius and Albert Eschenmoser : Formation of glycolaldehyde phosphate from glycolaldehyde in aqueous solution . Origins of Life and Evolution of the Biosphere 29: 333–354, 1999. &lt;/ref&gt; et al. 1999)
:* R-CHOH-CHO + {{Formule chimique|NH|2|-(PO|3|)|3}} → R-CHOPO3-CHO 27 aldéhyde-2-P	 ( Orgel&lt;ref name=&quot;orgel&quot;/&gt; 2004 )
* '''7 - Glycerol:''' CH2=CHCH3 propène, synthétisé par [[w:en:Fischer–Tropsch_process|FTT]]			 
:* {{Formule chimique|CH|2}}={{Formule chimique|CHCH|3}} + {{Formule chimique|Cl|2}} → {{Formule chimique|CH|2}}={{Formule chimique|CHCH|2|Cl}} + HCl ( Weissermel&lt;ref name=&quot;weisser&quot;/&gt; et al. 2003, p 296)
::à partir de {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 85% de produit à 500-{{Unité|510|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar ; chlorure d'allyle
:* {{Formule chimique|CH|2}}={{Formule chimique|CHCH|2|Cl}} + HOCl → {{Formule chimique|CH|2|Cl-OHCHCH|2|Cl}} + {{Formule chimique|CH|2|OH-ClCHCH|2|Cl}} (p 297)
::phase aqueuse, 25-{{Unité|30|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, hypochlorate, dichlorohydroxypropane 70%, 30% respectivement
:* 2{{Formule chimique|CH|2|Cl-OHCHCH|2|Cl}} + {{Formule chimique|Ca(OH)|2}} → 2({{Formule chimique|CH|2}}=O={{Formule chimique|CHCH|2|Cl}}) + {{Formule chimique|CaCl|2}} + 2{{Formule chimique|H|2|O}} (p 297)
::50-{{Unité|90|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}	épichlorhydrine
:* ({{Formule chimique|CH|2}}=O={{Formule chimique|CHCH|2|Cl}}) + {{Formule chimique|H|2|O}} → {{Formule chimique|OHCH|2|-OHCH-CH|2|Cl}} (p 302)
::{{Formule chimique|OHCH|2|-OHCH-CH|2|Cl}} + {{Formule chimique|H|2|O}} → {{Formule chimique|OHCH|2|-OHCH-CH|2|OH}} + HCl glycérol 
::dans solution 10% soude caustique, 100-{{Unité|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, haute pression.
:* Glyceraldéhyde + H2 → Glycerol ( [[w:en:Hydrogenation|Hydrogenation]] )
::Ni, 60 bars d'H2. {{unité|50|{{abréviation|°C|degré Celsius}}}}.
* ''Note sur les autres molécules abiotiques nécessaires à l'initialisation du métabolisme:''&lt;br /&gt;
   Le tableau 3 a été conçu au début pour la synthèse des seuls phospholipides mais il incorpore l'acide lactique aussi car j’avais arrêté l'écriture du pétrole prébiotique pour celle de la chimio-osmose prébiotique avec l'hypothèse que les ionophores préfiguraient les pores prébiotiques et pouvaient résoudre le problème de communication du liposome avec son environnement comme je l'ai indiqué en introduction de ce chapitre. Les ionophores sont dans chimio-osmose au [[Recherche:Chimio-osmose_prébiotique#Une_hypothèse_pour_l.27évolution_moléculaire_du_minéral_vers_le_vivant_:_la_chimio-osmose_prébiotique|1er chapitre]].&lt;br /&gt;
Il faut ajouter à ce tableau la synthèse abiotique des aas et des bases nucléiques, et l'étude de leur stabilité dans les conditions hydrothermales.
:* Les acides aminés: 
::HCOO&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;NH4&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt; &lt;----&gt; HCONH2 + H2O (amination, acide formique) A.D.Aubrey et al. (2009), Fig 3&lt;ref&gt; A. D. Aubrey &amp; H. J. Cleaves &amp; Jeffrey L. Bada: The Role of Submarine Hydrothermal Systems in the Synthesis of Amino Acids. Orig Life Evol Biosph (2009) 39:91–108 DOI 10.1007/s11084-008-9153-2&lt;/ref&gt;
::HCONH2 &lt;----&gt; H2O + HCN → Gly DL-{Ser Ala Asp Glu} ( acide cyanidrique, acides aminés racémiques )
:: conditions hydrothermales, 50-{{unité|300|{{abréviation|°C|degré Celsius}}}} et 200 bars; 0.1 à 0.001M/kg de NH4HCO2.
:: L'expérience a étudié aussi la stabilité de ces acides aminés (Fig 5). L'acide formique est censé être produit comme les autres acides gras par le processus FTT (voir l'équation FTT du tableau 2).
:* Les bases nucléiques: Beaucoup d'études proposent la condensation de 5 HCN pour former une molécule d'adénine comme origine de l'adénine prébiotique. L'article de A.D. Aubrey ci-dessus ne la mentionne pas. L'acide cyanhydrique peut provenir aussi de la décomposition acide du [[w: Ferrocyanure_de_potassium|ferrocyanure de potassium]] qui se trouve dans les sédiments. L'article de Michael Franiatte (2008)&lt;ref&gt;Michael Franiatte, Laurent Richard, Marcel Elie, Chinh Nguyen-Trung, Erwan Perfetti, Douglas E. LaRowe: Hydrothermal Stability of Adenine Under Controlled Fugacities of N2, CO2 and H2. Orig Life Evol Biosph (2008) 38:139–148.[http://www.sciencedirect.com/ sciencedirect]&lt;/ref&gt; a montré par contre la stabilité de l'adénine dans les conditions hydrothermales.
:* Autres molécules abiotiques: les autres molécules abiotiques intervenant dans les étapes de l'initialisation du métabolisme ici et dans les 2 autres articles (chimio-osmose et chiralité prébiotique) sont supposées exister comme je l'ai indiqué en introduction sur les propriétés et l'évolution géologique de la poche de pétrole prébiotique.&lt;br /&gt;
* '''Note sur la problématique de la synthèse abiotique du glycérol.'''
   La synthèse industrielle du glycérol à partir du propène, composant du pétrole fossile ou synthétique, existe (voir paragraphe 7 du tableau 3). Seulement le procédé utilisé est très drastique et ne correspond pas à des processus biologiques même dans des conditions hydrothermales: utilisation de Cl2, HOCl, Ca(OH)2, soude caustique, catalyseurs métalliques, hautes pressions et hautes températures. Quant à l'hydrogénation du glycéraldéhyde, elle se fait à haute pression de gaz H2. Le glycérol n’apparaît pas dans les synthèses d'hydroformylation (paragraphe 5) ou dans la [[w:fr: Réaction_de_formose |réaction de formose]] qui se font dans des phases aqueuses et dans des conditions proches des sources hydrothermales et produisent du glycéraldéhyde et des sucres, alors que H2 est présent. De même il n’apparaît pas avec l'éthanol-amine et les aas dans des conditions hydrothermales en présence de NH3 et H2 (voir paragraphe 3 sur l'éthanol-amine).&lt;br /&gt;
   Même si l’on admet que le glycérol est produit en petites quantités dans la poche de pétrole prébiotique, comme je l'ai exprimé au début de cet article, il serait difficile de déplacer les équilibres réactionnels en le piégeant dans ou sur le liposome. Donc à moins de supposer que le pétrole prébiotique soit produit dans des conditions extrêmes comme je l'ai supposé dans les zones de subduction, il faudrait que le glycérol soit produit en même temps et en grande quantités, autant que la moitié des ags pour former la tête du PLD, et il faudrait qu’il ne soit pas dégradé. Cette situation parait peu plausible, aucune recherche géochimique sur le pétrole ou en dehors ne la mentionne.&lt;br /&gt;
   C'est devant ces difficultés à synthétiser la tête hydrophile des PLDs et la conviction, que j’ai signalée en introduction de ce chapitre, que l'évolution moléculaire ne peut se faire que dans un système fermé, que j’ai entrepris dans un premier temps d'étudier les propriétés des liposomes avant de comprendre leur synthèse. C'est ainsi que j’ai rédigé un premier article sur la chimio-osmose. Il m’est apparu évident que le potentiel électrique établi entre les 2 feuillets de la bicouche devrait être le moteur de l'évolution moléculaire. J’ai essayé avec &quot;la chimio-osmose prébiotique&quot; de proposer aussi un schéma de l'initialisation du métabolisme et notamment la synthèse des têtes hydrophiles mais c’est dans le 2{{e}} article &quot;chiralité prébiotique&quot; que j’ai développé de façon conséquente ce processus d'initialisation du métabolisme en me basant sur la cohésion mécanique du liposome au lieu du potentiel électrique. Les 2 processus restant complémentaire pour l'évolution dynamique du liposome.&lt;br /&gt;
   Il est important de noter les dates d'écriture de ces articles car la réflexion et la recherche bibliographique évoluent et des contradictions et des incohérences entre les articles peuvent apparaître. De même que certaines hypothèses peuvent s'avérer sans fondements. J'utilise pour cela la rubrique discussion de wikiversité pour rectifier.&lt;br /&gt;
   J’ai commencé à écrire cet article sur le pétrole prébiotique tout à fait au début de mes travaux. Je l'avais arrêté au niveau du tableau 3 pour les raisons que j’avais évoquées pour passer à l'écriture de la chimio-osmose prébiotique. Donc l'initialisation du métabolisme que j'entame là, dans ce chapitre, vient après les écritures sur ce thème dans les 2 précédents articles et même après les recherches que j’ai menées ensuite pour conceptualiser l'évolution moléculaire et l'évolution dans son ensemble en continuité avec l'évolution darwinienne. Un article sur le concept de [http://blogooolife.eklablog.com/la-continuite-entre-l-evolution-moleculaire-et-l-evolution-darwinienne-a94056871 l'évolution moléculaire] est en cours d'écriture. Ce que je décris dans le sous-chapitre qui suit c’est la consolidation de l’ensemble de ma recherche réalisée jusqu'à maintenant sur l'initialisation du métabolisme en décrivant les premières étapes de l'évolution moléculaire.

=== Les processus de l'initialisation du métabolisme  ===
   Les processus d'initialisation du métabolisme dans le pétrole prébiotique peut commencer donc, d’après l'hypothèse de confinement que je viens d'énoncer, dès que des vésicules aqueuses se forment dans l'huile. Elle va continuer ensuite dans les liposomes après leur formation. Suivant les processus géologiques mis en cause pour la formation du pétrole prébiotique, par formation et diagénèse des clathrates de gaz au niveau des dorsales ou par la remontée des fluides hydrothermaux le long des plaques subduites, les processus physico-chimiques qui produisent et l'huile et les molécules hydrophiles nécessaires à l'initialisation métabolique seront différents. Ce n'est que l'expérimentation et les mesures sur le terrain qui trancheront, mais d'ores et déjà on peut différencier les 2 processus par leur durée.&lt;br /&gt;
   Les conditions extrêmes des fluides hydrothermaux ressemblent aux procédés industriels et semblent favoriser la production de NH3 par le procédé de Haber-Bosch, celle du phosphate à partir de l'apatite; celle de HCN à partir directement de NH3 et CH4, et celle du pétrole par les procédés FTT industriels aux conditions extrêmes. Cette production est rapide et produit une bonne émulsion eau/huile due à la circulation vigoureuse des fluides. Mais elle pose un problème pour certaines molécules éphémères comme CO et HCN à très brève durée de vie et qui risquent de disparaître rapidement ne permettant pas le renouvellement des petites molécules issues de l'hydroformylation ( glycéraldéhyde, DHA, glycolaldéhyde) et de l'amination ( aas, ethanolamine, bases nucléiques) qui sont plus ou moins instables surtout dans les conditions extrêmes des fluides hydrothermaux.&lt;br /&gt;
   Par contre les processus de diagénèse, comme je l'ai détaillé au chapitre sur les clathrates, se déroulent sur des durées géologiques et peuvent produire la soupe prébiotique de façon continue par un processus de goutte à goutte qui tombe de la roche poreuse de clathrates/sédiments dans la phase huile déjà formée dans la poche de pétrole.&lt;br /&gt;
   Dans la soupe prébiotique, avant l'initialisation du métabolisme dans les vésicules aqueuses, nous allons trouver les différents produits des processus géochimiques rencontrés jusque là qu'on peut classer comme suite:
:* les processus géochimiques primaires comme la serpentinisation produisant les gaz H2 CH4 CO2 N2 H2S et H2O, la sédimentation produisant les hydrogénophosphates pour la diagénèse et la percolation produisant des phosphates libres pour les fluides hydrothermaux.
:* Les processus géochimiques secondaires pendant la remontée des fluides hydrothermaux ou la diagénèse des clathrates et utilisant les produits primaires. Ces processus utilisent avant tout la catalyse par les surfaces minérales et les hautes pressions et températures. Ce sont:
::* Le processus de FTT, H2+CO, donnant les alcools et les acides gras à longue chaînes, les oléfines et les petites molécules de formaldéhyde, d'acétaldéhyde et d'acide formique notamment (voir équation de FTT du tableau 2).
::* Le processus de Haber-Bosch, N2+H2, pour donner NH3.
::* La libération, par la chaleur et l'acidité, des phosphates des hydrogénophosphastes et du HCN des ferrocyanures.
:* Les processus tertiaires, chimiques, utilisant les produits des processus secondaires et pouvant se produire dans l'eau, c.a.d la soupe prébiotique. Ce sont:
::* L'hydroformylation ou la réaction de formose utilisant le formaldéhyde + H2, et donnant Glycéraldéhyde, glycolaldéhyde et DHA.
::* L'amination utilisant l'acide formique + NH3 pour donner Gly Ser Ala Asp Glu et éthanolamine, mais aussi du HCN et des bases nucléiques.
::* La synthèse de bases nucléiques à partir de HCN libéré du ferrocyanure.
:* et enfin la phospho-estérification du Glycéraldéhyde, du glycolaldéhyde, de la DHA, de l'éthanolamine et de la Ser.
==== Initialisation du métabolisme dans les vésicules aqueuses de la phase huile  ====
Mais aussi de l'interface eau/huile des 2 phases principales.
Quatre processus importants dirigent cette initialisation:
:* La catalyse, par la surface multi-anionique de la vésicule, de l'hydrogénation du Glycéraldéhyde-P ou de la DHA-P en glycérol-3P après fixation du 1er sur l'acide gras. Hydrogénation rendue possible par la présence de H2 ( voir plus en détail la [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l.27homochiralité_prébiotique:|chiralité prébiotique]] sous-chapitre 2,paragraphe 4).
:* Le déplacement des équilibres chimiques de la soupe prébiotique suite à la formation de la tête hydrophile.
:* L'estérification est le moteur principale des déplacements des équilibres chimiques car c’est une réaction réversible et athermique. Sa catalyse peut être acide ou basique. Tout processus qui piège un des réactants déplace son équilibre thermodynamique. Il est à remarquer que la majorité des estérifications enzymatiques sont directionnelles alors que la réaction chimique, sans enzyme est réversible. C'est le rôle principale de ces enzymes. L'initialisation du métabolisme continue avec l'estérification de la sérine ou de l'éthanolamine ou du glycérol au bras fixe du PLD.
:* intercalation de molécules hydrophobes entre les acides gras et présentant sur l'interface eau/huile de la vésicule une fonction chimique autre que la fonction carboxylique. C'est le cas des bases nucléiques, mais aussi les hydroqinones. Pour les bases nucléiques la formation de la liaison osidique avec un N de la base peut se faire d’abord avec le Glycéraldéhyde−P aidée par la surface multi-ionique de la vésicule comme pour la formation de la tête hydrophile, mais sans hydrogénation. S'ajouterait ensuite à ce produit une molécule d'acétaldéhyde pour former un deoxy-oside (dRN) ou une molécule de glycolaldéhyde pour former un oside (RN). La DHA-P peut prendre la place du Glycéraldéhyde−P après isomérisation. Ces liaisons osidiques sont plus difficiles que l'estérification. Mais la synthèse des osides n’est pas prioritaire à ce stade de l'initialisation du métabolisme. Par similitude on peut rapprocher la synthèse de la Thr (Gly + acétaldéhyde) à l'intérieur de la vésicule, à la formation des dR.&lt;br /&gt;
   L'initialisation du métabolisme est limitée par la disponibilité des produits de base et notamment H2 car les vésicules aqueuses dans la phase huile ne communiquent pas entre-elles-même par diffusion passive. Aussi il n'y aurait que certaines vésicules qui pourraient se transformer en liposome, les autres déverseraient leur contenu dans la phase eau et leurs PLDs s'intégreraient dans l'interface eau/huile qui serviront de 2{{e}} feuillet aux vésicules les plus solides pour former un liposome qui se détachera dans la phase eau.

==== Formation des liposomes  ====
Passage des vésicules aqueuses de la phase huile vers la phase eau en se drapant du 2{{e}} feuillet de PLDs. &lt;br /&gt;
Par gravitation, l'eau étant plus lourde que l'huile, les vésicules aqueuses vont descendre vers la phase eau et rentrer en contact l'interface eau/huile des 2 phases principales. Cette interface est constituée par les PLDs des vésicules avortées comme on l'a vu au paragraphe précédent. La pression des vésicules qui s'accumulent vers l'interface forcent les vésicules solides à se détacher de cette interface en se drapant du 2{{e}} feuillet de PLDs. Les liposomes sont alors formés.

==== Importance des liposomes dans l'initialisation du métabolisme  ====
5 grands rôles dans l'initialisation du métabolisme sont du ressort des liposomes.
* L'intérieur peut désormais communiquer avec l'extérieur par diffusion passive et faire entrer la plupart des petites molécules de la soupe prébiotique qui se sont déversées dans la phase eau après l'avortement des vésicules les moins solides. Donc l'initialisation peut continuer sauf qu'avec le P, les ions, certaines grosses molécules et des molécules fortement polaires pour lesquels il faut des pores d'échange.
* La cohésion mécanique du liposome accélère la formation des PLDs ( voir plus en détail la [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l.27homochiralité_prébiotique:|chiralité prébiotique]] ).
* Les têtes hydrophiles constituées en zwitterions comme les acides aminés vont piéger tout aa aminé même les plus difficiles à synthétiser mais qui se trouvent dans la soupe prébiotique suivant le principe énoncé au début de cet article que toute réaction chimique peut se réaliser avec le temps dans la poche de pétrole prébiotique. Et notamment les aas aliphatiques et la Thr que nous avons vu au paragraphe des vésicules aqueuses. Par ailleurs la réaction que nous avons mentionnée pour la Thr peut se faire dans la soupe prébiotique avant la formation des vésicules. Ces aas peuvent former des pores comme on le verra dans le dernier rôle des liposomes.
* L'espace réactionnel chimique est désormais différencié en 5 zones par le liposome au lieu de 2 dans les vésicules aqueuses.&lt;br /&gt;
Les 5 zones, de l'intérieur vers l'extérieur du liposome, sont ( voir plus en détail la [[Recherche:Chimio-osmose_prébiotique#Mise_en_place_des_structures_pour_la_chimio-osmose_biotique|chimio-osmose prébiotique]] ):
:# Le centre
:# La paroi interne de la bicouche (1er feuillet)
:# La zone des queues aliphatiques des 2 feuillets
:# La paroi externe de la bicouche (2{{e}} feuillet)
:# L'extérieur proche de la paroi
* Mise en place de la chimio-osmose et formation des pores.&lt;br /&gt;
La différenciation chimique entre intérieur et extérieur va provoquer temporairement et de temps en temps des potentiels électriques dus au rapprochement des ions de la surface externe, comme dans la chimio-osmose biotique. Les acides aminés accrochés sur la paroi externe de la bicouche, par des liaisons ioniques lâches, des liaisons hydrogène ou des liaisons faible de Van Der Walls pour les radicaux hydrophobes auront tendance à s'enfoncer dans la bicouche pour réduire ce potentiel électrique. Dans l’article de la chimio-osmose prébiotique je fais intervenir des acides alpha-hydroxylés comme l'acide lactique, qui peuvent établir des liaisons esters entre eux ou avec les acides alpha-aminés, liaisons qu'on a vues dans la formation des têtes hydrophiles très adaptées pour l'initialisation du métabolisme. Cette idée vient de la constatation que les procaryotes utilisent de petites molécules cycliques constituées de quelques monomères d'acides alpha-hydroxylés ou aminés et qui servent d'ionophores comme canaux d'échanges ioniques. Il suffit qu'un seul ionophore échange des ions, même très faiblement, pour que l'évolution moléculaire prébiotique puisse continuer et le liposome devenir fonctionnel, pouvant ainsi interagir avec son environnement. ( voir plus en détail la
[[Recherche:Chimio-osmose_prébiotique#Une_hypothèse_pour_l.27évolution_moléculaire_du_minéral_vers_le_vivant_:_la_chimio-osmose_prébiotique|chimio-osmose prébiotique]] ).

== Le futur de la recherche sur le pétrole prébiotique  ==
Cette recherche s'arrête avec les processus géochimiques. En effet les processus géologiques et géochimiques, notamment avec la composition de la soupe prébiotique, définissent même le sens de &quot;origine de la vie&quot; car indépendants de notre volonté ou de quelconque hypothèse. Nous pouvons expérimenter nos hypothèses sur l'évolution moléculaire en laboratoire avec les liposomes, mais les conditions de départ doivent être celles de la poche de pétrole prébiotique qu'on aurait découverte quitte à refaire l'expérience.&lt;br /&gt;
Les différentes directions de recherche sont, toujours dans l'optique de l'origine de la vie et donc de la formation des poches de pétrole prébiotique:
* Sur les marges passives
:# La formation et la diagénèse du mélange clathrates/sédiments
:# La formation des strates salifères et des zéolites sur le plancher océanique
:# Étude des rifts, de leur pétrole et les volcans de carbonatites qui les accompagnent
:# Expérimentation de la diagénèse du mélange clathrates/sédiments
* Sur les zones de subduction 
:# Étude des clathrates de gaz aux cônes d'accrétion
:# Étude des fluides hydrothermaux
:# Les éjections organiques des volcans des zones de subduction
* Les plaques transformantes: Produisent-elles des clathrates de gaz?
* La poche de pétrole fossile

== Notes et références  ==
{{références|colonnes=2}}

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        <username>Heddryin</username>
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    <title>Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie</title>
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        <username>Ambre Troizat</username>
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      </contributor>
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{{en travaux|date=samedi 5 septembre 2015}}
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  | idfaculté = histoire
  | numéro    = 2
  | niveau    = 9
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  | suivant   = [[../La quête de l'énergie/]]
}}
* &lt;[[s:Wikisource:Accueil|Wikisource:Accueil]]&gt;
* &lt;[[w:Wikipedia:Accueil|Wikipedia:Accueil]]&gt;
* &lt;[[c:commons.wikimedia:Accueil|commons.wikimedia:Accueil]]&gt;


== Méthodologie : modèle bibliographique universel ==

Début du modèle Bibliographie universelle
&lt;-- 
=== XVIe siècle ===

 [[w:1576|1576]] - {{bibliographie|Q2263595}} &lt;-- .- ', 1576 --&gt;
 '''Commentaires''' : ''Les Six Livres de la République'', sont une œuvre littéraire de [[w:Jean Bodin|Jean Bodin]] ([[w:1529|1529]]/[[w:1530|1530]], Angers - [[w:1596|1596]], [[w:Laon|Laon]]), économiste, historien, jurisconsulte, philosophe et théoricien politique français. Publié en [[w:1576|1576]] ''Les Six Livres de la République'' présentent les premières conceptions modernes du pouvoir politique, de la souveraineté et de l'esclavage, dans le cadre théorique d'un État constitués en république. L'ouvrage est un des classiques de la philosophique politique du {{S|XVI}}. Son succès n'a été égalé qu'au {{S|XVIII}} avec la publication de [[w:De l'esprit des lois|De l'esprit des lois]] de [[Montesquieu|Montesquieu]] en [[1748|1748]].
 L'édition en un volume de [[w: 1577|1577]] est accessible sur [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6434397k/f5.item Gallica] et sur [https://archive.org/details/lessixliuresdela00bodi/page/n5/mode/2up Internet Archive].
 '''Tags''' : philosophie politique, esclavage, droit, 1576, 1577,

=== XVIIe siècle ===

 ▪ [[w:1625|1625]] - '''[[w:Hugo Grotius|Hugo Grotius]]'''.- ''Le droit de la guerre et de la paix'', 1625.
 • Conceptualisation juridique des rapports entre les peuples et les nations, incluant des réflexions sur l'esclavage.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' droit international, esclavage, relations internationales

=== XVIIIe siècle ===

 ▪ [[w:1748|1748]] - '''[[w:Montesquieu|Montesquieu]]'''.- ''De l’esprit des lois'', 1748.
 • Critique des institutions esclavagistes et réflexion sur la nature humaine.
 ▸ '''Commentaires :''' Première édition, mise à l'Index en [[w:1751|1751]].
 ▸ '''Tags :''' droit, esclavage, philosophie politique

 ▪ [[w:1770|1770]] - '''[[w:Denis Diderot|Denis Diderot]]'''.- ''Histoire des deux Indes'', 1770.
 • Critique de l’esclavage et du colonialisme à travers une perspective philosophique et économique.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' colonialisme, esclavage, philosophie

=== XIXe siècle ===

 ▪ [[w:1897|1897]] - '''[[w:Charles Letourneau|Charles Letourneau]]'''.- ''L'évolution de l’esclavage dans les diverses races humaines'', 1897.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' esclavage, ethnologie, évolution
 ▸ Lien : Commons

=== XXe siècle ===

 ▪ [[w:1992|1992]] - '''[[w:Sven Lindqvist|Sven Lindqvist]]'''.- ''Exterminez toutes ces brutes'', 1992.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' colonialisme, histoire, critique

 ▪ [[w:1995|1995]] - '''[[w:Michel-Rolph Trouillot|Michel-Rolph Trouillot]]'''.- ''Silencing the Past: Power and the Production of History'', 1995.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' histoire, mémoire, pouvoir

=== XXIe siècle ===

 ▪ [[w:2013|2013]] - '''[[w:Fatma Moumni|Fatma Moumni]]'''.- ''Aux sources de l'anthropologie positive : Auguste Comte lecteur de David Hume'', 2013.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' anthropologie, positivisme, philosophie
--&gt;
Fin du modèle 

;Début du rendu
=== XVIe siècle ===

 ▪ [[w:1576|1576]] - '''[[w:Jean Bodin|Jean Bodin]]'''.- ''Les Six Livres de la République'', 1576.
 • Analyse des premières conceptions modernes du pouvoir politique et de l'esclavage dans un cadre théorique.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' philosophie politique, esclavage, droit, 1576

=== XVIIe siècle ===

 ▪ [[w:1625|1625]] - '''[[w:Hugo Grotius|Hugo Grotius]]'''.- ''Le droit de la guerre et de la paix'', 1625.
 • Conceptualisation juridique des rapports entre les peuples et les nations, incluant des réflexions sur l'esclavage.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' droit international, esclavage, relations internationales

=== XVIIIe siècle ===

 ▪ [[w:1748|1748]] - '''[[w:Montesquieu|Montesquieu]]'''.- ''De l’esprit des lois'', 1748.
 • Critique des institutions esclavagistes et réflexion sur la nature humaine.
 ▸ '''Commentaires :''' Première édition, mise à l'Index en [[w:1751|1751]].
 ▸ '''Tags :''' droit, esclavage, philosophie politique

 ▪ [[w:1770|1770]] - '''[[w:Denis Diderot|Denis Diderot]]'''.- ''Histoire des deux Indes'', 1770.
 • Critique de l’esclavage et du colonialisme à travers une perspective philosophique et économique.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' colonialisme, esclavage, philosophie

=== XIXe siècle ===

 ▪ [[w:1897|1897]] - '''[[w:Charles Letourneau|Charles Letourneau]]'''.- ''L'évolution de l’esclavage dans les diverses races humaines'', 1897.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' esclavage, ethnologie, évolution
 ▸ Lien : Commons

=== XXe siècle ===

 ▪ [[w:1992|1992]] - '''[[w:Sven Lindqvist|Sven Lindqvist]]'''.- ''Exterminez toutes ces brutes'', 1992.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' colonialisme, histoire, critique

 ▪ [[w:1995|1995]] - '''[[w:Michel-Rolph Trouillot|Michel-Rolph Trouillot]]'''.- ''Silencing the Past: Power and the Production of History'', 1995.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' histoire, mémoire, pouvoir

=== XXIe siècle ===

 ▪ [[w:2013|2013]] - '''[[w:Fatma Moumni|Fatma Moumni]]'''.- ''Aux sources de l'anthropologie positive : Auguste Comte lecteur de David Hume'', 2013.
 ▸ '''Commentaires :'''
 ▸ '''Tags :''' anthropologie, positivisme, philosophie

;Fin du rendu

== De l'usage de la langue française ==

=== 1784 - Une langue universelle ===

=== 1794 - Une langue nationale ===

=== Bibliographie (De l'usage de la langue française) ===

==== Rivarol.- De l'universalite de la langue française, 1784 ====
[[Fichier:De l'universalite de la langue française (Rivarol).jpg|100 px|vignette|gauche]]
* [[d:Q19153385|1784]] - {{bibliographie|Q19153385}} De l'universalité de la langue Française Sujet proposé par l'Académie de Berlin en 1783 &lt;!-- Antoine de Rivarol, De l'universalité de la langue française --&gt;
** [[w:De l’université de la langue française|De l’université de la langue française]], parfois appelé Discours sur l’universalité de la langue française, est un essai, publié le le 3 juin 1784, par Antoine de Rivarol, suite au sujet proposé par l'Académie de Berlin en 1783.
** [https://www.worldcat.org/search?q=De+l%27universalité+de+la+langue+fran%C3%A7aise&amp;fq=&amp;dblist=638&amp;qt=sort&amp;se=yr&amp;sd=asc&amp;qt=sort_yr_asc Résultats worldcat.org de recherche pour '''De l'universalité de la langue française''’]
** Antoine de Rivarol, Pierre François Fauche.- [https://www.worldcat.org/title/de-luniversalite-de-la-langue-francaise-sujet-propose-par-lacademie-de-berlin-en-1783/oclc/258259023&amp;referer=brief_results De l'universalité de la langue Française Sujet proposé par l'Académie de Berlin en 1783], Fauche, Hambourg, 1797
** Sulpice de La Platière.- Rivarol, Antoine (1753-1801), Vie philosophique, politique et littéraire de Rivarol. [https://archive.org/details/viephilosophiqu01rivagoog/page/n13 De l'universalité de la langue française], Vol. 2 contains Rivarol's ''Discours sur l'universalité de la langue française'' (new ed.) with related documents and notes ; also his ''De l'homme, et de ses facultés intellectuelles''.

== Rapport Grégoire : Anéantir les patois et universaliser l’usage de la langue française, 1794 ==
[[Fichier:Rapport sur la nécessité et les moyens d’anéantir les patois et d’universaliser l’usage de la langue française.djvu|100 px|vignette|gauche]]
* [[d:Q19226533|1794]] - {{bibliographie|Q19226533}} &lt;!-- Henri Grégoire et Convention nationale, Rapport sur la nécessité et les moyens d’anéantir les patois et d’universaliser l’usage de la langue française, 1794 --&gt;
* {{bibliographie|Q116462024}} &lt;!-- Rapports de Henri Grégoire sur la bibliographie, la destruction des patois et les excès du vandalisme --&gt;
** [https://www.worldcat.org/title/enquete-gregoire/oclc/764979607/editions?referer=di&amp;editionsView=true L'Enquête Grégoire], worldcat.org.
** Rapport sur la nécessité &amp; les moyens d'anéantir les patois, &amp; d'universaliser l'usage de la langue française, dans la séance du 16 Prairial, l'an 2 de la République française une &amp; indivisible, Séance du 16 prairial, suivi du décret de la Convention nationale, [https://www.worldcat.org/search?q=Rapport+sur+la+nécessité+et+les+moyens+d%E2%80%99anéantir+les+patois+et+d%E2%80%99universaliser+l%E2%80%99usage+de+la+langue+fran%C3%A7aise&amp;fq=&amp;dblist=638&amp;qt=sort&amp;se=yr&amp;sd=asc&amp;qt=sort_yr_asc Résultats worldcat.org de recherche pour '''Rapport sur la nécessité et les moyens d’anéantir les patois et d’universaliser l’usage de la langue française''’].
** Grégoire, Convention nationale. Instruction publique.- Rapport sur la nécessité et les moyens d'anéantir les patois, et d'universaliser l'usage de la langue française, date of publication not identified], [https://www.worldcat.org/title/convention-nationale-instruction-publique-rapport-sur-la-necessite-et-les-moyens-daneantir-les-patois-et-duniversaliser-lusage-de-la-langue-francaise/oclc/27275248&amp;referer=brief_results Oclc/27275248]
** Henri Grégoire, France. Convention nationale. Instruction publique.- Rapport sur la nécessité et les moyens d'anéantir les patois et d'universaliser l'usage de la langue française, par Grégoire. Séance du 16 prairial l'an IIe ... Suivi du décret de la Convention nationale. Imprimés par ordre de la Convention nationale, et envoyés aux autorités constituées, aux sociétés populaires, et à toutes les communes de la République. {{BNF|30538484r}}.
** Henri Grégoire, France, Convention Nationale. Instruction publique.- Rapport sur la nécessité &amp; les moyens d'anéantir le patois, &amp; d'universaliser l'usage de la langue française, par Grégoire ; Séance du 16 prairial, l'an deuxième de la République une &amp; indivisible ; suivi du décret de la convention nationale. Imprimés par ordre de la convention nationale, et envoyés aux autorités constituées, aux sociétés populaires, &amp; à toutes les communes de la République, [S.l.] : [s.n.], [1794], [https://www.worldcat.org/title/convention-nationale-instruction-publique-rapport-sur-la-necessite-les-moyens-daneantir-le-patois-duniversaliser-lusage-de-la-langue-francaise-par-gregoire-seance-du-16-prairial-lan-deuxieme-de-la-republique-une-indivisible-suivi-du-decret-de-la-convention-nationale-imprimes-par-ordre-de-la-convention-nationale-et-envoyes-aux-autorites-constituees-aux-societes-populaires-a-toutes-les-communes-de-la-republique/oclc/404503560&amp;referer=brief_results Oclc/404503560], {{BNF|30538483d}}.
* 1975 - {{bibliographie|Q81330733}} &lt;!-- Une politique de la langue. La Révolution française et les patois : l’enquête de Grégoire --&gt;
** Michel de Certeau, Dominique Julia, Jacques Revel ; postf. inédite de Dominique Julia et Jacques Revel.- Une politique de la langue : la Révolution française et les patois : l'enquête de Grégoire, Gallimard (« Bibliothèque des Histoires»), Paris, 1975, 320 p. in 8°. {{BNF|38883633v}} : Contient, parmi un choix de textes, de nombreux extraits inédits des réponses à l'enquête de Grégoire et son rapport : &quot;Sur la nécessité et les moyens d'anéantir les patois et d'universaliser l'usage de la langue française&quot;. - Notes bibliogr.
** Godechot Jacques. Michel de Certeau, Dominique Julia, Jacques Revel.- [https://www.persee.fr/doc/ahrf_0003-4436_1976_num_224_1_1006_t1_0307_0000_1 Une politique de la langue : La Révolution française et les patois]. In: Annales historiques de la Révolution française, n°224, 1976. pp. 307-309.

=== Antilles, Antillais ===
* &quot;antilles&quot;, &lt;[https://www.google.com/search?q=%22antilles%22&amp;tbm=bks&amp;tbs=cdr:1,cd_min:1500,cd_max:1756&amp;lr=lang_fr Antilles Ngram]&gt;.
* &quot;Îles Antilles de l'Amérique&quot;, [https://www.google.com/search?q=inauthor%3A%22Jean+Baptiste+Du+Tertre%22+%2B+Histoire+generale+des+Antilles+habit%C3%A9es+par+le+Fran%C3%A7ois&amp;lr=lang_fr&amp;biw=1438&amp;bih=628&amp;tbs=cdr%3A1%2Ccd_min%3A1500%2Ccd_max%3A1756%2Clr%3Alang_1fr&amp;tbm=bks&amp;ei=FhjgY8nyKOeGkdUPmfqOmAM&amp;ved=0ahUKEwjJ1b-8ov_8AhVnQ6QEHRm9AzMQ4dUDCAg&amp;oq=inauthor%3A%22Jean+Baptiste+Du+Tertre%22+%2B+Histoire+generale+des+Antilles+habit%C3%A9es+par+le+Fran%C3%A7ois&amp;gs_lcp=Cg1nd3Mtd2l6LWJvb2tzEAxQ0wVYoBJgnSJoAHAAeACAATGIAd8BkgEBNZgBAKABAaABAsABAQ&amp;sclient=gws-wiz-books Des Antilles Habitées Par Les François]
 
=== ISBN (Modèle) ===
* [[w:en:ISBN|ISBN]] : A 13-digit ISBN, 978-3-16-148410-0, as represented by an EAN-13 bar code

== Plan &amp; Périodisation  ==

=== Périodisation : Pertinence de la classification  ===
[[Fichier:Histoire.png|100px|vignette|gauche|Schéma de la chronologie de l'Histoire le plus largement accepté.]]
[[Fichier:PD-icon.svg|100 px|vignette|gauche|Symbole, sans valeur juridique, utilisé pour indiquer qu'une œuvre est dans le domaine public]]

Pertinence de la classification &quot;histoire moderne&quot;, histoire contemporaine&quot;, histoire du temps présent, histoire immédiate

{{Citation bloc|la Modernité couvre aussi bien la période des {{S|XVI-XVIII}} où l’expansion européenne a défini les limites du monde contemporain, que la période contemporaine, marquée par la [[w:Modernisation|modernisation]].|Philippe Savoie.- Association internationale pour l’histoire de l’éducation (ISCHE), XXVe congrès&lt;ref&gt;Philippe Savoie.- Association internationale pour l’histoire de l’éducation [http://histoire-education.revues.org/280 (ISCHE), XXVe congrès]&lt;/ref&gt;}}

En tenant compte des licences '[[w:Domaine public (propriété intellectuelle)|Domaine public]] sur [[w:Propriété intellectuelle|propriété intellectuelle]]&quot; et de leurs [[w:Domaine public (propriété intellectuelle)#Domaine public par législation|variations]] par Etat souverain, nous considérons la période &quot;[[d:Q3281534|histoire moderne]]&quot;, comme allant de 1492 jusqu'à &quot;nos jours&quot;.

=== Histoire à l'époque moderne, 1492 - 1815  ===

Acteur : Joseph Bologne de Saint-George et la révolution du droit naturel
Faits : Les révolutions atlantique et les abolitions des esclavages et des traites
Fin de la première mondialisation à l’échelle planétaire,

;Bibliographie
* 1992 - {{bibliographie|Q47007611}} &lt;!-- Triomphe et mort du droit naturel en Révolution, 1789-1795-1802 --&gt;
** 1992 - {{bibliographie|Q116765873}} &lt;!-- Florence Gauthier, Triomphe et mort du droit naturel en Révolution, 1789-1795-1802 --&gt;

=== Histoire contemporaine, 1815 - 1870  ===
[[Fichier:BnF Ms Fr. 28, Cité de Dieu Fol. 249v, Enfer.jpg|100px|vignette|gauche|Représentation de l'Enfer dans la [[w:Maître de l'Échevinage de Rouen| ''Cité des Dieux'']]&lt;ref&gt;{{Creator:Maître de l'Échevinage de Rouen}}&lt;/ref&gt;]]

 Acteur : Alexandre Dumas et les abolitionnistes du {{S|XIX}}
 Faits : L'ère des indépendances américaines et destruction des systèmes coloniaux esclavagistes
 Deuxième mondialisation, émergence du salariat industriel, reconstruction de la &quot;[[w:La Cité de Dieu|Cité de Dieu]]&quot; d'après &lt;nowiki&gt;{{Creator:Augustin d'Hippone}}&lt;/nowiki&gt;&lt;ref&gt;413 - {{Bibliographie|Q212318}}&lt;/ref&gt;
* 1998 - {{bibliographie|Q30307477}}

=== Histoire contemporaine, 1870 à 1940  ===

 Acteur : Gratien Candace
 Faits : Deuxième colonisation, seconde révolution des droits (sociaux)
 La fin des empires d'Ancien RégimeFile:BnF Ms Fr. 28, Cité de Dieu Fol. 249v, Enfer.jpg

=== Histoire globale  ===

{{Citation bloc|''Dans la continuité du courant des Area Studies développé aux États-Unis, puis dans le reste du monde à partir des années [[w:1950|1950]], l’histoire globale constitue une ouverture sur le monde, et notamment sur les continents et régions jusque-là négligés par une historiographie longtemps occidentalocentrée.|{{bibliographie|Q38041550}}, [[w:2013|2013]]&lt;ref&gt;Publié dans numéro spécial de ''[[d:Q2933112|Cahiers d’histoire. Revue d’histoire critique]]'' &lt;!-- Article : Introduction : Pourquoi l’histoire globale ?&lt;/ref&gt;}}.

{{Citation bloc|''Dans son vaste tableau en trois volets&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q27750736}}, [[w:1979|1979]]&lt;/ref&gt; de l'histoire moderne ainsi que dans la version abrégée, Braudel développe l'idée que, dans l'évolution du capitalisme, il faut distinguer deux phases : la première allant du bas Moyen Âge au {{s|XVIII}} d'une seconde phase datant de la révolution industrielle''.|{{bibliographie|Q30307045}}, [[w:1988|1988]].}}

=== Histoire comparée  ===

 [[w:Histoire comparée|Histoire comparée]]

=== Bibliographie (Plan &amp; Périodisation)  ===

 [[w:Histoire globale|Histoire globale]]
* 1969 - {{bibliographie|Q28647824}}
** 1985 - {{bibliographie|Q28647791}}
* 1979 - {{Bibliographie|Q27750736}}
* 1988 - {{bibliographie|Q30307045}} &lt;!-- Histoire globale --&gt;
* 1998 - {{bibliographie|Q30307477}} &lt;!-- de l'histoire-science à la sociologie durkheimienne --&gt;
* 2002 - {{bibliographie|Q106410672}} &lt;!-- Philippe Marchand, Sur l’histoire de l’enseignement de l’histoire. Questions de méthode --&gt;

== Les sources  ==

[http://cocowikipedia.org/index.php?title=Sources_primaires,_secondaires_et_tertiaires_de_Cocowikipedia Sources primaires, secondaires et tertiaires] de [http://cocowikipedia.org Cocowikipedia].

=== Méthodologie, bibliographie &amp; histoire de la musique ===
* 1901-1909 - {{bibliographie|Q113643697}}, œuvre littéraire &lt;!-- Guide de l'amateur d'ouvrages sur la musique, les musiciens et le théâtre --&gt;
** 1901 - {{bibliographie|Q113643951}} &lt;!-- Guide de l'amateur d'ouvrages sur la musique, les musiciens et le théâtre, Volume 1 --&gt;
** 1909 - {{bibliographie|Q113643767}} &lt;!-- Guide de l'amateur d'ouvrages sur la musique, les musiciens et le théâtre, Volume 2 --&gt;

== Partage des savoirs  ==

=== Les savoirs  ===
[[Fichier:Open Knowledge logo.png|100px|vignette|gauche|
Open Knowledge Fondation]]

=== Des biens communs &amp; communaux  ===

Les [[w:biens communs|biens communs]] correspondent en économie à l'ensemble des ressources, matérielles ou non, qui sont rivales et non-exclusives. Traiter un bien commun comme un bien privé conduit à sa destruction, ce que Garrett Hardin nomme la &quot;[[w:Tragédie des biens communs|Tragédie des biens communs]]&lt;ref&gt;* {{bibliographie|Q27978521}}, 1968&lt;br /&gt;Simon Tremblay-Pepin.- Qu’est-ce que la tragédie des biens communs?, [http://iris-recherche.qc.ca/blogue/quest-ce-que-la-tragedie-des-biens-communs iris-recherche.qc.ca], 8 juillet 2013.&lt;/ref&gt;. Dès lors se pose la question de sa régulation.
* 2005 - {{bibliographie|Q27981404}}, Les biens communaux, La nuit du 4 août

==== Le débat &quot;biens communaux / bourgeoisies&quot; sous la République helvétique  ====

En Suisse, [[w:Bourgeoisie (Suisse)|la bourgeoisie]] est un droit personnel&lt;ref&gt;[http://www.hls-dhs-dss.ch/textes/f/F8969.php Le droit de bourgeoisie au Moyen Âge et à l'époque moderne], Dictionnaire historique de la Suisse, ''en ligne''.&lt;/ref&gt;, survivant du droit médiéval urbain et jadis commun à l'ensemble des villes de l'Europe occidentale.

;Bibliographie (biens communs &amp; communau)
* 1968 - {{bibliographie|Q27978521}}
* 2011 - {{bibliographie|Q27980921}}, publié le 12 septembre 2011
* 2013 - {{bibliographie|Q27978796}}
* Eva Hemmungs Wirtén traduit par Barbara Turquier.- [http://www.laviedesidees.fr/Passe-et-present-des-biens-communs.html Passé et présent des biens communs. De l’utilisation des terres au partage d’informations], Dossier : Collection d’hiver, 17 septembre 2013
* [http://balises.bpi.fr/economie/biens-communs--de-quoi-parle-t-on (Biens) Communs : de quoi parle-t-on ?]
* 2016 - Rhoda Fofack et Lucie Morère.- [http://developpementdurable.revues.org/11508 ''Les SHS à l'assaut des « communs »''], Développement durable et territoires [En ligne], : Modalités de qualification et de gestion des ressources naturelles (1/2), Vol. 7, n°3 | Décembre 2016, mis en ligne le 21 décembre 2016, consulté le 23 décembre 2016.

;Bibliographie (Le débat &quot;biens communaux / bourgeoisies&quot; sous la République helvétique)
* 1798 - {{bibliographie|Q27981054}}, Prononcé le 23 avril 1798
* 1973 - {{bibliographie|Q28604258}}
** 1975 - {{bibliographie|Q28604345}}

=== Le mouvement encyclopédique &amp; les sociétés savantes ===

;Bibliographie (Le mouvement encyclopédique)
* [[w:Charles-Joseph Panckoucke|Charles-Joseph Panckoucke]] suggéra à Denis Diderot de donner une suite à l’Encyclopédie dès 1769 mais ce projet avorta. Panckoucke obtint néanmoins une licence pour faire paraître un supplément – appelé Supplément – en 1775 et qui parut en quatre volumes en 1776 et 1777. Panckoucke fit aussi paraître en deux volumes l’index de l’Encyclopédie, appelé Table analytique, volumes préparés par Pierre Mouchon (1733-1797) et publiés en 1780.
* Christophe Rey – Université de Provence (Équipe DELIC).- ''[https://www.u-picardie.fr/LESCLaP/rey/Reyc_panckoucke.pdf Charles-Joseph Panckoucke, artisan de l'encyclopédisme français'',u-picardie.fr

;Bibliographie (Les sociétés savantes)
* 1989 - {{bibliographie|Q28698126}}, pas d'édition en ligne

=== Le droit d'auteur &amp; Le domaine public  ===

==== Le droit d'auteur  ====

{{Citation bloc|la libre circulation de l’information qu’Internet a facilitée devrait permettre un monde meilleur. C’est pourquoi le droit d’auteur dans sa forme actuelle est un frein au progrès. L’État doit abandonner une législation obsolète pour entrer avec fracas dans le nouveau millénaire. Ouverture et liberté doivent être les maîtres mots de la nouvelle société de l’information pour que nous en tirions le meilleur parti|[[c:File:Livret sur le droit d auteur envoye aux deputes français et belges.pdf|Livret sur le droit d'auteur envoyé aux députés français et belges]]&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28646075}}, octobre 2013&lt;br /&gt;Il serait plus judicieux de dire &quot;concitoyens plutôt que &quot;leurs citoyens&quot;. On parle de citoyens d'un Etat, il s'agit d'un statut politique. La réciprocité entre citoyens en faint des &quot;concitoyens&quot;.&lt;/ref&gt;}}

==== Bibliographie ====

La bibliographie est réalisée avec Wikidata via le [[Modèle:Bibliographie]]. 

'''Le Guide pour la rédaction et la présentation des thèses à l’usage des doctorants (2007)&lt;ref&gt;Voir si un texte plus récent a été produit.&lt;/ref&gt; publié par le ministère rappelle qu’il n’existe aucune norme en matière de présentation bibliographique. Le principe est de renseigner le plus d’éléments possibles, dans un ordre si possible cohérent. En cas de doute, le doctorant est invité se référer à la norme d’édition AFNOR Z 44-005 afin de trouver des pistes de présentation&lt;ref&gt;[Bibliographie “classique”&lt;/ref&gt;.''.

Nous nous référerons à la norme d’édition AFNOR Z 44-005 et au [https://lgcdoc.hypotheses.org/methodologie-de-la-these/la-redaction-scientifique/la-bibliographie-classique guide OpenEdition]&lt;ref&gt;Voir aussi : [http://leblogdudoc.canalblog.com/archives/2009/01/03/11947981.htmlLe blog de veille du doc]&lt;/ref&gt;.

;Exemple ISO 690 FR 	
Schöpfel Joachim, « Comprendre la littérature grise », I2D – Information, données &amp; documents, 2015/1 (Volume 52), p. 30-32. DOI : 10.3917/i2d.151.0030. URL : https://www.cairn.info/revue-i2d-information-donnees-et-documents-2015-1-page-30.htm 

; Exemple pour note de bas de page
2015 - Schöpfel Joachim.- ''Comprendre la littérature grise'', (lien lire en ligne sur le titre + crayon vers Wikidata)
 
2015 - Schöpfel Joachim.- ''Comprendre la littérature grise'', I2D – Information, données &amp; documents, 2015/1 (Volume 52), p. 30-32. (+ éditeur, date &amp; lieu d'édition de la référence (+date de la première édition), Lien sur &quot;Lire en ligne&quot;, (+ informations Wikidata  + crayon vers Wikidata)


 [[w:Édouard_Lefebvre_de_Laboulaye#Propriété_littéraire|Édouard Laboulaye]]
 1858 - {{bibliographie|Q19170057}} &lt;!-- Laboulaye.- Études sur la propriété littéraire en France et en Angleterre, 1858 --&gt;
 1859 - {{bibliographie|Q43989853}} &lt;!-- Édouard Lefebvre de Laboulaye et Georges Guiffrey, La propriété littéraire au XVIIIe siècle, 1859 --&gt;
 '''Textes connexes de Édouard Laboulaye'''
 1846 - {{bibliographie|Q27864002}}
 1848 - Édouard Laboulaye.- Le droit au travail à l'Assemblée nationale : recueil complet de tous les discours prononcés dans cette mémorable discussion... : suivis de l'opinion de MM. Marrast, Proudhon, L. Blanc, Ed. Laboulaye et Cormenin / avec des observations inédites par MM. Léon Faucher, Wolowski, Fréd. Bastiat, de Parieu, et une introduction et des notes par M. Jos. Garnier, Paris : Guillaumin, 1848, 1 vol. (XXIV-455 p.) ; in-8°, {{BNF|319687601}}.

 [[w:Danièle Bourcier|Danièle Bourcier]]
 2004 - {{bibliographie|Q43461118}} &lt;!-- International Commons at the Digital Age --&gt;

===== Copyvio : non respect de droit d'auteur  =====

Le terme « copyvio » est une abréviation du [[w:Aide:Jargon de Wikipédia|jargon de Wikipédia]] signifiant ''{{lang|en|copyright violation}}'' (violation du droit d’auteur, utilisation d’un contenu protégé par le droit d’auteur sans autorisation).
&lt;nowiki&gt;{{m|Copie à vérifier}}&lt;/nowiki&gt;

===== Vérifiabilité =====

Méthode pour vérifier ses sources sur Wikipédia : [[w:Wikipédia:Vérifiabilité|Wikipédia:Vérifiabilité]]

==== Le domaine public  ====

;Bibliographie (Le droit d'auteur &amp; Le domaine public)
* [[d:Q27978422|1854-1856]] - {{bibliographie|Q27978422}}
* 1858 - {{bibliographie|Q27978467}}
* 1860 - {{Bibliographie|Q28798174}}
* 1890 - {{Bibliographie|Q28843389}}
* 2013 - {{bibliographie|Q28646075}}, octobre 2013
* 2008 - {{bibliographie|Q28647086}}

==== Tour d'horizon des images libres (et pas libres) ====

 [https://linuxfr.org/news/tour-d-horizon-des-images-libres-et-pas-libres Tour d'horizon des images libres (et pas libres)].
 Posté par Oliver (site Web personnel) le 22/02/21 à 11:05. Édité par 8 contributeurs. Modéré par [[w:Pierre Jarillon|Pierre Jarillon]].
 Licence CC By‑SA. Étiquettes : droit_d'auteur image

== Comment s'écrit la science historique avant Wikimedia &amp; les humanités numériques  ==

Shs : abréviation pour &quot; Sciences humaines &amp; sociales&quot;

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;gallery&gt;
Fichier:Turk-engraving5.jpg|Le [[w:Turc mécanique|Turc mécanique]] joueur d'échec, 1783&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28828041}}, 2017&lt;/ref&gt;
Fichier:Nikolaos Gyzis - Historia.jpg|Nikolaos Gysis.- Historia, allégorie de l'Histoire, 1892
Fichier:Kempelen chess1.jpg|Le Turque joueur d'échec, 1783. Reconstitution contemporaine
&lt;/gallery&gt;
&lt;/div&gt;


{{Citation bloc|'''1998''' - ''Introduire texte'' |Pierre Bourdieu.- ''S’il y a quelque chose qui est éternel, c’est les faux problèmes''&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28530160}}, [https://www.franceculture.fr/sociologie/pierre-bourdieu-s-il-y-quelque-chose-qui-est-eternel-c-est-les-faux-problemes Troisième épisode, 1998]&lt;/ref&gt;.}}

=== Naissance de la littérature produite par des afridescendants  ===
* 1808 - {{bibliographie|Q19153634}} &lt;!-- Grégoire.- De la littératue des Nègres --&gt;

=== L'histoire devient savante  ===

==== [[w:1681|1681]] - Jean Mabillon fonde la science historique française  ====
 ► [[w:Jean Mabillon|Jean Mabillon, Dom Jean MABILLON]], (1632-1707).- [https://books.google.com/books?id=mt9fl-oggUwC Histoire des contestations sur la Diplomatique avec l analise de cet ouvrage], 1767.
 ► ''Sur la définition des règles, la conception de Mabillon est parfaitement conforme à celle qu'en donnera le Furetière&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28841901}}, 1990&lt;/ref&gt;''. 
 ► ''Brièves Réfections sur quelques règles de l'histoire est une œuvre inédite de Jean Mabillon qui se trouve dans ses papiers...'''&lt;ref&gt;Chantal Grell, ‎Jean-Michel Dufays.- (https://books.google.com/books?isbn=2904315691 Pratiques et concepts de l'histoire en Europe, XVIe-XVIIIe siècles, 1990 &lt;/ref&gt;
 ► [[w:Jean Mabillon|Jean Mabillon]], un des fondateurs de la science historique française et qui joua un rôle éminent dans la chaîne de transmission du savoir historique entre Moyen Âge et modernité&lt;ref&gt;Jean Mabillon, ‎Odon Hurel, ‎Henri Leclercq.- [https://books.google.com/books?id=jeVNAQAAMAAJ Œuvres choisies], 2007&lt;/ref&gt;.
 ► [musicologie.org/Biographies/m/mabillon_jean.html Jean Mabillon (1632-1707)].- Écrits relatifs à la musique : De liturgia gallicana libri tres, Paris 1685 | Paris 1729 (seconde éd., titre de la première partie: Musicae status) | Dans Migne Jacques-Paul (1800-1875), Patrologiae cursus completus. Serie latina [221 v.]. Petit Montrouge 1844-1855, Turnhout 1966
 ► De re diplomatica libri vi. in quibus quidquid ad veterum instrumentorum antiquitatem, materiam, scriptuam, &amp; stilum; quidquid ad sigilla, monogrammata, subscriptiones, acnotas chronologicas; quidquid inde ad antiquariam, historicam, forensemque disciplinam pertinet, explicatur &amp; illus-tratur. Accedvnt Commentarius de antiquis regum Francorum palatiis. Veterum scripturarum varia specimina, asseruntar &amp; illustrantur. Opera &amp; studio domni Johannis Mabillon. Luteciae Parisiorum, L. Billaine 1681. [facsimilé numérisé de la Staatsbibliothek Berlin]
 Brièves réflexions sur quelques règles de l'histoire (préface et notes de Blandine Barret-Kriegel). Paris, P.O.L., ... Bibliothèque nationale de Frane : v. 1; …

==== [[w:1680|1680]]-[[w:1715|1715]] - La Crise de la conscience européenne, (1680-1715)  ====
 En [[w:1680|1680]], commence, d'après [[w:Paul Hazard|Paul Hazard]], une [[w:La Crise de la conscience européenne|Crise de la conscience européenne]]&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q2725329}}&lt;br /&gt;Occurrences du mot &quot;Modern&quot; : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=+Moderne&amp;year_start=1500&amp;year_end=2008&amp;corpus=19&amp;smoothing=1&amp;share=&amp;direct_url=t1%3B%2CModerne%3B%2Cc0 Google Books 	Ngram Viewer].&lt;/ref&gt; qui se poursuivra jusqu'à la fin du règne de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] en [[w:1715|1715]].
* 1612 - {{bibliographie|Q28843278}}
* 1695 - {{bibliographie|Q28843318}}, Apparemment une satire de Pierre Bayle.- ''Nouvelles de la république des lettres''.

==== [[w:1752|1752]] - [[w:Henry St John (1er vicomte Bolingbroke)|Henri Saint Jean de Bolingbroke]], De l'histoire, du pratriotisme &amp; du traité d'Utrecht  ====
* 1752 - {{bibliographie|Q28863336}}

==== [[w:1870|1870]]-[[w:1914|1914]] - La crise allemande de la pensée française (1870-1914)  ====
* 1870 - D'après Claude Digeon, la pensée française subit une &quot;''crise allemande''&quot; qui durera jusqu'en 1914&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28846066}}, 1959&lt;br /&gt;{{bibliographie|Q28870126}}, 1963.&lt;/ref&gt;.
 {{Citation bloc|Claude Digeon, [[d:Q28846066|La crise allemande de la pensée française (1870-1914)]], Paris, P.U.F., 1959, 568 p. L'ouvrage est issu d’une thèse, soutenue à la Sorbonne en 1957, qui étudie la crise déclenchée à l'égard de l'Allemagne dans la pensée française par la défaite de 1871 et par le rapide développement du nouvel Empire. Claude Digeon envisage l’influence exercée par l’Allemagne sur les écrivains français, sous l’angle du problème national. Son travail est certes fondé sur les écrits des intellectuels français, mais il est sans cesse amené à rapporter leurs considérations et leurs sentiments à ceux de l'opinion publique. Sur le thème étudié par Cl. Digeon, l’étude d'H. Barbey-Say, réalisée à partir d'un corpus de sources élargi, reprend souvent les mêmes analyses. Nous pouvons alors à la fois comparer les positions de l'abbé Remillieux à celles des voyageurs les plus éminents, rapportant d’Allemagne leurs impressions, et indiquer les similitudes de ces positions avec celles de l'opinion française générale ou les décalages qui l’en démarquent. Il faut bien sûr tenir compte des critiques que Jean-Jacques Becker a émises sur les conclusions de Cl. Digeon quant à l’importance du renouveau nationaliste et à sa chronologie...|&lt;ref&gt;J.-J. Becker, ''1914 : Comment les Français sont entrés dans la guerre, Paris, Presses de la fondation nationale des sciences politiques'', 1977, 638 p., p. 38 notamment&lt;/ref&gt;.}}

=== L'histoire devient méthodique  ===

==== [[w:1891|1891]]-[[w:1938|1938]] - Charles Seignobos, fonde l'école méthodique de l'Histoire à l'exemple de la méthode historique allemande  ====
 [[w:Charles Seignobos|Charles Seignobos]] (10 septembre 1854 - 24 avril 1942), historien, est considéré avec [[w:Charles-Victor Langlois|Charles-Victor Langlois]] comme l'un des chefs de l'[[w:École méthodique (histoire)École méthodique (histoire)|école méthodique de l'Histoire]]. Il fut membre de la [[w:Ligue française pour la défense des droits de l'homme et du citoyen|Ligue des droits de l'homme]].
 ► 1881 - [[q:Charles Seignobos|Charles Seignobos]].- &quot;L'enseignement de l'histoire dans les universités allemandes&quot;, Revue internationale de l'enseignement, 15 juin 1881
 ► 1901 - La Méthode historique appliquée aux sciences sociales, Charles Seignobos, éd. F. Alcan, 1901
 ► 1946 - Histoire sincère de la nation française (1937), Charles Seignobos, éd. Presses Universitaires de France, 1946
 {{Citation bloc|'''1901''' - La réflexion épistémologique et méthodologique de Charles Seignobos sur l’histoire et le métier d’historien s’inscrit dans un contexte de professionnalisation de l’histoire comme discipline scientifique, mais aussi d’émergence des sciences sociales. Expliquant en quoi il est nécessaire d’appliquer la méthode historique aux sciences sociales, et quels liens fondamentaux existent entre ces deux disciplines, Seignobos donne une leçon de méthode aux jeunes historiens, en leur détaillant les étapes de la démarche historique, qui repose toute entière sur une bonne lecture du document.|Audrey Levray.- Charles Seignobos, La méthode historique appliquée aux sciences sociales, 2014&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q28586817}}, 2014&lt;br /&gt;Natalie Malabre-. [http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2006.malabre_n&amp;part=116155 La passion d'un prêtre français pour l'Allemagne Wilhelmienne]&lt;/ref&gt;}}

=== De l'histoire-science à la sociologie  ===

 Leroux, Robert (1964-....)
 Histoire et sociologie en France : de l'histoire-science à la sociologie durkheimienne
 Presses universitaires de France (Paris) 
 1998 
 Berr, Henri (1863-1954) 
 École durkheimienne de sociologie -- France
 {{BNF|37000266t}}

=== Naissance de la Presse coloniale  ===

{{Citation bloc|L'histoire de la presse coloniale en est toujours à l'époque de la découverte.&lt;br /&gt;On en est encore à ce premier étonngment qu'on éprouve devant le jaillissement d'une eau abondante jusque là inconnue. Car cette histoire est bien courte qui se place entre le traité de Paris et la fin de l'expédition Leclerc. C'est l'époque en France de la première presse provinciale née, comme celle de Saint-Domingue, au de la guerre de Sept ans, et endormie elle aussi aux premières années du xixe siècle.|Gabriel Debien et Marie-Antoinette Menier, &quot;Journaux de Saint-Domingue&quot;, 1949&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q29014988}}, 1949&lt;/ref&gt;}}
La liste des journeaux inventoriés par les auteurs comprend :
# L'Iris américaine
# Journal de Saint-Domingue
# Gazette de médecine pour les colonies, {{BNF|32780523j}} 
# La Gazette de Saint-Domingue
# Avis divers et petites Affiches Américaines
# Les Affiches Américaines
# Affiches Américaines. Feuille du Cap-Français
# Journal de l'Assemblée provinciale permanente de la partie du Nord de Saint-Domingue
# Nouvelles de Saint-Domingue
# Nouvelles de Saint-Domingue
# Gazette de Saint-Domingue, politique, civile, économique et littéraire et Affiches Américaines ; Gazette de Saint-Domingue, politique, civile, économique et littéraire, et Affiches américaines, {{BNF|327806067}} ; Gazette de St. Domingue, politique, civile, économique et littéraire, rédigée et imprimée au Port-au-Prince, par M. Mozard, de la Société royale des sciences &amp; des arts du Cap-françois, et autres coopérateurs. Affiches, annonces et avis, {{BNF|424488906}}
# Courrier de Saint-Domingue et Affiches Américaines
# Courrier National de Saint-Domingue (suite du précédent)
# Moniteur général de la partie française de Saint-Domingue, {{BNF|328194266}}
# L'ami de la paix et de l'union, feuille périodique de Saint-Marc

{{Citation bloc|Notre liste n'est donc que provisoire. Elle prépare de loin une histoire des journaux et des journalistes de Saint-Domingue. Elle décrit l'extérieur, sans plus, mesurant ce qui nous manque, et localisant ce qui demeure.&lt;br /&gt;Surtout, elle s'excuse de confusions possibles, et tend une main qui appelle aide pour une œuvre enfin complète, ou moins imparfaite|Gabriel Debien et Marie-Antoinette Menier, &quot;Journaux de Saint-Domingue&quot;, 1949&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q29014988}}, 1949&lt;/ref&gt;}}
Pour répondre à l'appel des auteurs, on peut aujourd'hui ajouter :
# Journal général de Saint-Domingue, 16 oct. 1790-16 août 1791, {{BNF|328013781}} ; 1791, {{BNF|36333831j}}
# Journal des officiers de santé de Saint-Domingue, n° 1, 1803 {{BNF|328001667}}
# Prospectus de la Gazette de S. Domingue, {{BNF|30961740k}}
# Gazette officielle de Saint-Domingue, {{BNF|32781433t}}
# , {{BNF|}}
# , {{BNF|}}

=== Les premiers congrès en sciences humaines &amp; sociales  ===

==== 1901 - Premier Congrès international d'histoire des religions  ====
* 1900 - Premiers grands congrès mondiaux de philosophie : [[w:Xavier Léon|Xavier Léon]], philosophe&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q29059089}}, 2006.&lt;/ref&gt;, né à [[w:Boulogne-Billancourt|Boulogne-Billancourt]] le 21 mai 1868, mort à Paris le 21 octobre 1935, est co-fondateur de la [[w:Revue de métaphysique et de morale|Revue de métaphysique et de morale]] en 1893, avec [[w:Alphonse Darlu|Alphonse Darlu]], et de la [[w:Société française de philosophie|Société française de philosophie]], en 1901, avec [[w:André Lalande|André Lalande]]. Il co-organise les premiers grands congrès mondiaux de philosophie à partir de 1900. Il est spécialiste des philosophies de [[w:Emmanuel Kant|Emmanuel Kant]] et de [[w:Johann Gottlieb Fichte|Johann Gottlieb Fichte]], et l'une des principales figures de l'institution philosophique française sous la [[w:Troisième République (France)|Troisième République]].
* 1901 - {{bibliographie|Q28872314}}&lt;!--  Premier Congrès international d'histoire des religions, séances générales --&gt;
* 1902 - {{bibliographie|Q28872419}}&lt;!--  Premier Congrès international d'histoire des religions, II - séances des sections --&gt;
* 2010 - {{bibliographie|Q28872471}}&lt;!-- Article de synthèse, 2010 --&gt;

;[[d:Q28872522|Quatrième Congrès international d'Histoire des Religions]] (9 septembre-13 septembre 1902)
* 1912 - {{bibliographie|Q28872503}}&lt;!-- Le congrès international d'histoire des religions de Leyde (9-13 septembre 1912 --&gt;

;[[d:Q28872707|Congrès international ď'histoire des religions]], 1923

==== 1912 - Premier Congrès international d'eugénique, Londres  ====
* [[d:Q28874891|Premier Congrès international d'eugénique, juillet 1912]]
* 1983 - {{bibliographie|Q28874612}}&lt;!-- Article, Le premier Congrès international d'eugénique, Londres, 1912 --&gt;

==== 1927 - Premier Congrès international sur la population, Genève  ====
* 1954 - {{bibliographie|Q28941907}}&lt;!-- Histoire et chronologie des réunions et congrès internationaux sur la population --&gt;

==== 1931 - Premier Congrès international d'Histoire littéraire et la crise des méthodes  ====
* 1931 - {{bibliographie|Q28871899}}&lt;!-- premier Congrès international d'Histoire littéraire et la crise des méthode --&gt;

==== 1931 - Premier Congrès international d'histoire coloniale  ====
* Voir pages Gratien Candace

=== Construction des corpus archivistiques  ===

{{Citation bloc|Il est regrettable qu'un travail aussi sérieux n'ait pas été étendu à, l'ensemble des chartes savoyardes dans les limites d'une région nettement définie, suivant le plan adopté dans la collection du Recueil des documents relatifs à l'histoire du droit municipal en France. Cette lacune empêche, faute de comparaisons, d'approfondir suffisamment les problèmes comme ceux de la politique d'affranchissement des comtes de Savoie et la nouveauté du droit des chartes de franchises savoyardes. Nous aurions souhaité, d'autre part, que l'auteur dans son catalogue ne se contente pas, lorsqu'elles existent, des sources imprimées. Les éditions que l'on possède ne sont pas toujours établies de façon sûre et il est bon de pouvoir se référer aussi aux sources manuscrites.|Vaillant Pierre. Ruth Mariotte-Löber. Ville et seigneurie. Les chartes de franchises des comtes de Savoie (fin XIIe siècle-1343), 1975&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28604345}}, 1975.&lt;/ref&gt;}}

==== Bibliographe (Construction des corpus archivistiques) ====
* 2015-2016 - {{bibliographie|Q69323272}} &lt;!-- (en) Christine Chivallon.- Slavery and the Caribbean Archive --&gt;

== Théories du développement  ==
* [[w:Théories du développement|Théories du développement]]

=== Epistémologie de la pensée en histoire des systèmes coloniaux  ===
=== Epistémologie de la pensée en histoire des systèmes esclavagistes ===

=== L'identité de l'historien : l'amateur, le professionnel, les écoles  ===

==== Si tu veux être historien, vas aux Archives &amp; cites tes sources  ====

{{Citation bloc|Malgré cette préoccupation, le nombre des pièces réunies dans les pages qui vont suivre, et celui des citations fréquentes qu’il nous faudra faire sera relativement considérable. Il ne faudrait pas en le constatant, qu’on s’imagine que nous avons reculé devant un travail personnel et proprement historique pour nous borner à un recueil incomplet de documents. Entreprendre une œuvre dans ces conditions, serait abdiquer à l’avance la plus noble partie de notre rôle. Ces différents renseignements rassemblés et comparés sont, il est vrai, la base de notre étude, mais s’il a fallu citer textuellement, nous avons du moins essayé de faire sortir du rapprochement de ces divers passages, le récit exact des principaux faits accomplis et surtout leurs conséquences scientifiques. Au milieu des situations variées qu’a traversées la Faculté de droit canonique de Paris, nous suivrons sans arrêt depuis le Moyen Âge jusqu’à la Révolution les traces quelquefois glorieuses, souvent honorables, laissées par son enseignement.|George Péries, La Faculté de droit dans l'ancienne Université de Paris, (1160-1793)&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28843389}}, 1890, [[s:Page:George Péries- La Faculté de droit dans l'ancienne Université de Paris, (1160-1793), 1890.djvu/5|Introduction, page 1]].&lt;/ref&gt;}}

=== Bibliographie (méthodes en Shs)  ===
* 1901 - {{Bibliographie|Q28584829}}
** 2014 - {{Bibliographie|Q28586817}}
* 1954 - {{bibliographie|Q28608979}}
* [[d:Q28530160|1988]] - {{bibliographie|Q28530160}}
* 1988 - {{bibliographie|Q28599451}}
* 1989 - {{bibliographie|Q28599993}}
* 2002 - {{bibliographie|Q28599483}}
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[Fichier:LOD Cloud - 2017-02-07 D.png|200px|vignette|centré|'''Les Humanités numériques''']]
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;

== Les Humanités numériques ==

=== Data Sciences Sociales ===

 Voir ce qui change et comment changent les sciences humaines &amp; sociales
 [https://data.hypotheses.org/ Data Sciences Sociales], Sur les données numériques et leurs usages en sciences sociales
 '''[https://data.hypotheses.org/1154 Après le déluge]'''
  Selon [https://beatricecherrier.wordpress.com/about/ Béatrice Cherrier], au XIVème siècle déjà, le philosophe Ibn Khaldun évoquait cette abondance qui entraverait &quot;la quête humaine du savoir et le travail académique&lt;ref&gt;Ibn Khaldun.- Muqaddimah, 1969, p. 414&lt;/ref&gt;&quot;

=== Centre de recherche interuniversitaire sur les humanités numériques (CRIHN) ===

 Émilien Ruiz (de SciencesPo) &quot;[https://crihn.openum.ca/nouvelles/2020/02/19/video-de-la-conference-demilien-ruiz-sciencespo/?fbclid=IwAR20SVLOfP8b1WFIcHcSQPZ9DPmOZPOVfL2tU2DTzbRim8GNl3OP0DluINE Ce que le numérique fait à l’historiographie : Réflexions à partir d’une enquête sur l’histoire populaire en France]&quot;, [https://crihn.openum.ca/ Centre de recherche interuniversitaire sur les humanités numériques (CRIHN)], basé à l’Université de Montréal, Directeur : Michael E. Sinatra (Université  de Montréal)
 [[w:Iramuteq (logiciel)|Iramuteq]], logiciel libre et ouvert d'analyse de données textuelles ou de statistique textuelle qui fonctionne en interface avec le langage R a été utilisé pour cette recherche, en concurrence avec [[w:Alceste (logiciel)|Alceste]], conçu en 1979 par Max Reinert (laboratoire de Jean-Paul Benzécri, CNRS, Paris) et désormais diffusé par la société Image (Choeb Zafar, dir.).

=== The Australian National Data Service ===

 &quot;[http://www.icpsr.umich.edu/icpsrweb/ICPSR/curation/citations.jsp Your actions can make a difference in building a culture of data citation]&quot;, A diagram from the [http://www.ands.org.au/ Australian National Data Service]
  [http://www.ands.org.au/working-with-data Working with data home]
  [http://www.ands.org.au/news-and-events/share-newsletter/share-27/building-data-communities Building data communities]
  [http://www.ands.org.au/news-and-events/share-newsletter Share] is a quarterly newsletter full of data stories and best practice, published online and in print.

=== Bibliographie ===
* 2009 - {{bibliographie|Q28783815}} &lt;!-- Pierre Mounier et Lou Burnard, « Lou Burnard, &quot;Du Literary and linguistic computing aux Digital Humanities ː retour sur 40 ans de relations entre sciences humaines et informatique&quot; »--&gt;
* 2011 - {{bibliographie|Q40562470}} &lt;!-- La communication scientifique et le numérique --&gt;
* 2013 - Martin Grandjean.- [http://www.martingrandjean.ch/humanites-numeriques-construction-dune-identite/ Humanités numériques : construction d’une identité], Controverses, 04/11/2013. Cf. Yannick Rochat.- Humanités numériques : controverses&lt;ref&gt;“''[https://nedhworks.wordpress.com/ Humanités numériques : controverses]” ''is marked private by its owner. If you were invited to view this site, please log in below''''.&lt;/ref&gt;
* 2016-2017 - {{bibliographie|Q40567044}} &lt;!-- Dériv@tions --&gt;, publié le 29 juin 2016
* 2017 - {{bibliographie|Q40559256}} &lt;!-- La communication scientifique directe vers un public élargi --&gt;
* 2017 - {{bibliographie|Q40691149}} &lt;!-- Software Heritage : Why and How to Preserve Software Source Code --&gt;
* 2019 - {{bibliographie|Q64869586}} &lt;!-- Francesca Musiani &amp; al.- Qu’est-ce qu’une archive du web ? --&gt;
* 2012 - {{bibliographie|Q75992587}} &lt;!-- 2012 - collectif et Fabienne Henryot (dir.), L'historien face au manuscrit  --&gt;

== Les données ou Data : des ressources nécessaires  ==
[[Fichier:Opendata.png|100 px|vignette|gauche]]

=== Attributs du bien, droit &amp; gouvernance  ===
=== Les licence de libre diffusion ou licences ouvertes ===
=== Gouvernance de données : l'Open Data  ===

=== L'innovation ouverte  ===
[[w:Innovation ouverte|Innovation ouverte]]
* [http://www.internetactu.net/2017/02/07/la-culture-des-donnees-levier-de-la-transformation-numerique-des-organisations/ La culture des données, levier de la transformation numérique des organisations]
* 2005 - {{bibliographie|Q118585025}} &lt;!-- La sociologie de la reconnaissance scientifique : généalogie et perspectives --&gt;

 '''2017 - [[d:Q31725502|Humanistica]], [[d:Q31729699)|Revue Humanités numériques]]''' 
 2017 - {{bibliographie|Q31731199}}, publié le 3 juillet 2017 - 10 h 10 min


==== Bibliographie (Cognition et numérique)  ====

 2005 - {{bibliographie|Q61747775}} &lt;!-- Agnès Rebetez et Jean-Jacques Dupaux, « Sciences humaines et sociales : pistes de recherche pour trouver des ressources en ligne » --&gt;
 '''2017 - [[d:Q28951628|Cognition et numérique]]'''
 2017 - {{bibliographie|Q28951401}}
 2017 - {{bibliographie|Q28951802}}
 2017 - {{bibliographie|Q28951850}}
 2017 - {{bibliographie|Q28952143}}

== Un peu de sciences de l’écriture ==
* Émilien Ruiz.- [https://www.boiteaoutils.info/2020/04/apprendre-ecrire/?fbclid=IwAR2NNOEcNIqSfkjv5y15D68O-qiV7Oqs7uZGFwO3Pk3Pq67HpSuVIcqIpyU Apprendre à écrire ?], [https://www.facebook.com/boiteaoutils.info/ La boîte à outils des historien·ne·s],  Posted on 18 avril 2020.

== Écrire &amp; partager avec les projets Wikimedia  ==
[[w:Société de l'histoire de France|Société de l'histoire de France]]

Que signifie la méthode collaborative&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28828014}}, 2017&lt;/ref&gt; en sciences humaines &amp; sociales ?

=== Des Humains &amp; des robots  ===
* 2016 - {{bibliographie|Q26897103}} publié le 14 septembre 2016

== Licences Creative Commons  ==
[[Fichier:CC-logo.svg|100 px|vignette|gauche|Logo officiel Creative Commons.]]

=== Quelle licence pour ce travail de recherche ?  ===
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 Libre Knowledge Culture Society
 
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=== Des licences Creative Commons, une forêt de licences  ===
[[Fichier:Creative commons license spectrum.svg|100px|vignette|gauche|La famille des licences Creative Commons]]


=== Une organisation internationale…  ===


=== Des structures par pays...  ===
* creativecommons.fr/
{{Citation bloc|Partager, Remixer, Réutiliser légalement&lt;br /&gt;Creative Commons est une organisation à but non lucratif qui a pour dessein de faciliter la diffusion et le partage des œuvres tout en accompagnant les nouvelles pratiques de création à l’ère numerique.|Creativecommons.fr&lt;ref&gt;[https://creativecommons.fr/ creativecommons.fr]&lt;/ref&gt;}}

=== Communiquer &amp; Questionner...  ===
* [http://questioncopyright.org/ questioncopyright.org]


=== CC : un corpus juridique  ===

&lt;br /&gt;
[[Fichier:MediaWiki.svg|200px|vignette|centré]]
&lt;br /&gt;

=== Gouvernance des biens communs culturels  ===

==== Bibliographie ====
* 2004 - {{bibliographie|Q43461118}} &lt;!-- International Commons at the Digital Age --&gt;

== Wikimedia Foundation  ==
[[Fichier:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|100px|vignette|gauche|Wikimedia Foundation logo]]
[[Fichier:Wikimedia logo family complete-2013.svg|100px|vignette|gauche|[[c:File:Wikimedia logo family complete-2013.svg|Wikimedia : logo family]].]]
[https://wikimediafoundation.org/wiki/Home Wikimedia Foundation]

== Wikipédia, L'encyclopédie libre  ==

=== Définition ===
[[Fichier:Induction par accumulation.jpg|100px|vignette|gauche|{{own|31 juillet 2010}}]]
=== Wikipédia, sous licence CC  ===

;Creative Commons Attribution-ShareAlike License

{{Citation bloc|Wikipédia ne garantit pas le contenu mis en ligne.&lt;br /&gt;La Wikimedia Foundation étant un hébergeur, elle ne saurait être tenue responsable des erreurs éventuelles contenues sur ce site.&lt;br /&gt;Chaque rédacteur est responsable de ses contributions.|}}

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;Wikipedya, ansiklopedi lib

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=== Wikipédia en mode &quot;Prévisualiation&quot;  ===

{{Citation bloc|[[w:Modification de Traitement de texte (section)|Modification de Traitement de texte (section)]]&lt;br /&gt;
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La page &quot;Modification de Traitement de texte (section)&quot;, générée in situ, n'est pas permanente : le lien renvoie vers un message d'erreur et de propositions alternatives.

=== Le traitement informatique de la langue  ===

;Bibliographie (Le traitement informatique de la langue)
* 1991 - {{bibliographie|Q28044502}}

=== Hamelin de Guettelet.- Ainsi va Wikipédia, jeudi 3 janvier 2008 - jeudi 5 mai 2011  ===

 '''2008-2011''' - {{bibliographie|Q29352498}}, jeudi 3 janvier 2008 - jeudi 5 mai 2011
 '''2008''' - Hamelin de Guettelet.- [http://ainsi-va-wikipedia.blogspot.fr/2012/01/pourquoi-cette-section-de-mon-blog.html Pourquoi ce blog-notes ?], jeudi 3 janvier 2008,
 '''2011''' - Hamelin de Guettelet.- [http://ainsi-va-wikipedia.blogspot.fr/2011/05/au-revoir.html Au revoir Wikipédia], jeudi 5 mai 2011

== Wikidata : attributs du bien, droit &amp; gouvernance  ==
[[Fichier:Wikidata-logo-en.svg|100 px|vignette|gauche|Logo de Wikidata]]
[[Fichier:CC-Zero-badge.svg|vignette|100 px|vignette|gauche|Pictograme de la licence CC0]]

=== Définition &amp; objectifs ===

[[w:Wikidata|Wikidata]], projet de [[w:Base de données|base]] de données libre éditée de manière collaborative hébergée par la [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]], a pour objectif de fournir des [https://www.wikidata.org/wiki/Help:About_data/fr données structurées]. Elle permet de centraliser des données utilisées par différents projets Wikimedia.

Nous utilisons les comptétences de Wikidata comme [[w:Logiciel de gestion bibliographique|Logiciel de gestion bibliographique]] et [[w:Liste de logiciels de statistiques|outil logiciel de statistiques]].

=== Wikidata sous licence CC0  ===

Wikidata est placée sous licence [[w:Licence CC0|Creative Commons Zéro]]1, 

La '''licence CC0''' [[w:Creative Commons Zero|Creative Commons Zero]] est une [[w:licence libre|licence libre]] [[w:licence Creative Commons|Creative Commons]] permettant au titulaire de [[w:droit d’auteur|droits d’auteur]] de renoncer au maximum à ceux-ci dans la limite des lois applicables, afin de placer son œuvre au plus près du [[w:Domaine public (propriété intellectuelle)|domaine public]]. 

La licence CC0 concerne tous ceux qui mettent à disposition du contenu. Elle autorise toute personne à réutiliser librement ses travaux, les améliorer, les modifier, quel que soit le but et sans aucune restriction de [[w:droit|droit]], sauf celles imposées par la loi.

La licence CC0 a été lancée officiellement le  11 mars 2009 {{Date|11|mars|2009|en informatique}} par l’organisation [[w:Creative Commons|Creative Commons]].

=== Gouvernance de Wikidata  ===

;Bibliographie (Gouvernance de Wikidata)
* 2015 - [[w:Benjamin Coriat|Benjamin Coriat]].- Comment définir un commun ? dans {{bibliographie|Q27942865}}, publié le 20 mai 2015.

=== Construction d'une bibliographie avec Wikidata : questions méthodologiques  ===
* Bibliographie biens communs &amp; communaux (voir ci-dessous)
* Bibliothèque &amp; bibliographie : méthodologie, sciences &amp; mémoire
* Quelles questions méthodologiques posent la construction d'une bibliographie avec Wikidata ? 

=== Etude d'un cas : la naissance de l’aéronautique  ===

Après la révolution, Saint-George réaparait au monde lors d'une expérience aérostatique{{reférences nécessaires}}

Nous verrons plus loin les questions posées par la construction de d'autres corpus archivistiques et/ou bibliographiques et les résultats obtenus. Par exemple, en ce qui concerne le Code Noir.
* 1783-1784 - {{bibliographie|Q28026028}}
** Description des expériences de la machine aérostatique de MM. de Montgolfier, et de celles auxquelles cette découverte a donné lieu ; Suivie...&lt;br /&gt;* De recherches ſur la hauteur à laquelle est parvenu le ballon du Champ-de-Mars. ſur la route qu'il a tenue ; ſur les différents degré de pesanteur de l'air dans les couches de l'atmoſphère ;&lt;br /&gt;* D'un mémoire ſur le gaz inflammable &amp; ſur celui qu'ont employé MM. de Montgolfier ; ſur l'art de faire les Machines aéroſtatiques, de les couper, de les remplir, &amp; ſur la manière de diſſoudre la gomme élaſtique, &amp;c, &amp;c. ;&lt;br /&gt;* D'une lettre sur les moyens de diriger ces machines, &amp; ſur les différens usages auxquels elles peuvent être employées.&lt;br /&gt;* Ouvrage orné de neuf planches en taille douce, repréſentant les diverſes Machines qui ont été conſtruites jusqu'à ce jour, particulièrement celle de Versailles, &amp; celle dans laquelle des hommes ont été enlevés juſqu'à la hauteur de {{unité|324|pieds}}, &amp;c, &amp;c.
* description de l'ouvrage &quot;{{bibliographie|Q28026028}}&quot; par la BnF&lt;br /&gt;* '''Auteur(s)''' : Faujas de Saint-Fond, Barthélemy (1741-1819) [http://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?index=AUT3&amp;numNotice=12181006 Voir les notices liées en tant qu'auteur]&lt;br /&gt;* '''Titre(s)''' : Description des expériences de la machine aérostatique de MM. de Montgolfier et de celles auxquelles cette découverte a donné lieu, suivie de recherches sur la hauteur à laquelle est parvenu le ballon du Champ-de-Mars... d'un mémoire sur le gaz inflammable et sur celui qu'ont employé MM. de Montgolfier,... d'une lettre sur les moyens de diriger ces machines... par M. Faujas de Saint-Font. - Première suite de la Description des expériences aérostatiques de MM. de Montgolfier... contenant les voyages aériens de La Muette, des Tuileries... etc., plusieurs mémoires de MM. de Montgolfier et de M. le Cte de Milly,... un mémoire sur la gomme élastique ou caoutchouc... etc.,... par M. Faujas de Saint-Fond. Tome second [Texte imprimé]&lt;br /&gt;* '''Publication''' : Paris : Cuchet, 1783-1784&lt;br /&gt;* '''Description matérielle''' : 2 vol. in-8° , pl. et tableaux&lt;br /&gt;* '''Notice n° :  FRBNF30420572

== Wikisource : attributs du bien, droit &amp; gouvernance  ==

=== Définition ===

=== Wikisource sous licence CC0  ===

=== Gouvernance de Wikisource  ===

=== Construction d'une base de données textuelles avec Wikisource : questions méthodologiques  ===

==== Etude d'un cas : le Code Noir  ====

==== Éditer des textes du {{S|XVIII}} ====

Albert Mathiez ne parle pas du s long (ƒ) dans ce texte publié en 1910

{{Citation bloc|''Il n'y a pas deux méthodes pour éditer les textes. Il n'y en a qu'une bonne, celle qui consiste à donner le texte exact tel qu'il est connu par les manuscrits ou les imprimés, en notant soigneusement les variantes. Corriger les écrits du {{S|XVIII}} sous prétexte de les mettre en harmonie avec l'orthographe actuelle est une sottise qui n'a pu venir à l'esprit que de publicistes médiocres, aussi étrangers à la philologie qu'à l'histoire, mais désireux avant tout d'atteindre le grand public qu'il s'agit d'endoctriner. Que ces publicistes trônent parfois dans les commissions officielles et y fassent même la loi, leur sottise n'en est pas moins une sottise.&lt;br /&gt;J'ai reproduit les textes que je publie avec leur orthographe ancienne, sans y changer autre chose que la ponctuation. Quand les noms propres sont déformés au point d'être méconnaissables, une note avertit le lecteur.&lt;br /&gt;L'orthographe de ce temps-là était infiniment moins arrêtée que celle de notre époque nivelée par l'école primaire. On écrivait aussi souvent j'étois (forme ancienne) et j'étais (forme nouvelle patronnée par Voltaire), tems et temps, vous venés et vous venez, azile et asile, samedy et samedi, les puissans et les puissants, etc. Les noms propres eux-mêmes n'avaient rien de rigide, Le Roux et Le Roulx, Regnault, Regnaud et Renaud, Bailli, Le Bailli, Bailly, Rutledge et Rutlidge, Baudoin et Baudouin, etc., désignent souvent une même personne.&lt;br /&gt;Ce serait outrager la langue, commettre un barbarisme que de substituer notre égalitaire uniformité à la variété flexible des anciens mots. Quand on déforme la figure des mots, on est bien près de déformer aussi leur sens. Tout se tient et l'esprit historique est un.''|1910 - {{Bibliographie|Q95628467}}, pp III-IV.}}

==== Bibliographie (Construction d'une base de données textuelles avec Wikisource)  ====
* [[w:Text Encoding Initiative|Text Encoding Initiative]]
* 2014 - {{bibliographie|Q28775129}} publié le 11 avril 2014

== DBpedia : attributs du bien, droit &amp; gouvernance  ==
[[Fichier:DBpedia logo.svg|100px|vignette|gauche|Logo de DBpedia]]
[[Fichier:GPLv3 Logo.svg|100px|vignette|gauche|Pictogramme de la [[Licence publique générale GNU|GNU General Public License]].]]

=== Définition ===

[[w:DBpedia|DBpedia]] est international et en français. Le projet est conçu par ses auteurs comme l'un des &quot;noyaux du Web émergent de l'open data&quot;&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q27910422}} 2007&lt;/ref&gt;

le chapitre francophone de [http://fr.dbpedia.org/index.html DBpedia] s'inscrit dans l'effort d'internationalisation de DBpedia dont le but est de maintenir des données structurées extraites de différents chapitres de Wikipedia. Le développement de DBpedia en français est mené dans le cadre de la plateforme SémanticPédia, Publication de données sémantisées des projets Wikimedia en français. Les partenaires de [[w:Sémanticpédia|SémanticPédia]] sont : l'équipe Wimmics commune à Inria et au laboratoire I3S (UNS / CNRS). le Ministère de la Culture et de la Communication.

Les [[w:Propriétaire|propriétaires]], non [[wikt:privateur|privateurs]]&lt;ref&gt;Pour une meilleure compréhension du terme, voir le [http://www.cnrtl.fr/definition/privateur cnrtl].&lt;/ref&gt; de [[d:Q3478364|SémanticPédia]] sont : Wikimédia France, Ministère de la culture et de la communication, Inria

=== DBpedia sous GNU General Public License  ===

[[w:Licence publique générale GNU|GNU General Public License]]

=== Gouvernance de DBpedia  ===

;Bibliographie (Gouvernance de DBpedia)
{{bibliographie|Q27910422}} 2007, [http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-540-76298-0_52 Références] &amp; [http://www.bookmetrix.com/detail/chapter/de86125e-709c-4667-bfa2-548c14fc2f80#downloads downloads].

=== Open Access  ===
[[Fichier:Open Access logo PLoS white.svg|100 px|vignette|gauche|logo &quot;Open Access&quot;.]]

Le [[w:Libre accès (édition scientifique)|libre accès]] est actuellement à l'origine de beaucoup de discussions entre universitaires, bibliothécaires, administrateurs d'universités, éditeurs scientifiques et politiciens. Il existe un désaccord substantiel sur le concept de libre accès, avec un grand débat autour de sa rémunération économique&lt;ref&gt;Etablir les statistiques des ouvrages en libre accès utilisés dans ce travail et leur répartition entre domaine public et ouvrage hors du domaine public, i.e. dont les auteurs sont vivants.&lt;/ref&gt;.

== Qu'est-ce qu'une &quot;Archives ouvertes&quot; ou &quot;Hyper Article on Line&quot; ?   ==

=== Définition Un exemple de communs intellectuels  ===

{{Citation bloc|L'archive ouverte HAL-SHS (Sciences de l’Homme et de la Société), est destinée au dépôt et à la diffusion d'articles scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, dans toutes les disciplines des sciences humaines et de la société.|HAL, Archive ouverte en Sciences de l'Homme et de la Société&lt;ref&gt;https://halshs.archives-ouvertes.fr/ HAL, Archive ouverte en Sciences de l'Homme et de la Société&lt;/ref&gt;.}}

=== Attribut du bien, droit &amp; gouvernance  ===
* [[w:en:Open archive|Open archive]]. Le libre accès à l'édition scientifique ou [[w:Libre accès (édition scientifique)|Archives ouvertes]] est une des variantes de l’open accès.
* [[w:Open Archives Initiative Protocol for Metadata Harvesting|Open Archives Initiative Protocol for Metadata Harvesting]]
* [https://www.ccsd.cnrs.fr/fr/presentation/le-ccsd/ Le Centre pour la Communication Scientifique Directe]
** [https://www.ccsd.cnrs.fr/wp-content/uploads/2016/03/Convention_partenariat_HAL.pdf Convention de partenariat en faveur des archives ouvertes et de la plateforme mutualisée HAL]
** [https://hal.archives-ouvertes.fr/ Archive ouverte HAL]
** [https://hal-ujm.archives-ouvertes.fr/ Welcome in HAL (Hyper Article on Line)]
** [https://halshs.archives-ouvertes.fr/ Archive ouverte en Sciences de l'Homme et de la Société]

;Bibliographie (Attribut du bien, droit &amp; gouvernance)
* 2015 - [[w:Benjamin Coriat|Benjamin Coriat]].- Comment définir un commun ? dans {{bibliographie|Q27942865}}, publié le 20 mai 2015.

=== La question des enclosures est-elle levée ?  ===

=== Open Edition  ===
* [http://cleo.openedition.org/presentation/dates Chronologie] : les grandes dates du développement de OpenEdition
Le [[w:Fichier:Logo OpenEdition 300dpi.png|logo]] de OpenEdition, portail de Sciences humaines et sociales est une marque déposée soumise au droit d'auteur. En France, sa mise à disposition est autorisée dans la limite des droits accordés par l'article L713-6 alinéa b du Code de la propriété intellectuelle et est reproduite ici en vertu de ces droits.

== Les Bibliothèques numériques  ==

=== L'Internet Archive &amp; Open Library  ===

L’{{Langue|en|Internet Archive}}, ou '''&lt;strong&gt;IA&lt;/strong&gt;''' est un [[w:Association à but non lucratif|organisme à but non lucratif]]&lt;ref&gt;A 501(c)(3) non-profit.&lt;/ref&gt; consacrée à l’[[w:archivage du Web|archivage du Web]]. L'[[w:Internet Archive|Internet Archive]] construit une librairie digital des sites du Web et autres artefacts culturels sous forme digitale. Situé dans le [[w:Presidio de San Francisco|Presidio de San Francisco]] en [[w:Californie|Californie]], le projet est aussi une [[bibliothèque numérique]] intitulée Open Library. Il inclut ''The Wayback Machine'', ''Archive.org'' and ''archive-it.org''. L'usage de Open Library est soumis aux conditions d'utilisation de l'Internet Archive.

=== Les logiciels libres  ===
[[Fichier:Carte conceptuelle du logiciel libre.svg|100px|vignette|gauche|Carte conceptuelle du logiciel libre]]
{{Citation bloc|Free Software” is Better than “Open Source”|{{bibliographie|Q3087293}}, 2002&lt;ref&gt;[https://www.gnu.org/philosophy/fsfs/rms-essays.pdf 6 Why “Free Software” is Better than “Open Source”, page 57.]&lt;/ref&gt;}}

== Les théories en sciences humaines &amp; sociales  ==
* [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Sciences%2CSciences+humaines+et+sociales%2CSciences+humaines%2CSciences+sociales&amp;case_insensitive=on&amp;year_start=1500&amp;year_end=2008&amp;corpus=19&amp;smoothing=6&amp;share=&amp;direct_url=t4%3B%2CSciences%3B%2Cc0%3B%2Cs0%3B%3Bsciences%3B%2Cc0%3B%3BSciences%3B%2Cc0%3B%3BSCIENCES%3B%2Cc0%3B.t4%3B%2CSciences%20humaines%20et%20sociales%3B%2Cc0%3B%2Cs0%3B%3Bsciences%20humaines%20et%20sociales%3B%2Cc0%3B%3BSciences%20humaines%20et%20sociales%3B%2Cc0%3B%3BSciences%20Humaines%20et%20Sociales%3B%2Cc0%3B%3BSCIENCES%20HUMAINES%20ET%20SOCIALES%3B%2Cc0%3B.t4%3B%2CSciences%20humaines%3B%2Cc0%3B%2Cs0%3B%3Bsciences%20humaines%3B%2Cc0%3B%3BSciences%20humaines%3B%2Cc0%3B%3BSciences%20Humaines%3B%2Cc0%3B%3BSCIENCES%20HUMAINES%3B%2Cc0%3B.t4%3B%2CSciences%20sociales%3B%2Cc0%3B%2Cs0%3B%3Bsciences%20sociales%3B%2Cc0%3B%3BSciences%20Sociales%3B%2Cc0%3B%3BSciences%20sociales%3B%2Cc0%3B%3BSCIENCES%20SOCIALES%3B%2Cc0 Sciences,Sciences humaines et sociales,Sciences humaines,Sciences sociales], Google Books Ngram Viewer, 1500-2008.


=== Théories économiques  ===

==== Karl Marx, Le Capital  ====
[[Fichier:Portrait de Karl Marx - JRoy Le Capital, 1872.png|100px|vignette|gauche]]
[[File:Karl Marx JRoy Le Capital.png|100px|vignette|gauche]]
[[File:Le Capital Karl Marx JRoy 1872 Lettre de Marx à Maurice Lachâtre.png|100px|vignette|gauche]]

;Bibliographie (Théories économiques)
* 1846 - {{Bibliographie|Q28049494}}. Ouvrage d'économie en 6 volumes, 1846-1848 :
# [https://books.google.com/books?id=IX9IAAAAYAAJ Tome premier, 1846]. '''A''' - Abeille
# [Tome second]
# [https://books.google.com/books?id=o95BAAAAcAAJ Tome troisième, 1847]. '''C''' - Consommation (de l'influence de la consommation sur la production)
# [Tome quatrième]
# [https://books.google.com/books?id=spMPAAAAQAAJ Tome cinquième, ]. '''P''' - Pension de retraite, [https://books.google.fr/books?id=spMPAAAAQAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA336#v=onepage&amp;q=Prolétaire%20-%20propriétaire&amp;f=false Prolétaire - Propriété]
# [https://books.google.com/books?id=8N5BAAAAcAAJ Tome sixième, 1848]. '''S''' - Stastistique des Etats prussiens
* [[d:Q28050151|2015]] - {{bibliographie|Q28050151}} [http://www.danielebesomi.ch/dictionaries/bibliography/kind/political_economy.html Lire en ligne]. Cf. [http://www.mdejongh.com/116.HTML Old, rare and scholarly books]

Voir sur [[s:Wikisource:Dictionnaires/Sources|Wikisource]]
* 1826 - [[s:Dictionnaire analytique d’économie politique|Dictionnaire analytique d’économie politique]] par [[s:Auteur:Charles Ganilh|Charles Ganilh]], publié chez Ladvocat.
* 1891 - [[s:Nouveau Dictionnaire d’économie politique|Nouveau Dictionnaire d’économie politique]] par [[s:Auteur:Léon Say|Léon Say]] et [[s:Auteur:Joseph Chailley-Bert|Joseph Chailley-Bert]], 1891.
* 1900 - [[s:Nouveau Dictionnaire d’économie politique|Nouveau Dictionnaire d’économie politique]] 2&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; édition, par [[s:Auteur:Léon Say|Léon Say]] et [[s:Auteur:Joseph Chailley-Bert|Joseph Chailley-Bert]], 1900.

;''Bibliographie (Théories économiques/Karl Marx, Le Capital)''
* [https://www.marxists.org/ Marxistes Internet Archive]
* 1872 - {{Bibliographie|Q27777556}}
* 2007 - {{bibliographie|Q32904868}} &lt;!-- Louvrier, Julien, « Marx, le marxisme et les historiens de la Révolution française au XXe siècle » --&gt;
* 2015 - [[d:Q28133281|Penser la transformation]], colloque du Centre de recherches interdisciplinaires en sciences humaines et sociales,
* [[d:Q28381225|2015]] - {{bibliographie|Q28381225}}
* 2016 - &quot;[[d:Q28380961|L’exploitation]]&quot;, [[d:Q28133281|Penser la transformation]], colloque du Centre de recherches interdisciplinaires en sciences humaines et sociales,
* [[d:Q28380961|2016]] - {{bibliographie|Q28380961}}, publié les 20-21 avril 2016
** [[d:Q28380972|2016]] - {{bibliographie|Q28380972}}, publié les 20 avril 2016

=== Maurice Halbwachs.- Histoire, mémoire, mémoire collective  ===

==== Sociocritique ====

==== Les cadres sociaux de la mémoire (1925)  ====

{{Citation bloc|La mémoire individuelle existe, mais enracinée dans des cadres sociaux, et seule la mémoire collective, propre à chaque groupe social, est une mémoire créatrice : &quot;''[Elle] ne conserve pas le passé, mais elle le reconstruit à l'aide des traces matérielles, des rites, des traditions qu'il a laissés, et aussi à l'aide des données psychologiques et sociales récentes, c'est-à-dire avec le présent''&quot;|Les Cadres sociaux de la mémoire, 1925&lt;ref&gt;Cité par ''Universalis.fr''.-[http://www.universalis.fr/encyclopedie/maurice-halbwachs/''Halbwachs Maurice, (1877-1945)'']&lt;br /&gt;Maurice Halbwachs (1877-1945).- Les cadres sociaux de la mémoire (1925), Bibliographie,  [http://classiques.uqac.ca/classiques/Halbwachs_maurice/cadres_soc_memoire/cadres_soc_memoire.html Classiques.uqac.ca].&lt;br /&gt; {{bibliographie|Q28017390}}, 1925.&lt;/ref&gt;.}}


;Bibliographie (Maurice Halbwachs.- Histoire, mémoire, mémoire collective)
* 1925 - {{bibliographie|Q28017556}}
* 2014 - {{bibliographie|Q69653990}} &lt;!-- (en) Christine Chivallon, &quot;Archives, Memory and 'Traces’ --&gt;

== Théorie de la transparence de l’information ==
Nous croyons généralement que tout le monde sait tout, à chaque instant. : ''tous les participants au marché de la connaissance ont une perception complète instantannée et permanente de tous les facteurs significatifs de tous les secteurs de ce marché qui se compose d'une part de la culture, d'autre part de la civilisation. C'est
 {{Citation bloc|&lt;br&gt;&quot;''L'information parfaite de tous les agents sur tous les autres et sur le bien échangé suppose une information gratuite et immédiate''&quot;. C'est une des conditions du fonctionnement en système capitaliste. &lt;br&gt;&quot;''Selon une vieille habitude, qui ne persiste qu'en France, la concurrence « pure et parfaite » comporte, comme son nom l'indique, deux volets : la « pureté », d'une part, la «perfection», de l'autre. Plus précisément, la distinction est faite entre d'une part, la « pureté de la concurrence» (atomicité de l'offre et de la demande, homogénéité du produit, libre entrée et sortie du marché) et la « perfection du marché » (transparence des marchés, mobilité des facteurs de production) ; cette distinction amène à parler de «concurrence pure sur des marchés parfaits''».|[[w:Concurrence_pure_et_parfaite|Wikipédia.- ''Concurrence pure et parfaite'']].}}

=== La quête d'une &quot;information gratuite et immédiate&quot; ===

=== Or,  Wikipédia diffuse une &quot;''information gratuite et immédiate''&quot; ===

=== Wikipédia est-elle donc ma référence ? ===

== Théorie ancrée  ==

L'analyse par [[w:théorisation ancrée|théorisation ancrée]]&lt;ref&gt;(Paillé, 1994)&lt;/ref&gt; ou méthodologie de la théorisation enracinée&lt;ref&gt;(Luckerhoff et Guillemette, 2012)&lt;/ref&gt;, ('''''Grounded theory''''' pour les anglophones), est une méthode de recherche issue, à la fin des [[w:années 1960|années 1960]]&lt;ref&gt;&quot;Glaser1967&quot; ; Glaser B &amp; Strauss A (1967).- ''The Discovery of Grounded Theory: Strategies for Qualitative Research''. Chicago: Aldine de Gruyter.&lt;/ref&gt; des [[w:sciences sociales|sciences sociales]], [[w:Ethnographie|Ethnographie]] et [[w:sociologie|sociologie]], notamment&lt;ref&gt;Charmaz, K., &amp; Mitchell, R. (2001). Grounded Theory in Ethnography. In P. Atkinson, S. Coffey, J. Delamont, &amp; L. Lofland (Eds.), Handbook of Ethnography (pp. 160-174), London.)&lt;/ref&gt;.

La [[w:Théorie ancrée|Théorie ancrée]] vise à construire des théories non pas à partir d'hypothèses prédéterminées mais à partir des données du terrain et de ''situation de terrain''&lt;ref&gt;Clarke2005&gt;Clarke A (2005) ''Situational Analysis: Grounded Theory After the Postmodern Turn''. Thousand Oaks, CA: Sage. Dey, I. (1999). Grounding Grounded Theory. Social Work. Academic Press.&lt;/ref&gt; que le [[chercheur]] a collecté ou peut collecter. Elle est  utilisée en &quot;recherche qualitative&quot; mais peut aussi s'appliquer dans la recherche quantitative.

== L'éthnométhodologie est-elle pertinente pour les sciences de l'histoire à l'heure des Big Data ? ==
 [[w:Ethnométhodologie|Ethnométhodologie]]

== Les outils de l’historien à l'ère du numérique  ==
* 2016 - {{bibliographie|Q28142465}}

=== 2022 - La vie savante : la question biographique dans les sciences humaines ===
* 2022 -  {{bibliographie|Q119104533}} &lt;!-- La vie savante : la question biographique dans les sciences humaines --&gt;
** 2022 -  {{bibliographie|Q119104662}} &lt;!-- Nicolas Adell (dir.), La vie savante. La question biographique dans les sciences humaines --&gt;

=== Approche statistique  ===
* 1975-1995 - {{Bibliographie|Q7805419}}
* Sans date - {{bibliographie|Q28758763}}.&lt;br /&gt;Intervention de Lou Burnard lors de la seconde séance du séminaire Digital Humanities de l'EHESS animé par Marin Dacos et Pierre Mounier. Lou Burnard développe une perspective historique sur le développement de ce domaine depuis les années 1960 jusqu'à aujourd'hui.&lt;br /&gt;Description du code [[w:American Standard Code for Information Interchange|ASCII (American Standard Code for Information Interchange)]], Alpha.&lt;br /&gt;Approche statistique, la concordance () : la méthode appliquée à la rentabilité du système esclavagiste de USA, analyse strictement numérique de l’esclavage aux USA au XIXème, traitement des esclave : un esclave n'est fouetté qu'environ, 0,7 (''à l'exclusion de l'intensité des coups'') le plus important c'étaientt les faits, : Robert William Fogel, ‎Stanley L. Engerman.- Time on the Cross : [https://books.google.fr/books?id=_KQWvgAACAAJ&amp;dq=Time+on+the+Cross&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;redir_esc=y Time on the Cross: The Economics of American Negro Slavery, Volume 1], 1974 ; [[w:en:Time on the Cross|Time on the Cross]].&lt;br /&gt;Les réseaux sociaux aux {{S|XVII-XVIII}}&lt;br /&gt;Mutualisation des données&lt;br /&gt;Cercle herméneutique : l'intérêt de numériser des ouvrages. Distributivité &amp; modèle économique. Manifeste de Open Source : ce qui coûte c'est le support. Ce qui est rentables ce sont les applications du logiciels. Si ça fonctionne pour l'informatique, pourquoi pas le faire fonctionner pour les textes.&lt;br /&gt;Manifesto des Digitals Humanities, ensemble de pratiques qui convergent mais non unifiées. Le numérique a renouvelé et démocratisé la production et la consomment des SHS&lt;br /&gt;Le Web est arrivé en 1994 (en usage déjà en 1992).&lt;br /&gt;Les années 1980 où rien ne marchait.&lt;br /&gt;Taxinomie, classement. Indexation. Le travail collaboratif avec Twitter ou Flickr, classification des photos.&lt;br /&gt;Gallica, Europeana, conserver le patrimoine&lt;br /&gt;1:53:00 - Economie basée sur l'abondance et non pas sur la rareté.&lt;br /&gt;Que peut-on faire avec 1 million de livres : Créer une nouvelle manière de lire, comment &quot;non lire&quot;. . L'absence de lire est toujours présente. Faire ressortir et visualiser des choses intéressantes, décomposer et recomposer : c'est le défi.&lt;br /&gt;Décrire des ressources disponibles. Projet de les mettre ensemble. Manière de discuter entre collègues. Paternité.&lt;br /&gt;Que faisons-nous dans les SHS : nous connaissons les textes qui sont des représentations. L'informatique, c'est humaniser (les humanités), c'est modéliser.&lt;br /&gt;Analyse de Internet Archive. Les industries culturels. Le logiciel libres à partir des années 1980. La survie du patrimoine numérique.

=== Corpus d'images  ===

Les documents iconographiques utilisés sont regroupés dans [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Iconographie|Annexe : Iconographie]].
# Une image au début de chaque [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|chapitre, sous-chapitre ou annexe]]
## Une image au début de chaque siècle
## Une image au début de chaque année marquant une rupture importante. Par exemple, l'anée 1492
## Images illustrant chaque événement : acteur(s), lieu(x), action(s), transformation(s) et/ou conséquence(s)
# En annexes chronologie :
# En annexes [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Bibliographie|Bibliographie]] : une image illustrant au mieux l'ouvrage dans son temps

&lt;gallery&gt;
File:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter A.jpg|Alphabet : [[c:Category:Font design by Luca Pacioli|Font design by Luca Pacioli]]
Fichier:USA Capitol - Columbus Doors Drawing AOC.png|Récit de la vie de Christophe Colomb, [[c:Category:Columbus Doors|Columbus Doors, Images of the Architect of the Capitol]]
&lt;/gallery&gt;

==== Echange sur les réseaux sociaux (First use of the Cotton Gin)  ====
&lt;gallery&gt;
File:William L. Sheppard - First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869, p. 813.png|William L. Sheppard - First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869
File:Cotton gin harpers.jpg|Cotton gin harpers, late {{S|XVIII}}
&lt;/gallery&gt;
* 14-15 février 2017 : [https://www.facebook.com/sully.tacite/posts/1083579895087244?comment_id=1083730898405477&amp;notif_t=like&amp;notif_id=1487157445111916 débat sur Facebook] à propos de &quot;''[[c:File:Cotton gin harpers.jpg|William L. Sheppard]] - [[c:File:William L. Sheppard - First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869, p. 813.png|First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869]]''&quot;


==== Bibliographie (Corpus d'images)  ====

;Bibliographie (&quot;Relation texte/image&quot;)
* 2016 - {{bibliographie|Q25352950}}

;Bibliographie (Corpus d'images/Méthodologie)
* 413 - {{Bibliographie|Q212318}}

;Bibliographie (Corpus d'images/Historiographie)
* 2005 - {{bibliographie|Q27981724}}, enjeux historiographiques
* 1998 - {{bibliographie|Q28530160}} (déplacer)
* 2017 - {{bibliographie|Q28602552}} (déplacer)

== Bibliographie (Partage des savoirs)  ==
* 1808 - {{bibliographie |Q19153634}} &lt;!-- Grégoire.- De la littérature des Nègres --&gt;
* 1909 - {{bibliographie|Q27922024}}
* 2007 - {{bibliographie|Q27978005}}
* 2009 - {{bibliographie|Q28783815}}
* 2010 - {{bibliographie|Q28541335}}

;2010-2012 - Manifeste des Digital humanities
 THATCamp Paris 2010
* 2011 - {{bibliographie|Q28861963}}, 26 mars 2011, [https://twitter.com/thatcampfr Twitter]
** 2012 - {{bibliographie|Q28861927}}, La [http://tcp.hypotheses.org/318 version originale] de ce texte est disponible sur THATCamp, 26 mars 2011

==== Articles ====
* 2002 - {{bibliographie|Q92742418}} &lt;!-- Marcel Detienne, L'art de construire des comparables --&gt;
* 2016 - {{bibliographie|Q27824519}}
* 2014-2017 - {{bibliographie|Q28125706}}

==== Visioconférences ====
* [[d:Q28048681|2012]] - {{bibliographie|Q28048681}} Intérêt d'une base de données archivistique virtuelle

==== Thèses en préparation   ====

2015 - {{bibliographie|Q27942729}} [[d:Q27942729|Wikidata]], [http://www.theses.fr/s139499 Projet de thèse en Sociologie, demographie], Sous la direction de Eric Verdier, [http://www.lest.cnrs.fr/spip.php?article794&amp;lang=fr CNRS].

=== Bibliographie thématique (culture Coloniale)  ===
* 2016 - {{bibliographie|Q27918603}}, publié le 25 novembre 2016

== Bibliographie (Les abolitions des traites et des esclavages : Méthodologie)  ==

=== {{S|XVII}} (Les abolitions des traites et des esclavages : Méthodologie)  ===

=== {{S|XVIII}} (Les abolitions des traites et des esclavages : Méthodologie)  ===


=== {{S|XIX}} (Les abolitions des traites et des esclavages : Méthodologie)  ===
* 1872 - {{bibliographie|Q27777556}}

=== {{S|XX}}, (Les abolitions des traites et des esclavages : Méthodologie)  ===
* 1946-1979 - {{Bibliographie|Q28843707}}

-
* 1975 - {{bibliographie|Q28604345}}

-
* 1987 - {{bibliographie|Q27826478}}

-
* 1990 - {{bibliographie|Q27976738}}
** 2010 - {{bibliographie|Q27044649}}

-
* 1996 - {{bibliographie|Q28736471}}

-
* 1997 -

=== {{S|XXI}}, (Les abolitions des traites et des esclavages : Méthodologie)  ===
* 2004 - {{bibliographie|Q27928933}}
* 2007 - {{bibliographie|Q642646}}
* Juin 2010 - {{bibliographie|Q7763624}}, [http://www.pulitzer.org/finalists/nicholas-carr finaliste du prix Pulitzer, 2011, non-fiction].
** 2010 - {{bibliographie|Q27309186}}, publié le 2 juillet 2010
* 2012 - {{bibliographie|Q27916915}}, publié le 13 avril 2012
* 2013 - {{bibliographie|Q27517150}}
** 2013 - {{bibliographie|Q27517107}}
* 2014 - {{bibliographie|Q27538438}}
* 2015 - {{bibliographie|Q24046101}}
* 2015 - {{bibliographie|Q27942865}}, Publié le 20 mai 2015
* 2016 - {{bibliographie|Q28017390}}
* 2016 - {{bibliographie|Q27612500}}, publié le 24 octobre 2016
* [[d:Q27749098|2016]] - {{bibliographie|Q27749098}}, publié le 24 octobre 2016
* 2016 - {{bibliographie|Q27668736}}, publié le 31 octobre 2016, (Voir [[d:Q28803880|2{{ème}} partie]])
* 2016 - {{bibliographie|Q27668766}}, publié le 1{{er}} novembre 2016
* 2016 - {{bibliographie|Q27855553}}, publié le 13 novembre 2016
* 2016 - {{bibliographie|Q28084232}}
* 2016 - {{bibliographie|Q27824519}}
* 2017 - {{bibliographie|Q28803880}}, publié le 15 février 2017 (Voir [[d:Q27668736|1{{ère}} partie]])
* 2021 - {{bibliographie|Q113323106}}, Alain Testart conclut cette fresque monumentale par une « systématique » des formes de dépendance et des types de société, et propose deux lois sociologiques. &lt;!-- Principes de sociologie générale. I. Rapports sociaux fondamentaux et formes de dépendance. --&gt;
**  Février 2022 - Philippe Pataud Célérier.- Alain Testart (1945-2013).- [https://www.monde-diplomatique.fr/2022/02/PATAUD_CELERIER/64348 Rapports sociaux et dépendance, compte rendu de lecture], Idées, Les livres du mois, Le Monde-Diplomatique.fr, page 25

=== Bibliographie (Les abolitions des traites et des esclavages : Méthodologie), Sans date  ===
* [[d:Q27534446|S.d.]] - {{bibliographie|Q27534446}}
* [[d:Q27538347|Autour des pratiques collaboratives]]
* Sans date - {{bibliographie|Q28758763}}

== Séminaires en visioconférence (Prise de notes) ==

;Carnet de notes avec classement par ordre alphabétique
# [[Utilisateur:Ambre_Troizat#Recherche:Les abolitions des traites et des esclavagese page perso|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages. Carnet de notes]]. Confusion avec &quot;[[Utilisateur:Ambre Troizat]],

=== Qualifier l’interdisciplinarité: vocabulaires, réseaux, outils et indicateurs ===

 Journée d’étude &quot;Qualifier l’interdisciplinarité: vocabulaires, réseaux, outils et indicateurs&quot;
 Jeudi 1er juin 2023, de 9h à 18h, Présentiel uniquement
 '''[&lt;nowiki&gt;https://sciences.sorbonne-universite.fr/sorbonne-universite-campus-pierre-et-marie-curie&lt;/nowiki&gt; Campus Pierre et Marie Curie de Sorbonne Université]'''
 Plus d’informations : &lt;nowiki&gt;https://journee-obispa.sciencesconf.org/&lt;/nowiki&gt;  

 '''Contact''' : Caroline Corbières, Chargée de mission [[w:Science ouverte|Science ouverte]]. DIM Patrimoines matériels - innovation, expérimentation et résilience, [[w:École normale supérieure Paris-Saclay|École nomale supérieure Paris-Saclay]]

'''Constat''' : l’interdisciplinarité est en enjeu phare de la construction du savoir contemporain
'''Contenu''' : la journée abordera la question de la qualification de l’interdisciplinarité à travers une approche pluridisciplinaire.
 '''Intervenants''' :&lt;br&gt;* Yves Gingras et Vincent Larivière, spécialistes des méthodes bibliométriques,&lt;br&gt;* Marion Maisonobe, Béatrice Milard et Fabien Tarissan, spécialistes de l’analyse des réseaux de recherche,&lt;br&gt;* Etienne Anheim, spécialiste de l’histoire des sciences. 
'''Objectifs''' : La journée d’étude sera l’occasion de :
#'''discuter''',
# '''identifier collectivement'''des '''méthodes''' et '''indicateurs''' de référence pour la '''mesure''' de l’interdisciplinarité
# '''réfléchir''' à leur '''reproductibilité''' et '''applicabilité''' dans différents domaines scientifiques.

=== Séminaires Sociétés et Humanités Numériques - SHN ===
 [&lt;nowiki&gt;https://sonum.hypotheses.org/societes-numeriques&lt;/nowiki&gt; Sociétés et Humanités Numériques]
 [&lt;nowiki&gt;https://eveille.hypotheses.org/&lt;/nowiki&gt; Eveille] : exploration et valorisation de corpus en sciences humaines
 [&lt;nowiki&gt;https://lamo.univ-nantes.fr/L-edition-en-humanites-numeriques-Methodes-et-outils&lt;/nowiki&gt; Année 2022-2023] - L’édition en humanités numériques : Méthodes et outils&lt;br&gt;

=== 2) Publier en ligne avec un CMS ===
Mercredi 15 mars 2023, 10h30-13h00, à Angers en distanciel&lt;br /&gt;
Deuxième séance du séminaire 2022-2023 du [https://sonum.hypotheses.org/reseau-shn Réseau SHN] :

==== Publier avec Heurist : sources littéraires et base de données ====
Mathieu Messager, Nantes Université, LAMo)&lt;br /&gt; &lt;https://programminghistorian.org&gt;&lt;br /&gt;
Introduction-a-heurist › Introduction à Heurist | Programming Historian&lt;br /&gt;
Le Blog : [https://sonum.hypotheses.org/ Un carnet du réseau SHN]

 [https://paris-timemachine.huma-num.fr/heurist-une-base-de-donnees-generique-pour-les-sciences-humaines-et-sociales/ Heurist] : une base de données générique pour les sciences humaines et sociales
 [https://programminghistorian.org/fr/lecons/introduction-a-heurist Heurist] est un logiciel [[w:Open source|open source]], il se base sur une infrastructure serveur de type LAMP très utilisée dans le développement web. Les chercheurs et chercheuses peuvent y avoir accès moyennant la création d’un compte sur un serveur hébergeant Heurist.&lt;br&gt;Rechercher en ligne &quot;Heurist&quot;
 Le [[w:Open_source#Apparition_du_mouvement|mouvement open source]] s'est développé en parallèle du mouvement du logiciel libre qui prône des valeurs philosophiques et politiques de justice, l'open source se focalisant sur des considérations techniques de développement logiciel et ne s'opposant pas à l'utilisation de systèmes intégrés combinant logiciels propriétaires et logiciels open source. Dans la pratique toutefois, la très grande majorité des logiciels open source sont également libres, l'exception la plus notable étant les logiciels pratiquant la [[w:Tivoïsation|tivoïsation]. 

==== Expérimenter la plateforme EMAN avec des étudiants ====
Anne Réach Ngô, Université de Haute-Alsace, ILLE

Le projet [https://eman-archives.org/tragiques-inventions/ Tragiques Inventions] est une plate-forme d'enseignement [https://eman-archives.org/EMAN/ EMAN (Édition de Manuscrits et d'Archives Numériques)] basée sur [[w:Omeka|(Omeka classic)]], logiciel libre de gestion de bibliothèque numérique mis à disposition sous la licence GPL.
 Passage d'un [[w:Bien matériel|objet (Bien) matériel]], le document à une base de données numérique
 Expérience de formes nouvelles de lecture
 Expérience d'un travail collaboratif pluriannuel avec la conscience de créer un espace de recherche comme [[w:Bien commun|bien commun]] et donc de soigner l'héritage.
 L'importance de documenter les expériences, mémoire du projet
 Réalisation d'expositions virturelles

==== Conclusions ====

 Le numérique a besoin du collaboratif
 L'invisibilisation des &quot;petites mains&quot; qui collectionnent les données, un frein à la recherche. Ouvrage de sociologie sur ce sujet. Article sur les nouvelles horizontalités
 Interrogation sur l'usage des logiciels libres, des biens communs en général pour des travaux universitaires qui fonctionnent comme des enclosures avec accès limité pour les non-universitaires.
 Inégalité entre la version papier et la version numérique.

=== ChatGPT : Données, méthodes et enjeux ===

 ChatGPT : Données, méthodes et enjeux
 Mardi 28 février 2023 de 12h15 à 13h30 (à la MSH-Alpes et en visioconférence)
 avec Pierre-Carl Langlais (Opsci), Thierry Menissier (UGA ; IPHIG) et Didier Schwab (UGA ; LIG)
 
 La rencontre sera animée par Max Beligné, responsable de la PUD-GA
 Ouvert à toutes et tous, gratuit, sans inscription.
 Toutes les informations concernant cet évènement sont disponibles sur : https://www.msh-alpes.fr/actualites/chatgpt-donnees-methodes-et-enjeux
 La visioconférence sera mise en ligne

==== Citations ====
 &quot;ChatGPT, c'est prodigieux parce le monde du langage est prodigieux&quot;.
 &quot;Nous sommes sortis du monde du progrès pour entrer dans le monde de l'innovation&quot;
 &quot;L'argent est le moteur et non pas le bien-être des Humains&quot;
 &quot;Les réseaux sociaux nous sommes acteurs des réseaux sociaux si nous laissons les réseaux sociaux c'est notre responsabilité
 &quot;Corriger des devoirs réalistés avec ChatGPT … relève de la responsabilité des enseignants … qui sont formés ou non à ChatGPT&quot;
 Open IA : Les modèles logiciels sont OpenSource en général
 Dalle-E

==== Bibliographie ====
* Jacques Ellul ().- Le bluff technologique
 '''Rêve prométhéen de la modernité'''
* Descartes : &quot;….nous rendre comme maître et possesseurs de la nature…&quot;. Discours de la méthode, 1637.
 Or, nouvelle situation de l'humain dans la nature et dans l'histoire
* Günther Anders (1902-1992), l'obsolescence de l'Homme. Sur l'âme à l'époque de la deuxième révolution industrielle, 1956, trad. 2002
* Corine Peluchon
   [[w:Pierre Dac|Pierre Dac]] &quot;''Les prévisions sont difficiles, surtout lorsqu'elles concernent l'avenir…''&quot;
* [https://www.quaternum.net/2017/06/03/du-mode-d-existence-des-objets-techniques-de-gilbert-simondon/ Du mode d'existence des objets techniques de Gilbert Simondon]

=== Séminaire Invités du CSI, 14 février 2023 • 11h-13h ===

 '''Invité''' : Guillaume Blanc Tempora (UR 7468), Université Rennes 2
 '''Lieu''' : Mines ParisTech et en visio conférence
 '''Discussion''' : L’invention du colonialisme vert. Pour en finir avec le mythe de l’Éden africain
 '''Introduction''' : Clément Foutrel
* 2009 - {{bibliographie|Q116778738}} &lt;!-- L'invention du colonialisme vert --&gt;
* [[w:Du mode d'existence des objets techniques|Du mode d'existence des objets techniques]] — Wikipédia 

==== Méthodologie de l'histoire des pays africain ====
* Le continent africain ou rien : ''connaître un pays d'Afrique c'est ne rien connaître''
* Citation de Michel Foucault, [[w:Les Mots et les Choses|Les Mots et les Choses]],refusée par l'éditeur
* Notes de bas de page minimalistes

==== La naturalisation de l'Afrique ====

À chaque ère nationale va correspondre une naturalisation culturelle à visée de construction de la nation.
* Comment l'Etat va contrôler l'accès des pauvres à la ressource
* Pas de rupture dans la continuité du colonialisme
* Éthiopie : le prétendu braconnage du bouquetin. Participation de l'Etat au processus.
* Production d'une espèce, d'une variété biologique iconique.
* Valorisation / monétarisation du parc : Quelle protection et pour qui ? Les projets locaux ne sont pas financés. Le projet de Grande muraille est directement issu de l'idée de la grande Afrique sans État.

==== Déplacements et paupérisation des populations ====
* Réduction des espaces occupés par les populations. [[w:Folklore|Folklorisation]]
* Spirale de la pauvreté : Surpopulation. Déplacement (dans des zones tampons). Création des bidonvilles et des camps d'accueil
* Comparer avec les déplacements des Amérindiens, la déforestation des forêts &quot;vierges&quot;. Le mythe de &quot;''la tribu amérindienne qui n'a jamais vu l'homme blanc''&quot;
* Comparer avec les DFA : exode rural &amp; migrations vers la métropole. Extension des indivis, soutien au développement capitalistique

==== Un modèle de développement écologique basé sur l'histoire environnementale nationale, à l'échelle mondiale ====
* Développement de l'Environnemental history studies
* Paysages culturels
* BLANC, Guillaume. '''Chapitre 3. L’histoire environnementale : nouveaux problèmes, nouveaux objets et nouvelle histoire''' In : Humanités environnementales : Enquêtes et contre-enquêtes [en ligne]. Paris : Éditions de la Sorbonne, 2017 (généré le 14 février 2023). Disponible sur Internet : &lt;http://books.openedition.org/psorbonne/84335&gt;. ISBN : 9791035104139. DOI : https://doi.org/10.4000/books.psorbonne.84335. &lt;i&gt;publié dans&lt;/i&gt; BLANC, Guillaume (dir.) ; DEMEULENAERE, Élise (dir.) ; et FEUERHAHN, Wolf (dir.). '''Humanités environnementales : Enquêtes et contre-enquêtes.''' Nouvelle édition [en ligne]. Paris : Éditions de la Sorbonne, 2017 (généré le 14 février 2023). Disponible sur Internet : &lt;http://books.openedition.org/psorbonne/84270&gt;. ISBN : 9791035104139. DOI : https://doi.org/10.4000/books.psorbonne.84270.

==== Du même auteur ====
* 2017 - [https://doi.org/10.4000/books.psorbonne.84335 Chapitre 3. L’histoire environnementale : nouveaux problèmes, nouveaux objets et nouvelle histoire], &lt;i&gt;publié dans&lt;/i&gt; : {{bibliographie|Q116779227}} &lt;!-- Humanités environnementales --&gt;

==== Epistémé ====
* [[w:Épistémè|Épistémè]], sur fr.Wikipedia. Différent de &quot;[[w:Épistémologie|Épistémologie]]&quot;
* [[d:Q1215306|1990]] - {{bibliographie|Q114348046}} ; {{bibliographie|Q1215306}} &lt;!--  Michel Foucault.- Les Mots et les Choses --&gt;
* [https://books.google.fr/books/about/Les_mots_et_les_choses_Une_arch%C3%A9ologie.html?id=45RjAwAAQBAJ Michel Foucault.- Les Mots et les Choses] Sur Google Livre
* 2004 - {{bibliographie|Q116779530}} &lt;!-- Les Mots et les Choses et Surveiller et punir () --&gt;

=== Philosophie : Nous ne savons pas d’emblée qui nous sommes ===

{{Citation bloc|Les hommes ne se sont pas toujours cherchés. La &quot;recherche de soi&quot; n’est pas universelle et spontanée, elle est apparue à certaines époques et dans certaines cultures sous des formes et selon des techniques déterminées.|Pourquoi se chercher soi-même&lt;ref&gt;[https://www4.ac-nancy-metz.fr/philosophie/IMG/pdf/philoscorpusmercier.pdf HLP terminale, Thème 1, La recherche de soi, Corpus de textes philosophiques, Proposition de Carine Mercier]&lt;/ref&gt; ?}}
** Marcel Mauss, « Une catégorie de l’esprit humain : la notion de personne, celle de “moi” », 1938. [http://classiques.uqac.ca/classiques/mauss_marcel/socio_et_anthropo/5_Une_categorie/Une_categorie.html Article entier téléchargeable sur ce site]

==== Le temps, le tien, le mien, celui qu'on veut notre ====
** Emmanuel Kant, Réflexions sur l’éducation (1776-1787)
** Kant, Qu’est-ce que les Lumières ? (1784)
** Nicolas de Condorcet, Cinq mémoires sur l’instruction publique, 1791
** Marcel Proust, Le temps retrouvé,(1927, posthume), dans A la recherche du temps perdu, Gallimard, Quarto.
** Hannah Arendt, « La crise de l’éducation » dans La crise de la culture, 1954. Folio Essais, p. 238-239.
** Paul Ricoeur, Temps et récit, Points Essais, 1991, p. 442-443.

==== À la recherche du temps perdu ====
* [https://www4.ac-nancy-metz.fr/philosophie/IMG/pdf/philoscorpusmercier.pdf HLP terminale, Thème 1, La recherche de soi - ac-nancy-metz.fr]. Proposition de Carine Mercier Introduction problématique : « Pourquoi se chercher soi-même ? » - Nous ne savons pas d’emblée qui nous sommes : nous n’avons pas accès à un moi stable et authentique. Texte de :
** David Hume
** David Hume, Traité de la nature humaine (1737), Aubier, p. 343-344.
** Oscar Wilde, Intentions, 1891. (Manuel Nathan p. 133)
** Oscar Wilde, Intentions, 1891. (Manuel Nathan p. 133)
** Friedrich Nietzsche, Le crépuscule des idoles, 1899.
** Virginia Woolf, Mrs Dalloway, 1925.
** Friedrich Nietzsche, Œuvres posthumes. Cité par Jean Granier, Nietzsche vie et vérité, PUF, 1971
** Michel Foucault, résumé de son cours au Collège de France de l’année 1980-1981 intitulé &quot;Subjectivité et vérité&quot;, dans Dits et écrits, tome IV, Gallimard, p. 213-214
** Paul Ricoeur, Soi-même comme un autre, 1995
** Jean-Paul Sartre, L’Être et le néant, 1943.
** Jean-Paul Sartre, L’Être et le Néant. Essai d’ontologie phénoménologique, 1943

==== Conscience ====
** Henri Bergson, Essai sur les données immédiates de la conscience (1889), PUF Quadrige, p. 96-97 et 123-125.
** Henri Bergson, Essai sur les données immédiates de la conscience (1889), PUF Quadrige, p. 125-127 ; p. 173-174
** Henri Bergson, Le rire, 1900
** Sigmund Freud, Essais de psychanalyse appliquée (1917), Gallimard, coll. « Idées », p. 144-146

==== Puissance ====
** John Stuart Mill, De l’assujettissement des femmes, 1869
** Simone de Beauvoir, Le deuxième sexe, tome II, 1949.
** Simone de Beauvoir, Le deuxième sexe, tome II, 1949.
** Friedrich Nietzsche, La volonté de puissance. Cité par Jean Granier, Nietzsche vie et vérité, PUF, 1971.
** Pierre Bourdieu, La domination masculine, Points Essais, 1998. La « féminité » et la « virilité » ne sont donc pas des &quot;natures&quot; mais des &quot;habitus&quot; profondément ancrés en nous.
** Pierre Bourdieu, La domination masculine, 1998, p. 124-125

==== Religion et être suprème ====
** Friedrich Nietzsche, Ainsi parlait Zarathoustra, 1883.
** Sigmund Freud, L’Homme Moïse et la religion monothéiste (1939).

==== L’œuvre d’art [est] le seul moyen de retrouver le Temps perdu ====
** Gaëtan Picon, Naissance de la peinture moderne, 1863, (1974).
** Marcel Proust, Le temps retrouvé,(1927, posthume), dans A la recherche du temps perdu, Gallimard, Quarto.
** John Ruskin, The Element of Drawing, cité par E.H. Gombrich dans L’art et l’illusion, 1960.
** Ernst Gombrich, L’art et l’illusion, 1960. Ces trois extraits sont issus de : Odile Dupont, Art et perception, Delagrave, 2004, p. 94-97.
** Virginia Woolf, L’art du roman, 1961 (recueil d’articles posthume), Points, 2009, p. 11-13.
** Collectif, La peinture au musée d’Orsay, 1986.
** Nathalie Sarraute, « Roman et réalité », dans Œuvres complètes, La Pléiade, 1996
** Gabriele Crepaldi, Petite encylcopédie de l’impressionnisme, 2006.

=== Modélisation des données en SHS : bases de données relationnelles, wikis, web sémantique&quot; ===

 Jeudi 26 janvier, de 14h à 17h 
 Programme disponible en ligne &lt;nowiki&gt;&lt;https://www.mshb.fr/agenda_mshb/seminaire-hn-2023-1-modelisation-des-donnees-en-shs-bases-de-donnees-relationnelles-wikis-web-semantique/8491/&gt;&lt;/nowiki&gt;

 14h15 | Retour d'expérience sur la modélisation et la diffusion des données de PRELIB, une base de données des acteurs de la littérature en breton
 Jean-Baptiste Pressac, Centre de recherche bretonne et celtique, CNRS/Université de Bretagne Occidentale
 PRELIB &lt;https://mshb.huma-num.fr/prelib/&gt;
 WIKIDATA
 LARHA
 FactGrid

 '''15h00''' | Keep your data alive! Why cooperative databases and big community projects make sense - a look into FactGrid and Wikidata (présentation en anglais)
 Olaf Simons, Centre de recherche Gotha, [[d:Q702524|Université d’Erfurt]]
 FactGrid &lt;nowiki&gt;&lt;https://database.factgrid.de/wiki/Main_Page&gt;&lt;/nowiki&gt;. Prendre contact.
 Wikidata

=== Les lundis de la Science Ouverte ===

Les séances se tiendront en ligne et en présentiel de 10h à 12h.
  '''12 décembre 2022''' - La Science Ouverte aux PSN
* Intervenante : Nathalie Grandidier-Bretzner (Directrice des Presses Sorbonne Nouvelle).
  '''5 décembre 2022''' - Logiciels et codes sources pour les SHS
* Intervenants : Bastien Guerry et Hélène Jonin (pôle Logiciel Libre chez ETALAB).
Pour recevoir les supports de formation ou pour toute autre question, veuillez écrire à Chiara Mainardi

=== OLIO — Outils Libres et Intéropérables en SHS ===
&quot;Flash thématique&quot; de 2h30

  '''13 décembre 2022''' - [https://olio.hypotheses.org/ Les entrepôts de données : un outil au service des principes FAIR, 9h30 à 12h]
  Plateforme &lt;nowiki&gt;https://orsay.bbb.cnrs.fr/&lt;/nowiki&gt;
  Programme ici : &lt;nowiki&gt;https://olio.hypotheses.org/&lt;/nowiki&gt;

==== 9h30 Introduction ====
 Anne Garcia-Fernandez et Elisabeth Greslou
 (CNRS et Université Grenoble Alpes, UMR Litt&amp;Arts)
 '''Qu'est-ce que les outils font à notre recherche ?'''
* 09:37 - WITZ Regis.- &lt;nowiki&gt;https://olio.hypotheses.org/category/flashs-outils&lt;/nowiki&gt;
* Revenons sur le titre - Principe FAIR et science ouverte
* Ouvrir autant que possible, fermer autant que nécessaire
* Quels avantages offrent les dépôts ?
* Identifiant unique
* Vade-mecum pour la science ouverte
* Animation : Camille Desiles pour OLIO
* Importance de déclarer un plan de gestion de données&lt;ref&gt;Exemple de plan : 2020 - {{bibliographie|Q119789128}}, [https://www.google.fr/books/edition/Joseph_Bonaparte/_tWxDwAAQBAJ Lire extraits sur Google Livres], 941 pages dont bibliographie (45 pages), pp. 863-908 &amp; Index. &lt;!-- Joseph Bonaparte --&gt;&lt;/ref&gt;
* Recherche Data Gouv repose sur DataVerse (entrepôt par défaut ?)

 09:43 - WITZ Regis.- &lt;nowiki&gt;https://www.go-fair.org/fair-principles/&lt;/nowiki&gt;
 09:43 - WITZ Regis.- &lt;nowiki&gt;https://www.ouvrirlascience.fr/deuxieme-plan-national-pour-la-science-ouverte/&lt;/nowiki&gt;
 09:44 - WITZ Regis.- &lt;nowiki&gt;https://doranum.fr/enjeux-benefices/principes-fair_10_13143_z7s6-ed26/&lt;/nowiki&gt;
 09:45 - WITZ Regis.- &lt;nowiki&gt;https://hal.univ-grenoble-alpes.fr/hal-03630095v1&lt;/nowiki&gt;
 09:49 - WITZ Regis.- bon ben les loulous, apparemment cette instance de BBB ne permet pas l'enregistrement :D Screenpresso?
 09:59 - Régis W.- C'est bien l'INRAE. Sauce : &lt;nowiki&gt;https://www.inrae.fr/actualites/recherche-data-gouv-donnees-commun
&lt;/nowiki&gt;

==== 10:00 - Recherche Data Gouv, retour d’expérience ====
 Arnaud Bey (Université Grenoble Alpes, UMR Litt&amp;Arts)
* Recherche Data Gouv est l’entrepôt national pour la recherche française inauguré le 7 juillet 2022. Ayant participé à sa mise en œuvre à Grenoble et procédé à quelques tests, cette allocution permettra de présenter l’outil d’un point de vue utilisateur.

 Laboratoire numérique. On peut faire de la recherche totalement ouverte.

 10:01 - Régis W.- Concernant le dépôt de code source de data.gouv, le lien est le suivant : &lt;nowiki&gt;https://github.com/etalab/data.gouv.fr&lt;/nowiki&gt;
 (ce dépôt ne contient pas le code proprement dit, mais sert de point d'entrée)
 10:05 - Régis W.- Un autre entrepôt utile pour les SHS est le conservatoire des données 3D, lui aussi soutenu par Huma-Num : ; 
* &lt;nowiki&gt;https://3d.humanities.science/&lt;/nowiki&gt;
* &lt;nowiki&gt;https://cat.opidor.fr/index.php/Conservatoire_National_des_Donn%C3%A9es_3D&lt;/nowiki&gt;
 10:09 - Régis W.- Shibboleth =~ EduGAIN
 10:18 - WITZ Regis.- En fait, pour mettre tes données dans un entrepôt pérenne, tu n'as rien besoin d'installer. Ça fonctionne dans ton navigateur.
 10:19 - WITZ Regis.- Ça n'est que pour modifier l'application, ou pour en déployer une instance dans ton institution, que l'installation peut être nécessaire
 10:19 - WITZ Regis.- Ça n'est que pour modifier l'application, ou pour en déployer une instance dans ton institution, que l'installation peut être nécessaire

==== 10:30 - Nakala, un entrepôt pour les SHS ====
 Andrés Echavarria Pelaez (Université Paul Valéry – Montpellier III, IRIEC)
 Enregistrement à venir
* RDG, entrepot, une brique qui appartient à un ensemble plus vaste. DataVerse, disponible sur ?
* Organisation de l’entrepôt
* Assez peu de prérequis : connaissance des jeux de données
* Ne remplace pas les entrepôts en SHS, Nakala, Ortholangue
* Installation de DataVerse sur l'ordinateur personnel. L'installation n'est pas simple
* Existe un DataVerse enfant
* Héritage des droits
* Identifiant universitaire
* Régis W.
* Nakala a des avantages sur DataVerse
* Mnkl de HumaNum
* Nakala n'enrichit pas les données
* Mykl Consortium Cahier

 10:36 : Arnaud (et j'oubliais, dans ma présentation, il y a un '''bac à sable''' : &lt;nowiki&gt;https://demo.recherche.data.gouv.fr/&lt;/nowiki&gt; )
* Bac à sable''' de Nakala :
* Code source Nakala sur Git Hub
* La cohérence dans Nakala, Fichier TEI
* Philologue
* Laboratoire ou groupe de recherche ou équipe de travail ?
* déposer un fichier. Insertion de l’url des licences
* Nakala pose la question qu'est-ce qu'un entrepôt
* On peut faire un dépôt avec un CSV

10:42 - Andrés ECHAVARRIA &lt;nowiki&gt;https://framaforms.org/permanences-fairline-1669643781&lt;/nowiki&gt;
10:57 - Andrés ECHAVARRIA.- &lt;nowiki&gt;https://framaforms.org/permanences-fairline-1669643781&lt;/nowiki&gt;
* Nakala un projet à l'échelle humaine, convivial, simple d'usage 

==== 11:00 - Software Heritage, first steps : What is and how to use it? ====
 Joenio Marques da Costa (Software Heritage)
* Software Heritage
* Présentation en anglais
* Lisis
* Cor Text

==== Joenio Marques da Costa (Software Heritage) ==== 
Software Heritage, first steps : What is and how to use it?

 In this talk we will learn the basics about Software Heritage project, the goals and the main issues addressed by the project. With practical examples, we’ll see how to archive software persistently and how to cite software properly in scientiﬁc publications using SWHID.

 GARCIA FERNANDEZ  Anne.- Ah non. &lt;nowiki&gt;https://gitlab.huma-num.fr/lelbouranialcaraz/mynakala&lt;/nowiki&gt; (je suis pas réveillée ce matin...)
* Comment trouver dans GitHub
* Wikidata
* Connexion avec Hal

 11:29 - GARCIA FERNANDEZ Anne.- &lt;nowiki&gt;https://doc.archives-ouvertes.fr/deposer_old/deposer-le-code-source/&lt;/nowiki&gt;
 11:29 - WITZ Regis.- yeah I've got one/two related !
* 1. What are SoftwareHeritage policies concerning code hosting ? Will there be a day when there will be &quot;too much stuff&quot; and even SoftwareHeritage will have to clean up stuff ?
* 2. Are there good practices concerning what is a &quot;clean&quot; / &quot;polite&quot; repository ? for example I see many people commit there large binaries, or commit their source AND their build results, so I suppose such git-related good practices have still to be fully understood by some parts of the researchers community
 11:33 - WITZ Regis.- (pour info, HedgeDoc est un éditeur de Markdown/CommonMark collaboratif synchrone très sympa)

==== Discussion ====
* Appareil critique

11:44 - Andrés ECHAVARRIA.- &lt;nowiki&gt;https://www.dublincore.org/specifications/dublin-core/dcmi-terms/terms/isReferencedBy/&lt;/nowiki&gt;
11:46 - Arnaud.- la question pourrait s'étendre au wiki d'ailleurs (qui est gitté/gittable) à côté du dépot, dans gitlab tout du moins
11:47 - Pierre Willaime.- oui !
11:47 - Joenio M. Costa.- Ambre Troizat, merci de partager, je vais regarder le Emmabuntus project. I didn´t know about it.
11:48 - GARCIA FERNANDEZ Anne.- Q @Joenio : software-carpentry, I see material in English and Spanish. Are you open on other languages? Are you planning translations? (in French maybe?)

==== Synthèse ====
* Laboratoire numérique. On peut faire de la recherche totalement ouverte.
* Nécessité de bien organiser les données. Plan de gestion des données, encodage...
* La question c'est ce qu'on fait vraiment
* Faire au mieux avec les principes FAIR

FIN

=== Construire des communs pour le futur – Cycle de rencontres ===
[[Sujet:X3n0u5xxrjd142em|Construire des communs pour le futur – Cycle de rencontres]]

 Prise de responsabilité et étagement des engagements dans le temps
 Par La Cité du Développement durable &lt;&lt;nowiki&gt;https://www.helloasso.com/associations/la-cite-du-developpement-durable&lt;/nowiki&gt;&gt;
 Le 29 septembre 2022, Jardin d’agronomie tropicale de Paris (Cité du développement durable), de 08h30 à 17h30

Présentation et programme : &lt;&lt;nowiki&gt;https://isjps.pantheonsorbonne.fr/evenements/construire-communs-futur-prise-responsabilite-et-etagement-engagements-dans-temps&lt;/nowiki&gt;&gt;.&lt;br /&gt;
Voir également : &lt;&lt;nowiki&gt;https://www.lecre.umontreal.ca/construire-des-communs-pour-le-futur-cycle-de-rencontres-prise-de-responsabilite-et-etagement-des-engagements-dans-le-temps/&lt;/nowiki&gt;&gt;

Evènement proposé dans le cadre de la participation de la Cité du développement durable à la Semaine Européenne du Développement Durable. Journée inaugurale du cycle de rencontres &quot;Construire des communs pour le futur&quot;, sur la thématique &quot;Prise de responsabilité et étagement des engagements dans le temps&quot;

Inscription gratuite : &lt;&lt;nowiki&gt;https://www.helloasso.com/associations/la-cite-du-developpement-durable/evenements/sedd-cycle-de-rencontres-construire-des-communes-pour-le-futur&lt;/nowiki&gt;&gt;.

Voir aussi le Mooc avec Danielle Boursier : &lt;&lt;nowiki&gt;https://moocdigital.paris/cours/droit-dauteur-creative-commons/creer-collaborer-partager&lt;/nowiki&gt;&gt;.

== Notes &amp; Références  ==
{{Références}}


{{Bas de page
  | idfaculté = histoire
  | précédent = [[../Introduction/]]
  | suivant   = [[../La quête de l'énergie/]]
}}

[[Catégorie:Thèses de doctorats]]</text>
      <sha1>mmilmemykupqocysp0op2qjalbztvtt</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments de force</title>
    <ns>0</ns>
    <id>74151</id>
    <revision>
      <id>986273</id>
      <parentid>982935</parentid>
      <timestamp>2026-09-04T10:46:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ » */</comment>
      <origin>986273</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="270278" sha1="4qj03wlf9agii2cw0vleqt9vcl1u1p1" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 4
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
}}

== Notion de vecteur moment d’une force par rapport à un point A (ou moment vectoriel d’une force) ==

=== Définition ===
{{Définition|titre=Vecteur moment d'une force appliquée en M par rapport à un point A|contenu={{Al|5}}Le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot;&gt; On se place dans le cas le plus fréquent où la force ne dépend pas explicitement du temps &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; mais la dépendance explicite de la force à &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; n'est pas a priori exclue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;si cela doit l'être ce sera clairement précisé&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}est la grandeur vectorielle notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\;&lt;/math&gt; définie par &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;définition intronsèque du produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}ses composantes et sa norme s’expriment dans le [[w:Système_international_d'unités|système international]] &lt;math&gt;\;\big(S.I.\big)\;&lt;/math&gt; en «&lt;math&gt;\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;unité de moment de force&quot;&gt; C.-à-d. « Newton mètre » ; veuillez à ne pas omettre le point séparateur entre les symboles d'unité et éviter de permuter ces derniers car cumuler les deux &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;absence de point séparateur et «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; avant &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnerait «&lt;math&gt;\;mN\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. « milliNewton » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous multiple d'unité de force&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment et torseur statique&quot;&gt; C'est aussi le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|torseur glisseur]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Notion_de_résultante_d'un_torseur|notion de résultante d'un torseur]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon &lt;math&gt;\;\vec{F}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;&lt;/math&gt; ce qui est effectivement égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(M)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; propriété) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}est le vecteur moment du champ vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment de champ vectoriel&quot;&gt; Le vecteur moment d'un champ vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{C}(M)\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; a été défini dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d’un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » selon &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)&lt;/math&gt;, c'est aussi le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; d'un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] &lt;math&gt;\;\vec{C}(M)\;&lt;/math&gt; dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon &lt;math&gt;\;\vec{C}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;&lt;/math&gt; ce qui est effectivement égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; propriété) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Propriétés ===

[[File:Moment vectoriel de force.png|thumb|300px|Schéma de définition du vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;\notin\;&lt;/math&gt; au support de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite&lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;]]

{{Al|5}}Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;nul si «&lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; est sur le support de &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; »&lt;ref name=&quot;définition intrinsèque du produit vectoriel - 1&quot;&gt; Voir la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt; étant alors colinéaires &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;non nul si « le support de &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; ne passe pas par &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;définition intrinsèque du produit vectoriel - 2&quot;&gt; Voir la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt; étant alors coplanaires &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l’ensemble &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{F}(M)\,,\, A \right\rbrace\;&lt;/math&gt; formant un plan : dans ce cas, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;de direction &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{F}(M)\,,\, A \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition intrinsèque du produit vectoriel - 2&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;de sens tel que &lt;math&gt;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace&lt;/math&gt; direct si l'espace physique &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;de sens tel que &lt;math&gt;\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace}&lt;/math&gt; }}est orienté à droite&lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; »&lt;ref name=&quot;trièdre direct d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre, sauf avis contraire, ce sera toujours le cas envisagé&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;de sens tel que &lt;math&gt;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace&lt;/math&gt; indirect &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;au sens de la &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}physique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;au sens de la physique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] (préliminaire) » du même chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour la justification de l'ajout « au sens de la physique ».&lt;/ref&gt; si l'espace physique est orienté à gauche&lt;ref name=&quot;orienté à gauche&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cas pratiquement &lt;br&gt;{{Al|22}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;physique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; si l'espace physique est orienté à gauche }}jamais envisagé&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;trièdre indirect au sens de la physique d'un espace orienté à gauche&quot;&gt; Un trièdre est direct &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au sens de la physique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans un espace orienté à gauche &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; s'il obéit à la règle de la main gauche, voir la description de la règle dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-19|&lt;sup&gt;19&lt;/sup&gt;]] » de ce même chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de cette même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;définition intrinsèque du produit vectoriel - 2&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;de norme «&lt;math&gt;\;\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \Big\Vert = \Big\Vert \overrightarrow{AM}(t) \Big\Vert\; \Vert \vec{F}(M) \Vert\; \Bigg\vert \sin\! \left[ \widehat{ \overrightarrow{AM}(t)\,,\,\vec{F}(M)} \right] \Bigg\vert = \Vert \vec{F}(M) \Vert\, \left\lbrace \Big\Vert \overrightarrow{AM}(t) \Big\Vert\;\vert \sin\! \left( \alpha \right) \vert \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;de norme «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \Big\Vert}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \Vert \vec{F}(M) \Vert\;\mathsf{d}(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;définition intrinsèque du produit vectoriel - 2&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathsf{d}(t)\,&lt;/math&gt; est la distance &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; entre le support de &lt;math&gt;\,\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et le point origine &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de définition de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\color{transparent}{\mathsf{d}(t)}\,&lt;/math&gt; est }}grandeur appelée « &lt;u&gt;bras de levier de la force&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; &lt;u&gt;relativement à &lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; Cette notion de « bras de levier de force » est définie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#2ème_méthode_de_détermination_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ,_notion_de_bras_de_levier_de_la_force_relativement_à_l'axe|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe]] » plus loin dans le chapitre car, dans l’intitulé du programme de physique de P.C.S.I., elle est introduite dans la définition du moment scalaire d’une force relativement à un axe mais personnellement &lt;br&gt;{{Al|3}}je conseille de prendre l’habitude de déterminer la direction et le sens du moment vectoriel de la force puis d'évaluer sa norme comme le produit de la norme de la force et du bras de levier de celle-ci relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; de définition du vecteur moment de la force.&lt;/ref&gt;.

=== Changement d’origine de calcul du moment vectoriel d’une force ===

{{Al|5}}Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}étant le « vecteur moment du champ vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;vecteur moment de champ vectoriel&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; étant }}la formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel s'y applique &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; étant }}«&lt;math&gt;\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{C}(M) \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{C}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt; étant l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique tridimensionnel.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment d'un champ vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_de_vecteur_moment_d’un_champ_vectoriel|formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; où le champ vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{C}(M)\;&lt;/math&gt; est la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt;, soit &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; étant }}«&lt;math&gt;\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt;.

== Définition du moment (scalaire) d’une force par rapport à un axe Δ, bras de levier de la force ==

=== Équiprojectivité du « moment vectoriel d'une force » ===

{{Al|5}}Un champ de vecteurs &lt;math&gt;\;\vec{f}(M)\;&lt;/math&gt; d'un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel &lt;math&gt;\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt; étant &lt;u&gt;[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]&lt;/u&gt; ssi «&lt;math&gt;\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{f}(N) \cdot \overrightarrow{MN}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, nous savons que &lt;br&gt;{{Al|5}}le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque &lt;math&gt;\;\vec{C}(M)\;&lt;/math&gt; défini par &lt;math&gt;\;\forall\;P \in \mathcal{E}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{PM} \wedge \vec{C}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment de champ vectoriel&quot; /&gt; » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{C}(M)}\;&lt;/math&gt; }}est &lt;u&gt;[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]&lt;/u&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\;\;\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\quad\forall\;\vec{C}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;équiporjectivité du vecteur moment d'un champ vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Notion_d’«_équiprojectivité_»_du_«_champ_de_vecteurs_moment_d’un_champ_vectoriel_»|notion d'équiprojectivité du champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}étant le « vecteur moment du champ vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;vecteur moment de champ vectoriel&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; étant }}on peut lui appliquer la propriété d'&lt;u&gt;[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectivité]]&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\;\;\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;équiporjectivité du vecteur moment d'un champ vectoriel&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}étant aussi le « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] &lt;ref name=&quot;définition d'un torseur glisseur&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définiyion_d'un_Torseur_statique|définiytion d'un torseur glisseur]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;moemnt et torseur glisseur - bis&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; propriété) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon &lt;math&gt;\;\vec{F}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;&lt;/math&gt; ce qui est effectivement égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(M)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; étant aussi }}« [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]]&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{stat}}\;&lt;/math&gt;d’[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}(M)\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\end{array}\right\rbrace_A&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le « moment d'un [[w:Torseur|torseur]] au point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;par définition&lt;/u&gt; un « champ de vecteurs &lt;u&gt;[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]&lt;/u&gt; »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur|définition d'un torseur]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans autre développement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le « vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est &lt;u&gt;[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]&lt;/u&gt; ».

=== Définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ ===

{{Al|5}}Considérant un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens « fixe » ou « mobile ».&lt;/ref&gt; et deux points quelconques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distincts&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de cet axe &lt;math&gt;\;\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Considérant un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; quelconque }}l'[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectivité]] du vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;invariants de torseur&quot;&gt; Il s'agit aussi d'un invariant du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la notion d'invariants de [[w:Torseur|torseur]] dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Invariants_d'un_torseur|invariants d'un torseur]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}soit, en orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AA'} = \overline{AA'}\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et en simplifiant par &lt;math&gt;\;\overline{AA'} \neq 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; On peut le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] + \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_moment_vectoriel_d'une_force|changement d'origine de calcul du moment vectoriel d'une force]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et en multipliant scalairement par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, on obtient alors, par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l'égalité cherchée car «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AA'}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le produit mixte est nul &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, cette valeur constante sur &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; définissant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}le moment &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Considérant un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; le moment &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;.
{{Définition|titre= Moment (scalaire) d'une force par rapport à un axe Δ|contenu = {{Al|5}}Le moment &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}est la grandeur scalaire, définie à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\; A \in \Delta\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par }}«&lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]\;&lt;/math&gt; le vecteur moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; par « }}matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; évalué en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le moment &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;scalaire&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta\;&lt;/math&gt;».}}
=== 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ ===

{{Al|5}}Pour exprimer le moment scalaire d’une force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, on peut 
* déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point &lt;math&gt;\;A\, \in\, \Delta\;&lt;/math&gt; dans une base orthonormée « directe si l'espace est orienté à droite&lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; »&lt;ref name=&quot;trièdre direct d'un espace orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;pratiquement toujours le cas considéré&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A\, \in\, \Delta}\;&lt;/math&gt; dans une base orthonormée }}« indirecte &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au sens de la physique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;au sens de la physique&quot; /&gt; si l'espace est orienté à gauche&lt;ref name=&quot;orienté à gauche&quot; /&gt; »&lt;ref name=&quot;trièdre indirect au sens de la physique d'un espace orienté à gauche&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent| déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A\, \in\, \Delta}\;&lt;/math&gt; dans une base orthonormée « indirecte &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;au sens de la physique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;cas pratiquement jamais envisagé&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et 
* multiplier scalairement par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de la base&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant usuellement le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur de la base et dans ce cas, le produit scalaire avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; du moment vectoriel de &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; est la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante de ce dernier dans la base de calcul.&lt;/ref&gt; pour obtenir le moment scalaire cherché&lt;ref&gt; Ce n’est toutefois pas la meilleure méthode de détermination et de très loin !.&lt;/ref&gt;.

=== 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe ===

{{Al|5}}Méthode à préférer car c'est, en général et de très loin, la plus rapide.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : De «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta\;&lt;/math&gt;», produit mixte des trois vecteurs «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;définition d'un produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : De «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta}\;&lt;/math&gt;», }}ce dernier est nul si ces trois vecteurs sont coplanaires&lt;ref name=&quot;définition d'un produit mixte - 1&quot;&gt; Voir la 1&lt;suo&gt;ère&lt;/sup&gt; partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}or «&lt;math&gt;\;A \in \Delta\;&lt;/math&gt;» alors que «&lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\;\notin \Delta\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;cas où M sur Delta&quot;&gt; Si «&lt;math&gt;\;M \in \Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; sont colinéaires &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le produit mixte des trois vecteurs «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» est nul &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la nullité du moment scalaire de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt; d'où : &lt;br&gt;{{Al|3}}« &lt;u&gt;si l’axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;passe par le point&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;point d’application de la force&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}(M)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment scalaire de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;par rapport à cet axe est nul&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; ne sont pas colinéaires et forment un plan &lt;math&gt;\;( \Pi )\;&lt;/math&gt;», on a deux cas de figures suivant que &lt;math&gt;\;\vec{F}(M) \subset ( \Pi )\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\cancel{\subset}\; ( \Pi )\;&lt;/math&gt; :

[[File:Moment scalaire de force.png|left|thumb|Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe coupant ce dernier]]
[[File:Moment scalaire de force - bis.png|right|thumb|Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe ne coupant pas ce dernier]]

{{Al|5}}Ci-contre à gauche le cas de figure dans lequel la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; appartient au plan &lt;math&gt;\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à gauche }}les trois vecteurs &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant coplanaires le moment scalaire de &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est nul&lt;ref name=&quot;définition d'un produit mixte - 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à gauche }}soit mathématiquement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}Ci-contre à droite le cas de figure dans lequel la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée au point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; n'appartient pas au plan &lt;math&gt;\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}les trois vecteurs &lt;math&gt;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\overrightarrow{AM}(t)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; n'étant pas coplanaires le moment scalaire de &lt;math&gt;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition d'un produit mixte - 2&quot;&gt; Voir la 2&lt;suo&gt;ème&lt;/sup&gt; partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}soit mathématiquement «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \neq 0\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}décomposant la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; en une composante &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\parallel}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; en }}une composante &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\perp}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}(M) = \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M)\;&lt;/math&gt;», on déduit de la distributivité de la multiplication mixte&lt;ref name=&quot;définition d'un produit mixte&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M) = \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M)}\;&lt;/math&gt;», on déduit de la distributivité }}par rapport à l'addition vectorielle&lt;ref name=&quot;distributuvité de la multiplication mixte par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Résulte de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; relativement à l'addition vectorielle.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left\lbrace \overrightarrow{AM}(t) \wedge \left[ \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_{\parallel}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_{\perp}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \cancel{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\parallel}(M)\,,\,t \right]\; +}\; \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]\;&lt;/math&gt;», le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme étant nul&lt;ref&gt; Deux vecteurs &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{F}_{\parallel}(M)\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;&lt;/math&gt; sur les trois du produit mixte étant colinéaires, les trois sont donc coplanaires &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ; 
[[File:Moment scalaire de force - ter.png|thumb|300px|Schéma en vue de dessus de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la composante de la force sur le plan perpendiculaire à l'axe appliquée en un point extérieur à l'axe ne passant pas par la trace de ce dernier sur le plan]]
{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}il reste donc à évaluer &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;schéma ci-contre à droite&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» de rotation dans le plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}passant par &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le plan de la figure ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}défini par le sens de &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur l'exemple ci-contre sens &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;défini par le sens de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;}}trigonométrique&lt;ref name=&quot;sens trigonométrisue&quot;&gt; Ou sens direct ou sens prograde ou sens anti-horaire, les contaires étant sens anti-trigonométrique ou sens indirect ou sens rétrograde ou sens horaire.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;tout d'abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\perp}(M)\,&lt;/math&gt; tend à faire tourner &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» le moment scalaire est &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;tout d'abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\perp}(M)\,&lt;/math&gt; tend à faire tourner &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» le moment scalaire est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;tout d'abord }}d'où, dans l’exemple ci-contre, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;ensuite on détermine la valeur absolue du moment scalaire par «&lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] \Big\vert = \Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;justification de la norme du moment vectoriel d'une force&quot;&gt; Pour la justification, voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Propriétés|Propriétés]] (norme du moment vectoriel d'une force » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;ensuite }}«&lt;math&gt;\;\mathsf{d}(t)\,&lt;/math&gt; est le &lt;u&gt;'''bras de levier'''&lt;/u&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\perp}(M)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;ensuite «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathsf{d}(t)}\,&lt;/math&gt; est }}la « &lt;u&gt;'''distance orthogonale entre le support de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathbf{\vec{F}_{\perp}(M)}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;et l’axe'''&lt;/u&gt; »&lt;ref name=&quot;précision sur bras de levier&quot;&gt; Le bras de levier d'une force relativement à un axe n'est donc défini que lorsque le support de la force est &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe, le bras de levier étant une grandeur non algébrisée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;enfin on en déduit la valeur de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]\;&lt;/math&gt;» : &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;enfin }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\perp}(M)\,&lt;/math&gt; tend à faire tourner &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = +\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;enfin }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\perp}(M)\,&lt;/math&gt; tend à faire tourner &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = -\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;cas de la figure immédiatement au-dessus&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; coupe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au sens large&lt;ref name=&quot;coupe au sens large&quot;&gt; C.-à-d. coupe effectivement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. un seul point d'intersection&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ou est confondu avec &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une infinité de points d'intersection&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ou est &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. un seul point d'intersection à l'infini&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de définition du moment scalaire de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; », &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; coupe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;au sens large&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; l'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; de définition }}le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; est nul «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}si « le support de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; et l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de définition du moment scalaire de cette force ne sont pas coplanaires », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; et l'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; de définition }}le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; est non nul «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \neq 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; et l'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; de définition le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}est égal au moment scalaire de la composante &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\perp}(M)\;&lt;/math&gt; de la force &lt;math&gt;\;\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; sur le &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; et l'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; de définition le moment scalaire de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; est égal au moment scalaire de la composante }}plan passant par &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe : &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; et l'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; de définition }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\perp}(M)\;&lt;/math&gt; tend à faire tourner &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = +\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; et l'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; de définition }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\perp}(M)\;&lt;/math&gt; tend à faire tourner &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = -\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; et l'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; de définition }}avec «&lt;math&gt;\;\mathsf{d}(t)\;&lt;/math&gt; le &lt;u&gt;bras de levier&lt;/u&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\perp}(M)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» dans les deux cas.

=== Exemples de calcul de moment scalaire de force : moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide et moment scalaire du poids dans l’exemple du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Toujours préférer faire des schémas de situation avec des « paramètres de position positifs » de façon à raisonner sur le schéma sans avoir à « tenir compte du signe du paramètre »&lt;ref&gt; Intuitivement un paramètre de position est toujours considéré positif et par suite si on représente un schéma avec paramètre de position négatif, il y a risque d’erreur de signe &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S&lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple.&lt;/ref&gt;. à un degré de liberté &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à &lt;math&gt;\,t = 0\,&lt;/math&gt; le P.P.S&lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;. étant écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}lâché sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, le point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrit alors un mouvement circulaire &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}de rayon &lt;math&gt;\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notation pour P.P.S.&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou du fil tendu&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du P.P.S. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\;\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement&lt;ref name=&quot;mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçcon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. }}en faisant deux schémas de situation avec un changement de signe du paramètre de position &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. en faisant deux schémas de situation }}pour y souligner l'intérêt de faire un schéma avec &lt;math&gt;\;\theta(t) &gt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Schémas de situation à l'instant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\theta(t) &gt; 0\;&lt;/math&gt; à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;schéma souhaitable&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt; à droite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;schéma à éviter&lt;/u&gt; autant que possible&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant simple à un degré de liberté.png|left|thumb|300px|Schéma représentant un pendule pesant simple &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.S.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est positif]]
[[File:Pendule pesant simple à un degré de liberté - bis.png|right|thumb|300px|Schéma représentant un pendule pesant simple &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.S.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est négatif]]

{{Al|5}}Ci-contre à gauche schéma représentant un P.P.S&lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à un instant où l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de ce dernier est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;schéma souhaitable&lt;/u&gt; n'induisant pas d'erreur potentielle de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\;&lt;/math&gt;» si on oublie le signe de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}ci-contre à droite schéma représentant un P.P.S&lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à un instant où l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de ce dernier est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;schéma à éviter&lt;/u&gt; car susceptible d'induire une erreur de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\;&lt;/math&gt;» si on oublie le signe de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite }}on observe, sur le schéma de droite, que &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; tendant à faire tourner &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] &gt; 0\;&lt;/math&gt;»}} avec &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathsf{d}\;&lt;/math&gt; dans laquelle le bras de levier de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathsf{d} = \mathit{l}\;\vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;précision sur bras de levier - bis&quot;&gt; On rappelle que le bras de levier d'une force étant une grandeur non algébrisée est toujours &lt;math&gt;\;\geqslant 0\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;notation pour P.P.S.&quot; /&gt; d'où l'erreur potentielle si on oublie le signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du schéma en écrivant «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathsf{d} = \mathit{l}\;\sin(\theta)}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;notation pour P.P.S.&quot; /&gt; ce qui conduit à un bras de levier &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; contraire à la définition d'un bras de levier&lt;ref name=&quot;précision sur bras de levier - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite on observe, }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait, comme &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; sur le schéma ci-contre à droite, on a «&lt;math&gt;\;\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\mathsf{d} = -\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta) &gt; 0\;&lt;/math&gt; conforme au signe du moment scalaire de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; observé sur le schéma, &lt;math&gt;\;\big(g\;&lt;/math&gt; étant l'intensité de la pesanteur c.-à-d. &lt;math&gt;\;g = \Vert \vec{g} \Vert\big)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Évaluation du moment scalaire du poids du P.P.S&lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;. relativement à l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;\Delta}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur le schéma ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : on observe, sur ce schéma, que &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; tendant à faire tourner &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] &lt; 0\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \big\vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathsf{d}\;&lt;/math&gt; dans laquelle le bras de levier de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathsf{d} = \mathit{l}\;\vert \sin(\theta) \vert&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;notation pour P.P.S.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big\{\theta &gt; 0\;&lt;/math&gt; sur le schéma&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|66}}soit &lt;math&gt;\;\big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \big\vert = \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notation pour P.P.S.&quot; /&gt; et, en posant &lt;math&gt;\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intensité de la pesanteur&quot;&gt; &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; est donc l'intensité de la pesanteur &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g}\,,\, t \right] = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; On trouve le même résultat en réalisant un schéma avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à condition d'être très attentif aux signes&lt;/u&gt; comme cela a été établi dans l'apparté entre crochets ci-dessus &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois je rappelle qu'il est &lt;u&gt;fortement conseillé&lt;/u&gt; d'éviter de faire des schémas avec un paramètre de position négatif&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; compte-tenu de son caractère négatif sur ce schéma.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Évaluation du moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide du P.P.S&lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;. relativement à l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;\Delta}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur le schéma ci-dessus à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; :  le support de la tension &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; de la tige idéale rigide coupant l’axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, son moment scalaire par rapport à cet axe est nul soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;autre justification du moment scalaire de la tension nul&quot;&gt; On pouvait aussi justifier la nullité du moment scalaire de &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; en disant que le bras de levier de &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est nul.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt; On aurait évidemment obtenu le même résultat en travaillant sur le schéma de droite avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; et ceci sans possibilité d'erreur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois je rappelle qu'il est &lt;u&gt;fortement conseillé&lt;/u&gt; d'éviter de faire des schémas avec un paramètre de position négatif&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels, généralisation à un système continu fermé de matière ==

=== Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels ===

{{Al|5}}La distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»}} introduite au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_et_système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures et système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » est rappelée ci-dessous :
* le système des forces extérieures appliquées au système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; est l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{F}_{i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace} \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; que chaque système &lt;math&gt;\;\left( \Sigma_k \right)\;&lt;/math&gt; extérieur au système de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de ce dernier ;
* le système des forces intérieures agissant dans le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; est l'ensemble des forces &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{F}_{i\, \leftarrow\, j} \right\rbrace_{\left( i\,,\, j\,\neq\,i \right)\, \in\, \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^{\,2}}\;&lt;/math&gt; que chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_j\;&lt;/math&gt; du système de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; exerce sur chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de ce dernier.

=== Généralisation à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ===

{{Al|5}}Il existe deux types principaux de forces s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle qui seront vus plus en détail aux paragraphes « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champs_de_forces_volumique_ou_surfacique_dans_un_fluide,_exemples|champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples]] », « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champ_de_force_volumique_et_sa_densité_volumique_de_force,_retour_sur_les_exemples|champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples]] » et « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champ_de_force_surfacique_et_sa_densité_surfacique_de_force,_cas_de_la_densité_surfacique_de_force_pressante|champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] » :
* les &lt;u&gt;forces volumiques&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forces de champ&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, pseudo-point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo-point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, forces volumiques notées &lt;math&gt;\;d\vec{F}_{\!V}(M) = \vec{f}_{\!V}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!V}(M)\;&lt;/math&gt; densité volumique de force de champ au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et
* les &lt;u&gt;forces surfaciques&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forces de contact&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur chaque surface élémentaire de la surface fermée limitant un pseudo-point&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, forces surfaciques notées &lt;math&gt;\;d^2\!\vec{F}_{\!S}(N_M) =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\vec{f}_{\!S}(N_M)\;d^2 S_{N_M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux&quot;&gt; L'aire de la surface fermée limitant le pseudo-point étant comme le volume de ce dernier infiniment petite, une surface élémentaire de cette surface fermée est d'aire infiniment petite relativement à l'aire de la surface fermée, elle est donc infiniment petite d'ordre supérieur d'où la notation &lt;math&gt;\;d^2()&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} avec &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!S}(N_M)\;&lt;/math&gt; densité surfacique de force de contact au point &lt;math&gt;\;N_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[N_M\;&lt;/math&gt; désignant un point de la surface fermée limitant le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Al|5}}On fait également la distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; en prolongeant celle faite dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Distinction_entre_forces_extérieures_et_intérieures_appliquées_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels]] » ci-dessus selon :
* les forces extérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;des forces volumiques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. de champ&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d\vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;des forces surfaciques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. de contact&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N) = \vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N)\;d^2 S_{N}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux&quot; /&gt; que l'extérieur du système exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; de la surface fermée limitant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; ;
* les forces intérieures agissant dans le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; limitée par la surface fermée &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; sont &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elles sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bivolumiques »&lt;ref name=&quot;forces bivolumiques&quot;&gt; En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément de volume de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bivolumiques ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\;d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - bis&quot;&gt; Les forces entre deux pseudo-points d'expansion tridimensionnelle étant proportionnelles aux deux éléments de volume de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément de volume, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation &lt;math&gt;\;d^2()&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; force que le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; exerce sur le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le rapport &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathcal{V}_M\,d \mathcal{V}_{M'}}\;&lt;/math&gt; pourrait être appelé densité bivolumique de force que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\Bigg\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;des forces de contact entre deux pseudo-points&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; voisins &lt;math&gt;\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^2S_N \right\rbrace}(N)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^2 S_{N}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux&quot; /&gt;. 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Dans le cas où le système continu de matière devient d'&lt;u&gt;expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; parce que une des dimensions de l'expansion volumique initiale est infiniment petite, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des &lt;u&gt;forces surfaciques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d \mathcal{S}_M&lt;/math&gt;, dans lequel &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, pseudo-point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide bidimensionnel, le pseudo-point est appelé « particule de fluide (bidimensionnel) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; notées &lt;math&gt;\;d\vec{F}_{\!S}(M) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{f}_{\!S}(M)\;d \mathcal{S}_M\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!S}(M)\;&lt;/math&gt; densité surfacique de force de champ au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 :}}les forces surfaciques de contact initiales {{Transparent|sont à remplacer}} par des forces linéiques de contact s'exerçant sur chaque longueur élémentaire de la courbe fermée limitant un pseudo-point&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, notées &lt;math&gt;\;d^2\!\vec{F}_{\!\mathit{l}}(N_M) = \vec{f}_{\!\mathit{l}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - ter&quot;&gt; La longueur de la courbe fermée limitant le pseudo-point étant comme l'aire de ce dernier infiniment petite, une partie élémentaire de cette courbe fermée est de longueur infiniment petite relativement à la longueur de la courbe fermée, elle est donc infiniment petite d'ordre supérieur d'où la notation &lt;math&gt;\;d^2()&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!\mathit{l}}(N_M)\;&lt;/math&gt; densité linéique de force de contact au point &lt;math&gt;\;N_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[N_M\;&lt;/math&gt; désignant un point de la courbe fermée limitant le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;des forces surfaciques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. de champ&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{S}_M\;&lt;/math&gt; que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;des forces linéiques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. de contact&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N) = \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N)\;d^2 \mathit{l}_{N}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - ter&quot; /&gt; que l'extérieur du système exerce sur chaque point &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; de la courbe fermée limitant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : on distingue : }}les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; limitée par la courbe fermée &lt;math&gt;\;\left( C \right)\;&lt;/math&gt; sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bisurfaciques »&lt;ref name=&quot;forces bisurfaciques&quot;&gt; En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément d'aire de l'expansion surfacique sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bisurfaciques ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\;d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - tétra&quot;&gt; Les forces entre deux pseudo-points d'expansion surfacique étant proportionnelles aux deux éléments d'aire de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément d'aire, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation &lt;math&gt;\;d^2()&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; force que le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; exerce sur le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le rapport &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathcal{S}_M\,d \mathcal{S}_{M'}}\;&lt;/math&gt; pourrait être appelé densité bisurfacique de force que &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\;M\Bigg\}&lt;/math&gt; ou des forces de contact entre pseudo-points&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; voisins &lt;math&gt;\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N)= &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^2 \mathit{l}_{N}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - ter&quot; /&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : Dans le cas où le système continu de matière devient d'&lt;u&gt;expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; parce que deux des dimensions de l'expansion volumique initiale sont infiniment petites, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des &lt;u&gt;forces linéiques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, dans lequel &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, pseudo-point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide monodimensionnel, le pseudo-point est appelé « particule de fluide (monodimensionnel) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; notées &lt;math&gt;\;d\vec{F}_{\!\mathit{l}}(M) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\vec{f}_{\!\mathit{l}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!\mathit{l}}(M)\;&lt;/math&gt; densité linéique de force de champ au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 :}}les forces surfaciques de contact initiales {{Transparent|sont à remplacer}} par des forces de contact s'exerçant entre chaque pseudo-point&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; voisin, notées &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M)\;&lt;/math&gt; suivant que le pseudo-point&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; voisin du pseudo-point&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est situé d'un côté ou de l'autre &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;forces de contact exercées sur l'un ou l'autre des pseudo-points&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; extrêmes limitant l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\big\}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;des forces linéiques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. de champ&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{l}_M\;&lt;/math&gt; que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;les forces de contact exercées sur les pseudo-points&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; extrêmes limitant l'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\vec{f}_{N_g\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N_g)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\vec{f}_{N_d\,\leftarrow\,\text{ext}_{l'}}(N_d)\;&lt;/math&gt; que l'extérieur du système exerce sur chaque point extrême limitant &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; suivant le côté considéré ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : on distingue : }}les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bilinéiques »&lt;ref name=&quot;forces bilinéiques&quot;&gt; En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément de longueur de l'expansion linéique sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bilinéiques ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - penta&quot;&gt; Les forces entre deux pseudo-points d'expansion linéique étant proportionnelles aux deux éléments de longueur de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément de longueur, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation &lt;math&gt;\;d^2()&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; force que le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M'\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; exerce sur le pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\Bigg\{&lt;/math&gt;le rapport &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathit{l}_M\,d \mathit{l}_{M'}}\,&lt;/math&gt; pourrait être appelé densité bilinéique de force que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\Bigg\}&lt;/math&gt; ou des forces de contact entre pseudo-points&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; voisins &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M)\,&lt;/math&gt; suivant que le pseudo-point&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; voisin du pseudo-point&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est situé d'un côté ou de l'autre.

== Conséquence du principe des actions réciproques sur le système des forces intérieures ==

{{Al|5}}Le principe des actions réciproques &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; loi de Newton&lt;ref name=&quot;Newton&quot;&gt; '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien et astronome britannique, surtout connu pour avoir fondé la mécanique classique et avoir développé le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ([[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]) dont la paternité doit être partagée avec le philosophe, scientifique, mathématicien allemand '''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' pour qui l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] fut la contribution principale, dans le domaine mathématique, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques_et_commentaires|énoncé du principe des actions réciproques et commentaires]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », il ne s'agit donc que d'un rappel dans les deux 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; sous-paragraphes ci-dessous.

=== Rappel : énoncé du principe des actions réciproques ===

{{Théorème|titre=Principe des actions réciproques (ou 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; loi de Newton)|contenu={{Al|5}}Pour deux points matériels &lt;math&gt;\;M_1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_2\;&lt;/math&gt; en interaction telle que &lt;math&gt;\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}\;&lt;/math&gt; décrive l'action de &lt;math&gt;\;M_2\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;M_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notation de l'action entre deux points&quot;&gt; La force décrivant l'action de &lt;math&gt;\;M_2\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;M_1\;&lt;/math&gt; est encore notée &lt;math&gt;\;\vec{F}_{1\,,\,2}\;&lt;/math&gt; et celle décrivant l'action de &lt;math&gt;\;M_1\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;M_2\;&lt;/math&gt; encore notée &lt;math&gt;\;\vec{F}_{2\,,\,1}\;&lt;/math&gt; avec l'objet subissant l'action en 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; indice et l'objet source de l'action en 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;&lt;/math&gt; l'action de &lt;math&gt;\;M_1\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;M_2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notation de l'action entre deux points&quot; /&gt;, on a à tout instant et quels que soient les mouvements de &lt;math&gt;\;M_1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_2&lt;/math&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et&lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; Ce qui est équivalent à «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_2M_1} \wedge \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Rappel : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels ===

{{Al|5}}La résultante des forces intérieures &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» étant définie selon «&lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;résultante des forces intérieures sur système discret&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|définition de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot;&gt; En &lt;u&gt;dynamique relativiste&lt;/u&gt;, &lt;u&gt;le principe des actions réciproques reste applicable&lt;/u&gt; dans la mesure où les forces utilisées sont &lt;u&gt;invariantes par changement de référentiel&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{E}\,,\,\vec{B} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; dans sa globalité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; « &lt;u&gt;la nullité de la résultante des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système de points matériels fermé &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;démonstration de la nullité de la résultante des forces intérieures sur système discret&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#1ère_conséquence_du_principe_des_actions_réciproques_en_dynamique_newtonienne,_la_nullité_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système (discret) de points matériels fermé]] (démonstration) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Généralisation : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière ===

{{Al|5}}La résultante des forces intérieures &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale bivolumique&quot;&gt; Il s'agit d'une intégrale bivolumique c.-à-d. de deux intégrales volumiques emboîtées ou non &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir les intégrales volumiques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où, en décomposant l'intégrale bivolumique &lt;math&gt;\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}&lt;/math&gt; en deux intégrales volumiques emboîtées, &lt;math&gt;\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - bis&quot; /&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale quintuple&quot;&gt; On forme d'abord une intégrale surfacique pour ajouter toutes les contributions correspondant à &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; variant sur &lt;math&gt;\;dS_M\;&lt;/math&gt; la surface fermée limitant l'expansion volumique élémentaire &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; centrée en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;N_{\text{voisin de }N_M}\;&lt;/math&gt; étant le point immédiatement voisin de &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; hors de &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, puis on forme une intégrale volumique pour faire varier &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, d'où la réécriture de l'intégrale quintuple &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux&quot; /&gt;, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;appliqué}} dans chaque résultante partielle &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt; en regroupant les termes par couples&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; la nullité de chaque résultante partielle et par suite « &lt;u&gt;la nullité de la résultante des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant :

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}La résultante des forces intérieures &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale bisurfacique&quot;&gt; Il s'agit d'une intégrale bisurfacique c.-à-d. de deux intégrales surfaciques emboîtées ou non &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir les intégrales surfaciques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où, en décomposant l'intégrale bisurfacique &lt;math&gt;\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt; en deux intégrales surfaciques emboîtées avec explicitation de l'argument  &lt;math&gt;\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \!\!\!\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\;d \mathcal{S}_{M'} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - ter&quot; /&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale triple&quot;&gt; On forme d'abord une intégrale curviligne pour ajouter toutes les contributions correspondant à &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; variant sur &lt;math&gt;\;d\mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le contour fermé limitant l'expansion surfacique élémentaire &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_M\;&lt;/math&gt; centrée en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;N_{\text{voisin de }N_M}\;&lt;/math&gt; étant le point immédiatement voisin de &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; hors de &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, puis on forme une intégrale surfacique pour faire varier &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, d'où l'intégrale triple &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\; \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - bis&quot; /&gt;, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;appliqué}} dans chaque résultante partielle &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt; en regroupant les termes par couples&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; la nullité de chaque résultante partielle et par suite « &lt;u&gt;la nullité de la résultante des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}La résultante des forces intérieures &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}}\;&lt;/math&gt; s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt;» avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale bicurviligne&quot;&gt; Il s'agit d'une intégrale bicurviligne c.-à-d. de deux intégrales curvilignes emboîtées ou non &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir les intégrales curvilignes dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où, en décomposant l'intégrale bicurviligne &lt;math&gt;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \!\!d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt; en deux intégrales curvilignes emboîtées avec explicitation de l'argument  &lt;math&gt;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \!\!\!\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\;d \mathit{l}_{M'} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - penta&quot; /&gt; et «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;signification Mg et Md&quot; &gt; Les points &lt;math&gt;\;M_g\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M_d\;&lt;/math&gt; étant les deux points de &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; voisins de &lt;math&gt;\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;appliqué}} dans chaque résultante partielle &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt; en regroupant les termes par couples&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; la nullité de chaque résultante partielle et par suite « &lt;u&gt;la nullité de la résultante des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

=== Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un « point origine quelconque A », moment résultant scalaire de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ » ===

==== Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque ====

{{Al|5}}Le vecteur moment résultant, par rapport au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec «&lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» est définie selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right) \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;&lt;/math&gt;» ;
 
{{Al|5}}on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; « &lt;u&gt;la nullité du moment résultant vectoriel des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système de points matériels fermé &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque »&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration&lt;/u&gt; : « en associant les termes de la somme &lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;&lt;/math&gt; par couple &lt;math&gt;\;\left\lbrace \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\,,\, \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont la somme vaut «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \left( -\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right)&lt;/math&gt; après avoir utilisé la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques à savoir &lt;math&gt;\;\vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} = -\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\;&lt;/math&gt;» ou encore, après « factorisation vectorielle à droite par &lt;math&gt;\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et utilisation de la relation de Chasles&lt;ref name=&quot;Chasles&quot;&gt; '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.&lt;/ref&gt; sur l’autre facteur «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{AM_i} - \overrightarrow{AM_j} \right] \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} = \overrightarrow{M_jM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} = \vec{0}\;&lt;/math&gt; par la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques » d'où la nullité de chaque somme de couple «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et par suite, en faisant la somme sur tous les couples différents possibles «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

==== Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque ====

{{Al|5}}De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\;&lt;/math&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt; étant l'[[w:Espace_affine|espace affine]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien|euclidien]] modélisant l'espace physique.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; à partir du vecteur moment relativement à un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, on en tire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|de }}la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit « &lt;u&gt;la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système de points matériels fermé &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et aussi relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = 0,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt;.

=== Généralisation : vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un « point origine quelconque A », moment scalaire résultant de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ » ===

==== Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un point origine A quelconque ====

{{Al|5}}Du vecteur moment résultant par rapport au point origine quelconque &lt;math&gt;\,A\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; des forces intérieures &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; défini selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale bivolumique - bis&quot;&gt; Il s'agit d'une intégrale bivolumique c.-à-d. de deux intégrales volumiques emboîtées ou non &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir les intégrales volumiques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où, en décomposant l'intégrale bivolumique &lt;math&gt;\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) \right]&lt;/math&gt; en intégrales volumiques emboîtées selon &lt;math&gt;\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - bis&quot; /&gt; et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale quintuple - bis&quot;&gt; On forme d'abord une intégrale surfacique pour ajouter toutes les contributions correspondant à &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; variant sur &lt;math&gt;\;dS_M\;&lt;/math&gt; la surface fermée limitant l'expansion volumique élémentaire &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; centrée en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;N_{\text{voisin de }N_M}\;&lt;/math&gt; étant le point immédiatement voisin de &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; hors de &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, puis on forme une intégrale volumique pour faire varier &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, d'où la réécriture de l'intégrale quintuple selon &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; en explicitant le moment vectoriel ou encore &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M}\; \right] d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; en détaillant la force à intégrer &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux&quot; /&gt;, on déduit de l'utilisation successive de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt; en regroupant les termes par couples&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel&lt;ref name=&quot;nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu&quot;&gt; Pour établir la nullité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; on associe les différents termes de la somme continue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par intégrale bivolumique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathcal{V}_M \right] d \mathcal{V}_{M'}\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;&lt;/math&gt; selon la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés selon &lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\; d \mathcal{V}_{M'}\;&lt;/math&gt; après factorisation vectorielle à droite par &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;utilisation}} de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et, en utilisant la relation de Chasles, &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\; d \mathcal{V}_{M'} = \vec{0}\;&lt;/math&gt; par 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; et en divisant par &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu&quot;&gt; Pour établir la nullité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; on associe les différents termes de la somme continue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par intégrale quintuple&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N_M = N_{M'}\;&lt;/math&gt; point commun des deux expansions élémentaires voisines centrées en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M'&lt;/math&gt;, de volume respectif &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_{M'}\;&lt;/math&gt; de même valeur, la surface commune centrée en &lt;math&gt;\;N_M = N_{M'}\;&lt;/math&gt; est de même aire &lt;math&gt;\;d^2 S_{N_M}&lt;/math&gt;, termes associés selon &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2
 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M + \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'})\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_{M'}\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!S,\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-\vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;&lt;/math&gt; selon la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M - \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_{M'} = \vec{0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;car &lt;math&gt;\;N_{M'} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;N_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_{M'} = d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;N_M'\;&lt;/math&gt; sur les surfaces limitant les expansions élémentaires centrées en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; ainsi que celles résultant de la variation de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; et en divisant par &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et par suite « &lt;u&gt;la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque »&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant :

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Le vecteur moment résultant relativement à un point origine &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale bisurfacique - bis&quot;&gt; Il s'agit d'une intégrale bisurfacique c.-à-d. de deux intégrales surfaciques emboîtées ou non &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir les intégrales surfaciques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où en décomposant l'intégrale bisurfacique en intégrales surfaciques emboîtées selon &lt;math&gt;\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M) = \;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\;d \mathcal{S}_{M'} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - ter&quot; /&gt; et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale triple - bis&quot;&gt; On forme d'abord une intégrale curviligne pour ajouter toutes les contributions correspondant à &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; variant sur &lt;math&gt;\;d\mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le contour fermé limitant l'expansion surfacique élémentaire &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_M\;&lt;/math&gt; centrée en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;N_{\text{voisin de }N_M}\;&lt;/math&gt; étant le point immédiatement voisin de &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; hors de &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, puis on forme une intégrale surfacique pour faire varier &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, d'où la réécriture de l'intégrale triple en explicitant le moment vectoriel puis la force à intégrer &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\; \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - bis&quot; /&gt;, on déduit de l'utilisation successive de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;appliqué}} dans chaque vecteur moment résultant partiel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt; en regroupant les termes par couples&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel&lt;ref name=&quot;nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu - bis&quot;&gt; Pour établir la nullité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;&lt;/math&gt; on associe les différents termes de la somme continue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par intégrale bisurfacique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathcal{S}_M \right] d \mathcal{S}_{M'}\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;&lt;/math&gt; selon la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés &lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\; d \mathcal{S}_{M'}\;&lt;/math&gt; après factorisation vectorielle à droite par &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; puis, en utilisant la relation de Chasles, &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\; d \mathcal{S}_{M'} = \vec{0}\;&lt;/math&gt; par 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; et en divisant par &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu - bis&quot;&gt; Pour établir la nullité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right\rbrace d \mathcal{S}_M\;&lt;/math&gt; on associe les différents termes de la somme continue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par intégrale triple&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N_M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= N_{M'}\;&lt;/math&gt; point commun des deux expansions élémentaires voisines centrées en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M'&lt;/math&gt;, d'aire respective &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_{M'}\;&lt;/math&gt; de même valeur, le contour commun centré en &lt;math&gt;\;N_M = N_{M'}\;&lt;/math&gt; est de même longueur &lt;math&gt;\;d^2 \mathit{l}_{N_M}&lt;/math&gt;, termes associés selon &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_M + \overrightarrow{AN_{M'}}
 \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'})\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_{M'}\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'})
 = -\vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;&lt;/math&gt; selon la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_M - \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_{M'} = \vec{0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;car &lt;math&gt;\;N_{M'} = N_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;d \mathcal{S}_{M'} = d \mathcal{S}_M\big]&lt;/math&gt;, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de &lt;math&gt;\;N_M\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;N_M'\;&lt;/math&gt; sur les contours limitant les expansions élémentaires centrées en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; ainsi que celles résultant de la variation de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; et en divisant par &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et par suite « &lt;u&gt;la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque »&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Le moment résultant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativement à un point origine &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale bicurviligne - bis&quot;&gt; Il s'agit d'une intégrale bicurviligne c.-à-d. de deux intégrales curvilignes emboîtées ou non &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir les intégrales curvilignes dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où, en décomposant l'intégrale bicurviligne &lt;math&gt;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;&lt;/math&gt; en deux intégrales curvilignes emboîtées avec explicitation de l'argument &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;différentielle d'ordre deux - penta&quot; /&gt; et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;signification Mg et Md&quot; /&gt;, on déduit de l'utilisation successive de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;&lt;/math&gt; en regroupant les termes par couples&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; la nullité de chaque vecteur moment résultant {{Nobr|partiel&lt;ref name=&quot;nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu - ter&quot;&gt; Pour établir la nullité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \mathit{l} \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; on associe les différents termes de la somme continue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par intégrale bicurviligne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathit{l}_M \right] d \mathit{l}_{M'}\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;&lt;/math&gt; selon la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés &lt;math&gt;\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\; d \mathit{l}_{M'}\;&lt;/math&gt; après factorisation vectorielle à droite par &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; puis, en utilisant la relation de Chasles, &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\; d \mathit{l}_{M'} = \vec{0}\;&lt;/math&gt; par 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;M'\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; et en divisant par &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu - ter&quot;&gt; Pour établir la nullité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; on associe les différents termes de la somme continue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par intégrale curviligne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \overrightarrow{AM_g} \wedge \vec{f}_{\!M_g\,\leftarrow\,M}(M_g)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\left( M_g\,,\, M \right)\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; produit vectoriel est un terme du type &lt;math&gt;\;\left( M\,,\, M_d \right)\;&lt;/math&gt; de l'argument de la somme continue &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par intégrale curviligne&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; avec, selon la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie du principe des actions réciproques &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!M_g\,\leftarrow\,M}(M_g) = -\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture de la somme des deux termes associés après factorisation vectorielle à droite par &lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM_g} \right] \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) = \overrightarrow{M_gM} \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) \rightarrow \vec{0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;car &lt;math&gt;\;M_g\;&lt;/math&gt; étant un point voisin immédiat du point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, entités sans épaisseur, &lt;math&gt;\;M_g \rightarrow M\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_gM} \rightarrow \vec{0}\big]&lt;/math&gt;, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;}} et par suite « &lt;u&gt;la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque »&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on établit de la même façon&lt;ref name=&quot;3ème loi de Newton en dynamique relativiste&quot; /&gt; que la propriété reste applicable en dynamique relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt;.

==== Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un axe Δ quelconque ====

{{Al|5}}De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à partir du vecteur moment relativement à un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, on en tire &lt;br&gt;{{Al|10}}la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit « &lt;u&gt;la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures&lt;/u&gt; s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique &lt;u&gt;en dynamique newtonienne&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et aussi relativiste&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; quelconque »&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = 0,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt;.

=== Commentaire sur la nullité de la résultante et du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé de matière ===

{{Al|5}}Bien que &lt;u&gt;le système des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière&lt;/u&gt; ait une résultante nulle et un moment résultant par rapport à un point origine quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; également nul, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Bien que }}le système des forces intérieures &lt;u&gt;n’est pas, a priori, équivalent à un système de forces nulles&lt;/u&gt;&lt;ref&gt; En effet nous verrons dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] de la définition de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », que la puissance développée par les forces intérieures n'est pas nulle si le système de matière est déformable alors qu'un système de forces nulles ne développe évidemment aucune puissance&lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : en utilisant la notion &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;hors programme de physique de P.C.S.I.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de « [[w:Torseur|torseur]] »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Rematque : }}l'ensemble de la résultante et du moment résultant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière, moment par rapport à un point origine quelconque &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;,  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble }}constitue les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;éléments de réduction d'un torseur&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Réduction_d'un_torseur_en_un_point_quelconque_de_l'espace_affine_euclidien_tridimensionnel_sur_lequel_il_est_défini|réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; du [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] &lt;ref name=&quot;torseur statique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; des forces intérieures &lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{stat. int}}\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système fermé de matière soit &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}\;&lt;/math&gt; du torseur statique des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{stat. int}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\end{array}\right\rbrace_A,\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en &lt;math&gt;\;\color{transparent}{A}\;&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;le [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]&lt;ref name=&quot;torseur statique&quot; /&gt; des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est&lt;/u&gt; donc &lt;u&gt;le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]&lt;/u&gt;&lt;ref name=&quot;torseur nul&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Nullité_d'un_torseur|torseur nul]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}toutefois si le [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]&lt;ref name=&quot;torseur statique&quot; /&gt; des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]&lt;ref name=&quot;torseur nul&quot; /&gt;, &lt;u&gt;ce n'est pas le [[w:Torseur|torseur]] de forces nulles&lt;/u&gt;&lt;ref&gt; Seuls les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en tout point de l'espace affine euclidien tridimensionnel du [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;égal au [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et du [[w:Torseur|torseur]] de forces nulles sont les mêmes, les forces agissant sur chaque point d'un système discret ou sur chaque pseudo-point d'un système continu &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point étant un élément de matière de dimension mésoscopique {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;petite}} à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique&lt;math&gt;\big)\big\}\;&lt;/math&gt; n'étant évidemment pas les mêmes et ce sont elles qui sont à prendre en compte quand un système isolé &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. sans forces extérieures&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; se déforme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Résultante dynamique, moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire appliqués à un système de points matériels ==

{{Al|5}}Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire }}restent applicables en dynamique relativiste.

=== Rappel : résultante dynamique appliquée à un système discret fermé de points matériels ===

{{Al|5}}La résultante dynamique appliquée au système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»}} &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système&lt;ref name=&quot;résultante dynamique&quot;&gt; Voir 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; introduction du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_dynamique_s'exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système (discret) de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\;&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\;&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}}\,&lt;/math&gt; somme des forces }}sur chaque point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; du système ».

=== Complément : résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière ===

{{Al|5}}La définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, surfacique&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou curviligne&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; d'où :

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur chaque pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; du système » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt; somme des densités volumiques de forces que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce en chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle ».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur chaque pseudo point &lt;math&gt;\,\left( M,\,d S_M \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; du système » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt; somme des densités surfaciques de forces que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce en chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt; somme des forces que chaque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur chaque pseudo point &lt;math&gt;\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; du système » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt; somme des densités linéiques de forces que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce en chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».

=== Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine « quelconque A » ===

{{Définition|titre=Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système de points matériels fermé|contenu= {{Al|5}}Le &lt;u&gt;vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; appliqué à un système fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}\,&lt;/math&gt; est le &lt;u&gt;vecteur moment résultant des forces extérieures&lt;/u&gt; s'exerçant sur ce système de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; est le vecteur moment résultant }}points matériels &lt;u&gt;relativement au point&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}}\,&lt;/math&gt; somme des forces que }}chaque point matériel &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;».}}
=== Complément : Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine « quelconque A » ===

{{Al|5}}La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, {{Nobr|surfacique&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;}} ou curviligne&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; d'où :

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; évalué relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,&lt;/math&gt; somme des forces que }}chaque pseudo point &lt;math&gt;\,\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; du système » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt; somme des densités volumiques de forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce en &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;&lt;/math&gt; somme des densités volumiques de forces que }}chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle du système ».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; évalué relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,&lt;/math&gt; somme des forces que }}chaque pseudo point &lt;math&gt;\,\left( M,\,d S_M \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; du système » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt; somme des densités surfaciques de forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce en &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;&lt;/math&gt; somme des densités surfaciques de forces que }}chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique du système ».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; évalué relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,&lt;/math&gt; somme des forces que }}chaque pseudo point &lt;math&gt;\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; du système » ou &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt; somme des densités linéiques de forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce en &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Le vecteur moment résultant dynamique est «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;&lt;/math&gt; somme des densités linéiques de forces que }}chaque point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'expansion linéique du système ».

=== Complément : vecteurs résultante et moment résultant dynamiques s'exerçant sur un système discret (ou continu) fermé de matière, éléments de réduction du torseur dynamique de ce système ===

{{Al|5}}En utilisant la notion &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;hors programme de physique de P.C.S.I.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de « [[w:Torseur|torseur]] »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|En utilisant la notion }}&lt;u&gt;l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques, moment par rapport à un point origine quelconque&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, s'exerçant sur un système fermé de matière &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|En utilisant la notion l'ensemble }}constitue les &lt;u&gt;[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,A\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]&lt;/u&gt;&lt;ref name=&quot;torseur statique&quot; /&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;éléments de réduction d'un torseur&quot; /&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;torseur statique et non dynamique&quot;&gt; Attention le qualificatif « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_dynamique|dynamique]] » pour un [[w:Torseur|torseur]] a une signification particulière relative à la façon dont les « quantités de mouvement » des points &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ou des pseudo-points &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;éléments de matière de dimension mésoscopique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. petite à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique&lt;math&gt;\big)\big]\big\}\,&lt;/math&gt; varient avec le temps, celui de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|statique]] » attribué à un [[w:Torseur|torseur]] fait toujours référence aux forces appliquées au système, que celles-ci soient intérieures ou extérieurs ; &lt;br&gt;{{Al|3}}même s'il y a un lien entre le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_dynamique|torseur dynamique]] d'un système et le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] des forces extérieures appliquées au système dans un référentiel galiléen cela résulte d'un théorème et non de la définition d'où la nécessité de faire a priori la différence &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;des forces extérieures&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{stat. ext}}\;&lt;/math&gt; s'exerçant sur ce système fermé de matière, d'où &lt;br&gt;{{Al|24}}{{Transparent|En utilisant la notion l'ensemble constitue les éléments de réduction en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\;&lt;/math&gt;du torseur statique des forces extérieures}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{stat. ext}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{ext}}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \end{array}\right\rbrace_A,\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt;.

=== Moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ » ===

{{Al|5}}Le vecteur moment résultant dynamique s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,&lt;/math&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}se définissant par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique se définissant par }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; somme des forces que chaque système &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieur exerce sur chaque point matériel &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; se définissant à partir du vecteur moment résultant dynamique relativement à un point &lt;math&gt;\,A\, \in\,\Delta&lt;/math&gt;, axe orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le moment résultant scalaire dynamique relativement à un axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta}\,&lt;/math&gt; se définissant }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace physique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}la définition du moment résultant dynamique scalaire s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,&lt;/math&gt; par rapport à un axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|la définition du moment résultant dynamique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \left[ \left( \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right) \cdot \vec{u}_\Delta \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;&lt;/math&gt;».  
{{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système de points matériels fermé|contenu= {{Al|5}}Le &lt;u&gt;moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}&lt;/math&gt; appliqué à un système de points matériels fermé &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le &lt;u&gt;moment résultant scalaire des forces extérieures&lt;/u&gt; s'exerçant sur ce système de points matériels fermé &lt;u&gt;relativement à l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; soit, &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; étant un point quelconque de &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt; la somme des forces &lt;br&gt;que chaque système &lt;math&gt;\;(\Sigma_k)\;&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}

=== Complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ » ===

{{Al|5}}La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; étant calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|17}}celle du moment résultant dynamique scalaire d'un système discret fermé de points matériels relativement à un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; s'obtenant par [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système en n'importe quel point &lt;math&gt;\;A\;\in\,\Delta\;&lt;/math&gt; par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle&lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit la définition du moment résultant dynamique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique relativement à un axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; utilisant 
* d'une part la définition générale d'un moment scalaire relativement à un moment vectoriel et 
* d'autre part la propriété de « distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'intégration vectorielle »&lt;ref name=&quot;intégration vectorielle&quot;&gt; L'intégration vectorielle étant une addition &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;continue&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une fonction vectorielle dépendant du pseudo-point &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;élément de matière de dimension mésoscopique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. petite à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique&lt;math&gt;\big)\big]\;&lt;/math&gt; générique de l'expansion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;tridimensionnelle,}} surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sur lequel l'intégration est faite.&lt;/ref&gt; :
{{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Le &lt;u&gt;moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}&lt;/math&gt; appliqué à un système continu fermé de matière &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}&lt;/math&gt; quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}&lt;/math&gt; appliqué à un }}d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le &lt;u&gt;moment résultant scalaire des forces extérieures&lt;/u&gt; s'exerçant sur ce système de matière &lt;u&gt;relativement à l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; soit, &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; étant un point quelconque de &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\iiint\limits_{M\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt; la somme des forces &lt;br&gt;que chaque système &lt;math&gt;\;(\Sigma_k)\;&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;math&gt;\;M,\,\left( d\mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion surfacique|contenu= {{Al|5}}Le &lt;u&gt;moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}&lt;/math&gt; appliqué à un système continu fermé de matière &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}&lt;/math&gt; quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}&lt;/math&gt; appliqué à un }}d'expansion surfaciqye &lt;math&gt;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le &lt;u&gt;moment résultant scalaire des forces extérieures&lt;/u&gt; s'exerçant sur ce système de matière &lt;u&gt;relativement à l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; soit, &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; étant un point quelconque de &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\iint\limits_{M\, \in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt; la somme des forces &lt;br&gt;que chaque système &lt;math&gt;\;(\Sigma_k)\;&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;math&gt;\;M,\,\left( dS_M \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion linéique|contenu= {{Al|5}}Le &lt;u&gt;moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}&lt;/math&gt; appliqué à un système continu fermé de matière &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}&lt;/math&gt; quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}&lt;/math&gt; appliqué à un }}d'expansion linéiqye &lt;math&gt;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le &lt;u&gt;moment résultant scalaire des forces extérieures&lt;/u&gt; s'exerçant sur ce système de matière &lt;u&gt;relativement à l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\Delta\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; soit, &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; étant un point quelconque de &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\int\limits_{M\, \in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt; la somme des forces &lt;br&gt;que chaque système &lt;math&gt;\;(\Sigma_k)\;&lt;/math&gt; extérieur exerce sur &lt;math&gt;\;M,\,\left( d\mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
== Changement d’origine de calcul du moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système de points matériels ==

=== Changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels ===

{{Al|5}}À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force &lt;math&gt;\,\vec{F}(M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; appliquée à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;changement d'origine du vecteur moment d'une force&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d’origine_de_calcul_du_moment_vectoriel_d’une_force|changement d'origine de calcul du moment vectoriel d'une force]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{F}(M),\;\;\left( \mathfrak{ch} \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir }}du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,&lt;/math&gt; par rapport à un point origine &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir du vecteur moment résultant dynamique }}défini selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir du vecteur moment résultant dynamique défini selon }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance de F&quot; /&gt; somme des forces que les systèmes &lt;math&gt;\;(\Sigma_k)\;&lt;/math&gt; extérieurs exerce sur chaque point matériel &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir du }}par addition vectorielle des relations &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{ch} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;dans lesquelles &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est remplacée par &lt;math&gt;\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,\left( O\,,\, O' \right)\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\left( A\,,\, A' \right)\big\}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«&lt;math&gt;\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] + \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}« en factorisant vectoriellement à gauche par &lt;math&gt;\;\overrightarrow{A'A}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot; /&gt; dans le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«&lt;math&gt;\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«&lt;math&gt;\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_k \vec{F}_{\text{ext}_k}(t)\,&lt;/math&gt; la somme des résultantes dynamiques &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \sum \vec{F}_{\text{ext}_k}(t)}\,&lt;/math&gt; la somme }}exercées par tous les systèmes &lt;math&gt;\,(\Sigma_k)\,&lt;/math&gt; extérieurs ».

=== Complément : changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière ===

{{Al|5}}Les définitions des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des vecteurs résultante et }}moment évalué par rapport à un point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, étant calquées sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des }}seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} mettant en œuvre une intégrale volumique&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des seules modifications le remplacement }}de la factorisation vectorielle à gauche dans une somme discrète vectorielle »&lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot; /&gt; par « celle dans une intégration vectorielle »&lt;ref name=&quot;intégration vectorielle&quot; /&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle - bis&quot;&gt; Utilisation de « la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’intégration vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la signification d'« intégration vectorielle » dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-intégration_vectorielle-93|&lt;sup&gt;93&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;espace affine euclidien tridimensionnel&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; la résultante dynamique exercée sur le système continu fermé &lt;br&gt;{{Al|15}}d'expansions tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Complément : changement d’axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système matériel quand les deux axes gardent une même direction ===

=== Complément : changement d’axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système matériel quand les deux axes gardent une même direction ===

{{Al|5}}Soit &lt;math&gt;\,\left( \Delta\,,\, \Delta' \right)\,&lt;/math&gt; un couple d'axes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; quelconques&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; tous deux orientés par le même vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}&lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,A'\,&lt;/math&gt; deux points quelconques choisis respectivement sur &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\Delta'&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système matériel fermé, qu'il soit discret ou continu d'expansions tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;\;( \mathfrak{a} )\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d'expansions tridimensionnelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;&lt;/math&gt; la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d’}}surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué au système s'obtient en multipliant scalairement chaque membre de la relation &lt;math&gt;\;( \mathfrak{a} )\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}en utilisant la distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle&lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;invariance du produit mixte&quot;&gt; En effet le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\Delta'\;\parallel\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}notant &lt;math&gt;\,H'\,&lt;/math&gt; le projeté orthogonal de &lt;math&gt;\,A'\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A} = \vec{u}_\Delta \wedge \left( \overrightarrow{A'H'} + \overrightarrow{H'A} \right) = \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} + \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H'A}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « notant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{H'}\,&lt;/math&gt; le projeté orthogonal de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A'}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Les points &lt;math&gt;\;H'\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; étant tous deux sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\overrightarrow{H'A}\;&lt;/math&gt; est colinéaire à &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H'A} = \vec{0}&lt;/math&gt;, voir la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dont nous déduisons &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\Delta'\;\parallel\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta'\;\parallel}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta}\;&lt;/math&gt; }}et &lt;math&gt;\,H'\,&lt;/math&gt; projeté orthogonal de &lt;math&gt;\,A'\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}le vecteur «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;&lt;/math&gt;» étant &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace&lt;/math&gt;, selon la disposition de la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; du système &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « le vecteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}}\;&lt;/math&gt;» étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;, selon la disposition de la }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le changement d'axe se réécrit : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition intrinsèque du produit mixte - 1&quot;&gt; Voir la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\overrightarrow{A'H'}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t)\big\}\;&lt;/math&gt; étant alors coplanaires &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Delta'\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = 0}\,&lt;/math&gt; d'où « }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\; \parallel\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\not\parallel\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace&lt;/math&gt;, c.-à-d. si &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t) + \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t) \neq \vec{0}\,&lt;/math&gt; composante &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\,\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \left[ \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t) + \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t) \right]\,&lt;/math&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;, }}par distributivité de la multiplication mixte&lt;ref name=&quot;définition d'un produit mixte&quot; /&gt; par rapport à l'addition vectorielle&lt;ref name=&quot;distributuvité de la multiplication mixte par rapport à l'addition vectorielle&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \cancel{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t)\; +} \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition intrinsèque du produit mixte - 1&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;, }}ou, avec «&lt;math&gt;\;\mathit{d} = A'H'\;&lt;/math&gt; la distance &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non algébrisée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; séparant les deux axes &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\Delta'\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;,}}«&lt;math&gt;\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = \pm\, \Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;plus ou moins&quot;&gt; Avec le signe «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» si «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)\;&lt;/math&gt; est de même sens que &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Avec le signe }}«&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» si «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)\;&lt;/math&gt; est de sens contraire à &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; d'où le changement d'axe se réécrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;,}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,\Delta'\;\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathit{d} = d \left( \Delta\,,\,\Delta' \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; C-à-d la plus courte distance séparant les deux axes.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)&lt;/math&gt; composante de &lt;math&gt;\vec{F}_{\text{ext}}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\perp&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\not\parallel}\,&lt;/math&gt; au plan &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; suivant la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-plus_ou_moins-100|&lt;sup&gt;100&lt;/sup&gt;]] »

== Définition d’un couple, propriété du moment vectoriel d’un couple ==

=== Définition d'un couple en tant que système de forces ===
{{Définition|titre=Définition d'un couple parmi les systèmes de forces|contenu={{Al|5}}Un [[w:Couple_(physique)|couple]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en tant que système de forces&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est un système de forces dont 
* la résultante est nulle à tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\text{résult}}_{\text{couple}}(t) = \vec{0}\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» et 
* le moment résultant par rapport à un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; n'est pas identiquement nul soit : {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\forall\;A&lt;/math&gt;,}} &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{couple}}(t) \neq \vec{0}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; Cela signifiant qu'il existe au moins un instant &lt;math&gt;\;t'\;&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{couple}}(t')\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\neq \vec{0}\;&lt;/math&gt; mais rien n'interdit que le moment résultant soit nul à certains instants.&lt;/ref&gt;.}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Un [[w:Couple_(physique)|couple]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en tant que système de forces&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est un cas particulier de « [[w:Torseur|torseur]] »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur&quot; /&gt; nommé « [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur couple&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définiyion d'un torseur couple]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

[[File:Couples parmi les systèmes de forces.png|thumb|500px|Schémas représentant deux exemples de [[w:Couple_(physique)|couples]] en tant que systèmes de forces]]

=== Exemples de couple ===

{{Al|5}}Voir ci-contre :
* exemple de gauche : système de forces de même norme également réparties sur un cercle du système de matière sur &lt;br&gt;{{Transparent|exemple de gauche : }}lequel le [[w:Couple_(physique)|couple]] s'exerce&lt;ref&gt; Par exemple l'action d'une [[w:Clé_(outil)#Clé_à_tube|clé à tube]].&lt;/ref&gt;,
* exemple de droite : deux forces opposées &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{F}_1\,,\,\vec{F}_2 = -\vec{F}_1 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; appliquées respectivement en deux points &lt;math&gt;\,\left( M_1\,,\,M_2 \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Transparent|exemple de droite : }}du système de matière sur lequel le [[w:Couple_(physique)|couple]] s'exerce, la direction commune de &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{F}_1\,,\,\vec{F}_2 = -\vec{F}_1 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Transparent|exemple de droite : }}étant différente de celle de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_1M_2}&lt;/math&gt;.

=== Propriété du moment vectoriel d'un couple ===

{{Al|5}}La résultante d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] étant nulle et 

{{Al|5}}le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante &lt;math&gt;\;\vec{R}_{\text{syst. de forces}}\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{syst. de forces}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{syst. de forces}} + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\text{syst. de forces}}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;changement d'origine de calcul du moment résultant vecotirel d'un système de forces&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_sysème_continu_fermé_de_matière|complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre, la formule restant applicable même si le système de forces considéré ne contient qu'une partie des forces extérieures.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante }}&lt;math&gt;\;\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Al|6}}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{couple}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{couple}}\;&lt;/math&gt;», le moment résultant vectoriel d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] est &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{couple}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{couple}}}\;&lt;/math&gt;», }}indépendant du point origine de calcul &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;aussi &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}pour le différencier des autres systèmes de forces de vecteur moment résultant &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « }}dépendant du point origine, le vecteur moment &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;résultant&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;appellation simplifiée du vecteur moment résultant d'un couple&quot;&gt; Le qualificatif « résultant » est usuellement omis pour parler du moment &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;résultant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; vectoriel d'un [[w:Couple_(physique)|couple]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] est &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; « dépendant du point origine, le vecteur moment }}usuellement noté «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;notation d'un couple&quot;&gt; Attention, une erreur fréquemment commise consiste à noter le [[w:Couple_(physique)|couple]] «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}\;&lt;/math&gt;» alors qu'il ne s'agit que du moment vectoriel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;résultant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du [[w:Couple_(physique)|couple]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-appellation_simplifiée_du_vecteur_moment_résultant_d'un_couple-106|&lt;sup&gt;106&lt;/sup&gt;]] » ci-dessus&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Un [[w:Couple_(physique)|couple]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en tant que système de forces&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant un cas particulier de « [[w:Torseur|torseur]] »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur&quot; /&gt; nommé « [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur couple&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Un couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;en tant que système de forces&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; étant un cas particulier de « torseur » }}on peut donc lui attribuer, sans autre commentaire, les propriétés de ce dernier à savoir &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Un couple &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;en tant que système de forces&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; étant un cas particulier de « torseur » on peut donc lui attribuer, }}la constance du moment du [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] en tout point de l'espace&lt;ref name=&quot;constance du moment du torseur couple&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_couple|propriétés d'un torseur couple]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple ===

{{Al|5}}Considérant un solide&lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; Système fermé indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; et son système de forces exercées par son extérieur &lt;math&gt;\,\left( \Sigma \right)_k&lt;/math&gt;, de résultante «&lt;math&gt;\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt;» et de moment résultant à un point origine &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,&lt;/math&gt; et }}l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; d'un système de forces s'exerçant sur un système fermé de matière quelconque&lt;ref&gt; C.-à-d. déformable ou indéformable, le cas du solide &lt;math&gt;\,\left( S \right)\;&lt;/math&gt; envisagé plus haut dans ce paragraphe correspodant à un système idéformbale.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,&lt;/math&gt; et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; d'un système de forces }}constituant les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]&lt;ref name=&quot;torseur statique&quot; /&gt;{{,}}&lt;ref name=&quot;éléments de réduction d'un torseur&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,&lt;/math&gt; et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; d'un système de forces constituant }}associé aux forces précitées dans le cadre de la notion &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;hors &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,&lt;/math&gt; et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; d'un système de forces constituant }}programme de physique de P.C.S.I.&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; de « [[w:Torseur|torseur]] »&lt;ref name=&quot;définition d'un torseur&quot; /&gt;, soit &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,&lt;/math&gt; et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; d'un système de forces constituant }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{stat},\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\end{array}\right\rbrace_A\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}l'évolution spatiale d'un solide&lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; ne dépendant que des forces extérieures&lt;ref name=&quot;dépendance de l'évolution spatiale d'un solide&quot;&gt; En effet l'absence de déformation possible d'un solide entraîne que l'évolution spatiale de ce dernier est régie par le mouvement de son centre d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;C.D.I.&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de matière » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ainsi que par son mouvement de rotation autour de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces deux mouvements ne dépendant que des forces extérieures.&lt;/ref&gt; plus précisément de la résultante «&lt;math&gt;\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt;» et du moment résultant au point origine &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; C.D.I&lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt;. du solide &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le système des forces extérieures exercées par &lt;math&gt;\,\left( \Sigma \right)_k\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant en &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant }}en &lt;math&gt;\,A\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;passage de G à A&quot;&gt; Donc, compte-tenu de la formule de changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_sysème_continu_fermé_de_matière|complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; avec une même résultante, on a aussi même moment résultant en n'importe quel point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quelconque.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Système équivalent au système de forces extérieures que&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;(\Sigma_k)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;exerce sur le solide&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;(S)&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une « force unique &lt;math&gt;\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;&lt;/math&gt;exerce sur le solide&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(S)}&lt;/math&gt; : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;un couple de moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;&lt;/math&gt;exerce sur le solide&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(S)}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;u&gt;justification&lt;/u&gt; : le moment du système de forces exercées par &lt;math&gt;\,\left( \Sigma \right)_k\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; au point origine &lt;math&gt;\,A'\,&lt;/math&gt; quelconque&lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;&lt;/math&gt;exerce sur le solide&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(S)}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;justification : }}&lt;math&gt;\neq\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt;»&lt;ref name=&quot;changement d'origine de calcul du moment résultant vecotirel d'un système de forces&quot; /&gt; s'identifie à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;&lt;/math&gt;exerce sur le solide&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(S)}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;justification : }}la somme du moment du couple «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;&lt;/math&gt;exerce sur le solide&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(S)}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;justification : la somme }}du moment de la force &lt;math&gt;\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre&lt;ref&gt; Celui-ci étant nul quand &lt;math&gt;\;A' = A&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;&lt;/math&gt;exerce sur le solide&lt;math&gt;\;\color{transparent}{(S)}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;justification : la somme du moment de la force }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\!\left[ \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} \right] =\overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;&lt;/math&gt;».

== Notion de « liaison pivot », propriété de son moment ==

{{Al|5}}Une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » est mise en œuvre lors du mouvement d'un 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; solide sur un 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; solide, pour restreindre le mouvement relatif à une rotation autour d'un axe fixe du référentiel lié au 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; solide.

=== Définition d'une « liaison pivot » ===

{{Al|5}}Une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » d'axe &lt;math&gt;\,Oz\,&lt;/math&gt; restreint les possibilités de mouvement du « [[w:Rotor|rotor]] » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;solide tournant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à une rotation d’axe &lt;math&gt;\,Oz\,&lt;/math&gt; par rapport au « [[w:Stator|stator]] » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;solide par rapport auquel se fait la rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}dans ce paragraphe, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est « géométriquement idéale » c.-à-d. qu'elle assure un guidage parfait en rotation autour de l'axe de liaison &lt;math&gt;\,Oz\,&lt;/math&gt; en bloquant toute translation le long de cet axe ; 

{{Al|5}}{{Transparent|dans ce paragraphe }}la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est entièrement définie par la direction et la position de l'axe &lt;math&gt;\,Oz\,&lt;/math&gt; qui doit être systématiquement représenté sur tout schéma ; 

{{Al|5}}{{Transparent|dans ce paragraphe }}la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est la liaison la plus « commune »&lt;ref&gt; Dans une bicyclette on en compte plus d'une dizaine : &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; par roue, &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; sur le guidon, &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; sur le pédalier, &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; par manette de frein, &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; par mâchoire de frein, &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; par pédale lors de leur liaison au pédalier et une bonne demi-douzaine supplémentaire sur le dérailleur.&lt;/ref&gt; des systèmes mécaniques.

=== Réalisation pratique d'une « liaison pivot » ===
[[File:Liaison pivot.png|center|thumb|900px|Schéma d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'axe &lt;math&gt;\,z'z\,&lt;/math&gt; pour laquelle les translations sont bloquées ainsi que les rotations suivant les axes &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,z'z\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Norme pour liaisons mécaniques&quot;&gt; Sur le schéma on utilise la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\;\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;le cylindre sur lequel tourne le [[w:Rotor|rotor]] et qui matérialise l'axe de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] exerce un système de forces sur le [[w:Rotor|rotor]] équivalent&lt;ref name=&quot;justification de l'équivalence à une force et un couple&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Équivalence_d'un_système_de_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_solide_:_ensemble_d'une_force_appliquée_en_un_point_et_d'un_couple|équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; à &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;une résultante &lt;math&gt;\,\vec{R}\; \left( R_x,\, R_y,\, R_z \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Les composantes &lt;math&gt;\,\left( R_x,\, R_y,\, R_z \right)\,&lt;/math&gt; n'ont évidemment aucun rapport avec les grandeurs utilisées dans la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » décrite dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-Norme_pour_liaisons_mécaniques-90|&lt;sup&gt;90&lt;/sup&gt;]] » précédente.&lt;/ref&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, de direction quelconque, s'adaptant aux actions exercées sur le [[w:Rotor|rotor]] de façon à supprimer toute translation de ce dernier et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;un couple de moment &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Gamma}\; \left( \Gamma_x,\,\Gamma_y,\,\Gamma_z = 0 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;confusion entre couple et moment de couple&quot;&gt; Attention dans la légnde du schéma ci-dessus il faut remplacer &quot;Couple : &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,Az\;&lt;/math&gt;&quot; par &quot;Couple de moment : &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,Az\;&lt;/math&gt;&quot;, il s'agit d'une confusion fréquemment faite.&lt;/ref&gt;, de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,z'z&lt;/math&gt;, s'adaptant aux actions exercées sur le [[w:Rotor|rotor]] de façon à supprimer toute rotation de ce dernier autre que celle autour de &lt;math&gt;\,z'z\,&lt;/math&gt; laquelle, en absence de frottements, se traduit par &lt;math&gt;\,\Gamma_z = 0&lt;/math&gt;]]
[[File:Rolling-element bearing (numbered).png|thumb|left|Éclaté d'un roulement à billes :
&lt;br&gt;{{Al|5}} 1. bague extérieure
&lt;br&gt;{{Al|5}} 2. bille
&lt;br&gt;{{Al|5}} 3. cage
&lt;br&gt;{{Al|5}} 4. chemin de la bille
&lt;br&gt;{{Al|5}} 5. bague intérieure]]
[[File:Jehlove lozisko.png|thumb|right|Roulement à aiguilles]]
{{Al|5}}La solution technique la plus courante pour réaliser une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » consiste à emboîter deux cylindres coaxiaux &lt;br&gt;{{Al|1}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}et à réaliser des butées empêchant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}les cylindres de coulisser le long de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}leur axe commun &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;voir schéma &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste leur axe commun &lt;math&gt;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;voir }}ci-dessus&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides réductibles à l’aide &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'une « lubrification »&lt;ref&gt; Les frottements fluides étant toujours moins importants que les frottements solides et ceci, quelle que soit la vitesse des pièces mécaniques.&lt;/ref&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en utilisant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;des roulements [[w:Roulement_mécanique#Roulement_à_billes|« à billes »]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir éclaté à gauche&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;des roulements [[w:Roulement_mécanique#Roulement_à_aiguilles|« à aiguilles »]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir photo à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'utilisation de roulements étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}toujours préférable.

=== Action d’une « liaison pivot », cas d’une « liaison pivot idéale » d’axe Az ===

{{Al|5}}Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du [[w:Rotor|rotor]] sur le cylindre d'axe &lt;math&gt;\;z'z\;&lt;/math&gt; au niveau de la coupe &lt;math&gt;\;\left( BC \right)\;&lt;/math&gt; du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor sur le cylindre d'axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{z'z}\;&lt;/math&gt; au niveau de la coupe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( BC \right)}\;&lt;/math&gt; du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; schéma du paragraphe « }}plus haut dans ce chapitre, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor }}on constate qu'elles sont réparties tout au long de la surface de contact et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu'elles sont }}&lt;math&gt;\perp\;&lt;/math&gt; à celle-ci dans la mesure où « les frottements solides &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; sont supposés négligeables », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’}}elles coupent donc l'axe de rotation &lt;math&gt;\;z'z\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le &lt;u&gt;moment scalaire relativement à l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;z'z\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de ces forces de contact&lt;/u&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’elles coupent donc l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\color{transparent}{z'z}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;assurant le guidage en rotation du [[w:Rotor|rotor]] sur le cylindre d'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;z'z\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est nul&lt;/u&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Il y a d'autres forces de contact entre le [[w:Rotor|rotor]] et le cylindre d'axe &lt;math&gt;\;z'z\;&lt;/math&gt; sur lequel le [[w:Rotor|rotor]] tourne : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celles assurant l'absence de translation du [[w:Rotor|rotor]] le long des axes &lt;math&gt;\,\left( x'x\,,\,y'y\,,\,z'z \right)\,&lt;/math&gt; du cylindre, de résultante s'adaptant à toute action pouvant entraîner une translation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;celles assurant l'absence de translation du rotor le long des axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y\,,\,z'z \right)}\,&lt;/math&gt; du cylindre, }}de moment &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; résultant nul en un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,z'z\,&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ces forces forment donc un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|torseur glisseur]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; point central du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celles assurant l'absence de basculement du [[w:Rotor|rotor]] autour des deux axes &lt;math&gt;\,\left( x'x\,,\,y'y \right)\,&lt;/math&gt; du cylindre, de moment &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; résultant au point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,z'z&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,&lt;/math&gt; du cylindre, de moment &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; }}de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe &lt;math&gt;\,z'z&lt;/math&gt;, s'adaptant à toute &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,&lt;/math&gt; du cylindre, de moment &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; }}action pouvant entraîner un basculement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,&lt;/math&gt; du cylindre, }}de résultante &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;éventuelle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; non nulle de direction quelconque ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du [[w:Rotor|rotor]] en rotation sur le cylindre d'axe &lt;math&gt;\,z'z&lt;/math&gt;, avec absence de translation du [[w:Rotor|rotor]] relativement au cylindre et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du rotor en rotation sur le cylindre d'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{z'z}&lt;/math&gt;, avec absence }}de basculement perpendiculairement au cylindre, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère }}ce système de forces étant de résultante &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectorielle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{R}\;\left( R_x,\,R_y,\,R_z \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; Composée de la résultante des forces empêchant la translation et d'éventuellement celle des forces empêchant le basculement ainsi que des forces assurant le guidage &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces étant }}de moment résultant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;z'z\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left( \mathcal{M}_{\!A,\,x}\,,\, \mathcal{M}_{\!A,\,y}\,,\,\mathcal{M}_{\!A,\,z} = 0 \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; Composé du moment résultant en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; des forces empêchant le basculement, celui des forces empêchant la translation étant nul en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; ainsi que celui des forces assurant le guidage &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces }}est équivalent au système composé &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'une force unique «&lt;math&gt;\;\vec{R}\;\left( R_x,\,R_y,\,R_z \right)\;&lt;/math&gt;» appliquée en &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un couple de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;\left( \Gamma_x = \mathcal{M}_{\!A,\,x}\,,\, \Gamma_y = \mathcal{M}_{\!A,\,y}\,,\,\Gamma_z = \mathcal{M}_{\!A,\,z} = 0 \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Équivalence_d'un_système_de_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_solide_:_ensemble_d'une_force_appliquée_en_un_point_et_d'un_couple|équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un couple }}« la nullité de &lt;math&gt;\;\Gamma_z\;&lt;/math&gt;» caractérisant une « &lt;u&gt;[[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un couple }}« la présence de frottements » même faibles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] « non idéale »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; correspondant à «&lt;math&gt;\;\Gamma_z &lt; 0\;&lt;/math&gt;».

== Notions simples sur les « moteurs ou freins » dans les dispositifs rotatifs, présence d’un « stator » exerçant un couple sur le « rotor » ==

=== Généralités ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,Oz\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, il y a &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;un solide tournant autour de &lt;math&gt;\,Oz\,&lt;/math&gt; appelé « &lt;u&gt;[[w:Rotor|rotor]]&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{Oz}\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, il y a }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;un solide fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; appelé « &lt;u&gt;[[w:Stator|stator]]&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{Oz}\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, }}le [[w:Rotor|rotor]] étant usuellement en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » relativement au [[w:Stator|stator]] ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le dispositif rotatif peut être &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;« moteur », dans ce cas le [[w:Stator|stator]] doit exercer un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]] pour que « celui-ci soit entraîné » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;le dispositif rotatif peut être }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;« résistif » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il agit donc en « frein »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, dans ce cas le [[w:Stator|stator]] doit exercer un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif sur le [[w:Rotor|rotor]] pour que « celui-ci ne s'emballe pas » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Cas du moteur ===

{{Al|5}}Le dispositif rotatif est « moteur » si &lt;u&gt;le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]]&lt;/u&gt; pour entraîner ce dernier lequel, à son tour, déploie une action motrice sur l'objet en interaction avec le [[w:Rotor|rotor]] ;

{{Al|5}}si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] entre [[w:Stator|stator]] et [[w:Rotor|rotor]] est quasi-idéale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si &lt;u&gt;le [[w:Rotor|rotor]] est en rotation libre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre }}&lt;u&gt;le [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur que le [[w:Stator|stator]] doit exercer sur le [[w:Rotor|rotor]] est quasi nul&lt;/u&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si &lt;u&gt;le [[w:Rotor|rotor]] est « en charge »&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. tel qu'il déploie une action motrice sur une partie extérieure au système rotatif&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}la partie soumise à l'action du [[w:Rotor|rotor]] exerçant un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant sur le [[w:Rotor|rotor]]&lt;ref&gt; En effet dans le cas où le moteur est utilisé pour entraîner une autre pièce mécanique en rotation, le [[w:Rotor|rotor]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur cette pièce et, d'après le principe des actions réciproques, cette pièce exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant sur le [[w:Rotor|rotor]].&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}&lt;u&gt;le [[w:Stator|stator]] doit appliquer sur le [[w:Rotor|rotor]] un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur&lt;/u&gt; de compensation sinon le [[w:Rotor|rotor]] s’arrêtera&lt;ref&gt; En effet pour maintenir le [[w:Rotor|rotor]] en rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et si possible uniforme&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire que le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur de compensation sur le [[w:Rotor|rotor]], ce [[w:Couple_(physique)|couple]] s'adaptant au [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant que la pièce mécanique en rotation exerce sur le [[w:Rotor|rotor]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;[[w:Couple_(physique)|couple]] moteur quasi nul en absence de pièce à entraîner &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on parle alors de fonctionnement à vide du moteur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de moment scalaire d’autant plus grand que l’inertie de la pièce à entraîner est grande &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on parle alors de fonctionnement en charge du moteur&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Cas du frein ===

{{Al|5}}Le dispositif rotatif est « résistif » si &lt;u&gt;le [[w:Stator|stator]] exerce un couple résistif sur le [[w:Rotor|rotor]]&lt;/u&gt; pour que ce dernier « ne s'emballe pas », en conséquence de quoi &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le dispositif rotatif est « résistif » si le stator exerce un couple résistif sur }}le [[w:Rotor|rotor]] déploie une action résistive sur l'objet en interaction avec lui &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;but recherché pour que le [[w:Rotor|rotor]] ait une action de « frein »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] entre [[w:Stator|stator]] et [[w:Rotor|rotor]] est quasi-idéale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si &lt;u&gt;le [[w:Rotor|rotor]] est en rotation libre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre }}&lt;u&gt;le couple résistif que le [[w:Stator|stator]] doit exercer sur le [[w:Rotor|rotor]] est quasi nul&lt;/u&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si &lt;u&gt;le [[w:Rotor|rotor]] est « en charge »&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. tel qu'il déploie une action résistive sur une partie extérieure au système rotatif, but recherché par tout « frein »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}la partie soumise à l'action du [[w:Rotor|rotor]] exerçant un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]]&lt;ref&gt; En effet dans le cas où le frein est utilisé pour ralentir une autre pièce mécanique en rotation, le [[w:Rotor|rotor]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif sur cette pièce et, d'après le principe des actions réciproques, cette pièce exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]].&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}&lt;u&gt;le [[w:Stator|stator]] doit appliquer sur le [[w:Rotor|rotor]] un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif&lt;/u&gt; de compensation sinon le [[w:Rotor|rotor]] s’emballera&lt;ref&gt; En effet pour maintenir le [[w:Rotor|rotor]] en rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et si possible uniforme&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire que le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif de compensation sur le [[w:Rotor|rotor]], ce [[w:Couple_(physique)|couple]] s'adaptant au [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur que la pièce mécanique en rotation exerce sur le [[w:Rotor|rotor]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;[[w:Couple_(physique)|couple]] résistif quasi nul en absence de pièce à ralentir &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on parle alors de fonctionnement à vide du frein&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de moment scalaire négatif de valeur absolue d’autant plus grande que l’inertie de la pièce à ralentir est grande &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on parle alors de fonctionnement en charge du frein&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exemple du frein avant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou arrière&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;d’une bicyclette entraînée dans une descente&lt;/u&gt; : le [[w:Rotor|rotor]] étant la roue avant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou arrière&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou arrière&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le [[w:Stator|stator]] le cadre de la bicyclette choisi comme référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou arrière&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le sol de la route &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; défile dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; vers l’arrière de plus en plus vite en absence de freinage&lt;ref&gt; On peut dire que la vitesse de défilement de la route dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; s’emballe en absence de freinage.&lt;/ref&gt;, pour l'éviter &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou arrière&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;d’une bicyclette entraînée dans une descente : le sol de la route &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\searrow}\,&lt;/math&gt; défile dans &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; vers l’arrière de plus en plus vite }}il faut ralentir le défilement de la route dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou arrière&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}la route &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exerçant un couple moteur sur la roue &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Rotor|rotor]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou arrière&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le cadre de la bicyclette &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Stator|stator]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; doit exercer un couple résistant sur la roue &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Rotor|rotor]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ce qui est réalisé &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou arrière&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;d’une bicyclette entraînée dans une descente : le cadre de la bicyclette &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;stator&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; doit exercer un couple résistant }}par l’action des patins du frein s’appuyant sur la roue.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un sol. en rot. autour de Δ]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Th. des moments cinét. relativ. à A ou Δ fixes]]
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    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe</title>
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      <timestamp>2026-09-03T13:10:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */</comment>
      <origin>986243</origin>
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      <text bytes="235808" sha1="05coivrj69md7aat50aixa9b1diutur" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}

=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; repérant le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;appliqué&lt;/u&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à un système fermé de matière&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <timestamp>2026-09-03T13:19:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */</comment>
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      <text bytes="236177" sha1="dlegguhj94p0rhp1ep9eeq8jf7q78nu" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}

=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; repérant le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;appliqué&lt;/u&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à un système fermé de matière&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <timestamp>2026-09-03T13:22:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » */</comment>
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      <text bytes="236179" sha1="raasd5ppskie9k1cmbx8yunidm843nr" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}

=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; repérant le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;appliqué&lt;/u&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à un système fermé de matière&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée */</comment>
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      <text bytes="236302" sha1="hxf03ia7pufuhybsou9541aynruxb4b" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}

=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; repérant le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;appliqué&lt;/u&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à un système fermé de matière&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <text bytes="236300" sha1="bum0k95hvf0mkgyd8qjlf4zdgrtwb8f" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}
=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; repérant le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;appliqué&lt;/u&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à un système fermé de matière&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée */</comment>
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      <text bytes="237525" sha1="7ib0njtlmsdby808bbkfoykbopy7eef" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}
=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, il est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant encore la dérivée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}repérant le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}

== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;appliqué&lt;/u&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à un système fermé de matière&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <text bytes="237524" sha1="9y9v1goiicfzo0v80hwuqz13a7g6tjm" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}
=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, il est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant encore la dérivée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}repérant le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;appliqué&lt;/u&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à un système fermé de matière&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */</comment>
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      <text bytes="241414" sha1="7mon2mwip6xdiurcuqp530kqntcdciu" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}
=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, il est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant encore la dérivée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}repérant le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */</comment>
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      <text bytes="241418" sha1="slczh3pwmrljtvirf0ytuntcknjovtc" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 6
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
}}

{{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. 

== Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le point matériel &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le centre &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{C}\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot;&gt; Restant applicable sous cette forme en dynamique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou cinétique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; relativiste.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt;» ou, en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;», le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot;&gt; Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur
 vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;». &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;Pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; appliqué au système &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est défini par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;&lt;/math&gt; est }}sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t)
 \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,&lt;/math&gt; densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» }}le vecteur moment cinétique du système &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; l'est par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;&lt;/math&gt; }}en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; en cinétique newtonienne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|&lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}&lt;/math&gt; }}avec «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,(\mathcal{R})\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Le théorème du moment cinétique vectoriel&lt;/u&gt;, par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système }}&lt;u&gt;discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}&lt;u&gt;reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »&lt;/u&gt; quelle que soit le mouvement du système, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 
[[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
[[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,( \mathcal{V} )\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe, moment cinétique {{Nobr|&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;vectoriel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de l'axe &lt;math&gt;\,(\Delta)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point &lt;math&gt;\,A\;\in\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] &lt;br&gt;{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système discret fermé «}}&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique solidaire du solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\big]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,&lt;/math&gt; est la }}autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}&lt;u&gt;l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système&lt;/u&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; quelconque de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref
 name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot;&gt; &lt;math&gt;\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\,M\;(dm)\,&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : &lt;u&gt;Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)&lt;/math&gt;, en rotation &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque&lt;/u&gt; : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associée à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique &lt;ref name=&quot;tenseur  d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le &lt;u&gt;tenseur d'inertie&lt;/u&gt; associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux &lt;ref name=&quot;tenseurs d'ordre deux&quot;&gt; Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.&lt;/ref&gt; pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; appelée &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}&lt;u&gt;[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les moments d'inertie par rapport à l'axe &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot;&gt; La base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions &lt;ref name=&quot;repérage cartésien solidaire du solide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; ayant pour &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; et }}données en indice : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;&lt;/math&gt;» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;multiplication matricielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de
 multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; -I_{xy} &amp; -I_{xz}\\ -I_{xy} &amp; J_{Ay} &amp; -I_{yz}\\ -I_{xz} &amp; -I_{yz} &amp; J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&amp;= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&amp;= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,&lt;/math&gt; du solide en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;&lt;/math&gt; }}porté par l'axe de rotation et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; après factorisation par &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de rotation.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» s'obtient &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; étant constant, soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme résulte de l'évaluation de &lt;math&gt;\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; soit, avec &lt;math&gt;\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; d'où le résultat du 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme après factorisation par &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; fixe de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'accélération angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;&lt;/math&gt;» est }}&lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; au carré de la vitesse angulaire de rotation «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; est non nulle et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,(\Delta)\,&lt;/math&gt; et orthogonales deux à deux &lt;ref name=&quot;direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta(M)\,&lt;/math&gt; se déduit de &lt;math&gt;\,\vec{u}_r(M)\,&lt;/math&gt; par rotation de &lt;math&gt;\,+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;»
 avec les mêmes cœfficients «&lt;math&gt;\;\mu(M)\;z\;r\;&lt;/math&gt;» avant intégration d'où «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; de directions orthogonales ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Transparent|Taux de variation horaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;remarque les 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; et 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composantes}}elles s'annulent simultanément &lt;ref name=&quot;norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation&quot;&gt; En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de &lt;math&gt;\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y  = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, fixe sur l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; tourne, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{A}&lt;/math&gt;, fixe sur }}l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; étant fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du système appliqué à ce dernier à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; est égal à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; de ce dernier au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, la dérivée temporelle du }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt; &lt;math&gt;= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis&quot; /&gt; soit, après dérivation temporelle, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non à retenir&quot;&gt; Non à retenir mais à retrouver si besoin est &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
|}
=== Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; fixe dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; : «&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» est un &lt;u&gt;axe principal d'inertie d'un solide&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;s'il existe un point particulier&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;tel que le vecteur moment cinétique du&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;solide quand ce dernier tourne autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe dans le référentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}&lt;u&gt;d'étude&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;est porté par l'axe&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt;, le moment étant évalué en &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires &lt;math&gt;\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,&lt;/math&gt; de pôle &lt;math&gt;\,O_p\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire d'un point&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}&lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; est axe principal d'inertie du solide ssi «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\,O_p&lt;/math&gt;, tous deux fixes dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; : «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;, du solide en rotation autour de&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;&lt;/math&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt; : « }}principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» la définition du moment principal d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p} =&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;»,}} &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et de directions notées en &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}indice &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;rappelons que la base cartésienne &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,&lt;/math&gt; est solidaire du solide, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;indice &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}«&lt;math&gt;\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;symétrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de masse volumique &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\mu(M)&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_\Delta\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mu(M)}&lt;/math&gt;, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,&lt;/math&gt; }}d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] &lt;math&gt;\,3\;\text{x}\;3\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;matrice&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left[ J \right]\;&lt;/math&gt;» définissant la &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner
tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] &lt;br&gt;{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M &amp; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} &amp; &amp;\\&amp; J_{Ay} &amp;\\ &amp; &amp; J_\Delta\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; dans lesquels &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; est un point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. &lt;br&gt;{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux &lt;math&gt;\,\left[ \begin{array}{c c c} &amp; I_{xy} &amp; I_{xz}\\ I_{xy} &amp;  &amp; I_{yz}\\ I_{xz} &amp; I_{yz} &amp; \end{array} \right]\,&lt;/math&gt; définit les produits d'inertie dans le plan passant par &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt;, point quelconque choisi fixe sur &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, et de directions précisées en indice.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ J \right]\,&lt;/math&gt; du solide &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie d'un solide&quot; /&gt; relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot;&gt; &lt;math&gt;W\;&lt;/math&gt; étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » &lt;br&gt;{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,&lt;/math&gt; du solide }}est &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;matrice d'inertie diagonalisable&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de &lt;math&gt;\,W&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace&lt;/math&gt;, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}&lt;/math&gt;, pour que }}soit &lt;u&gt;[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]&lt;/u&gt; en &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt; : &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; passant par le point &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; du solide et respectivement orientés par &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,&lt;/math&gt; }}définissent les &lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide issus de &lt;math&gt;\,A&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;J_{AX}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,J_{AY}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,J_{AZ}\;&lt;/math&gt;» sont les &lt;u&gt;moments principaux d'inertie&lt;/u&gt; du solide relativement &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{AX}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AY}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;&lt;/math&gt;» sont les }}aux axes respectifs &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide&quot;&gt; Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt;, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; &lt;br&gt;{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie &lt;math&gt;\,\left[ \mathcal{J} \right]\,&lt;/math&gt; du solide relativement à ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; issus du point &lt;math&gt;\;A\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,&lt;/math&gt; }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right]
 = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{AZ}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;A_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt;, du solide en rotation autour de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;u&gt;utilisant la notion de tenseur d'inertie&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;tenseur d'inertie d'un solide - bis&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie &lt;math&gt;\,( \Delta_p )\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points&quot;&gt; Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement &lt;math&gt;\;\perp&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\,A_p\,&lt;/math&gt; fixe sur &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt;, le vecteur moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du solide au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,W\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;direction de l'espace affine&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\mathbb{R}&lt;/math&gt;-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «&lt;math&gt;\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,( \Delta_p )&lt;/math&gt; ; si les vecteurs rotation instantanée du solide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en &lt;math&gt;\,A_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système continu fermé&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment cinétique d'un système discret fermé&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] &lt;math&gt;\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; si sont représentés par les matrices colonnes }}&lt;math&gt;\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]&lt;/math&gt;, le lien entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «&lt;math&gt;\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique&quot;&gt; Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; les matrices colonnes est }}«&lt;math&gt;\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; J_{AY} &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;&lt;/math&gt;» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{( \Delta_p )}&lt;/math&gt; ; }}dont on déduit «&lt;math&gt;\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.V. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.V.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Vérifier.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments un point &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique en&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière&quot; /&gt; en&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;rotation autour d'un de ses axes principaux&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}&lt;u&gt;d'inertie&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O_p\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt;, c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le système tournant avec un vecteur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le vecteur moment résultant dynamique en&lt;math&gt;\;\color{transparent}{O_p}\;&lt;/math&gt;appliqué }}rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;et&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;O_p\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - bis&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_p \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est nécessairement &lt;u&gt;indéformable&lt;/u&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points  d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est la masse volumique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo oint en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma(M)\;d S_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est la masse surfacique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique - bis&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est la masse linéique du système continu en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, pseudo point en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; restant la même au cours du temps, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» est constant &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;».

=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - ter&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt; est toujours &lt;math&gt;\;\not\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]&lt;/math&gt;, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; mobile dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen étant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; quel que soit le mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu de matière admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;&lt;/math&gt; }}gardant une direction fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen est la composition &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels &lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de sens a priori arbitraire sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\!&lt;/math&gt;applicabilité à un système continu admise&lt;math&gt;\!\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; s'exprime, « }}avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière&quot;&gt; Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;&lt;/math&gt;», la base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable &lt;ref&gt; En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.&lt;/ref&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; s'écrit &lt;center&gt;&lt;math&gt;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; et donc, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» a priori sauf si l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; est un des axes principaux d'inertie du solide &lt;ref name=&quot;notion d'axe principal d'inertie d'un solide&quot; /&gt; issus du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; de ce dernier &lt;ref&gt; Issus de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; deux à deux.&lt;/ref&gt; car &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf }}la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\!&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit principal d'inertie s'écrit &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!&lt;/math&gt;, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» a priori sauf la condition }}par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique&quot;&gt; Par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre : &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion
 tridimensionnelle
 «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de {{Nobr|&lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;,}} de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, de la condition pour que &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit un axe principal d'inertie «&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» on déduit, par rotation de &lt;math&gt;\;+\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;&lt;/math&gt;»}}, {{Nobr|&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des vecteurs moments le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système fermé de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt;  d'étude, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le &lt;u&gt;C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; étant, a priori, mobile&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, }}&lt;u&gt;le vecteur moment résultant dynamique&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;axes principaux d'inertie&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et de direction fixe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}&lt;u&gt;est égal au produit du moment principal d'inertie du système&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}&lt;u&gt;de la dérivée temporelle du vecteur rotation&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;u&gt;instantanée&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rotation instantanée&quot; /&gt; du système dans &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt; galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}&lt;math&gt;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; choisi sur l'axe principal d'inertie du système &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - tetra&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée ==

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, il est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; où le point matériel étudié &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, a un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R\,&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; du cercle décrit par &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; des forces appliquées à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; étant encore la dérivée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot;&gt; Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)&lt;/math&gt;, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;définissant}} l'accélération angulaire instantanée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrit encore &lt;math&gt;\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de&lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}repérant le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; sur sa trajectoire circulaire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du mouvement circulaire &lt;math&gt;\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - penta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz du point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en mouvement circulaire autour de &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, &lt;math&gt;\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; non transformable selon &lt;math&gt;\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,&lt;/math&gt; ni selon &lt;math&gt;\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf mouvement uniforme&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en dynamique relativiste ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
== Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen ==

=== « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous :
{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires un axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;le moment résultant dynamique scalaire&lt;/u&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;&lt;/math&gt;appliqué }}à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;est égal à&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen }}&lt;u&gt;la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; par rapport au même axe &lt;math&gt;\,\left( \Delta \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système continu fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;&lt;/math&gt;galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» soit mathématiquement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité en relativiste&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;}}

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;&lt;/math&gt; ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité volumique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; &gt; Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; a toujours pour indice un axe alors que la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; n'a, a priori, pas d'indice &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d S_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}Dans le cadre d'un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right) \;&lt;/math&gt;» et de « masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\;&lt;/math&gt;», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; sont respectivement définis, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; un point fixe choisi quelconque sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; dans lequel «&lt;math&gt;\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point &lt;math&gt;\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;&lt;/math&gt; la densité linéique des forces extérieures appliquée en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;&lt;/math&gt; la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;», soit, en cinétique newtonienne, &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\;&lt;/math&gt;}} le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;(\mathcal{R})\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;».

=== Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;L'expression du théorème du moment cinétique scalaire&lt;/u&gt;, par rapport à un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe d'un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, &lt;u&gt;appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;reste celle donnée au paragraphe précédent&lt;/u&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », 

{{Al|5}}&lt;u&gt;il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée&lt;/u&gt;, suivant la nature discrète ou continue du système, &lt;u&gt;au paragraphe précédent&lt;/u&gt;, 

{{Al|5}}&lt;u&gt;la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt; comme c'est rappelé ci-dessous : 

{{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, en rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; fixe « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système discret fermé de points matériels&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale séparant le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse volumique &lt;math&gt;\;\mu(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion surfacique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse surfacique &lt;math&gt;\;\sigma(M)\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique&quot; /&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt; par des intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; pour un &lt;u&gt;système continu fermé de matière d'expansion linéique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de masse linéique &lt;math&gt;\;\lambda(M)\big]\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système&lt;/u&gt;, évalué par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; par des intégrales curvilignes &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; avec &lt;br&gt; « le moment d'inertie du système par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;» égal à &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un pseudo-point - ter&quot; /&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot;&gt; Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

{{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe&lt;/u&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; du système «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;&lt;/math&gt;» à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est égal au produit du moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» du système par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» du système autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt; {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;math&gt;\;J_\Delta(\text{syst})\;&lt;/math&gt;» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; de rotation du système &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hexa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;&lt;/math&gt; portée par l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » &lt;math&gt;\;\big[O\;&lt;/math&gt; étant un point quelconque choisi sur &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\big]&lt;/math&gt;, non applicabilité rédhibitoire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite &lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; orientant l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;}}
=== Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » ===

{{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt; passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;rappelé ci-dessous&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot;&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne glisse pas sur l'axe considéré.&lt;/ref&gt;, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;&lt;/math&gt;»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - hepta&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;
|} 

{{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; composante du mouvement du système étant, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, 

{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; de rotation à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constance du moment d'inertie&quot; /&gt; on en déduit l'énoncé ci-dessous :

{| class=&quot;wikitable&quot;
|{{Al|5}}Dans un référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt;, et prenant pour &lt;u&gt;origine&lt;/u&gt; des moments scalaires l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, de direction fixée, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est « la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; autour de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; appliqué à ce système à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, à savoir «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;&lt;/math&gt;» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;non applicabilité en dynamique relativiste - octa&quot;&gt; Non applicable en dynamique relativiste puisque «&lt;math&gt;\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;&lt;/math&gt;» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|&lt;sup&gt;54&lt;/sup&gt;]] » précédente &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\bigg[\theta(t)\;&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG&quot;&gt; Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt;, on définit un point &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; et solidaire du solide, &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;, de centre &lt;math&gt;\;C_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; relativement au référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et on repère la position du solide à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; par la position de &lt;math&gt;\;M_{\text{réf}}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans ce même référentiel, soit &lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;la vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;accélération angulaire&quot; /&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
|}

{{Al|5}}&lt;u&gt;Justification&lt;/u&gt; de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, est la composition d'une translation de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du solide, et d'une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, l'axe lui restant solidaire &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, et de direction fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, l'origine du moment cinétique scalaire étant &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; est le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; l'axe issu de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;, restant solidaire à ce dernier &lt;ref name=&quot;Delta solidaire de G&quot; /&gt;, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt;, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; est la vitesse angulaire instantanée au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se calcule selon «&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)&lt;/math&gt;, vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'évalue selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;H_i\;&lt;/math&gt; étant le centre du cercle que décrit le point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}\;&lt;/math&gt; lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; d'autre part, &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
* le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» se réécrivant «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» ou encore, par factorisations scalaire &lt;ref name=&quot;factorisation scalaire&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; puis vectorielle à droite &lt;ref name=&quot;factorisation vectorielle&quot;&gt; Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système discret fermé &lt;ref name=&quot;définition du C.D.I. d'un système discret fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» et
* le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;&lt;/math&gt;» étant le vecteur vitesse du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le référentiel lié à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; en translation par rapport à &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}^{*}&lt;/math&gt;, moment cinétique scalaire évalué, au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du système relativement à &lt;math&gt;\;\left( \Delta_G \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».&lt;/ref&gt; d'où
&lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.J. &lt;ref name=&quot;C.Q.F.J.&quot;&gt; Ce Qu'il Fallait Justifier.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou curviligne &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot; /&gt; et chaque point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; par un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, surfacique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; ou linéique &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion linéique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]]
}}</text>
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    <title>Wikiversité:20 ans</title>
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        <username>Lionel Scheepmans</username>
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      <text bytes="1939" sha1="ld9dz6kx01haby8jdo1vc54bc9kc0j3" xml:space="preserve">Cette page est dédiée à la '''réorganisation Wikiversité pour ses 20 ans d'existence.'''

Pour discuter de l'organisation de cette page au niveau de sa structure, rendez-vous sur [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]]. Pour tout ce qui est de la réorganisation en soi, voir ci-dessous.

== Les MOOCs ==

== Antécédents ==[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]

===Discussions===

Je viens de relancer [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]] et j'y ai changé mon vote pour rendre la décision possible. Nous pouvons donc mettre en œuvre celle-ci dans le cadre des 20 ans. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:56 (UTC)

:JLe consensus idéal étant l'unanimité, je notifie au passage @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] qui était la deuxième personne défavorable à la décision, pour qu'il puisse éventuellement réagir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:59 (UTC)

=== Équipe de travail ===
* [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;

===Plans de travail===
* Liste à puces

=== Vote pour mise en application du plan de travail ===

En attente du plan de travail.

== Les ébauches ==

=== Fusion catégories ===

=== Suppression abandons ===

== Portail de scolarités ==

== CSS ==

=== Actualiser la charte graphique ===

== Bibliothèque de cours ==

== Rationnalisation des départements et facultés ==

== Fusion département études artistiques ==

== Modèles et modules ==

=== Mise à jour ===

== Règle éditoriales ==

=== Vérifiabilité vs Neutralité ===

=== Propagande ===</text>
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=== Propagande ===</text>
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    <title>Utilisateur:Alyakzan123/Brouillon/Du carré logique ISU à la pédagogie</title>
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        <username>Alyakzan123</username>
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      <comment>Page créée avec « نعم. انسخ النص الآتي كاملًا في محرر **Créer le wikicode**. وهو يجمع الهدف، والمقال النقدي، والأسماء بالعربية واللاتينية، والمراجع، وسطر الشفافية، والتصريح المطوي.  ''Document de recherche bibliographique, pédagogique et critique. Cette page ne constitue ni une biographie personnelle ni une validation expérimentale du modèle étudié.''  == Ré... »</comment>
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      <text bytes="36786" sha1="p1bk6ru0zsi49mnflw8csoh5gp6py1w" xml:space="preserve">نعم. انسخ النص الآتي كاملًا في محرر **Créer le wikicode**. وهو يجمع الهدف، والمقال النقدي، والأسماء بالعربية واللاتينية، والمراجع، وسطر الشفافية، والتصريح المطوي.

''Document de recherche bibliographique, pédagogique et critique. Cette page ne constitue ni une biographie personnelle ni une validation expérimentale du modèle étudié.''

== Résumé ==

Cette étude examine le passage du '''carré logique ISU''' — ''Interest Square Unit'', ou unité carrée des intérêts — à une proposition pédagogique développée dans la thèse de '''Yasmine Alnakari''' (ياسمين النقري), soutenue en sciences de l’éducation à l’[[:w:fr:Université Paris-VIII|Université Paris 8]] le 4 décembre 2019, sous la direction de '''Didier Moreau''' (ديدييه مورو).&lt;ref name=&quot;Paris8&quot;&gt;[[https://sciences-sociales.univ-paris8.fr/theses-soutenues-en-2019](https://sciences-sociales.univ-paris8.fr/theses-soutenues-en-2019) Université Paris 8, « Thèses soutenues en 2019 »], entrée consacrée à Yasmine Alnakari, consultée le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;theses&quot;&gt;[[https://theses.fr/2019PA080105](https://theses.fr/2019PA080105) « Les intérêts éducatifs de la pédagogie inspirée du carré logique ISU »], notice nationale de la thèse de Yasmine Alnakari, theses.fr, consultée le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

L’étude présente les fondements du modèle, la contribution propre de Yasmine Alnakari à sa transposition éducative, les rapprochements proposés avec plusieurs théories de l’apprentissage, ainsi que les appréciations favorables et les réserves méthodologiques formulées pendant l’évaluation doctorale.

== Objectif de cette page ==

Cette page propose une ressource de recherche et de formation consacrée à la transposition pédagogique du carré logique ISU dans les travaux de Yasmine Alnakari. Elle vise à présenter les principales hypothèses du modèle, à les mettre en relation avec plusieurs théories de l’apprentissage et à examiner les appréciations, les réserves et les questions méthodologiques formulées lors de la soutenance de sa thèse.

L’objectif n’est pas de présenter le carré ISU comme une théorie déjà universellement validée, mais d’identifier :

# sa proposition logique et pédagogique ;

# la contribution propre de Yasmine Alnakari à sa transposition éducative ;

# les appréciations favorables et les réserves formulées lors de la soutenance ;

# les différences entre une proposition théorique, une application pédagogique et une validation empirique indépendante ;

# les conditions méthodologiques nécessaires à une évaluation reproductible du modèle.

Cette page ne constitue ni une biographie de Yasmine Alnakari ni une présentation promotionnelle de ses travaux. Elle est conçue comme un document évolutif destiné à l’étude, à la discussion critique et à l’amélioration collective. Les contributeurs sont invités à distinguer les propositions théoriques, les applications pédagogiques, les observations empiriques et les évaluations indépendantes.

''Note de transparence : cette page est préparée par un collègue de Yasmine Alnakari, avec son accord explicite et sur mandat de sa part. Le contributeur n’est pas indépendant du sujet. [[#Note de transparence|Consulter la déclaration complète]].''

== Objet et corpus de l’étude ==

La thèse étudiée porte le titre suivant :

:''Les intérêts éducatifs de la pédagogie inspirée du carré logique ISU : étude critique de ses fondements philosophiques et de ses applications dans l’enseignement scolaire et dans l’éducation informelle''.

Le corpus examiné comprend :

* la notice officielle de la thèse et son référencement par l’Université Paris 8 ;&lt;ref name=&quot;Paris8&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;theses&quot; /&gt;
* le rapport de soutenance et le prérapport de '''Susana Villavicencio''' (سوسانا فيافيسينسيو) ;&lt;ref name=&quot;rapport&quot;&gt;Université Paris 8, ''Rapport de soutenance de la thèse de Yasmine Alnakari'', soutenance du 4 décembre 2019, accompagné du prérapport de Susana Villavicencio. Document institutionnel d’archive communiqué par l’autrice et non publié en ligne au moment de la rédaction. Il s’agit d’une source primaire d’évaluation universitaire.&lt;/ref&gt;
* l’article de Yasmine Alnakari publié en 2023 dans ''The Journal of Quality in Education'' ;&lt;ref name=&quot;article&quot;&gt;Yasmine Alnakari, « [[https://doi.org/10.37870/joqie.v13i22.397](https://doi.org/10.37870/joqie.v13i22.397) FLUID COMMON SENSE SYNDROMES — Learning How to Learn (LL): From theory to application via Edgar Morin, Skinner, Chomsky, Gestalt &amp; Piaget] », ''The Journal of Quality in Education'', vol. 13, no 22, 2023, p. 195–207, DOI : 10.37870/joqie.v13i22.397.&lt;/ref&gt;
* une publication antérieure de '''Raiek Alnakari''' (رائق النقري) et '''David C. Rine''' (ديفيد سي. راين) sur une logique à quatre valeurs ;&lt;ref name=&quot;IEEE&quot;&gt;David C. Rine et Raiek Alnakari, « [[https://doi.org/10.1109/ISMVL.2000.848633](https://doi.org/10.1109/ISMVL.2000.848633) A Four-Valued Logic B(4) of E(9) for Modeling Human Communication] », ''Proceedings of the 30th IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic'', 2000, p. 285–292, DOI : 10.1109/ISMVL.2000.848633.&lt;/ref&gt;
* des enregistrements de présentations et de discussions publiques consacrées aux applications pédagogiques du modèle.

Les rapports universitaires sont utilisés ici comme des sources primaires documentant l’évaluation de la thèse. Ils ne sont pas assimilés à des études expérimentales indépendantes du modèle.

== Le carré logique ISU ==

Le carré logique ISU est présenté comme une matrice comportant quatre états relationnels :

# '''isolement''' ;

# '''conflit''' ;

# '''coexistence''' ;

# '''unification'''.

Une publication de Raiek Alnakari et David C. Rine décrit une logique à quatre valeurs destinée à modéliser des formes de communication humaine.&lt;ref name=&quot;IEEE&quot; /&gt;

Dans la transposition pédagogique proposée par Yasmine Alnakari, ces quatre états ne servent pas seulement à classer une réponse comme vraie ou fausse. Ils permettent d’interroger la manière dont une connaissance est identifiée, reliée à d’autres connaissances, hiérarchisée, mémorisée, communiquée et appliquée.

La notion de '''sens commun''' correspond ici au terme arabe '''البداهة'''. Dans le cadre de cette recherche, elle ne doit pas être traduite par « intuition ». L’hypothèse étudiée concerne la fluidité des mémoires et des formes de communication du sens commun, ainsi que leurs effets sur l’apprentissage, la confiance en soi, la confiance envers autrui et la capacité à réexaminer une information.

== Contribution pédagogique de Yasmine Alnakari ==

La contribution propre de Yasmine Alnakari consiste principalement à transformer une structure logique en proposition éducative et en instruments d’observation pédagogique.

Elle étudie notamment :

* l’application du carré ISU à des situations d’enseignement scolaire et d’éducation informelle ;
* son utilisation avec des enfants et des apprenants appartenant à différents contextes culturels ;
* le passage de la mémorisation répétitive à l’examen critique des informations ;
* l’articulation entre apprentissage cognitif, expérience, langage, valeurs et autorégulation ;
* l’observation des manières dont les apprenants isolent, opposent, font coexister ou unifient les informations ;
* la comparaison du modèle avec plusieurs théories éducatives, philosophiques et psychologiques.

L’article publié en 2023 prolonge cette recherche sous le titre ''Fluid Common Sense Syndromes — Learning How to Learn''.&lt;ref name=&quot;article&quot; /&gt; Il confronte la proposition à des concepts associés à '''[[:w:fr:Edgar Morin|Edgar Morin]]''' (إدغار موران), '''[[:w:fr:Burrhus Frederic Skinner|B. F. Skinner]]''' (بورهوس فريدريك سكينر), '''[[:w:fr:Noam Chomsky|Noam Chomsky]]''' (نعوم تشومسكي), à la '''[[:w:fr:Psychologie de la forme|psychologie de la forme — Gestalt]]''' (علم النفس الغشتالتي) et à '''[[:w:fr:Jean Piaget|Jean Piaget]]''' (جان بياجيه).

Cette comparaison constitue une proposition théorique et pédagogique. Elle ne suffit pas, à elle seule, à établir la supériorité empirique du carré ISU sur les théories auxquelles il est comparé.

== Lecture critique des évaluations du jury ==

Le rapport de soutenance et les documents préparatoires permettent de distinguer les appréciations positives, les réserves et les questions méthodologiques formulées par les membres du jury.&lt;ref name=&quot;rapport&quot; /&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Membre du jury
! Apports reconnus

| ! Réserves et questions                                                                                                                                                                                                                                                            |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------ | --------------------------------------- |
| '''Susana Villavicencio'''&lt;br /&gt;(سوسانا فيافيسينسيو)                                                                                                                                                                                                                               |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Elle considère que le travail approfondit la question de la transmission et ouvre une voie distincte de plusieurs paradigmes béhavioristes, cognitivistes et générativistes.                                                                                                       |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Elle observe que certaines affirmations relevant de la logique hayawic paraissent légitimées davantage par l’évidence ou le sens commun que par une démonstration suffisamment développée.                                                                                         |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| -                                                                                                                                                                                                                                                                                  |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| '''Didier Moreau'''&lt;br /&gt;(ديدييه مورو)&lt;br /&gt;Directeur de la thèse                                                                                                                                                                                                                  |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Il relève l’intérêt philosophique, la visée universaliste et rationnelle du projet, ainsi que la tentative de mettre le concept à l’épreuve de pratiques pédagogiques.                                                                                                             |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Il estime que la caractérisation de la pédagogie de la forme vitale demeure excessivement autoréférentielle et aurait gagné à être expliquée à partir de cadres extérieurs. En sa qualité de directeur de la thèse, son appréciation ne constitue pas une évaluation indépendante. |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| -                                                                                                                                                                                                                                                                                  |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| '''Elena K. Theodoropoulou'''&lt;br /&gt;(إيلينا ك. ثيودوروبولو)                                                                                                                                                                                                                         |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Elle décrit une approche philosophique et pédagogique authentique. Lorsqu’elle est lue comme un parcours allant des objectifs pédagogiques et des clarifications conceptuelles vers une application, la thèse lui paraît intéressante et structurée.                               |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Elle souligne que l’ambition de démontrer simultanément l’universalité, la complétude et l’efficacité du modèle rend son évaluation difficile. Elle signale également un risque de réduction ou d’instrumentalisation de la théorie lors de son application.                       |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| -                                                                                                                                                                                                                                                                                  |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| '''Miguel Corella Lacasa'''&lt;br /&gt;(ميغيل كوريّا لاكاسا)                                                                                                                                                                                                                             |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Il qualifie le travail de rigoureux sur les plans théorique et philosophique et reconnaît la proposition d’un modèle pédagogique spécifique.                                                                                                                                       |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Il interroge certains axiomes, certaines formulations générales et plusieurs affirmations qu’il juge exagérées. Il propose d’approfondir la confrontation avec [[:w:fr:Baruch Spinoza                                                                                              | Baruch Spinoza]] (باروخ سبينوزا), [[:w:fr:Jacques Rancière                                             | Jacques Rancière]] (جاك رانسيير), [[:w:fr:Francisco Varela | Francisco Varela]] (فرانسيسكو فاريلا) et [[:w:fr:Humberto Maturana | Humberto Maturana]] (أومبرتو ماتورانا). |
| -                                                                                                                                                                                                                                                                                  |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| '''Frédérique Lerbet-Séréni'''&lt;br /&gt;(فريديريك ليربيه-سيريني)&lt;br /&gt;Présidente du jury                                                                                                                                                                                               |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| Elle décrit l’exposition comme précise, claire et pédagogique. Elle juge pertinente la critique de certains modèles éducatifs, notamment le triangle pédagogique de [[:w:fr:Jean Houssaye                                                                                          | Jean Houssaye]] (جان هوساي) et le Programme d’enrichissement instrumental de [[:w:fr:Reuven Feuerstein | Reuven Feuerstein]] (روفين فويرشتاين).                     |                                                                    |                                         |
| Elle perçoit néanmoins un risque de totalité ou de clôture : dans certaines comparaisons, la théorie vitale paraît devoir nécessairement « gagner ». Elle demande comment la confrontation avec les autres théories a réellement transformé, enrichi ou nuancé le modèle.          |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |
| }                                                                                                                                                                                                                                                                                  |                                                                                                        |                                                            |                                                                    |                                         |

À l’issue de la délibération, le jury a reconnu l’originalité et la rigueur du travail et a estimé qu’il méritait une diffusion plus large.&lt;ref name=&quot;rapport&quot; /&gt;

Cette conclusion valide la soutenance et reconnaît la valeur universitaire du travail doctoral. Elle ne constitue toutefois ni une réplication indépendante des applications, ni une validation expérimentale complète, ni une preuve définitive de l’efficacité universelle du modèle.

== Questions de recherche restant ouvertes ==

Une poursuite méthodique du programme devrait notamment préciser :

# les définitions opérationnelles de la « fluidité du sens commun » ;

# les comportements observables correspondant aux quatre états du carré ISU ;

# les unités d’analyse retenues dans les situations d’apprentissage ;

# les règles de codage, de classement et de calcul des résultats ;

# les conditions de reproductibilité entre plusieurs évaluateurs ;

# la comparaison avec des groupes témoins et avec des instruments éducatifs existants ;

# les critères permettant de réfuter, de corriger ou de modifier une hypothèse du modèle ;

# la distinction entre portée philosophique, valeur pédagogique et efficacité expérimentale ;

# les limites culturelles, linguistiques et institutionnelles de la généralisation des résultats ;

# les modalités de publication des données et des protocoles permettant une évaluation extérieure.

Ces exigences répondent directement à plusieurs réserves formulées pendant l’évaluation doctorale : éviter l’autoréférence, rendre les comparaisons réellement contradictoires et transformer les propositions générales en hypothèses susceptibles d’être examinées, corrigées ou réfutées.

== Prolongements et discussions publiques ==

Une présentation liée à cette recherche a été diffusée dans le cadre du vingtième congrès international sur la qualité de l’éducation, CIMQUSEF.&lt;ref name=&quot;CIMQUSEF&quot;&gt;[[https://www.youtube.com/watch?v=QPRaONynBf0](https://www.youtube.com/watch?v=QPRaONynBf0) « 20th CIMQUSEF International Conference on Quality in Education: Session 8 »], enregistrement vidéo publié le 16 novembre 2023, consulté le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

Cette présentation constitue une communication publique associée à la recherche. Son enregistrement permet d’identifier les propositions exposées, mais ne remplace ni un article scientifique évalué par les pairs ni une expérimentation indépendante.

En 2024, une séance intitulée '''« Comment apprendre de la guerre à Gaza : consacrer la citoyenneté mondiale et renforcer ce qui est commun à l’humanité »''' — « كيف نتعلم من الحرب على غزة: تكريس المواطنة العالمية وتعزيز المشترك الإنساني » — a présenté une application du carré des intérêts à l’éducation à la citoyenneté mondiale.&lt;ref name=&quot;Gaza&quot;&gt;[[https://www.youtube.com/watch?v=tJVjWs18fV0](https://www.youtube.com/watch?v=tJVjWs18fV0) « كيف نتعلم من الحرب على غزة: تكريس المواطنة العالمية »], AMAQUEN Institute, enregistrement vidéo publié le 19 janvier 2024, consulté le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

La discussion a réuni notamment :

* '''Khalid Samadi''' (خالد الصمدي), universitaire et ancien secrétaire d’État marocain chargé de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique ;
* '''Abdennasser Naji''' (عبد الناصر ناجي), spécialiste de la qualité de l’éducation et président d’AMAQUEN ;
* '''Fatima El Hassani''' (فاطمة الحسني), universitaire spécialisée dans l’enseignement des langues étrangères ;
* '''Raiek Alnakari''' (رائق النقري), auteur associé à l’élaboration de la logique hayawic et du carré ISU.

Cet enregistrement documente une présentation et une discussion publique. Il constitue une source primaire sur le contenu de la séance et les interventions des participants. Il ne doit pas être assimilé à un article scientifique indépendant ou à une validation par les pairs.

== Repères philosophiques et théoriques bilingues ==

Le tableau suivant situe quelques auteurs évoqués dans la thèse, dans les évaluations du jury ou dans les prolongements théoriques proposés. Leur présence ne signifie pas qu’ils aient directement évalué ou validé le carré ISU.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Nom en français ou dans la langue originale
! Nom arabe

| ! Rapport avec la recherche                                       |                        |
| ----------------------------------------------------------------- | ---------------------- |
| [[:w:fr:Aristote                                                  | Aristote]]             |
| أرسطو                                                             |                        |
| Logique classique, identité, non-contradiction et tiers exclu     |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:René Descartes                                            | René Descartes]]       |
| رينيه ديكارت                                                      |                        |
| Dualisme et carré cartésien discutés dans la thèse                |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Henri Bergson                                             | Henri Bergson]]        |
| هنري برغسون                                                       |                        |
| Vitalisme et distinction avec la logique hayawic                  |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Averroès                                                  | Averroès — Ibn Rochd]] |
| ابن رشد                                                           |                        |
| Transmission et interprétation de la philosophie aristotélicienne |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Baruch Spinoza                                            | Baruch Spinoza]]       |
| باروخ سبينوزا                                                     |                        |
| Immanence, mouvement et notion de ''natura naturans''             |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Jacques Rancière                                          | Jacques Rancière]]     |
| جاك رانسيير                                                       |                        |
| Égalité des intelligences et figure du maître ignorant            |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Francisco Varela                                          | Francisco Varela]]     |
| فرانسيسكو فاريلا                                                  |                        |
| Cognition incarnée, expérience et autopoïèse                      |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Humberto Maturana                                         | Humberto Maturana]]    |
| أومبرتو ماتورانا                                                  |                        |
| Autopoïèse et organisation du vivant                              |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Niklas Luhmann                                            | Niklas Luhmann]]       |
| نيكلاس لومان                                                      |                        |
| Transposition sociologique de l’autopoïèse                        |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Félix Guattari                                            | Félix Guattari]]       |
| فيليكس غاتاري                                                     |                        |
| Critique et transformation des modèles systémiques                |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Jacques Derrida                                           | Jacques Derrida]]      |
| جاك دريدا                                                         |                        |
| Déconstruction et examen critique des systèmes conceptuels        |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Edgar Morin                                               | Edgar Morin]]          |
| إدغار موران                                                       |                        |
| Pensée complexe et mise en relation des savoirs                   |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Burrhus Frederic Skinner                                  | B. F. Skinner]]        |
| بورهوس فريدريك سكينر                                              |                        |
| Béhaviorisme et apprentissage par les conséquences                |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Noam Chomsky                                              | Noam Chomsky]]         |
| نعوم تشومسكي                                                      |                        |
| Langage, structures cognitives et critique du béhaviorisme        |                        |
| -                                                                 |                        |
| [[:w:fr:Jean Piaget                                               | Jean Piaget]]          |
| جان بياجيه                                                        |                        |
| Développement cognitif et construction des connaissances          |                        |
| }                                                                 |                        |

== Portée pédagogique possible ==

Dans un cadre de formation, cette ressource pourrait servir à :

* présenter les quatre états relationnels du carré ISU ;
* comparer une classification à quatre états avec des classifications binaires ;
* analyser des réponses d’apprenants sans réduire immédiatement leur raisonnement à l’opposition vrai/faux ;
* construire des activités portant sur la mémorisation, le langage, la confiance et l’examen critique ;
* comparer le modèle avec la taxonomie de Bloom révisée par Anderson et Krathwohl, les théories de Piaget, la Gestalt et d’autres modèles d’apprentissage ;
* élaborer des protocoles permettant à des évaluateurs indépendants de tester certaines hypothèses ;
* recueillir des objections, des contre-exemples et des propositions de correction.

Une telle utilisation suppose que les objectifs pédagogiques, le public concerné, les consignes, les critères d’évaluation et les limites du dispositif soient explicitement indiqués.

== Conclusion ==

La recherche de Yasmine Alnakari constitue une tentative identifiable de transposition pédagogique du carré logique ISU. Son intérêt académique réside autant dans sa proposition que dans les questions critiques qu’elle fait apparaître : comment une théorie issue d’un héritage familial et philosophique peut-elle devenir un dispositif éducatif transmissible, réfutable et reproductible ?

Les évaluations universitaires reconnaissent l’originalité, la rigueur, la dimension interculturelle et le potentiel pédagogique du travail. Elles demandent simultanément davantage de confrontation extérieure, de délimitation des prétentions universelles et d’opérationnalisation empirique.

La valeur scientifique future de ce programme dépendra donc moins de l’affirmation de sa complétude que de sa capacité à exposer ses méthodes, ses données, ses limites et les conditions dans lesquelles ses hypothèses pourraient être reproduites, corrigées ou réfutées.

== Note de transparence ==

{{Boîte déroulante
|titre = Déclaration complète relative au contributeur et au conflit d’intérêts
|contenu =
Le compte [[Utilisateur:Alyakzan123]] n’est pas utilisé par '''Yasmine Alnakari''' (ياسمين النقري). Son titulaire est un collègue de Yasmine Alnakari et un chercheur participant aux travaux de l’École de Damas de la logique hayawic. Il agit avec son accord explicite et est mandaté par elle pour coordonner la préparation documentaire, la vérification des références, la rédaction et la mise en forme de cette page sur Wikiversité.

Cette autorisation ne fait pas du titulaire du compte un évaluateur indépendant des recherches présentées. En raison de sa collaboration avec Yasmine Alnakari et de sa participation au même programme de recherche, il déclare explicitement sa proximité avec le sujet et sollicite la relecture, la correction et la reformulation de la page par des contributeurs sans lien avec Yasmine Alnakari, Raiek Alnakari (رائق النقري) ou l’École de Damas de la logique hayawic.

Les travaux de Yasmine Alnakari, les rapports établis dans le cadre de sa soutenance de thèse, les publications de Raiek Alnakari et les enregistrements des présentations et discussions publiques sont identifiés selon leur nature. Aucune de ces sources n’est présentée, à elle seule, comme une validation expérimentale indépendante du modèle étudié.

Cette contribution est bénévole et non rémunérée.

Yasmine Alnakari remercie par avance tous les contributeurs indépendants pour leurs lectures critiques, leurs corrections et leurs propositions d’amélioration. Afin de préserver la transparence du processus, les observations relatives au contenu de la page sont de préférence déposées sur sa page de discussion. Lorsqu’un échange confidentiel s’avère nécessaire, une demande de mise en relation privée avec Yasmine Alnakari peut être adressée au titulaire du compte au moyen de la fonction « Envoyer un courriel à cet utilisateur ».
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}}

== Références ==

&lt;references /&gt;

== Voir aussi ==

* [[:w:fr:Philosophie de l'éducation|Philosophie de l’éducation]]
* [[:w:fr:Sciences de l'éducation|Sciences de l’éducation]]
* [[:w:fr:Apprentissage|Apprentissage]]
* [[:w:fr:Pensée critique|Pensée critique]]
* [[:w:fr:Psychologie de la forme|Psychologie de la forme]]
* [[:w:fr:Taxonomie de Bloom|Taxonomie de Bloom]]

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      <contributor>
        <username>Alyakzan123</username>
        <id>80932</id>
      </contributor>
      <comment>Correction de la mise en forme des tableaux et des liens, suppression des textes ajoutés par erreur et harmonisation de la présentation en français.</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20936" sha1="7lx5b1c1zs5681wym3slwi6d0eb2i61" xml:space="preserve">''Document de recherche bibliographique, pédagogique et critique. Cette page ne constitue ni une biographie personnelle ni une validation expérimentale du modèle étudié.''

== Résumé ==
Cette étude examine le passage du '''carré logique ISU''' — ''Interest Square Unit'', ou unité carrée des intérêts — à une proposition pédagogique développée dans la thèse de '''Yasmine Alnakari''' (ياسمين النقري), soutenue en sciences de l’éducation à l’[[w:Université Paris-VIII|Université Paris 8]] le 4 décembre 2019, sous la direction de '''Didier Moreau'''.&lt;ref name=&quot;Paris82&quot;&gt;[https://sciences-sociales.univ-paris8.fr/theses-soutenues-en-2019 Université Paris 8, « Thèses soutenues en 2019 »], entrée consacrée à Yasmine Alnakari, consultée le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;theses2&quot;&gt;[https://theses.fr/2019PA080105 « Les intérêts éducatifs de la pédagogie inspirée du carré logique ISU »], notice nationale de la thèse de Yasmine Alnakari, theses.fr, consultée le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

L’étude présente les fondements du modèle, la contribution propre de Yasmine Alnakari à sa transposition éducative, les rapprochements proposés avec plusieurs théories de l’apprentissage, ainsi que les appréciations favorables et les réserves méthodologiques formulées pendant l’évaluation doctorale.

== Objectif de cette page ==
Cette page propose une ressource de recherche et de formation consacrée à la transposition pédagogique du carré logique ISU dans les travaux de Yasmine Alnakari. Elle vise à présenter les principales hypothèses du modèle, à les mettre en relation avec plusieurs théories de l’apprentissage et à examiner les appréciations, les réserves et les questions méthodologiques formulées lors de la soutenance de sa thèse.

L’objectif n’est pas de présenter le carré ISU comme une théorie déjà universellement validée, mais d’identifier :

# sa proposition logique et pédagogique ;
# la contribution propre de Yasmine Alnakari à sa transposition éducative ;
# les appréciations favorables et les réserves formulées lors de la soutenance ;
# les différences entre une proposition théorique, une application pédagogique et une validation empirique indépendante ;
# les conditions méthodologiques nécessaires à une évaluation reproductible du modèle.

Cette page ne constitue ni une biographie de Yasmine Alnakari ni une présentation promotionnelle de ses travaux. Elle est conçue comme un document évolutif destiné à l’étude, à la discussion critique et à l’amélioration collective. Les contributeurs sont invités à distinguer les propositions théoriques, les applications pédagogiques, les observations empiriques et les évaluations indépendantes.

''Note de transparence : cette page est préparée par un collègue de Yasmine Alnakari, avec son accord explicite et sur mandat de sa part. Le contributeur n’est pas indépendant du sujet. [[Utilisateur:Alyakzan123/Brouillon/Du carré logique ISU à la pédagogie#Note de transparence|Consulter la déclaration complète]].''

== Objet et corpus de l’étude ==
La thèse étudiée porte le titre suivant :

: ''Les intérêts éducatifs de la pédagogie inspirée du carré logique ISU : étude critique de ses fondements philosophiques et de ses applications dans l’enseignement scolaire et dans l’éducation informelle''.

Le corpus examiné comprend :

* la notice officielle de la thèse et son référencement par l’Université Paris 8 ;&lt;ref name=&quot;Paris82&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;theses2&quot; /&gt;
* le rapport de soutenance et le prérapport de '''Susana Villavicencio''' ;&lt;ref name=&quot;rapport2&quot;&gt;Université Paris 8, ''Rapport de soutenance de la thèse de Yasmine Alnakari'', soutenance du 4 décembre 2019, accompagné du prérapport de Susana Villavicencio. Document institutionnel d’archive communiqué par l’autrice et non publié en ligne au moment de la rédaction. Il s’agit d’une source primaire d’évaluation universitaire.&lt;/ref&gt;
* l’article de Yasmine Alnakari publié en 2023 dans ''The Journal of Quality in Education'' ;&lt;ref name=&quot;article2&quot;&gt;Yasmine Alnakari, « [[doi:10.37870/joqie.v13i22.397|FLUID COMMON SENSE SYNDROMES — Learning How to Learn (LL): From theory to application via Edgar Morin, Skinner, Chomsky, Gestalt &amp; Piaget]] », ''The Journal of Quality in Education'', vol. 13, no 22, 2023, p. 195–207, DOI : 10.37870/joqie.v13i22.397.&lt;/ref&gt;
* une publication antérieure de '''Raiek Alnakari''' (رائق النقري) et '''David C. Rine''' sur une logique à quatre valeurs ;&lt;ref name=&quot;IEEE2&quot;&gt;David C. Rine et Raiek Alnakari, « [[doi:10.1109/ISMVL.2000.848633|A Four-Valued Logic B(4) of E(9) for Modeling Human Communication]] », ''Proceedings of the 30th IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic'', 2000, p. 285–292, DOI : 10.1109/ISMVL.2000.848633.&lt;/ref&gt;
* des enregistrements de présentations et de discussions publiques consacrées aux applications pédagogiques du modèle.

Les rapports universitaires sont utilisés ici comme des sources primaires documentant l’évaluation de la thèse. Ils ne sont pas assimilés à des études expérimentales indépendantes du modèle.

== Le carré logique ISU ==
Le carré logique ISU, développé dans le cadre de la logique hayawic (المنطق الحيوي), est présenté comme une matrice comportant quatre états relationnels :

# '''isolement''' ;
# '''conflit''' ;
# '''coexistence''' ;
# '''unification'''.

Une publication de Raiek Alnakari et David C. Rine décrit une logique à quatre valeurs destinée à modéliser des formes de communication humaine.&lt;ref name=&quot;IEEE2&quot; /&gt;

Dans la transposition pédagogique proposée par Yasmine Alnakari, ces quatre états ne servent pas seulement à classer une réponse comme vraie ou fausse. Ils permettent d’interroger la manière dont une connaissance est identifiée, reliée à d’autres connaissances, hiérarchisée, mémorisée, communiquée et appliquée.

Dans cette page, l’expression '''sens commun''' est retenue dans un sens distinct de celui d’« intuition ». L’hypothèse étudiée concerne la fluidité des mémoires et des formes de communication du sens commun, ainsi que leurs effets sur l’apprentissage, la confiance en soi, la confiance envers autrui et la capacité à réexaminer une information.

== Contribution pédagogique de Yasmine Alnakari ==
La contribution propre de Yasmine Alnakari consiste principalement à transformer une structure logique en proposition éducative et en instruments d’observation pédagogique.

Elle étudie notamment :

* l’application du carré ISU à des situations d’enseignement scolaire et d’éducation informelle ;
* son utilisation avec des enfants et des apprenants appartenant à différents contextes culturels ;
* le passage de la mémorisation répétitive à l’examen critique des informations ;
* l’articulation entre apprentissage cognitif, expérience, langage, valeurs et autorégulation ;
* l’observation des manières dont les apprenants isolent, opposent, font coexister ou unifient les informations ;
* la comparaison du modèle avec plusieurs théories éducatives, philosophiques et psychologiques.

L’article publié en 2023 prolonge cette recherche sous le titre ''Fluid Common Sense Syndromes — Learning How to Learn''.&lt;ref name=&quot;article2&quot; /&gt; Il confronte la proposition à des concepts associés à '''[[w:Edgar Morin|Edgar Morin]]''', '''[[w:Burrhus Frederic Skinner|B. F. Skinner]]''', '''[[w:Noam Chomsky|Noam Chomsky]]''', à la '''[[w:Psychologie de la forme|psychologie de la forme — Gestalt]]''' et à '''[[w:Jean Piaget|Jean Piaget]]'''.

Cette comparaison constitue une proposition théorique et pédagogique. Elle ne suffit pas, à elle seule, à établir la supériorité empirique du carré ISU sur les théories auxquelles il est comparé.

== Lecture critique des évaluations du jury ==
Le rapport de soutenance et les documents préparatoires permettent de distinguer les appréciations positives, les réserves et les questions méthodologiques formulées par les membres du jury.&lt;ref name=&quot;rapport2&quot; /&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Membre du jury
!Apports reconnus
!Réserves et questions
|-
|'''Susana Villavicencio'''
|Elle considère que le travail approfondit la question de la transmission et ouvre une voie distincte de plusieurs paradigmes béhavioristes, cognitivistes et générativistes.
|Elle observe que certaines affirmations relevant de la logique hayawic paraissent légitimées davantage par l’évidence ou le sens commun que par une démonstration suffisamment développée.
|-
|'''Didier Moreau'''
Directeur de la thèse
|Il relève l’intérêt philosophique, la visée universaliste et rationnelle du projet, ainsi que la tentative de mettre le concept à l’épreuve de pratiques pédagogiques.
|Il estime que la caractérisation de la pédagogie de la forme vitale demeure excessivement autoréférentielle et aurait gagné à être expliquée à partir de cadres extérieurs. En sa qualité de directeur de la thèse, son appréciation ne constitue pas une évaluation indépendante.
|-
|'''Elena K. Theodoropoulou'''
|Elle décrit une approche philosophique et pédagogique authentique. Lorsqu’elle est lue comme un parcours allant des objectifs pédagogiques et des clarifications conceptuelles vers une application, la thèse lui paraît intéressante et structurée.
|Elle souligne que l’ambition de démontrer simultanément l’universalité, la complétude et l’efficacité du modèle rend son évaluation difficile. Elle signale également un risque de réduction ou d’instrumentalisation de la théorie lors de son application.
|-
|'''Miguel Corella Lacasa'''
|Il qualifie le travail de rigoureux sur les plans théorique et philosophique et reconnaît la proposition d’un modèle pédagogique spécifique.
|Il interroge certains axiomes, certaines formulations générales et plusieurs affirmations qu’il juge exagérées. Il propose d’approfondir la confrontation avec [[w:Baruch Spinoza|Baruch Spinoza]], [[w:Jacques Rancière|Jacques Rancière]], [[w:Francisco Varela|Francisco Varela]] et [[w:Humberto Maturana|Humberto Maturana]].
|-
|'''Frédérique Lerbet-Séréni'''
Présidente du jury
|Elle décrit l’exposition comme précise, claire et pédagogique. Elle juge pertinente la critique de certains modèles éducatifs, notamment le triangle pédagogique de [[w:Jean Houssaye|Jean Houssaye]] et le Programme d’enrichissement instrumental de [[w:Reuven Feuerstein|Reuven Feuerstein]].
|Elle perçoit néanmoins un risque de totalité ou de clôture : dans certaines comparaisons, la théorie vitale paraît devoir nécessairement « gagner ». Elle demande comment la confrontation avec les autres théories a réellement transformé, enrichi ou nuancé le modèle.
|}
À l’issue de la délibération, le jury a reconnu l’originalité et la rigueur du travail et a estimé qu’il méritait une diffusion plus large.&lt;ref name=&quot;rapport2&quot; /&gt;

Cette conclusion valide la soutenance et reconnaît la valeur universitaire du travail doctoral. Elle ne constitue toutefois ni une réplication indépendante des applications, ni une validation expérimentale complète, ni une preuve définitive de l’efficacité universelle du modèle.

== Questions de recherche restant ouvertes ==
Une poursuite méthodique du programme devrait notamment préciser :

# les définitions opérationnelles de la « fluidité du sens commun » ;
# les comportements observables correspondant aux quatre états du carré ISU ;
# les unités d’analyse retenues dans les situations d’apprentissage ;
# les règles de codage, de classement et de calcul des résultats ;
# les conditions de reproductibilité entre plusieurs évaluateurs ;
# la comparaison avec des groupes témoins et avec des instruments éducatifs existants ;
# les critères permettant de réfuter, de corriger ou de modifier une hypothèse du modèle ;
# la distinction entre portée philosophique, valeur pédagogique et efficacité expérimentale ;
# les limites culturelles, linguistiques et institutionnelles de la généralisation des résultats ;
# les modalités de publication des données et des protocoles permettant une évaluation extérieure.

Ces exigences répondent directement à plusieurs réserves formulées pendant l’évaluation doctorale : éviter l’autoréférence, rendre les comparaisons réellement contradictoires et transformer les propositions générales en hypothèses susceptibles d’être examinées, corrigées ou réfutées.

== Prolongements et discussions publiques ==
Une présentation liée à cette recherche a été diffusée dans le cadre du vingtième congrès international sur la qualité de l’éducation, CIMQUSEF.&lt;ref name=&quot;CIMQUSEF2&quot;&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=QPRaONynBf0 « 20th CIMQUSEF International Conference on Quality in Education: Session 8 »], enregistrement vidéo publié le 16 novembre 2023, consulté le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

Cette présentation constitue une communication publique associée à la recherche. Son enregistrement permet d’identifier les propositions exposées, mais ne remplace ni un article scientifique évalué par les pairs ni une expérimentation indépendante.

En 2024, une séance intitulée '''« Comment apprendre de la guerre à Gaza : consacrer la citoyenneté mondiale et renforcer ce qui est commun à l’humanité »''' a présenté une application du carré des intérêts à l’éducation à la citoyenneté mondiale.&lt;ref name=&quot;Gaza2&quot;&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=tJVjWs18fV0 « Comment apprendre de la guerre à Gaza : consacrer la citoyenneté mondiale »], AMAQUEN Institute, enregistrement vidéo publié le 19 janvier 2024, consulté le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

La discussion a réuni notamment :

* '''Khalid Samadi''', universitaire et ancien secrétaire d’État marocain chargé de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique ;
* '''Abdennasser Naji''', spécialiste de la qualité de l’éducation et président d’AMAQUEN ;
* '''Fatima El Hassani''', universitaire spécialisée dans l’enseignement des langues étrangères ;
* '''Raiek Alnakari''', auteur associé à l’élaboration de la logique hayawic et du carré ISU.

Cet enregistrement documente une présentation et une discussion publique. Il constitue une source primaire sur le contenu de la séance et les interventions des participants. Il ne doit pas être assimilé à un article scientifique indépendant ou à une validation par les pairs.

== Repères philosophiques et théoriques bilingues ==
Le tableau suivant situe quelques auteurs évoqués dans la thèse, dans les évaluations du jury ou dans les prolongements théoriques proposés. Leur présence ne signifie pas qu’ils aient directement évalué ou validé le carré ISU.
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Nom en français ou dans la langue originale
!Rapport avec la recherche
|-
|[[w:Aristote|Aristote]]
|Logique classique, identité, non-contradiction et tiers exclu
|-
|[[w:René Descartes|René Descartes]]
|Dualisme et carré cartésien discutés dans la thèse
|-
|[[w:Henri Bergson|Henri Bergson]]
|Vitalisme et distinction avec la logique hayawic
|-
|[[w:Averroès|Averroès — Ibn Rochd]]
|Transmission et interprétation de la philosophie aristotélicienne
|-
|[[w:Baruch Spinoza|Baruch Spinoza]]
|Immanence, mouvement et notion de ''natura naturans''
|-
|[[w:Jacques Rancière|Jacques Rancière]]
|Égalité des intelligences et figure du maître ignorant
|-
|[[w:Francisco Varela|Francisco Varela]]
|Cognition incarnée, expérience et autopoïèse
|-
|[[w:Humberto Maturana|Humberto Maturana]]
|Autopoïèse et organisation du vivant
|-
|[[w:Niklas Luhmann|Niklas Luhmann]]
|Transposition sociologique de l’autopoïèse
|-
|[[w:Félix Guattari|Félix Guattari]]
|Critique et transformation des modèles systémiques
|-
|[[w:Jacques Derrida|Jacques Derrida]]
|Déconstruction et examen critique des systèmes conceptuels
|-
|[[w:Edgar Morin|Edgar Morin]]
|Pensée complexe et mise en relation des savoirs
|-
|[[w:Burrhus Frederic Skinner|B. F. Skinner]]
|Béhaviorisme et apprentissage par les conséquences
|-
|[[w:Noam Chomsky|Noam Chomsky]]
|Langage, structures cognitives et critique du béhaviorisme
|-
|[[w:Jean Piaget|Jean Piaget]]
|Développement cognitif et construction des connaissances
|}

== Portée pédagogique possible ==
Dans un cadre de formation, cette ressource pourrait servir à :

* présenter les quatre états relationnels du carré ISU ;
* comparer une classification à quatre états avec des classifications binaires ;
* analyser des réponses d’apprenants sans réduire immédiatement leur raisonnement à l’opposition vrai/faux ;
* construire des activités portant sur la mémorisation, le langage, la confiance et l’examen critique ;
* comparer le modèle avec la taxonomie de Bloom révisée par Anderson et Krathwohl, les théories de Piaget, la Gestalt et d’autres modèles d’apprentissage ;
* élaborer des protocoles permettant à des évaluateurs indépendants de tester certaines hypothèses ;
* recueillir des objections, des contre-exemples et des propositions de correction.

Une telle utilisation suppose que les objectifs pédagogiques, le public concerné, les consignes, les critères d’évaluation et les limites du dispositif soient explicitement indiqués.

== Conclusion ==
La recherche de Yasmine Alnakari constitue une tentative identifiable de transposition pédagogique du carré logique ISU. Son intérêt académique réside autant dans sa proposition que dans les questions critiques qu’elle fait apparaître : comment une théorie issue d’un héritage familial et philosophique peut-elle devenir un dispositif éducatif transmissible, réfutable et reproductible ?

Les évaluations universitaires reconnaissent l’originalité, la rigueur, la dimension interculturelle et le potentiel pédagogique du travail. Elles demandent simultanément davantage de confrontation extérieure, de délimitation des prétentions universelles et d’opérationnalisation empirique.

La valeur scientifique future de ce programme dépendra donc moins de l’affirmation de sa complétude que de sa capacité à exposer ses méthodes, ses données, ses limites et les conditions dans lesquelles ses hypothèses pourraient être reproduites, corrigées ou réfutées.

== Note de transparence ==
{{Boîte déroulante|titre=Déclaration complète relative au contributeur et au conflit d’intérêts|contenu=Le compte [[Utilisateur:Alyakzan123]] n’est pas utilisé par '''Yasmine Alnakari'''. Son titulaire est un collègue de Yasmine Alnakari et un chercheur participant aux travaux de l’École de Damas de la logique hayawic. Il agit avec son accord explicite et est mandaté par elle pour coordonner la préparation documentaire, la vérification des références, la rédaction et la mise en forme de cette page sur Wikiversité.

Cette autorisation ne fait pas du titulaire du compte un évaluateur indépendant des recherches présentées. En raison de sa collaboration avec Yasmine Alnakari et de sa participation au même programme de recherche, il déclare explicitement sa proximité avec le sujet et sollicite la relecture, la correction et la reformulation de la page par des contributeurs sans lien avec Yasmine Alnakari, Raiek Alnakari ou l’École de Damas de la logique hayawic.

Les travaux de Yasmine Alnakari, les rapports établis dans le cadre de sa soutenance de thèse, les publications de Raiek Alnakari et les enregistrements des présentations et discussions publiques sont identifiés selon leur nature. Aucune de ces sources n’est présentée, à elle seule, comme une validation expérimentale indépendante du modèle étudié.

Cette contribution est bénévole et non rémunérée.

Yasmine Alnakari remercie par avance tous les contributeurs indépendants pour leurs lectures critiques, leurs corrections et leurs propositions d’amélioration. Afin de préserver la transparence du processus, les observations relatives au contenu de la page sont de préférence déposées sur sa page de discussion. Lorsqu’un échange confidentiel s’avère nécessaire, une demande de mise en relation privée avec Yasmine Alnakari peut être adressée au titulaire du compte au moyen de la fonction « Envoyer un courriel à cet utilisateur ».|dérouler=Afficher|enrouler=Masquer|align=left}}

== Références ==
&lt;references /&gt;

== Voir aussi ==

* [[w:Philosophie de l'éducation|Philosophie de l’éducation]]
* [[w:Sciences de l'éducation|Sciences de l’éducation]]
* [[w:Apprentissage|Apprentissage]]
* [[w:Pensée critique|Pensée critique]]
* [[w:Psychologie de la forme|Psychologie de la forme]]
* [[w:Taxonomie de Bloom|Taxonomie de Bloom]]</text>
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      <contributor>
        <username>Alyakzan123</username>
        <id>80932</id>
      </contributor>
      <comment>/* Repères philosophiques et théoriques bilingues */ Correction du titre de la section après suppression de la colonne bilingue.</comment>
      <origin>986272</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20926" sha1="0eadp71zb8grrr4ose6c7ntcxmy34vp" xml:space="preserve">''Document de recherche bibliographique, pédagogique et critique. Cette page ne constitue ni une biographie personnelle ni une validation expérimentale du modèle étudié.''

== Résumé ==
Cette étude examine le passage du '''carré logique ISU''' — ''Interest Square Unit'', ou unité carrée des intérêts — à une proposition pédagogique développée dans la thèse de '''Yasmine Alnakari''' (ياسمين النقري), soutenue en sciences de l’éducation à l’[[w:Université Paris-VIII|Université Paris 8]] le 4 décembre 2019, sous la direction de '''Didier Moreau'''.&lt;ref name=&quot;Paris82&quot;&gt;[https://sciences-sociales.univ-paris8.fr/theses-soutenues-en-2019 Université Paris 8, « Thèses soutenues en 2019 »], entrée consacrée à Yasmine Alnakari, consultée le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;theses2&quot;&gt;[https://theses.fr/2019PA080105 « Les intérêts éducatifs de la pédagogie inspirée du carré logique ISU »], notice nationale de la thèse de Yasmine Alnakari, theses.fr, consultée le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

L’étude présente les fondements du modèle, la contribution propre de Yasmine Alnakari à sa transposition éducative, les rapprochements proposés avec plusieurs théories de l’apprentissage, ainsi que les appréciations favorables et les réserves méthodologiques formulées pendant l’évaluation doctorale.

== Objectif de cette page ==
Cette page propose une ressource de recherche et de formation consacrée à la transposition pédagogique du carré logique ISU dans les travaux de Yasmine Alnakari. Elle vise à présenter les principales hypothèses du modèle, à les mettre en relation avec plusieurs théories de l’apprentissage et à examiner les appréciations, les réserves et les questions méthodologiques formulées lors de la soutenance de sa thèse.

L’objectif n’est pas de présenter le carré ISU comme une théorie déjà universellement validée, mais d’identifier :

# sa proposition logique et pédagogique ;
# la contribution propre de Yasmine Alnakari à sa transposition éducative ;
# les appréciations favorables et les réserves formulées lors de la soutenance ;
# les différences entre une proposition théorique, une application pédagogique et une validation empirique indépendante ;
# les conditions méthodologiques nécessaires à une évaluation reproductible du modèle.

Cette page ne constitue ni une biographie de Yasmine Alnakari ni une présentation promotionnelle de ses travaux. Elle est conçue comme un document évolutif destiné à l’étude, à la discussion critique et à l’amélioration collective. Les contributeurs sont invités à distinguer les propositions théoriques, les applications pédagogiques, les observations empiriques et les évaluations indépendantes.

''Note de transparence : cette page est préparée par un collègue de Yasmine Alnakari, avec son accord explicite et sur mandat de sa part. Le contributeur n’est pas indépendant du sujet. [[Utilisateur:Alyakzan123/Brouillon/Du carré logique ISU à la pédagogie#Note de transparence|Consulter la déclaration complète]].''

== Objet et corpus de l’étude ==
La thèse étudiée porte le titre suivant :

: ''Les intérêts éducatifs de la pédagogie inspirée du carré logique ISU : étude critique de ses fondements philosophiques et de ses applications dans l’enseignement scolaire et dans l’éducation informelle''.

Le corpus examiné comprend :

* la notice officielle de la thèse et son référencement par l’Université Paris 8 ;&lt;ref name=&quot;Paris82&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;theses2&quot; /&gt;
* le rapport de soutenance et le prérapport de '''Susana Villavicencio''' ;&lt;ref name=&quot;rapport2&quot;&gt;Université Paris 8, ''Rapport de soutenance de la thèse de Yasmine Alnakari'', soutenance du 4 décembre 2019, accompagné du prérapport de Susana Villavicencio. Document institutionnel d’archive communiqué par l’autrice et non publié en ligne au moment de la rédaction. Il s’agit d’une source primaire d’évaluation universitaire.&lt;/ref&gt;
* l’article de Yasmine Alnakari publié en 2023 dans ''The Journal of Quality in Education'' ;&lt;ref name=&quot;article2&quot;&gt;Yasmine Alnakari, « [[doi:10.37870/joqie.v13i22.397|FLUID COMMON SENSE SYNDROMES — Learning How to Learn (LL): From theory to application via Edgar Morin, Skinner, Chomsky, Gestalt &amp; Piaget]] », ''The Journal of Quality in Education'', vol. 13, no 22, 2023, p. 195–207, DOI : 10.37870/joqie.v13i22.397.&lt;/ref&gt;
* une publication antérieure de '''Raiek Alnakari''' (رائق النقري) et '''David C. Rine''' sur une logique à quatre valeurs ;&lt;ref name=&quot;IEEE2&quot;&gt;David C. Rine et Raiek Alnakari, « [[doi:10.1109/ISMVL.2000.848633|A Four-Valued Logic B(4) of E(9) for Modeling Human Communication]] », ''Proceedings of the 30th IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic'', 2000, p. 285–292, DOI : 10.1109/ISMVL.2000.848633.&lt;/ref&gt;
* des enregistrements de présentations et de discussions publiques consacrées aux applications pédagogiques du modèle.

Les rapports universitaires sont utilisés ici comme des sources primaires documentant l’évaluation de la thèse. Ils ne sont pas assimilés à des études expérimentales indépendantes du modèle.

== Le carré logique ISU ==
Le carré logique ISU, développé dans le cadre de la logique hayawic (المنطق الحيوي), est présenté comme une matrice comportant quatre états relationnels :

# '''isolement''' ;
# '''conflit''' ;
# '''coexistence''' ;
# '''unification'''.

Une publication de Raiek Alnakari et David C. Rine décrit une logique à quatre valeurs destinée à modéliser des formes de communication humaine.&lt;ref name=&quot;IEEE2&quot; /&gt;

Dans la transposition pédagogique proposée par Yasmine Alnakari, ces quatre états ne servent pas seulement à classer une réponse comme vraie ou fausse. Ils permettent d’interroger la manière dont une connaissance est identifiée, reliée à d’autres connaissances, hiérarchisée, mémorisée, communiquée et appliquée.

Dans cette page, l’expression '''sens commun''' est retenue dans un sens distinct de celui d’« intuition ». L’hypothèse étudiée concerne la fluidité des mémoires et des formes de communication du sens commun, ainsi que leurs effets sur l’apprentissage, la confiance en soi, la confiance envers autrui et la capacité à réexaminer une information.

== Contribution pédagogique de Yasmine Alnakari ==
La contribution propre de Yasmine Alnakari consiste principalement à transformer une structure logique en proposition éducative et en instruments d’observation pédagogique.

Elle étudie notamment :

* l’application du carré ISU à des situations d’enseignement scolaire et d’éducation informelle ;
* son utilisation avec des enfants et des apprenants appartenant à différents contextes culturels ;
* le passage de la mémorisation répétitive à l’examen critique des informations ;
* l’articulation entre apprentissage cognitif, expérience, langage, valeurs et autorégulation ;
* l’observation des manières dont les apprenants isolent, opposent, font coexister ou unifient les informations ;
* la comparaison du modèle avec plusieurs théories éducatives, philosophiques et psychologiques.

L’article publié en 2023 prolonge cette recherche sous le titre ''Fluid Common Sense Syndromes — Learning How to Learn''.&lt;ref name=&quot;article2&quot; /&gt; Il confronte la proposition à des concepts associés à '''[[w:Edgar Morin|Edgar Morin]]''', '''[[w:Burrhus Frederic Skinner|B. F. Skinner]]''', '''[[w:Noam Chomsky|Noam Chomsky]]''', à la '''[[w:Psychologie de la forme|psychologie de la forme — Gestalt]]''' et à '''[[w:Jean Piaget|Jean Piaget]]'''.

Cette comparaison constitue une proposition théorique et pédagogique. Elle ne suffit pas, à elle seule, à établir la supériorité empirique du carré ISU sur les théories auxquelles il est comparé.

== Lecture critique des évaluations du jury ==
Le rapport de soutenance et les documents préparatoires permettent de distinguer les appréciations positives, les réserves et les questions méthodologiques formulées par les membres du jury.&lt;ref name=&quot;rapport2&quot; /&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Membre du jury
!Apports reconnus
!Réserves et questions
|-
|'''Susana Villavicencio'''
|Elle considère que le travail approfondit la question de la transmission et ouvre une voie distincte de plusieurs paradigmes béhavioristes, cognitivistes et générativistes.
|Elle observe que certaines affirmations relevant de la logique hayawic paraissent légitimées davantage par l’évidence ou le sens commun que par une démonstration suffisamment développée.
|-
|'''Didier Moreau'''
Directeur de la thèse
|Il relève l’intérêt philosophique, la visée universaliste et rationnelle du projet, ainsi que la tentative de mettre le concept à l’épreuve de pratiques pédagogiques.
|Il estime que la caractérisation de la pédagogie de la forme vitale demeure excessivement autoréférentielle et aurait gagné à être expliquée à partir de cadres extérieurs. En sa qualité de directeur de la thèse, son appréciation ne constitue pas une évaluation indépendante.
|-
|'''Elena K. Theodoropoulou'''
|Elle décrit une approche philosophique et pédagogique authentique. Lorsqu’elle est lue comme un parcours allant des objectifs pédagogiques et des clarifications conceptuelles vers une application, la thèse lui paraît intéressante et structurée.
|Elle souligne que l’ambition de démontrer simultanément l’universalité, la complétude et l’efficacité du modèle rend son évaluation difficile. Elle signale également un risque de réduction ou d’instrumentalisation de la théorie lors de son application.
|-
|'''Miguel Corella Lacasa'''
|Il qualifie le travail de rigoureux sur les plans théorique et philosophique et reconnaît la proposition d’un modèle pédagogique spécifique.
|Il interroge certains axiomes, certaines formulations générales et plusieurs affirmations qu’il juge exagérées. Il propose d’approfondir la confrontation avec [[w:Baruch Spinoza|Baruch Spinoza]], [[w:Jacques Rancière|Jacques Rancière]], [[w:Francisco Varela|Francisco Varela]] et [[w:Humberto Maturana|Humberto Maturana]].
|-
|'''Frédérique Lerbet-Séréni'''
Présidente du jury
|Elle décrit l’exposition comme précise, claire et pédagogique. Elle juge pertinente la critique de certains modèles éducatifs, notamment le triangle pédagogique de [[w:Jean Houssaye|Jean Houssaye]] et le Programme d’enrichissement instrumental de [[w:Reuven Feuerstein|Reuven Feuerstein]].
|Elle perçoit néanmoins un risque de totalité ou de clôture : dans certaines comparaisons, la théorie vitale paraît devoir nécessairement « gagner ». Elle demande comment la confrontation avec les autres théories a réellement transformé, enrichi ou nuancé le modèle.
|}
À l’issue de la délibération, le jury a reconnu l’originalité et la rigueur du travail et a estimé qu’il méritait une diffusion plus large.&lt;ref name=&quot;rapport2&quot; /&gt;

Cette conclusion valide la soutenance et reconnaît la valeur universitaire du travail doctoral. Elle ne constitue toutefois ni une réplication indépendante des applications, ni une validation expérimentale complète, ni une preuve définitive de l’efficacité universelle du modèle.

== Questions de recherche restant ouvertes ==
Une poursuite méthodique du programme devrait notamment préciser :

# les définitions opérationnelles de la « fluidité du sens commun » ;
# les comportements observables correspondant aux quatre états du carré ISU ;
# les unités d’analyse retenues dans les situations d’apprentissage ;
# les règles de codage, de classement et de calcul des résultats ;
# les conditions de reproductibilité entre plusieurs évaluateurs ;
# la comparaison avec des groupes témoins et avec des instruments éducatifs existants ;
# les critères permettant de réfuter, de corriger ou de modifier une hypothèse du modèle ;
# la distinction entre portée philosophique, valeur pédagogique et efficacité expérimentale ;
# les limites culturelles, linguistiques et institutionnelles de la généralisation des résultats ;
# les modalités de publication des données et des protocoles permettant une évaluation extérieure.

Ces exigences répondent directement à plusieurs réserves formulées pendant l’évaluation doctorale : éviter l’autoréférence, rendre les comparaisons réellement contradictoires et transformer les propositions générales en hypothèses susceptibles d’être examinées, corrigées ou réfutées.

== Prolongements et discussions publiques ==
Une présentation liée à cette recherche a été diffusée dans le cadre du vingtième congrès international sur la qualité de l’éducation, CIMQUSEF.&lt;ref name=&quot;CIMQUSEF2&quot;&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=QPRaONynBf0 « 20th CIMQUSEF International Conference on Quality in Education: Session 8 »], enregistrement vidéo publié le 16 novembre 2023, consulté le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

Cette présentation constitue une communication publique associée à la recherche. Son enregistrement permet d’identifier les propositions exposées, mais ne remplace ni un article scientifique évalué par les pairs ni une expérimentation indépendante.

En 2024, une séance intitulée '''« Comment apprendre de la guerre à Gaza : consacrer la citoyenneté mondiale et renforcer ce qui est commun à l’humanité »''' a présenté une application du carré des intérêts à l’éducation à la citoyenneté mondiale.&lt;ref name=&quot;Gaza2&quot;&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=tJVjWs18fV0 « Comment apprendre de la guerre à Gaza : consacrer la citoyenneté mondiale »], AMAQUEN Institute, enregistrement vidéo publié le 19 janvier 2024, consulté le 4 septembre 2026.&lt;/ref&gt;

La discussion a réuni notamment :

* '''Khalid Samadi''', universitaire et ancien secrétaire d’État marocain chargé de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique ;
* '''Abdennasser Naji''', spécialiste de la qualité de l’éducation et président d’AMAQUEN ;
* '''Fatima El Hassani''', universitaire spécialisée dans l’enseignement des langues étrangères ;
* '''Raiek Alnakari''', auteur associé à l’élaboration de la logique hayawic et du carré ISU.

Cet enregistrement documente une présentation et une discussion publique. Il constitue une source primaire sur le contenu de la séance et les interventions des participants. Il ne doit pas être assimilé à un article scientifique indépendant ou à une validation par les pairs.

== Repères philosophiques et théoriques ==
Le tableau suivant situe quelques auteurs évoqués dans la thèse, dans les évaluations du jury ou dans les prolongements théoriques proposés. Leur présence ne signifie pas qu’ils aient directement évalué ou validé le carré ISU.
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Nom en français ou dans la langue originale
!Rapport avec la recherche
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|[[w:Aristote|Aristote]]
|Logique classique, identité, non-contradiction et tiers exclu
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|[[w:René Descartes|René Descartes]]
|Dualisme et carré cartésien discutés dans la thèse
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|[[w:Henri Bergson|Henri Bergson]]
|Vitalisme et distinction avec la logique hayawic
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|[[w:Averroès|Averroès — Ibn Rochd]]
|Transmission et interprétation de la philosophie aristotélicienne
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|[[w:Baruch Spinoza|Baruch Spinoza]]
|Immanence, mouvement et notion de ''natura naturans''
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|[[w:Jacques Rancière|Jacques Rancière]]
|Égalité des intelligences et figure du maître ignorant
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|[[w:Francisco Varela|Francisco Varela]]
|Cognition incarnée, expérience et autopoïèse
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|[[w:Humberto Maturana|Humberto Maturana]]
|Autopoïèse et organisation du vivant
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|[[w:Niklas Luhmann|Niklas Luhmann]]
|Transposition sociologique de l’autopoïèse
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|[[w:Félix Guattari|Félix Guattari]]
|Critique et transformation des modèles systémiques
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|[[w:Jacques Derrida|Jacques Derrida]]
|Déconstruction et examen critique des systèmes conceptuels
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|[[w:Edgar Morin|Edgar Morin]]
|Pensée complexe et mise en relation des savoirs
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|[[w:Burrhus Frederic Skinner|B. F. Skinner]]
|Béhaviorisme et apprentissage par les conséquences
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|[[w:Noam Chomsky|Noam Chomsky]]
|Langage, structures cognitives et critique du béhaviorisme
|-
|[[w:Jean Piaget|Jean Piaget]]
|Développement cognitif et construction des connaissances
|}

== Portée pédagogique possible ==
Dans un cadre de formation, cette ressource pourrait servir à :

* présenter les quatre états relationnels du carré ISU ;
* comparer une classification à quatre états avec des classifications binaires ;
* analyser des réponses d’apprenants sans réduire immédiatement leur raisonnement à l’opposition vrai/faux ;
* construire des activités portant sur la mémorisation, le langage, la confiance et l’examen critique ;
* comparer le modèle avec la taxonomie de Bloom révisée par Anderson et Krathwohl, les théories de Piaget, la Gestalt et d’autres modèles d’apprentissage ;
* élaborer des protocoles permettant à des évaluateurs indépendants de tester certaines hypothèses ;
* recueillir des objections, des contre-exemples et des propositions de correction.

Une telle utilisation suppose que les objectifs pédagogiques, le public concerné, les consignes, les critères d’évaluation et les limites du dispositif soient explicitement indiqués.

== Conclusion ==
La recherche de Yasmine Alnakari constitue une tentative identifiable de transposition pédagogique du carré logique ISU. Son intérêt académique réside autant dans sa proposition que dans les questions critiques qu’elle fait apparaître : comment une théorie issue d’un héritage familial et philosophique peut-elle devenir un dispositif éducatif transmissible, réfutable et reproductible ?

Les évaluations universitaires reconnaissent l’originalité, la rigueur, la dimension interculturelle et le potentiel pédagogique du travail. Elles demandent simultanément davantage de confrontation extérieure, de délimitation des prétentions universelles et d’opérationnalisation empirique.

La valeur scientifique future de ce programme dépendra donc moins de l’affirmation de sa complétude que de sa capacité à exposer ses méthodes, ses données, ses limites et les conditions dans lesquelles ses hypothèses pourraient être reproduites, corrigées ou réfutées.

== Note de transparence ==
{{Boîte déroulante|titre=Déclaration complète relative au contributeur et au conflit d’intérêts|contenu=Le compte [[Utilisateur:Alyakzan123]] n’est pas utilisé par '''Yasmine Alnakari'''. Son titulaire est un collègue de Yasmine Alnakari et un chercheur participant aux travaux de l’École de Damas de la logique hayawic. Il agit avec son accord explicite et est mandaté par elle pour coordonner la préparation documentaire, la vérification des références, la rédaction et la mise en forme de cette page sur Wikiversité.

Cette autorisation ne fait pas du titulaire du compte un évaluateur indépendant des recherches présentées. En raison de sa collaboration avec Yasmine Alnakari et de sa participation au même programme de recherche, il déclare explicitement sa proximité avec le sujet et sollicite la relecture, la correction et la reformulation de la page par des contributeurs sans lien avec Yasmine Alnakari, Raiek Alnakari ou l’École de Damas de la logique hayawic.

Les travaux de Yasmine Alnakari, les rapports établis dans le cadre de sa soutenance de thèse, les publications de Raiek Alnakari et les enregistrements des présentations et discussions publiques sont identifiés selon leur nature. Aucune de ces sources n’est présentée, à elle seule, comme une validation expérimentale indépendante du modèle étudié.

Cette contribution est bénévole et non rémunérée.

Yasmine Alnakari remercie par avance tous les contributeurs indépendants pour leurs lectures critiques, leurs corrections et leurs propositions d’amélioration. Afin de préserver la transparence du processus, les observations relatives au contenu de la page sont de préférence déposées sur sa page de discussion. Lorsqu’un échange confidentiel s’avère nécessaire, une demande de mise en relation privée avec Yasmine Alnakari peut être adressée au titulaire du compte au moyen de la fonction « Envoyer un courriel à cet utilisateur ».|dérouler=Afficher|enrouler=Masquer|align=left}}

== Références ==
&lt;references /&gt;

== Voir aussi ==

* [[w:Philosophie de l'éducation|Philosophie de l’éducation]]
* [[w:Sciences de l'éducation|Sciences de l’éducation]]
* [[w:Apprentissage|Apprentissage]]
* [[w:Pensée critique|Pensée critique]]
* [[w:Psychologie de la forme|Psychologie de la forme]]
* [[w:Taxonomie de Bloom|Taxonomie de Bloom]]</text>
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  </page>
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