Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 58573 986285 852698 2026-09-05T09:42:08Z Marvoir 1746 /* Problème 1 */ note signalant l'importance de cet énoncé 986285 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 33 | chapitre = [[../../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives/]] | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''k'' un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins ''k'' éléments, soit ''x'' un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G_x le stabilisateur de ''x'' dans G. Pour tout élément ''g'' de G_x et tout élément ''y'' de X-{x}, ''gy'' appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G_x opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où ''gy'' correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :<br /> 1° l'action de G sur X est k-transitive;<br /> 2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G_x sur X-{x} est (k-1)-transitive. {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°.<br /> Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive.<br /> Soient a₁, ..., a_k-1 (resp. b₁, ..., b_k-1) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément ''g'' de G_x tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1. Cela revient à prouver qu’il existe un élément ''g'' de G tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1 et gx = x. Or cela est bien vrai, puisque a₁, ..., a_k-1, x sont ''k'' différents éléments de X, que b₁, ..., b_k-1, x sont eux aussi ''k'' différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°. Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.<br /> Soient a₁, ..., a_k (resp. b₁, ..., b_k) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément ''g'' de G tel que :(thèse 1) ga₁ = b₁, ..., ga_k = b_k. D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément ''h'' de G tel que :(2) ha₁ = x. De même, il existe un élément h' de G tel que :(3) h'b₁ = x. Les k-1 éléments ha₂, ..., ha_k de X sont distincts entre eux et distincts de ha₁, autrement dit de ''x''. Donc ha₂, ..., ha_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> De même, h'b₂, ..., h'b_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément ''f'' de G_x tel que :fha₂ = h'b₂, ..., fha_k = h'b_k, ce qui peut s'écire :h'^-1fha₂ = b₂, ..., h'^-1fha_k = b_k. Donc si nous posons g = h'^-1 f h, nous avons :(4) g a₂ = b₂, ..., g a_k = b_k. De plus, g a₁ = h'^-1 f h a₁, d'où, d’après (2), :g a₁ = h'^-1 f x. Comme ''f'' appartient à G_x, cela revient à :g a₁ = h'^-1 x, ou encore, d’après (3), à :ga₁ = b₁. Joint à (4), cela prouve la thèse (1). }} Remarques. 1° L'énoncé de ce problème revient à dire que si ''k'' est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins ''k'' éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément ''x'' de X, G_x désigne le stabilisateur de ''x'' dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :<br /> a) l'action de G sur X est k-transitive;<br /> b) l'action de G sur X est transitive et pour tout élément ''x'' de X, l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive;<br /> c) l'action de G sur X est transitive et il existe un élément ''x'' de X tel que l'action de G_x sur X - {x} soit (k-1)-transitive.<br /> 2° Selon D.J.S. Robinson<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in th Theory of Groups'', seconde édition, Springer, 1996, p. 193.</ref>, l'énoncé qui précède est fondamental et permet de nombreux raisonnements par récurrence. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] }} 5cox3r68kholtb9msgp0x8qii8dihpb 0 74240 986276 986275 2026-09-04T14:34:00Z Phl7605 31541 /* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */ 986276 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} 6lbjyy871b4ryz4dt6ruxlf5vd96x6k 986277 986276 2026-09-04T21:41:43Z Phl7605 31541 /* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */ 986277 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} iv89a4pt3if2pthu6tcys4gecqusgwt 986278 986277 2026-09-04T21:43:04Z Phl7605 31541 /* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */ 986278 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} ajefogd6j0vcx4ngoq48u2mwq7lx8sg 986279 986278 2026-09-04T21:47:14Z Phl7605 31541 /* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */ 986279 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} kfgmnf17honks6zc179humqhy8nrnq9 986282 986279 2026-09-05T03:14:07Z Phl7605 31541 /* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */ 986282 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le oment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} t6ojgu4tkuwrq53tg3tb7rv8qk7du2v 986283 986282 2026-09-05T03:17:23Z Phl7605 31541 /* « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen */ 986283 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} qyb3hqkiq99o9oqqdueuez0f5oy0173 986286 986283 2026-09-05T09:45:06Z Phl7605 31541 /* Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen */ 986286 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé «}}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique <ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe <ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions <ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u> <ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}} <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux <ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément <ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u> <ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'iner tie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide <ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> <ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u> <ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}} <ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref><math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément dans un paragraphe du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels }}dans le référentiel d'étude galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, l'applicabilité }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret en translation et, à l'exception de ce cas, <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu de matière admise<math>\!\big)</math> ; {{Al|5}}cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition <math>\bullet\;</math>d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition }}<math>\bullet\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_G \right)}\;</math> }}gardant une direction fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen est la composition <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un mouvement de rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> <math>\;\big(\!</math>applicabilité à un système continu admise<math>\!\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> s'exprime, « }}avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|cela dit, }}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » déjà exposée plus haut dans ce chapitre <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe » }}reste applicable <ref> En effet, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni l'éventuel caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>» <ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» a priori sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide <ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" /> issus du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier <ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf }}la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|cela dit, l'explicitation du «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» a priori sauf la condition }}par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>» <ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#cite_note-direction_des_2ème_et_3ème_composantes_du_taux_de_variation_horaire_du_moment_cinétique_vectoriel_du_solide_en_rotation-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, G étant a priori mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système fermé de matière <ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.</ref> d'étude, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments }}le <u>C.D.I. <ref name="C.D.I." /> étant, a priori, mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>appliqué au système fermé de matière en rotation autour d'un des</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>axes principaux d'inertie</u> <math>\,\left(\! \Delta_G \!\right)\,</math> passant par <math>\,G\,</math> et de direction fixe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit du }}par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<u>instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rotation instantanée" /> du système dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> galiléen, le vecteur moment résultant dynamique est égal au produit de }}<math>\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un mouvement circulaire }}a été établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <u>galiléen</u> <math>\,\mathcal{R}\,</math> où le point matériel étudié <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de rayon <math>\,R\,</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à la date <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée }}autour de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de}}<math>\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\,\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\,</math> s'écrit encore <math>\,\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de<math>\color{transparent}{\big[}</math>}}repérant le point <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\,\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\,\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\,</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion du moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment résultant dynamique scalaire }}défini par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> }}<math>\big[\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)} = </math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,O\,</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}<math>M\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» <ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <math>\,\big[\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <math>\,O\,</math> point fixe quelconque sur <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> appliqué au système <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>» <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le moment cinétique scalaire du système <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le moment cinétique scalaire «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>en rotation autour de cet axe</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math><u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> » <ref name="théorème du moement cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système fermé de matière</u> <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}} <ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quel que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité</u> résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe <u>concerne l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}l'axe de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> de rotation du système, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalaire d'un système }}a été explicitée dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé discret en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »</ref> puis <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque » <ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, <br>{{Transparent|l'expression du moment cinétique scalai celle d'un système }}explicitée dans le chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="moment cinétique scalaire d'un système fermé continu en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> <math>\big[\left( \Delta \right)\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels }}<u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne }}«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé de points matériels l'expression newtonienne «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)}</math> }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques <ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques <ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes <ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» <ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>» <ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire <ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier <ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système discret fermé <ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J. <ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique <ref name="intégrale volumique" />, surfacique <ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne <ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle <ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique <ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} 9h7yi85ml93nkcyok2ghne5rmsnj8in 105 75106 986284 986152 2026-09-05T04:01:22Z JackBot 8020 Robot : Correction d’une double redirection depuis [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] vers [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]] 986284 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]] p8qpzoie268jjbxbt9pvx38p6a6nt2l 4 87341 986280 2026-09-04T22:15:13Z Antimuonium 31608 Création 986280 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|09}}{{Clr}}</noinclude> m0ifjacyumqae7q7xpnm7u45iwcy0ki 986281 986280 2026-09-04T22:15:55Z Antimuonium 31608 /* Les RAW sont arrivés, la rentrée peut commencer ! */ nouvelle section 986281 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|09}}{{Clr}}</noinclude> == Les RAW sont arrivés, la rentrée peut commencer ! == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro de&nbsp;septembre 2026 ({{numéro|296}}) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-09-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div> </div> '''C'est la rentrée''' Après un numéro très dense en août en raison de la Wikimania, celui-ci est un peu plus léger car l'équipe s'est octroyée quelques vacances. Cela n'empêche pas le mouvement de continuer à vivre, avec une rentrée déjà animée ! Du côté des projets francophones, le Wiktionnaire vient de franchir le cap symbolique des sept millions d’entrées, tandis que Wikipédia continue de voir fleurir sondages et discussions sur son fonctionnement. Une rentrée, donc, placée sous le signe de la construction collective : de nouveaux outils pour contribuer, de nouveaux espaces pour échanger, de nouvelles formes d’organisation… Ce numéro des RAW vous propose de faire le tour de cette actualité, avant de reprendre tranquillement le chemin des projets Wikimédia. L'équipe de la rédaction a également commencé à réfléchir à un nouveau nom pour remplacer l'énigmatique « RAW ». N'hésitez pas à venir donner votre avis dans la [[:w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Changement de nom|section dédiée]] ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] ! [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 septembre 2026 à 22:15 (UTC) b9s8ms35zspci7pn2dfb1kc0fksfw57